1 人教版高中数学必修一第二章知识点汇总
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
〖2.1〗指数函数
【2.1.1】指数与指数幂的运算
（1）根式的概念
①如果,,,1nxaaRxRn，且nN，那么x叫做a的n次方根．当n是奇数时，a的n次方根用符号na表示；当n是偶数时，正数a的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号na表示；0的n次方根是0；负数a没有n次方根．
①式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．当n为奇数时，a为任意实数；当n为偶数时，0a．
①根式的性质：()nnaa；当n为奇数时，nnaa；当n为偶数时， (0)|| (0) nnaaaaaa．
（2）分数指数幂的概念
①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,mnmnaaamnN且1)n．0的正分数指数幂等于0．
①正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,mmmnnnaamnNaa且1)n．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．
（3）分数指数幂的运算性质
①(0,,)rsrsaaaarsR ①()(0,,)rsrsaaarsR
①()(0,0,)rrrabababrR
【2.1.2】指数函数及其性质
（4）指数函数
2 函数名称 指数函数
定义 函数(0xyaa且1)a叫做指数函数
图象 1a 01a
定义域 R
值域 (0,)
过定点 图象过定点(0,1)，即当0x时，1y．
奇偶性 非奇非偶
单调性 在R上是增函数 在R上是减函数
函数值的
变化情况 1(0)1(0)1(0)xxxaxaxax 1(0)1(0)1(0)xxxaxaxax
a变化对 图象的影响 在第一象限内，a越大图象越高；在第二象限内，a越大图象越低．
单调递增函数和非减函数的关系
1.引言
1.1 概述
本文将讨论单调递增函数和非减函数之间的关系。在数学中，函数是数学对象之间的关系，它描述了一个输入和一个输出之间的对应关系。而单调递增函数和非减函数都描述了函数在定义域上的增长趋势。
具体来说，单调递增函数是指在其定义域上，随着自变量的增大，函数值也随之增大或保持不变的函数。换句话说，如果对于定义域上的任意两个数a和b，只要a
与之相对应，非减函数是指在其定义域上随着自变量的增大，函数值要么不变要么增大的函数。与单调递增函数略有不同的是，非减函数在相等的情况下允许函数值不变。因此，对于定义域上的任意两个数a和b，只要a≤b，就有f(a)≤f(b)。
通过比较单调递增函数和非减函数的定义，我们可以看出它们之间存在一定的关系。事实上，我们可以将非减函数看作是单调递增函数的一种特殊情况，即单调递增函数在相等的情况下允许函数值不变。
在实际应用中，单调递增函数和非减函数都具有重要的意义。它们可以用于描述和分析各种问题，如经济学中的供应函数、需求函数以及货币政策的影响等。通过研究这些函数的性质和相互关系，我们可以更好地理解和解决实际问题，并为决策提供有力的参考依据。
在接下来的部分，我们将详细介绍单调递增函数和非减函数的定义和性质，并总结它们之间的关系。同时，我们还将探讨它们在实际应用中的具体应用和意义。希望通过本文的阐述，读者能够更好地理解单调递增函数和非减函数，并将其应用于实际问题的解决中。
1.2文章结构
1.2 文章结构
本文将以单调递增函数和非减函数为主题，探讨两者之间的关系。为了达到这一目标，本文将分为引言、正文和结论三部分。
在引言部分，我们将首先对本文的主题进行概述，说明单调递增函数和非减函数的基本定义和性质。这将为后续内容的理解打下基础。接着，我们将介绍本文的结构，概述各个部分的主要内容，帮助读者了解整篇文章的布局和思路。最后，我们将明确本文的目的，即为读者提供一个全面深入的了解单调递增函数和非减函数之间关系的材料。
§2.2 函数的单调性与最值
最新考纲
考情考向分析
1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.
2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. 以基本初等函数为载体，考查函数的单调性、单调区间及函数最值的确定与应用；强化对函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的考查，题型既有选择、填空题，又有解答题.
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义 在函数f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A
当x1f(x2)，那么，就称函数f(x)在区间A上是减少的
图像描述
自左向右看图像是上升的
自左向右看图像是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么就称A为单调区间.
2.函数的最值
前提 函数y＝f(x)的定义域为D
条件 (1)存在x0∈D，使得f(x0)＝M；
(2)对于任意x∈D，都有f(x)≤M. (3)存在x0∈D，使得f(x0)＝M；
(4)对于任意x∈D，都有f(x)≥M.
结论 M为最大值 M为最小值 概念方法微思考
1.在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？
提示 对任意x1，x2∈D，fx1－fx2x1－x2>0⇔f(x)在D上是增函数，减函数类似.
2.写出对勾函数y＝x＋ax(a>0)的递增区间.
提示 (－∞，－a]和[a，＋∞).
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)
(2)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的递增区间是[1，＋∞).( × )
(3)函数y＝1x的递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).( × )
(4)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数.
( × )
(5)所有的单调函数都有最值.( × )
题组二 教材改编
20212.2
第二节 函数的单调性与最值
课标要求 考情分析
1。理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．
2．会运用基本初等函数的图象分析函数的性质。 1。主要考查函数单调性的判定、求单调区间、比较大小、解不等式、求最值及不等式恒成立问题．
2．题型以选择题、填空题为主，若与导数交汇命题则以解答题的形式出现,属中高档题.
知识点一 函数的单调性
1．增函数、减函数的定义
定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2:
(1)增函数：当x1〈x2时，都有f(x1)
（2）减函数：当x1〈x2时，都有f（x1）〉f(x2)，那么就说函20212.2
数f(x）在区间D上是减函数．
2．单调性、单调区间的定义
若函数y＝f(x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f（x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x）的单调区间．
注意以下结论
1．对∀x1，x2∈D(x1≠x2)，错误!>0⇔f(x)在D上是增函数，错误!<0⇔f（x)在D上是减函数．
2．对勾函数y＝x＋错误!(a〉0）的增区间为(－∞,－错误!]和［错误!，＋∞）,减区间为[－错误!，0）和(0，错误!]．
3．在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．
4．函数f(g（x))的单调性与函数y＝f（u）和u＝g(x）的单调性的关系是“同增异减”．
知识点二 函数的最值
20212.2
1．思考辨析
判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”）
(1）对于函数f（x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，且x1≠x2有（x1－x2）[f（x1）－f(x2)］〉0,则函数f（x)在区间D上是增函数．( √ )
（2）函数y＝1x的单调递减区间是（－∞,0）∪(0,＋∞)．（ × ）
（3）对于函数y＝f(x）,若f(1）
（4）函数y＝f（x）在［1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1,＋∞）．（ × ）
