高考冲刺 三角函数的概念图像与性质(提高)

高考冲刺——三角函数概念图象性质一、知识要点1、角的相关概念2、任意角的三角函数定义3、单位圆中的三角函数线4、三角函数是高中数学学习中性质最完整的函数，结合图像掌握三角函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、最大值最小值及其周期性。

5、三角函数的图象具有对称性。

正弦、余弦函数的图象与x 轴的交点都是图象的对称中心，经过图像上的最大及最小值点且与y 轴平行的直线都是图像的对称轴。

正切、余切函数图象与x 轴交点及图像的渐近线与x 轴的交点，都是它们图像的对称中心，不存在对称轴。

6、会由y ＝Asin （ωx ＋φ）（0,0A ω>>）的解析式确定函数的奇偶性、单调区间、周期、最值及获得最值的条件及其与函数y =sin x 的图像变换关系，会由三角函数的图像求其解析式。

二、典型例题：例1．求函数2121cos lg(sin )x y x -=+的定义域：例2．已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．．是 ( )例3．将函数y ＝sin ωx （ω＞0）的图象按向量06,a π⎛⎫=-⎪⎝⎭平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ ）A ．6sin()y x π=+ B ．6sin()y x π=-C ．23sin()y x π=+D ．23sin()y x π=-例4．已知函数()4cos sin()16f x x x π=+-. （1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间[,]64ππ-上的最大值和最小值。

例5．已知函数f (x )=Asin ωx +Bcos ωx （其中A 、B 、ω是实常数，且ω＞0)的最小正周期为2，并当13x =时，f (x )取得最大值2。

（1）求函数 f (x )的表达式；（2）在闭区间212344[,]上是否存在f (x )的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程。

如果不存在，说明理由。

,又因为 f ( x) 2 tan 3x 1
6
18



的图象是由 f ( x) 2 tan 3 x 的图象向上平移1个单
6

位得到的，所以对称中心可以为 ,1 .故选D.


18
考点3：三角函数 y A sin( x ) 的图像及性质
6
12
6

且为单调递减时候零点，∴
5π π
π 2kπ, k Z
12 6
24k
12
, k Z ，由图象知 T 2π 2 5π ，∴
，又∵
(
n
)
12
5
5
0 ，∴ 2
∴ 2
π

∴ f ( x) 2 sin 2 x ，∵函数 f x 的图象可由 y A sin x
[解析] 由 1 tan( x ) 0 ,得
4
2
4
4
4
解得 k


x k , k Z ,故所求函数的定义域为
4
2



k


,
k



,k Z
4
2


,故选C.
考点2：三角函数的性质
1.三角函数的单调性、奇偶性、对称性和周期性
[典型例题]
π

1.函数 y 2sin 2 x 是( )
应用
2.根据图象求解析式或参数
（三）核心知识整合
考点1：三角函数的定义域、值域、最值
1.三角函数的图像

高考数学专项复习11《三角函数的图象与性质》牢记概念公式，避免卡壳1.同角三角函数的基本关系(1)商数关系：sin αcos α＝tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . (2)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1(α∈R ). 2.三角函数的诱导公式诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限.其中，“奇、偶”是指“k ·π2±α(k ∈Z )”中k 的奇偶性；“符号”是把任意角α看作锐角时，原函数值的符号. 3.三角函数的性质(1)y ＝sin x 与y ＝cos x 的值域是[－1，1]，最小正周期T ＝2π. (2)y ＝sin x (x ∈R )是奇函数，y ＝cos x (x ∈R )是偶函数.(3)y ＝tan x 是奇函数，最小正周期T ＝π，定义域是{x |x ∈R ，且x ≠k π＋π2，k ∈Z }. 4.由函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的两种方法活用结论规律，快速抢分1.由sin α±cos α符号判断α位置(1)sin α－cos α>0⇔α终边在直线y ＝x 上方(特殊地，当α在第二象限时有 sin α－cos α>1).(2)sin α＋cos α>0⇔α终边在直线y ＝－x 上方(特殊地，当α在第一象限时有sin α＋cos α>1).2.三角函数的对称中心与对称轴(1)函数y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)(k ∈Z )，对称轴为x ＝k π＋π2(k ∈Z ). (2)函数y ＝cos x 的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0(k ∈Z )，对称轴为x ＝k π(k ∈Z ). (3)函数y ＝tan x 的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z )，没有对称轴.高效微点训练，完美升级1.若角α的终边过点A (2，1)，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝( )A.－255B.－55C.55D.255 解析 由三角函数定义，cos α＝25＝255， 则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝－cos α＝－255.答案 A2.已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( )A.－79B.－29C.29D.79 解析 ∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α， ∴sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝－79.答案 A3.函数y ＝cos 2x －2sin x 的最大值与最小值分别为( ) A.3，－1 B.3，－2 C.2，－1D.2，－2解析 y ＝cos 2x －2sin x ＝1－sin 2x －2sin x ＝－sin 2x －2sin x ＋1，令t ＝sin x ，则t ∈[－1，1]，y ＝－t 2－2t ＋1＝－(t ＋1)2＋2，所以最大值为2，最小值为－2. 答案 D4.若直线y ＝a (a 为常数)与正切曲线y ＝tan x 相交，则相邻两交点间的距离是( ) A.π2 B.2πC.πD.与a 值有关解析 结合函数y ＝tan x 的图象，知相邻两点间的距离是y ＝tan x 的最小正周期.∴d ＝T ＝π. 答案 C5.已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于( ) A.－π6 B.－π3 C.π6D.π3解析 ∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)， ∴－sin θ＝－3cos θ， ∴tan θ＝3，∵|θ|＜π2，∴θ＝π3. 答案 D6.已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) A.23 B.32 C.2D.3 解析 因为ω>0，－π3≤x ≤π4，所以－ωπ3≤ωx ≤ωπ4. 由已知条件知－ωπ3≤－π2，所以ω≥32. 答案 B7.已知曲线C 1：y ＝22sin x cos x ，C 2：y ＝sin 2x ＋cos 2x ，则下面结论正确的是( )A.把曲线C 1向右平移π8个单位长度，得到曲线C 2 B.把曲线C 1向左平移π4个单位长度，得到曲线C 2 C.把曲线C 2向左平移π4个单位长度，得到曲线C 1 D.把曲线C 2向右平移π8个单位长度，得到曲线C 1解析 曲线C 1：y ＝22sin x cos x ＝2sin 2x ，曲线C 2：y ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8，所以把曲线C 2向右平移π8个单位长度，得到曲线C 1(或把曲线C 1向左平移π8个单位长度，得到曲线C 2).故选D. 答案 D8.将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数( )A.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上单调递增B.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，0上单调递减C.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上单调递增D.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上单调递减解析 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π10，将其图象向右平移π10个单位长度，得到函数y ＝sin 2x 的图象.由2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z .令k ＝0，可知函数y ＝sin 2x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上单调递增.答案 A9.已知函数f (x )＝－2cos ωx (ω>0)的图象向左平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2个单位，所得函数的部分图象如图所示，则φ的值为( )A.π6 B.5π6 C.π12D.5π12解析 由题图知，T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－5π12＝π，∴ω＝2πT ＝2，∴f (x )＝－2cos 2x ， ∴f (x ＋φ)＝－2cos(2x ＋2φ)，则由图象知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫512π＋φ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋2φ＝2.∴5π6＋2φ＝2k π＋π(k ∈Z )，则φ＝π12＋k π(k ∈Z ). 又0<φ<π2，所以φ＝π12. 答案 C10.(多选题)若⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0是函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx 图象的一个对称中心，则ω可能的取值为( ) A.－2 B.2 C.6D.14 解析 因为f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，由题意，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ8＋π4＝0，所以ωπ8＋π4＝k π(k ∈Z )，即ω＝8k －2(k ∈Z )，分别令k ＝0，1，2，可选A ，C ，D 项. 答案 ACD11.已知x ＝π12是函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)(0<φ<π)图象的一条对称轴，将函数f (x )的图象向右平移3π4个单位长度后得到函数g (x )的图象，则函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最小值为________. 解析 ∵x ＝π12是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋φ图象的一条对称轴，∴π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝k π＋π6(k ∈Z ).∵0<φ<π，∴φ＝π6，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴g (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－1.答案 －112.若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)在区间(π，2π)内没有最值，则ω的取值范围是________.解析 因为ω>0，π<x <2π，所以ωπ＋π6<ωx ＋π6<2ωπ＋π6，又函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6在区间(π，2π)内没有最值，所以函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6在区间(π，2π)上单调，所以2ωπ＋π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ＋π6＝ωπ<π，0<ω<1，则π6<ωπ＋π6<7π6.当π6<ωπ＋π6<π2时，则2ωπ＋π6≤π2，所以0<ω≤16； 当π2≤ωπ＋π6<7π6时，则2ωπ＋π6≤3π2，所以13≤ω≤23. 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，16∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2313.已知函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为32，求m 的最小值.解 (1)f (x )＝12－12cos 2x ＋32sin 2x＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12.所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12.由题意知－π3≤x ≤m ， 所以－5π6≤2x －π6≤2m －π6.要使得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为32，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为1.所以2m －π6≥π2，即m ≥π3. 故实数m 的最小值为π3.14.已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻最高点的距离为π. (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π12个单位后，得到y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间.解 (1)因为f (x )的图象上相邻最高点的距离为π， 所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT ＝2. 又f (x )的图象关于直线x ＝π3对称， 所以2×π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )， φ＝－π6＋k π(k ∈Z )，因为－π2≤φ＜π2，所以k ＝0，所以φ＝－π6，所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4－π6＝3sin π3＝32.(2)将f (x )的图象向右平移π12个单位后，得到 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12的图象， 所以g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π12－π6 ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )，即k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12(k ∈Z )时，g (x )单调递减. 因此g (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z ).。

专题2 三角函数的图像和性质1.三角函数y ＝A sin (ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象变换，周期及单调性是高考热点．2.备考时应掌握y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象与性质，并熟练掌握函数y ＝A sin (ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的值域、单调性、周期性等．1．任意角和弧度制(1)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }．(2)把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． (3) 扇形弧长公式：l ＝|α|r ，扇形的面积公式：S ＝12lr ＝12|α|r 2.2．任意角的三角函数(1)设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)．(2)各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 3．诱导公式4.同角三角函数基本关系式: sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α(cos α≠0)．5．正弦、余弦、正切函数的性质6.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象 (1)“五点法”作图设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0、π2、π、3π2、2π，求出x 的值与相应的y 的值，描点连线可得．考点一 三角函数图象及其变换例1、 (2016·高考全国甲卷)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3【答案】：A【解析】：根据图象上点的坐标及函数最值点，确定A ，ω与φ的值．由图象知T 2＝π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π2，故T ＝π，因此ω＝2ππ＝2.又图象的一个最高点坐标为⎝⎛⎭⎫π3，2，所以A ＝2，且2×π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，故φ＝2k π－π6(k ∈Z )，结合选项可知y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.【变式探究】 (1)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )【答案】：DA.⎝⎛⎭⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝⎛⎭⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z(2)要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( )A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位【答案】：B【解析】：基本法：根据三角函数图象的变换关系求解．由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3＝sin 4⎝⎛⎭⎫x －π12得，只需将y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位即可，故选B.考点二 三角函数性质及应用(1)函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________． 【答案】：1【解析】：基本法：利用三角恒等变换将原式化简成只含一种三角函数的形式． ∵f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ＋cos(x ＋φ)sin φ－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φ ＝sin(x ＋φ)－φ]＝sin x ， ∴f (x )的最大值为1.(2)设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，3π4单调递减C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，3π4单调递增【答案】：A【变式探究】(2016·高考全国甲卷)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝⎛⎭⎫π2－x 的最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】：B 【解析】：f (x )＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －322＋112，因为sin x ∈－1,1]，所以当sin x ＝1时，f (x )取得最大值，且f (x )max ＝5.1函数()cos(2)6f x x π=-的最小正周期是（ ）.2A π.B π .2C π .4D π 2．若函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π6，0，则ω的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．83．若函数f (x )＝sin ax ＋3cos ax (a >0)的最小正周期为2，则函数f (x )的一个零点为( ) A ．－π3B.23C.⎝⎛⎭⎫23，0 D ．(0，0)4．把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6图象上各点的横坐标缩小到原来的12(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为( )A ．x ＝－π2B ． x ＝－π4C ．x ＝π8D ．x ＝π45.【2016年高考四川文数】为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点( )（A ）向左平行移动π3个单位长度 （B ）向右平行移动π3个单位长度 （C ）向左平行移动π6个单位长度 （D ）向右平行移动π6个单位长度6.【2016高考新课标2文数】若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）（A ）()26k x k Z ππ=-∈ （B ）()26k x k Z ππ=+∈ （C ）()212k x k Z ππ=-∈ （D ）()212k x k Z ππ=+∈ 7.【2016年高考北京文数】将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π向左平移s （0s >） 个单位长度得到点'P ，若'P 位于函数sin 2y x =的图象上，则（ ）A.12t =，s 的最小值为6π B.t = ，s 的最小值为6πC.12t =，s 的最小值为3π D.t =，s 的最小值为3π8.【2016高考新课标3文数】函数sin y x x =的图像可由函数sin y x x =的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．9.【2016高考浙江文数】设函数2()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期（ ） A ．与b 有关，且与c 有关 B ．与b 有关，但与c 无关 C ．与b 无关，且与c 无关 D ．与b 无关，但与c 有关10.【2016高考山东文数】函数f （x ）=x +cos x ）x –sin x ）的最小正周期是（ ）（A ）2π（B ）π（C ）23π（D ）2π 11.【2016年高考四川文数】为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点( )（A ）向左平行移动π3个单位长度 （B ）向右平行移动π3个单位长度 （C ）向左平行移动π6个单位长度 （D ）向右平行移动π6个单位长度12若将函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称， 则ϕ的最小正值是________.1、设()2sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭,求ABC ∆面积的最大值.2、已知函数()22sin sin 6f x x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭，R x ∈(I)求()f x 最小正周期；(II)求()f x 在区间[,]34p p-上的最大值和最小值.3．已知函数f (x )＝2sin x 2cos x 2－2sin 2x2.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间－π，0]上的最小值．4、已知函数()2sin sin 2f x x x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，（1）求()f x 的最小正周期和最大值；（2）讨论()f x 在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性.。