2.5.3切线长定理

*2.5.3 切线长定理落红不是无情物，化作春泥更护花。

出自龚自珍的《己亥杂诗·其五》李坑学校李忠华1．理解和掌握切线长定理；(重点)2．初步学会用切线长定理进行计算与证明．(难点)一、情境导入有一天，同学们去王老师家做客，王老师正在洗锅，就问：谁能测出这个锅盖的半径，就可以得到一根雪糕，同学们都跃跃欲试，但老师家里只有一个曲尺，到底谁能得到这根雪糕呢？教师引导学生发现A、B分别为⊙O与PA、PB的切点，连接OB，OA，则四边形OAPB是正方形，所以，圆的半径为A点或B点的刻度，PA＝PB.如果这根尺子的夹角不是90°，是否还能得到PA＝PB?二、合作探究探究点：切线长定理及应用【类型一】利用切线长定理求线段的长如图，从⊙O外一点P引圆的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，如果∠APB＝60°，线段PA＝10，那么弦AB的长是( )A．10 B．12 C．5 3 D．10 3解析：∵PA 、PB 都是⊙O 的切线，∴PA ＝PB .∵∠APB ＝60°，∴△PAB 是等边三角形，∴AB ＝PA ＝10.故选A.方法总结：切线长定理是判断线段相等的主要依据，在圆中经常用到． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题【类型二】 利用切线长定理求三角形的周长如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB于点E 、F ，切点C 在AB ︵上．若PA 长为2，则△PEF 的周长是________．解析：因为PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，所以PA ＝PB .因为⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点为C ，所以EA ＝EC ，CF ＝BF ，所以△PEF 的周长＝E ＋EF ＋PF ＝PE ＋EC ＋CF ＋PF ＝(PE ＋EA )＋(BF ＋PF )＝PA ＋PB ＝2＋2＝4.故答案为4.变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题【类型三】 利用切线长定理求角的大小如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，点C 在⊙O 上，如果∠ACB ＝70°，那么∠OPA 的度数是________度．解析：如图所示，连接OA 、OB .∵PA 、PB 是⊙O 的切，切点分别为A 、B ，∴OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°.又∵∠AOB ＝2∠ACB ＝140°，∴∠APB ＝360°－∠PAO －∠AOB －∠OBP ＝360°－90°－140°－90°＝40°.又易证△POA ≌△POB ，∴∠OPA ＝12∠APB ＝20°.故答案为20. 方法总结：由公共点引出的两条切线，可以运用切线长定理得到等腰三角形．另外根据全等的判定，得到PO 平分∠APB . 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题【类型四】切线长定理的实际应用如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB＝3cm，则此光盘的直径是________cm.析：先画图，根据题意求出∠OAB＝60°，再根据直角三角形的性质和勾股定理求得OB，从而得出光盘的直径．连接OA、OB.∵∠CAD＝60°，∴∠CAB＝120°.∵AB和AC都与⊙O相切，∴∠OAB＝∠OAC，∴∠OAB＝12∠CAB＝60°.∵AB＝3cm，∴O＝6cm，∴由勾股定理得OB＝33cm，∴光盘的直径为63cm.变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题三、板书设计本节课切线长定理的探索以学生动手操作作图的活动为平台，结合学生的自主探索和教师的启发式提问，对所学有关切线性质的基础知识作简单的迁移，师生以一种平等民主的方式进行教与学的活动，在具体情境中发展学生的发散思维及创新能力，激发学习兴趣，使学生真正体验学习的快乐【素材积累】1、人生只有创造才能前进；只有适应才能生存。

2．切线是一条与圆相切的直线，不能度量．( √)
3．切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度
量．( √ )
【小题快练】
1.如图,P为☉O外一点,PA,PB分别切☉O于A,B两点,若PA=5,则PB= ( D )
A.2
B.3
C.4
D.5
2.如图,PA,PB与☉O分别相切于点A,B,PA=2,∠P=60°,则AB= ( B )
· ×
(3)∵AB,BC,CD分别与☉O相切于E,F,G,∴OF⊥BC,∴OF=
= =4.8.


【一题多变】
1.已知正方形ABCD的边长为2,点M是BC的中点,P是线段MC上的一个动点,P不与M
和C重合,以AB为直径作☉O,过点P作☉O的切线交AD于点F,切点为E.求四边形
CDFP的周长.
【解析】见全解全析
2.已知:AB为☉O的直径,∠BAD=∠B=90°,DE与☉O相切于E,☉O的半径为 5,AD=2.
求BC的长.
【解析】见全解全析
【技法点拨】
利用切线长求线段长的一般途径
切线长定理经常用来证明线段相等,通过连接圆心与切点构造直角三角形来求解.
重点2
利用切线长定理求角度
【典例2】如图,PA,PB是☉O的切线,CD切☉O于点E,△PCD的周长为12,∠APB=60°.
P(4,2)是☉O外一点,连接AP,直线PB与☉O相切于点B,交x轴于点C,求BC的长.
【解析】见全解全析
＝90°，即PB⊥OB，所以PB是⊙O的又一条切线，根据轴对称性质，可以得到
PA＝PB，∠APO＝∠BPO.
4．归纳总结：
(1)切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫作

图 2-5-32
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归类探究
类型之一 利用切线长定理进行计算 ︵
如图 2-5-33，PA，PB 是⊙O 的切线，切点分别是 A，B，Q 为AB上一 点，过点 Q 作⊙O 的切线，分别交 PA，PB 于 E，F 两点，连接 OE，OQ，OF. 已知 PA＝12 cm，∠P＝56°.
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5．如图 2-5-42(1)，已知正方形 ABCD 的边长为 2 3，点 M 是 AD 的中点，P 是线段 MD 上的一动点(不与点 M，D 重合)，以 AB 为直径作⊙O，过点 P 作⊙O 的切线交 BC 于点 F，切点为 E.
(1)除正方形 ABCD 的四边和⊙O 中的半径外，图中还有哪些相等的线段(不添 加字母和辅助线)?
(2)求四边形 CDPF 的周长．
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(3)如图 2-5-42(2)，连接 OF，延长 CD，FP 相交于点 G，是否存在点 P，使 BF·FG＝CF·OF？若存在，试求此时 AP 的长；若不存在，请说明理由．
(1)
(2)
图 2-5-42
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当堂测评
1．[2019·杭州]如图 2-5-35，P 为圆 O 外一点，PA，PB 分别切圆 O 于 A，B 两点，若 PA＝3，则 PB＝( B )
A．2 C．4
图 2-5-35 B．3 D．5
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2．如图 2-5-36，PA，PB 切⊙O 于点 A，B，PA＝10，CD 切⊙O 于点 E，交 PA，PB 于 C，D 两点，则△PCD 的周长是( C )

湘教版数学九年级下册《2.5.3切线长定理》教学设计一. 教材分析《2.5.3切线长定理》是湘教版数学九年级下册中的一节内容。

本节课主要介绍切线长定理，并通过实例让学生了解和掌握切线长定理的应用。

教材通过引出圆的切线，让学生探究并证明切线长定理，进一步运用切线长定理解决一些与圆有关的问题。

教材内容由浅入深，逐步引导学生掌握切线长定理，并能在实际问题中应用。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本概念、性质和圆的方程。

他们对圆有一定的认识，但切线长定理是一个新的概念，需要通过实例来引导学生理解和掌握。

学生需要通过观察、思考和操作来探究切线长定理，进一步运用定理解决实际问题。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生了解和掌握切线长定理，能够运用切线长定理解决一些与圆有关的问题。

2.过程与方法：培养学生观察、思考和操作的能力，提高学生解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和创新精神。

四. 教学重难点1.重点：引导学生探究并证明切线长定理，使学生能够运用切线长定理解决实际问题。

2.难点：理解并掌握切线长定理的证明过程，能够灵活运用切线长定理解决一些与圆有关的问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过实例引入切线长定理，激发学生的学习兴趣。

2.探究式教学法：引导学生观察、思考和操作，培养学生自主学习的能力。

3.小组合作学习：学生进行小组讨论和实践，培养学生的团队合作意识。

4.讲解法：教师对切线长定理的概念、证明和应用进行讲解，帮助学生理解和掌握。

六. 教学准备1.教学课件：制作切线长定理的教学课件，包括文字、图片和动画等。

2.实例材料：准备一些与圆有关的具体实例，用于引导学生探究和理解切线长定理。

3.学习工具：准备圆规、直尺等学习工具，方便学生进行观察和操作。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实例引入圆的切线，引导学生关注切线与圆的关系。

通过提问，激发学生的思考，为后续学习切线长定理打下基础。