2005工科高等数学期终考试参考答案
一. 填空题 (每题3分, 共18分
)
11.2
n =
2223
23
2.4(1)
3x t t d y dx t y t t
⎧=-=⎨-=-⎩设，则 3.2x y xe x -==曲线的拐点的横坐标
22
4.lim
21cos x x x e dx
x
-→=-⎰
(23)(24)
()lim
5(2)
x f x f x f x f x
∆→+∆--∆'=∆5.设在x=2处可导,则
6.32(,)193
a b a b a b π
Λ===
+=已知，，，则
二．选择题(每题3分, 共21分)
2ln ,1
1.()1()1,1x x f x x f x D x x ⎧≥==⎨-<⎩
设，在处，（）。
；不连续.A ；连续但不可导.B ；可导但不连续.C 。可导.D 2.()(1)(2)(3)(4)()0f x x x x x f x C '=----=设，则方程有（）。
；一个实根.A ；两个实根.B ；三个实根.C 。没有实根.D
242
3
47.0,3()
....sin x x x B A x
B x
C x
D x
→+当时与为同阶无穷小的是
4. 3(3)(4)y x x B +∞=-在，内，曲线是（）。
上升的，凸的；.A 上升的，凹的；.B
下降的，凸的；.C 下降的，凹的。.D
5．D 下列等式正确的是（）。 ；)())((.x f dx x f d A =⎰ ；dx x f dx x f dx
d
B )())((.
=⎰ ；
)()(.
x f x df C =⎰ 。
c x f dx x f D +='⎰)()(.
6. ln y x =在区间[1，2] 满足拉格朗日中值定理的条件，结论中ξ=（ D ）
1()0;()ln 2;()1;()
.ln 2
A B C D 7．D 下列广义积分收敛的是（）。
；
⎰-2
11
x dx
A . ；
⎰-2121)(.x dx
B ；
⎰2
1x x dx
C ln . 。⎰
-21
1
x dx D .
三．解答题（每题7分，共42分）
000
0011111.lim()lim (2lim (4)1(1).11
lim (6)lim (7)222
x x x x x x x x x x x e x e x
x e x e x x e e x →→→→→-----==---===解:分)分分分
2.
2
2
cos 10,x t dy
dt dx
-+=⎰已知
求
2
2
2(1)(0)(1)
cos .20
(6(7)
x t y
dt e
y x x y ''-+='-='=
⎰解:分分)分
3．1()
(1)(1)!()(1)n n n
n f
x x ---=+ （7分）
224.(1arcsin (arcsin )
(5)
1
(arcsin )(7)
2
xd x x C
=
--=-+⎰
⎰
⎰
⎰
⎰分)
=-分分
2
22
2
5.
sin (2)24xdx π
π
π
π-
-
==⎰
⎰分（分）
3
22
44
2cos cos7
33
x x
π
=-=-=（分）
33
44
3
4
2
22
1
(sin)
6.(3)(5)
tan sec sin
1
[](6)(7)
sin3
set tdt d
t t t
t
ππ
ππ
π
π
==
=-=-
⎰⎰
分分
分分
四．平面图形由曲线y=lnx及过曲线上点（e, 1）的切线和x轴所围成.
(1)求该图形的面积; (2) 求该图形绕x轴旋转所得旋转体的体积.(12分)
2
011
01
1
01
22
01
32
01
2
1
ln(,1):(2)
11
(1)ln(4)|(ln||)1(7)
11
(ln)1
1
(2)()(ln)(9)
|[(ln)2ln2]2(1)(12
33
e e e e e
e
e e
x
e e
y x e y x
e
A xdx xdx x x x x e
e e
A xdx x x dx e
e e
V x dx x dx
e
e
x x x x x x
e
ππ
π
ππ
==
=-=--=-
=+-=-
=-
=--+=-
⎰⎰
⎰⎰
⎰⎰
解:曲线在处的切线方程分
分分或
分
分)
.()[,]()()
(())()
x
a
x
a
f x a b y f t dt a x b
dy
f t dt f x
dx
=≤≤
'
==
⎰
⎰
五证明原函数存在定理:设在上连续，则函数
可导,且导数 （7分）
00
:()()()()()
(
()(5)
lim lim()(),
(())().(7)
x x x x x
a a x
x x
x
a
y f t dt f t dt f t dt f x f x x
x x x
y
f x x
x
y
f x x f x
x
dy
f t dt f x
dx
ξθ
ξθ
θ
θ
+∆+∆
∆→∆→
∆=-==∆=+∆
+∆
∆
=+∆
∆
∆
=+∆=
∆
'
==
⎰⎰⎰
⎰
证明
介于与之间,0<<1)(3分)
分
即
分
