高一数学 必修一 第二章《一元二次函数、方程和不等式》训练题 (7)-200708(解析版)

第1页，共13页 高一数学 必修一 第二章《一元二次函数、方程和不等式》训练题 (7)

一、选择题（本大题共13小题，共65.0分）

1. 设𝑝:𝑓(𝑥)=𝑥3+2𝑥2+𝑚𝑥+1在(−∞,+∞)内单调递增，𝑞:𝑚>43，则p是q的( )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

2. 若关于x的不等式𝑎𝑥2+𝑏𝑥−1>0的解集是{𝑥|1<𝑥<2}，则不等式𝑏𝑥2+𝑎𝑥−1<0的解集是( )

A. {𝑥|−1<𝑥<23} B. {𝑥|𝑥<−1或𝑥>23}

C. {𝑥|−23<𝑥<1} D. {𝑥|𝑥<−23或𝑥>1}

3. 已知集合𝐴={𝑥|𝑥−1≥0}，𝐵={𝑥|𝑥2−2𝑥−8≥0}，则∁𝑅(𝐴∪𝐵)=( )

A. [−2,1] B. [1,4] C. (−2,1) D. (−∞,4)

4. 已知集合𝐴={𝑥∈𝑍|−𝑥2+𝑥+2>0}，则集合A的真子集个数为( )

A. 3 B. 4 C. 7 D. 8

5. 已知正实数x，y满足𝑥+4𝑦−𝑥𝑦=0，若𝑥+𝑦≥𝑚恒成立，则实数m的取值范围为( )

A. (0,9) B. [0,9] C. (−∞,9) D. (−∞,9]

6. 已知集合𝐴={𝑥|𝑥2−2>𝑥}，𝐵={𝑥|−1<𝑥<3}，则𝐴⋂𝐵=

A. {𝑥|−1<𝑥<2} B. {𝑥|−1<𝑥<1}

C. {𝑥|2<𝑥<3} D. {𝑥|1<𝑥<3}

7. 若方程𝑥2+(𝑚−2)𝑥+5−𝑚=0的两根都大于2，则实数m的取值范围是( )

A. (−∞,−5)∪(−5,−4] B. (−∞,−4]

C. (−∞,−2] D. (−5,−4]

8. 若𝑎<𝑏<0，𝑐∈𝑅，则下列不等式正确的是( )

A. 𝑎2<𝑏2 B. 1𝑎>1𝑏 C. 𝑎𝑐2<𝑏𝑐2 D. 𝑎>−𝑏

9. 已知实数𝑎,𝑏满足52<𝑎<𝑏<3，则下列不等式一定成立的是( )

A. 𝑎3+15𝑏>𝑏3+15𝑎 B. 𝑎3+15𝑏<𝑏3+15𝑎

C. 𝑎3+15𝑏≥𝑏3+15𝑎 D. 𝑎3+15𝑏≤𝑏3+15𝑎

10. 设全集为𝐴={𝑥|1⩽log2 𝑥⩽3}，𝐵={𝑥|𝑥2−3𝑥−4<0}，则𝐴∩𝐵等于( )

A. (−1,2) B. (−1,8] C. [4,8] D. [2,4)

11. 已知𝑎=21.1，𝑏=30.3，𝑐=ln73，则( )

A. 𝑏>𝑎>𝑐 B. 𝑎>𝑏>𝑐 C. 𝑏>𝑐>𝑎 D. 𝑎>𝑐>𝑏

12. 已知函数𝑓(𝑥)=3𝑥+5sin𝑥+2，若正实数a，b满足𝑓(1𝑎)+𝑓(2𝑏−1)=4，则3𝑎𝑎−1+4𝑏𝑏−2的最小值为( )

A. 7 B. 7+2√3 C. 5+4√3 D. 7+4√3

13. 在△𝐴𝐵𝐶中，D、E分别是边AC、AB的中点，若𝐵𝐷⊥𝐶𝐸，则cos𝐴的最小值为( )

A. 45 B. 34 C. 23 D. 12 第2页，共13页 二、填空题（本大题共2小题，共10.0分）

14. 在△ABC中，𝐴=𝜋3，𝑏+𝑐=4，E，F为边BC的三等分点，则AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为_________．

15. 已知正数x，y满足𝑥+2𝑦=4，则1𝑥+1𝑦的最小值______．

三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

16. 已知▵𝐴𝐵𝐶的内角A，B，C满足sin𝐴−sin𝐵+sin𝐶sin𝐶=sin𝐵sin𝐴+sin𝐵−sin𝐶．

(1)求角A．

(2)若𝑎=3.求𝑏+𝑐的取值范围.

17. 在如图所示的平面图形中，∠𝐴𝐷𝐶=2𝜋3，𝐴𝐷=3，sin∠𝐵𝐶𝐷=23，3𝐵𝐷=4𝐵𝐶．

(1)求∠𝐵𝐷𝐶的值;

(2)若𝐵𝐷=√3，∠𝐴𝐸𝐵=𝜋3，求△𝐴𝐵𝐸面积的最大值．

18. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑥+𝑎𝑥,𝑔(𝑥)=𝑒𝑥ln𝑥(𝑒是自然对数的底数)． 第3页，共13页 (1)若曲线𝑦=𝑓(𝑥)在𝑥=1处的切线也是抛物线𝑦2=4(𝑥−1)的切线，求a的值；

(2)若对于任意𝑥∈𝑅,𝑓(𝑥)>0恒成立，试确定实数a的取值范围；

(3)当𝑎=−1时，是否存在𝑥0∈(0,+∞)，使曲线𝐶:𝑦=𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)在点𝑥=𝑥0处的切线斜率与𝑓(𝑥)在R上的最小值相等？若存在，求符合条件的𝑥0的个数；若不存在，请说明理由．

19. 围建一个面积为360 𝑚2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 𝑚的进出口，己知旧墙的维修费用为45元/𝑚，新墙的造价为180元/𝑚，设利用的旧墙的长度为𝑥 𝑚，修建此矩形场地围墙的总费用为y元．

(Ⅰ)将y表示为x的函数：

(Ⅱ)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用°

20. 已知数列{𝑎𝑛}的前n项和为𝑆𝑛，且满足𝑎1=1，𝑎𝑛>0，(𝑎𝑛+1+1)(𝑎𝑛+1−1)=4(𝑆𝑛+𝑛)．

(1)求数列{𝑎𝑛}的通项公式；

(2)设𝑏𝑛=1√𝑆𝑛(𝑎𝑛+𝑎3)(𝑛∈𝐍∗)，𝑇𝑛=𝑏1+𝑏2+⋯+𝑏𝑛是否存在最大的整数m，使得对任意的n均有𝑇𝑛>𝑚2020总成立？若存在，求出m；若不存在，请说明理由．

第4页，共13页 -------- 答案与解析 --------

1.答案：B

解析：【分析】

本题主要考查了充分与必要条件的判断，解题的关键是根据导数知识把函数的单调性与函数的导数联系一起．

对函数求导，由𝑓(𝑥)在(−∞,+∞)内单调递增，可得𝑓′(𝑥)≥0在(−∞,+∞)上恒成立，从而可求m的取值范围，即可判断．

【解答】

解：对函数求导可得，𝑓′(𝑥)=3𝑥2+4𝑥+𝑚，

∵𝑓(𝑥)在(−∞,+∞)内单调递增，

则𝑓′(𝑥)≥0在(−∞,+∞)上恒成立．

即3𝑥2+4𝑥+𝑚≥0恒成立

从而𝛥=16−12𝑚≤0

∴𝑚≥43，

当𝑞：𝑚>43⇒𝑓′(𝑥)>0，

∴𝑓(𝑥)在(−∞,+∞)内单调递增；反之则不成立，

故p是q的必要不充分条件，

故选：B．

2.答案：C

解析：【分析】

考查学生理解一元二次不等式解集求法的能力，会解一元二次不等式的能力，是一道基础题．根据不等式𝑎𝑥2+𝑏𝑥−1>0的解集是{𝑥|1<𝑥<2}，求出a，b的值，从而解不等式𝑏𝑥2+𝑎𝑥−1<0即可．

【解答】

解：因为𝑎𝑥2+𝑏𝑥−1>0的解集是 { 𝑥|1<𝑥<2}，

根据一元二次不等式求解集的方法可得𝑎𝑥2+𝑏𝑥−1=𝑎(𝑥−1)(𝑥−2)且𝑎<0，

解得𝑎=−12，𝑏=32．

则不等式𝑏𝑥2+𝑎𝑥−1<0变为3𝑥2−𝑥−2<0，

解得：−23<𝑥<1，

所以不等式的解集为{𝑥|−23<𝑥<1}，

故选C．

3.答案：C

解析：【分析】

本题考查并集，补集，及其运算，涉及一元二次不等式的解集，属于基础题． 第5页，共13页 由一元二次不等式的解法先化简集合B，先求并集，再取补集，从而得出结果．

【解答】

解：因为集合𝐴={𝑥|𝑥−1≥0}={𝑥|𝑥⩾1}，𝐵={𝑥|𝑥2−2𝑥−8≥0}={𝑥|𝑥⩾4或𝑥⩽−2}，

所以𝐴∪𝐵={𝑥|𝑥⩾1或𝑥⩽−2}，则𝐶𝑅(𝐴∪𝐵)=(−2,1)．

故选C．

4.答案：A

解析：【分析】

本题主要考查集合的真子集个数的判断，属于基础题

先确定集合中元素的个数即可．

【解答】

解：因为集合𝐴={𝑥|𝑥∈𝑍|−𝑥2+𝑥+2>0}

={𝑥∈𝑍|−1<𝑥<2}={0,1}，

所以集合A的真子集的个数为22−1=3，

故选A．

5.答案：D

解析：【分析】

本题主要考查了均值不等式及其应用.属于基础题．

由𝑥+4𝑦−𝑥𝑦=0，得𝑥+4𝑦=𝑥𝑦，等式两边同时除以xy，得4𝑥+1𝑦=1.由均值不等式可得𝑥+𝑦=(𝑥+𝑦)(4𝑥+1𝑦)展开化简，应用均值不等式求最值．

【解答】

解:由𝑥+4𝑦−𝑥𝑦=0，得𝑥+4𝑦=𝑥𝑦，等式两边同时除以xy，得4𝑥+1𝑦=1．

由均值不等式可得𝑥+𝑦=(𝑥+𝑦)(4𝑥+1𝑦)=4𝑦𝑥+𝑥𝑦+5≥2√4𝑦𝑥⋅𝑥𝑦+5=9，

当且仅当4𝑦𝑥=𝑥𝑦，即𝑥=2𝑦=6时，等号成立，

所以𝑥+𝑦的最小值为9.因此𝑚≤9.

故选D．

6.答案：C

解析：【分析】

本题考查了交集的运算，以及一元二次不等式，是基础题．

解不等式得到集合A，再根据交集的定义计算，即可得到答案．

【解答】

解：𝐴={𝑥|𝑥2−2>𝑥}={𝑥|−1<𝑥<2} ，𝐵={𝑥|−1<𝑥<3}而𝐴∩𝐵={𝑥|2<𝑥<3}．