常用逻辑用语习题及答案

常用逻辑用语习题及答案

1．(2011·山东高考)已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是( )

A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3

B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2＜3

C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3

D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3

【解析】 命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”，将条件与结论进行否定．

∴否命题是：若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3.

【答案】 A

2．(2011·福建高考)若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的( )

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【解析】 若a＝2，则(a－1)(a－2)＝0，

但(a－1)(a－2)＝0，有a＝1或a＝2，即(a－1)(a－2)＝0 a＝2.

∴“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的充分不必要条件．

【答案】 A

3.(2011·湖北高考)若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab＝0，则称a与b互补．记φ(a，b)＝a2＋b2－a－b，那么φ(a，b)＝0是a与b互补的( )

A．必要而不充分的条件 B．充分而不必要的条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件

【解析】若φ(a，b)＝0，则a2＋b2＝a＋b，

∴a＋b≥0且a2＋b2＝a2＋b2＋2ab，

因此ab＝0且a＋b≥0.

∴a≥0，b≥0且ab＝0，“a与b”互补．

则φ(a，b)＝0是a与b互补的充分条件．

显然a≥0，b≥0，且ab＝0时，有a2＋b2＝(a＋b)2，

∴φ(a，b)＝a2＋b2－(a＋b)＝a＋b－(a＋b)＝0， 故φ(a，b)＝0是a与b互补的充要条件．

4.设p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足x2－x－6≤0，x2＋2x－8＞0.

(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；

(2)若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

【尝试解答】 (1)由x2－4ax＋3a2＜0得(x－3a)(x－a)＜0，又a＞0，所以a＜x＜3a.

当a＝1时，1＜x＜3，

又x2－x－6≤0，x2＋2x－8＞0.得2＜x≤3.

由p∧q为真．

∴x满足2＜x≤3，1＜x＜3.即2＜x＜3.

所以实数x的取值范围是2＜x＜3.

(2)由¬p是¬q的充分不必要条件，知

q是p的充分不必要条件，

由A＝{x|a＜x＜3a，a＞0}，B＝{x|2＜x≤3}，

∴BA.

因此a≤2且3＜3a.

所以实数a的取值范围是1＜a≤2.

评析：．解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解．

提醒：列关于参数的不等式时要考查端点值是否能取到，常用的方法是代入端点值验证是否符合题意．

5.已知条件p：A＝{x|2a≤x≤a2＋1}，条件q：B＝{x|x2－3(a＋1)x＋2(3a＋1)≤0}．若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．

【解】 化简，B＝{x|(x－2)[x－(3a＋1)]≤0}，

①当a≥13时，B＝{x|2≤x≤3a＋1}；

②当a＜13时，B＝{x|3a＋1≤x≤2}． 因为p是q的充分条件，

所以A⊆B，于是有

a≥13，a2＋1≤3a＋1，2a≥2，解得1≤a≤3.

或a＜13，a2＋1≤2，2a≥3a＋1，解得a＝－1.

故a的取值范围是{a|1≤a≤3或a＝－1}．

6.(2011·山东高考)对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的( )

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【解析】 由y＝f(x)是奇函数⇒y＝|f(x)|是偶函数；但y＝|f(x)|的图象关于y轴对称y＝f(x)为奇函数．

∴“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的必要不充分条件，选B.

7．(2011·陕西高考)设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是( )

A．若a≠－b，则|a|≠|b|

B．若a＝－b，则|a|≠|b|

C．若|a|≠|b|，则a≠－b

D．若|a|＝|b|，则a＝－b

8．(2011·浙江高考)设a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“b＜1a”的( )

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【解析】 ∵0＜ab＜1，∴a，b同号，且ab＜1.

∴当a＞0，b＞0时，b＜1a；当a＜0，b＜0时，b＞1a. ∴“0＜ab＜1”是“b＜1a”的不充分条件．

而取b＝－1，a＝1，显然有b＜1a，但不能推出0＜ab＜1，

∴“0＜ab＜1”是“b＜1a”的不必要条件

9．(2011·辽宁高考)已知命题p：∃n∈N，2n＞1 000，则¬p为( )

A．∀n∈N，2n≤1 000 B．∀n∈N，2n＞1 000

C．∃n∈N，2n≤1 000 D．∃n∈N，2n＜1 000

【解析】 由于特称命题的否定是全称命题，因而綈p为∀n∈N，2n≤1 000.

【答案】 A

10．(2012·郑州一中月考)已知命题p：“∃x∈R，x2＋2ax＋a≤0”为假命题，则实数a的取值范围是( )

A．(0，1) B．(0，2)

C．(2，3) D．(2，4)

【解析】 由p是假命题可知，∀x∈R，x2＋2ax＋a＞0恒成立，

故Δ＝4a2－4a＜0，解之得0＜a＜1.

【答案】 A

11.(2012·南京模拟)已知a＞0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )

A．∃x∈R，f(x)≤f(x0) B．∃x∈R，f(x)≥f(x0)

C．∀x∈R，f(x)≤f(x0) D．∀x∈R，f(x)≥f(x0)

【思路点拨】 由2ax0＋b＝0，知f(x)在x＝x0处取得极小值，从而做出判断．

【解析】 由f(x)＝ax2＋bx＋c，知f′(x)＝2ax＋b.

依题意f′(x0)＝0，

又a＞0，所以f(x)在x＝x0处取得极小值．

因此，对∀x∈R，f(x)≥f(x0)，C为假命题．

【答案】 C

12.(2011·中山模拟)设集合M＝{x|0

A.充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C.充要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：由N是M的真子集，则“a∈M”是“a∈N”的必要不充分条件，故选B.

答案：B

13.(2009·天津)命题“对任意x∈R,2x>0”的否定是 ( )

A.不存在x0∉R,2x0>0 B．存在x0∈R,2x0>0

C.存在x0∈R,2x0≤0 D．对任意x∈R,2x≤0

解析：全称命题的否定为特称命题，“对任意x∈R,2x>0”的否定是“存在x0∈R,2x0≤0”．

答案：C

14.(2010·全国新课标)已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数．则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(¬p1)∨p2和q4：p1∧(¬p2)中，真命题是 ( )

A．q1，q3 B．q2，q3

C．q1，q4 D．q2，q4

关键提示：先判断出p1，p2的真假，然后再进行相关的判断．

解析：因为y＝2x为增函数，y＝2－x为减函数，易知p1是真命题，p2是假命题，故q1，q4是真命题．

答案：C

15.[2011·湖南卷。 设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的( )

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分又不必要条件

【解析】 当a＝1时，N＝{1}，此时有N⊆M，则条件具有充分性；当N⊆M时，有a2＝1或a2＝2得到a1＝1，a2＝－1，a3＝2，a4＝－2，故不具有必要性，所以“a＝1”是“N⊆M”的充分不必要条件， 故选A.

16 [2011·天津卷] 设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的( )

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【解析】 当x≥2且y≥2时，一定有x2＋y2≥4；反过来当x2＋y2≥4，不一定有x≥2且y≥2，例如x＝－4，y＝0也可以，故选A.

17.[2011·天津卷] 设集合A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x(x－2)>0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的( )

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

【解析】 ∵A＝{x∈R| x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，

∴A∪B＝{x∈R|x<0或x>2}．又∵C＝{x∈R|x(x－2)>0}＝{x∈R|x<0或x>2}，

∴A∪B＝C，即“x∈A∪B”是“x∈C”的充分必要条件．

错误!未指定书签。8．（2012年高考（辽宁理））已知命题p:x1,x2R,(f(x2)f(x1))(x2x1)≥0,则p是 （ ）

A．x1,x2R,(f(x2)f(x1))(x2x1)≤0

B．x1,x2R,(f(x2)f(x1))(x2x1)≤0

C．x1,x2R,(f(x2)f(x1))(x2x1)<0

D．x1,x2R,(f(x2)f(x1))(x2x1)<0

19．（2012年高考（湖南理））命题“若α=4,则tanα=1”的逆否命题是 （ ）

A．若α≠4,则tanα≠1 B．若α=4,则tanα≠1

C．若tanα≠1,则α≠4 D．若tanα≠1,则α=4

【解析】因为“若p,则q”的逆否命题为“若p,则q”,所以 “若α=4,则tanα=1”的逆否命题是 “若tanα≠1,则α≠4”.