【师说 高中全程复习构想】(新课标)高考数学 10.5 随机事件的概率练习

第88讲随机事件、频率与概率知识梳理知识点1、随机试验我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E 表示．我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验：（1）试验可以在相同条件下重复进行；（2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．知识点2、样本空间我们把随机试验E 的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E 的样本空间，一般地，用．Ω．表示样本空间，用ω表示样本点，如果一个随机试验有n 个可能结果1ω，2ω，…，n ω，则称样本空间}{12,,,n ωωωΩ= 为有限样本空间．知识点3、随机事件、确定事件（1）一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示，为了叙述方便，我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．当且仅当A 中某个样本点出现时，称为事件A 发生．（2）Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件．（3）空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为∅为不可能事件．（4）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对随机事件的确定事件．知识点4、事件的关系与运算①包含关系：一般地，对于事件A 和事件B ，如果事件A 发生，则事件B 一定发生，这时称事件B 包含事件A （或者称事件A 包含于事件B ），记作B A ⊇或者A B ⊆．与两个集合的包含关系类比，可用下图表示：不可能事件记作∅，任何事件都包含不可能事件．②相等关系：一般地，若B A ⊇且A B ⊇，称事件A 与事件B 相等．与两个集合的并集类比，可用下图表示：③并事件（和事件）：若某事件发生当且仅当事件A 发生或事件B 发生，则称此事件为事件A 与事件B 的并事件（或和事件），记作A B （或A B +）．与两个集合的并集类比，可用下图表示：④交事件（积事件）：若某事件发生当且仅当事件A 发生且事件B 发生，则称此事件为事件A 与事件B 的交事件（或积事件），记作A B （或AB ）．与两个集合的交集类比，可用下图表示：知识点5、互斥事件与对立事件（1）互斥事件：在一次试验中，事件A 和事件B 不能同时发生，即=A B ∅ ，则称事件A 与事件B 互斥，可用下图表示：如果1A ，2A ，…，n A 中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件1A ，．2A ．，…，nA 彼此互斥．（2）对立事件：若事件A 和事件B 在任何一次实验中有且只有一个发生，即A B =Ω 不发生，A B =∅ 则称事件A 和事件B 互为对立事件，事件A 的对立事件记为A ．（3）互斥事件与对立事件的关系①互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生．②对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分不必要条件．知识点6、概率与频率（1）频率：在n 次重复试验中，事件A 发生的次数k 称为事件A 发生的频数，频数k 与总次数n 的比值kn，叫做事件A 发生的频率．（2）概率：在大量重复尽心同一试验时，事件A 发生的频率kn总是接近于某个常数，并且在它附近摆动，这时，就把这个常数叫做事件A 的概率，记作()P A ．（3）概率与频率的关系：对于给定的随机事件A ，由于事件A 发生的频率kn随着试验次数的增加稳定于概率()P A ，因此可以用频率kn来估计概率()P A ．必考题型全归纳题型一：随机事件与样本空间例1．（2024·全国·高三专题练习）已知集合A 是集合B 的真子集，则下列关于非空集合A ，B 的四个命题：①若任取x A ∈，则x B ∈是必然事件；②若任取x A ∉，则x B ∈是不可能事件；③若任取x B ∈，则x A ∈是随机事件；④若任取x B ∉，则x A ∉是必然事件．其中正确的命题有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】因为集合A 是集合B 的真子集，所以集合A 中的元素都在集合B 中，集合B 中存在元素不是集合A 中的元素，作出其韦恩图如图：对于①：集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，任取x A ∈，则x B ∈是必然事件，故①正确；对于②：任取x A ∉，则x B ∈是随机事件，故②不正确；对于③：因为集合A 是集合B 的真子集，集合B 中存在元素不是集合A 中的元素，集合B 中也存在集合A 中的元素，所以任取x B ∈，则x A ∈是随机事件，故③正确；对于④：因为集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，任取x B ∉，则x A ∉是必然事件，故④正确；所以①③④正确，正确的命题有3个．例2．（2024·全国·高三专题练习）以下事件是随机事件的是（）A ．标准大气压下，水加热到100C ︒，必会沸腾B ．走到十字路口，遇到红灯C ．长和宽分别为,a b 的矩形，其面积为abD ．实系数一元一次方程必有一实根【答案】B【解析】A ．标准大气压下，水加热到100℃必会沸腾，是必然事件；故本选项不符合题意；B ．走到十字路口，遇到红灯，是随机事件；故本选项符合题意；C ．长和宽分别为,a b 的矩形，其面积为ab 是必然事件；故本选项不符合题意；D ．实系数一元一次方程必有一实根，是必然事件．故本选项不符合题意．故选：B ．例3．（2024·全国·高三专题练习）袋中装有形状与质地相同的4个球，其中黑色球2个，记为12B B 、，白色球2个，记为12W W 、，从袋中任意取2个球，请写出该随机试验一个不等可能的样本空间：Ω=.【答案】121121{},,B B B W B W （答案不唯一）【解析】从袋中任取2个球，共有如下情况121112212212,,,,,B B B W B W B W B W W W .其中一个不等可能的样本空间为121121Ω},,{B B B W B W =，此样本空间中两个黑球的情况有1个，一黑一白的情况有2个，是不等可能的样本空间.故答案为：121121Ω},,{B B B W B W =.(答案不唯一)变式1．（2024·全国·高一专题练习）将一枚硬币抛三次，观察其正面朝上的次数，该试验样本空间为.【答案】{}0,1,2,3【解析】因为将一枚硬币抛三次，其正面朝上的次数可能为0,1,2,3，所以该试验样本空间为{}0,1,2,3.故答案为：{}0,1,2,3.变式2．（2024·高一课时练习）设样本空间Ω＝{1，2，3}，则Ω的不同事件的总数是.【答案】8【解析】集合{1，2，3}的子集个数为328=，所以Ω的不同事件的总数是8，变式3．（2024·全国·高一专题练习）从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数，其样本空间为．【答案】{}0,1,2,3,4【解析】由分析可知取出的4件产品的次品个数为0，1，2，3，4，所以样本空间为{}0,1,2,3,4，故答案为：{}0,1,2,3,4.【解题方法总结】确定样本空间的方法（1）必须明确事件发生的条件．（2）根据题意，按一定的次序列出问题的答案．特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏．题型二：随机事件的关系与运算例4．（2024·全国·高三专题练习）端午节是我国传统节日，记事件A =“甲端午节来宝鸡旅游”，记事件B =“乙端午节来宝鸡旅游”，且1()3P A =，3()4P B =，假定两人的行动相互之间没有影响，则()P A B = （）A ．56B ．712C ．34D ．14【答案】A【解析】依题意1()3P A =，3()4P B =且A 、B 相互独立，所以()()()13135()34346P A B P A P B P AB =+-=+-⨯= .故选：A.例5．（2024·全国·高三专题练习）已知事件A 与事件B 互斥，记事件B 为事件B 对立事件.若()0.6P A =，()0.2P B =，则()P A B +=（）A ．0.6B ．0.8C ．0.2D ．0.48【答案】B【解析】因为事件A 与事件B 互斥，所以A B ⊆，所以()(1()0.8P A B P B P B +==-=.故选：B例6．（2024·全国·高三专题练习）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A 表示随机事件“两枚炮弹都击中飞机”，事件B 表示随机事件“两枚炮弹都未击中飞机”，事件C 表示随机事件“恰有一枚炮弹击中飞机”，事件D 表示随机事件“至少有一枚炮弹击中飞机”，则下列关系不正确的是（）A ．A D ⊆B ．B D =∅C ．A CD ⋃=D ．A B B D⋃=⋃【答案】D【解析】“至少有一枚炮弹击中飞机”包含两种情况:一种是恰有一枚炮弹击中飞机，另一种是两枚炮弹都击中飞机.所以A D ⊆，B D =∅ ，“恰有一枚炮弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没击中或第一枚没击中第二枚击中，所以A C D ⋃=，又B D 包含该试验的所有样本点，为必然事件，而事件A B ⋃表示“两个炮弹都击中飞机或者都没击中飞机”，所以A B B D ⋃≠⋃.故选：D变式4．（2024·全国·高三专题练习）某家族有,X Y 两种遗传性状，该家族某成员出现X 性状的概率为415，出现Y 性状的概率为215，,X Y 两种性状都不出现的概率为710，则该成员,X Y 两种性状都出现的概率为（）A ．115B ．110C ．215D ．415【答案】B【解析】设该家族某成员出现X 性状为事件A ，出现Y 性状为事件B ，则,X Y 两种性状都不出现为事件A B ⋂，两种性状都出现为事件A B ⋂，所以，()()42,1515P B P A ==，()710P A B = ，所以，()()3110P A B P A B =-=，又因为()()()()P A B P A P B P A B =+- ，所以，()()()()110P A B P A P B P A B =+-= ，故选：B变式5．（2024·上海长宁·统考一模）掷两颗骰子，观察掷得的点数；设事件A 为：至少一个点数是奇数；事件B 为：点数之和是偶数；事件A 的概率为()P A ，事件B 的概率为()P B ；则()1P A B -⋂是下列哪个事件的概率（）A ．两个点数都是偶数B ．至多有一个点数是偶数C ．两个点数都是奇数D ．至多有一个点数是奇数【答案】D【解析】由题意，事件A B ⋂为：两个点数都为奇数，由概率()1P A B -⋂指的是事件A B ⋂的对立事件的概率，则事件A B ⋂的对立事件为：至少有一个点数为偶数，或者至多有一个点数为奇数.故选：D.变式6．（2024·全国·高三专题练习）如图，甲、乙两个元件串联构成一段电路，设M =“甲元件故障”，N =“乙元件故障”，则表示该段电路没有故障的事件为（）A ．M N ⋃B ．M N⋃C ．M N ⋂D ．M N【答案】C【解析】因甲、乙两个元件串联，线路没有故障，即甲、乙都没有故障.即事件M 和N 同时发生，即事件M N ⋂发生.故选：C.变式7．（2024·全国·高三专题练习）已知()0.3P A =，()0.1P B =，若B A ⊆，则()P AB =（）A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.4【答案】A【解析】由于B A ⊆，所以()()0.1P AB P B ==.故选：A【解题方法总结】事件的关系运算策略（1）互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生．（2）进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析．也可类比集合的关系和运用Venn图分析事件．题型三：频率与概率例7．（2024·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）在一个口袋中放有m个白球和n 个红球，这些球除颜色外都相同，某班50名学生分别从口袋中每次摸一个球，记录颜色后放回，每人连续摸10次，其中摸到白球的次数共152次，以频率估计概率，若从口袋中随机摸1个球，则摸到红球概率的估计值为．（小数点后保留一位小数）【答案】0.7【解析】由题意可知：一共摸500次，其中摸到白球的次数共152次，摸到红球的次数共348次，所以摸到红球概率的估计值为3480.7 500».故答案为：0.7例8．（2024·全国·高三对口高考）下列说法：①设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件次品；②做100次抛硬币的试验，有51次出现正面.因此出现正面的概率是0.51；③随机事件A的概率是频率的稳定值；④随机事件A的概率趋近于0，即()P A趋近于0，则A是不可能事件；⑤抛掷骰子100次，得点数是1的结果是18次，则出现1点的频率是950；⑥随机事件的频率就是这个事件发生的概率；其中正确的有.【答案】③⑤【解析】概率指的是无穷次试验中，出现的某种事件的频率总在一个固定的值的附近波动，这个固定的值就是概率.①通过概率定义可以分析出，出现的事件是在一个固定值波动，并不是一个确定的值，则本题中从该批产品中任取200件，应该是10件次品左右，不一定出现10件次品，错误；②100次抛硬币的试验并不是无穷多次试验，出现的频率也不是概率，事实上硬币只有两个面，每个面出现的概率是相等的，所以因此出现正面的概率是0.5，错误；③随机事件的概率是通过多次试验，算出频率后来估计它的概率的，当试验的次数多了，这个频率就越来越接近概率，所以随机事件A的概率是频率的稳定值，正确；④随机事件A的概率趋近于0，说明事件A发生的可能性很小，但并不表示不会发生，错误；⑤抛掷骰子100次，得点数是1的结果是18次，则出现1点的频率是18910050=，正确；⑥根据概率的定义，随机事件的频率只是这个事件发生的概率的近似值，它并不等于概率，错误；综上，正确的说法有③⑤.故答案为：③⑤例9．（2024·全国·模拟预测）在对于一些敏感性问题调查时，被调查者往往不愿意给正确答复，因此需要特别的调查方法．调查人员设计了一个随机化装置，在其中装有形状、大小、质地完全相同的50个黑球和50个白球，每个被调查者随机从该装置中抽取一个球，若摸到黑球则需要如实回答问题一：你公历生日是奇数吗？若摸到白球则如实回答问题二：你是否在考试中做过弊．若100人中有52人回答了“是”，48人回答了“否”．则问题二“考试是否做过弊”回答“是”的百分比为（以100人的频率估计概率）．【答案】54%/0.54【解析】由题意可知，每名调查者从袋子中抽到1个白球或黑球的概率均为0.5，所以，100人中回答第一个问题的人数为1000.550⨯=，则另外50人回答了第二个问题，在摸到黑球的前提下，回答“是”的概率为12，即摸到黑球且回答“是”的人数为150252⨯=，则摸到白球且回答“是”的人数为522527-=，所以，问题二“考试是否做过弊”且回答“是”的百分比为270.5454% 50==.故答案为：54%.变式8．（2024·全国·高三对口高考）已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1、2、3、4表示命中，5、6、7、8、9、0表示不命中，再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：907966191925271932812458569683 431257393027556488730113537989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为.【答案】0.25/1 4【解析】20组随机数中表示三次投篮恰好有两次命中的是191、271、932、812、393，其频率为50.2520=，以此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为0.25.故答案为：0.25变式9．（2024·全国·高三专题练习）一家药物公司试验一种新药，在500个病人中试验，其中307人有明显疗效，120人有疗效但疗效一般，剩余的人无疗效，则没有明显疗效的频率是．【答案】0.386/193 500【解析】由题意可得没有明显疗效的人数为500307193-=，所以没有明显疗效的频率为1930.386 500=，故答案为：0.386变式10．（2024·全国·高三专题练习）若随机事件A在n次试验中发生了m次，则当试验次数n很大时，可以用事件A发生的频率mn来估计事件A的概率，即()≈P A．【答案】m n【解析】在相同的条件下，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会在随机事件A发生的概率()P A附近摆动并趋于稳定，这个性质成为频率的稳定性.因此，可以用事件A发生的频率mn来估计事件A的概率，即()≈P A mn.故答案为：m n变式11．（2024·全国·高三专题练习）已知小张每次射击命中十环的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计小张三次射击恰有两次命中十环的概率，先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定2，4，6，8表示命中十环，0，1，3，5，7，9表示未命中十环，再以每三个随机数为一组，代表三次射击的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：321 421 292 925 274 632 800 478 598 663 531 297 396 021 506318 230 113 507 965据此估计，小张三次射击恰有两次命中十环的概率约为.【答案】0.3【解析】由题意，随机数组421，292，274，632，478，663共6个，表示恰有两次命中十环，所以概率为60.320P==．故答案为：0.3．变式12．（2024·广东广州·高三铁一中学校考阶段练习）长时间玩手机可能影响视力．据调查，某校学生大约有40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为50%．现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率约为．【答案】0.375【解析】设该学校人数为x ，依题意得，近视的人数为0.4x ，玩手机超过1小时的人有0.2x ，近视人数为0.1x ，于是玩手机小于1小时但又近视的人数为(0.40.1)0.3x x -=，玩手机小于1小时的总人数为(10.2)0.8x x -=，这类人的近视率约为0.30.3750.8xx=.故答案为：0.375变式13．（2024·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）袋中有10个球，其中有m 个红球，n 个蓝球，有放回地随机抽取1000次，其中有597次取到红球，403次取到蓝球，则其中红球最有可能有个．【答案】6【解析】5976100010mm =⇒≈.所以红球最有可能有6个.故答案为：6【解题方法总结】（1）概率与频率的关系（2）随机事件概率的求法题型四：生活中的概率例10．（2024·全国·高三专题练习）某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能预约一次，预约后通过摇号的方式决定能否成功购买到该商品.规则如下：（ⅰ）摇号的初始中签率为0.19；（ⅱ）当中签率不超过1时，可借助“好友助力”活动增加中签率，每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加0.05.为了使中签率超过0.9，则至少需要邀请位好友参与到“好友助力”活动.【答案】15【解析】因为摇号的初始中签率为0.19，所以要使中签率超过0.9，需要增加中签率0.90.190.71-=，因为每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加0.05，所以至少需要邀请0.7114.20.05=，所以至少需要邀请15位好友参与到“好友助力”活动.故答案为：15例11．（2024·江西吉安·江西省泰和中学校考一模）设有外形完全相同的两个箱子，甲箱中有99个白球，1个黑球，乙箱中有1个白球，99个黑球.随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球，我们可以认为这球是从箱中取出的.【答案】甲.【解析】分别求出甲箱中取到白球的概率和乙箱中取到白球的概率，由此进行判断． 甲箱有99个白球1个黑球，∴随机地取出一球，得白球的可能性是99 100，乙箱中有1个白球和99个黑球，从中任取一球，得白球的可能性是1 100，由此看到，这一白球从甲箱中抽出的概率比从乙箱中抽出的概率大得多．既然在一次抽样中抽得白球，当然可以认为是由概率大的箱子中抽出的．∴我们作出推断是从甲箱中抽出的．故答案为：甲例12．（2024·全国·高三专题练习）有以下说法:①一年按365天计算,两名学生的生日相同的概率是1365;②买彩票中奖的概率为0.001,那么买1000张彩票就一定能中奖;③乒乓球赛前,决定谁先发球,抽签方法是从1~10共10个数字中各抽取1个,再比较大小,这种抽签方法是公平的;④昨天没有下雨,则说明“昨天气象局的天气预报降水概率是90%”是错误的.根据我们所学的概率知识,其中说法正确的序号是.【答案】①③【解析】根据“概率的意义”求解,买彩票中奖的概率0.001,并不意味着买1000张彩票一定能中奖,只有当买彩票的数量非常大时,我们可以看成大量买彩票的重复试验,中奖的次数为n;1 000昨天气象局的天气预报降水概率是90%,是指可能性非常大,并不一定会下雨.说法②④是错误的，而利用概率知识可知①③是正确的.故答案为①③．【解题方法总结】概率和频率的关系：概率可看成频率在理论上的稳定值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率．题型五：互斥事件与对立事件例13．（2024·四川眉山·仁寿一中校考模拟预测）袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个白球；都是白球B．至少有一个白球；至少有一个红球C．至少有一个白球；红､黑球各一个D．恰有一个白球；一个白球一个黑球【答案】C【解析】对于A，至少有一个白球和都是白球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，A不是；对于B，至少有一个白球和至少有一个红球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，B不是；对于C，至少有一个白球和红、黑球各一个的两个事件不能同时发生但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，C是；对于D，恰有一个白球和一个白球一个黑球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，D不是.故选：C例14．（2024·全国·高三专题练习）从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）A．至少有一个黑球与都是黑球B．至少有一个黑球与至少有一个红球C．恰有一个黑球与恰有两个黑球D．至少有一个黑球与都是红球【答案】C【解析】对于A：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：两个都是黑球，∴这两个事件不是互斥事件，A ∴不正确；对于B ：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，B ∴不正确；对于C ：事件：“恰好有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是红球，∴两个事件是互斥事件但不是对立事件，C ∴正确；对于D ：事件：“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，∴这两个事件是对立事件，D ∴不正确；故选：C .例15．（2024·四川宜宾·统考三模）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示“骰子向上的点数为奇数”，事件2表示“骰子向上的点数为偶数”，事件3表示“骰子向上的点数大于3”，事件4表示“骰子向上的点数小于3”则（）A ．事件1与事件3互斥B ．事件1与事件2互为对立事件C ．事件2与事件3互斥D ．事件3与事件4互为对立事件【答案】B【解析】由题可知，事件1可表示为：{}13,5A =,,事件2可表示为：{}2,4,6B =,事件3可表示为：{}4,5,6C =,事件4可表示为：{}1,2D =,因为{}5A C = ，所以事件1与事件3不互斥，A 错误；因为A B ⋂为不可能事件，A B ⋃为必然事件，所以事件1与事件2互为对立事件，B 正确；因为{}4,6B C = ，所以事件2与事件3不互斥，C 错误；因为C D ⋂为不可能事件，C D ⋃不为必然事件，所以事件3与事件4不互为对立事件，D 错误；故选：B.变式14．（2024·广西柳州·柳州高级中学校联考模拟预测）从数学必修一、二和政治必修一、二共四本书中任取两本书，那么互斥而不对立的两个事件是（）A ．至少有一本政治与都是数学B ．至少有一本政治与都是政治C ．至少有一本政治与至少有一本数学D ．恰有1本政治与恰有2本政治【答案】D【解析】从装有2本数学和2本政治的四本书内任取2本书，可能的结果有：“两本政治”，“两本数学”，“一本数学一本政治”，“至少有一本政治”包含事件：“两本政治”，“一本数学一本政治”.对于A，事件“至少有一本政治”与事件“都是数学”是对立事件，故A错误；对于B，事件“至少有一本政治”包含事件“都是政治”，两个事件是包含关系，不是互斥事件，故B错误；对于C，事件“至少有一本数学”包含事件：“两本数学”，“一本数学一本政治”，因此两个事件都包含事件“一本数学一本政治”，不是互斥事件，故C错误；对于D，“恰有1本政治”表示事件“一本数学一本政治”，与事件“恰有2本政治”是互斥事件，但是不对立，故D正确.故选:D.，，个，从中任取2个，则互斥而不变式15．（2024·全国·高二）袋内分别有红､白､黑球321对立的两个事件是（）A．至少有一个白球；都是白球B．至少有一个白球；至少有一个红球C．恰有一个白球；一个白球一个黑球D．至少有一个白球；红､黑球各一个【答案】D【解析】对于A，“至少有一个白球”说明有白球，白球的个数可能为1或2，而“都是白球”说明两个全是白球，这两个事件可以同时发生，故A中事件不是互斥的；对于B，当两球一个白球一个红球时，“至少有一个白球”与“至少有一个红球”均发生，故不互斥；对于C，“恰有一个白球”，表示黑球个数为0或1，即可能是一个白球和一个黑球，这与“一个白球一个黑球”不互斥；对于D，“至少一个白球”发生时，“红､黑球各一个”不会发生，故二者互斥，从袋中任取2个也可能是两个红球，即二者可能都不发生，故二者不对立，故选：D变式16．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）从1，2，3，L，9中任取三个不同的数，则在下述事件中，是互斥但不是对立事件的有（）A．“三个都为偶数”和“三个都为奇数”B．“至少有一个奇数”和“至多有一个奇数”C．“至少有一个奇数”和“三个都为偶数”D．“一个偶数两个奇数”和“两个偶数一个奇。

习题课——随机事件的概率课后训练巩固提升1.下列现象中,随机现象的个数为()①在学校运动会上,学生张涛获得100 m短跑冠军;②在体育课上,体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材,抽到李凯;③从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张,恰为1号签;④任意掷一枚骰子朝上的点数小于7.A.1B.2C.3D.4中,在学校运动会上,学生张涛获得100m短跑冠军,是随机现象;②中,在体育课上,体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材,抽到李凯,是随机现象;③中,从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张,恰为1号签,是随机现象;④中,任意掷一枚骰子朝上的点数小于7,是必然现象.故选C.2.从含有3个元素的集合的所有子集中任取一个,所取的子集是含有2个元素的集合的概率是()A.310B.112C.4564D.383个元素为a,b,c.所有子集共8个,⌀,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c},含有2个元素的子集共3个,故所求概率为38.3.某城市2019年的空气质量状况如表所示.其中污染指数T≤50时,空气质量为优;50<T≤100时,空气质量为良;100<T≤150时,空气质量为轻微污染.该城市2019年空气质量达到良或优的概率为()A3 5B.1180C.119D.59所求概率为110+16+13=35.4.小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是M,I,N中的一个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是()A.815B.18C.115D.130,所输入密码的所有可能结果为:M1,M2,M3,M4,M5,I1,I2,I3,I4,I5,N1,N2,N3,N4,N5共15种情况,而正确的情况只有其中一种,所以输入一次密码能够成功开机的概率是115.5.同时抛掷两枚骰子,既不出现5点也不出现6点的概率为49,则5点或6点至少出现一个的概率是.A=“既不出现5点也不出现6点”,则P(A)=49,事件B=“5点或6点至少出现一个”.因A∩B=⌀,A∪B为必然事件,故A与B互为对立事件,则P(B)=1-P(A)=1-49=59.6.从字母a,b,c,d,e中任取两个不同字母,则取到字母a的概率为.Ω={(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e)},共有10个样本点,含a的有4个,故概率为410=25.7.一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物,假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径,则它能获得食物的概率为.6处,有2处能找到食物,所以获得食物的概率为26=13.8.现从A,B,C,D,E五人中任选三人参加一个重要会议.五人被选中的机会相等,求:(1)A被选中的概率;(2)A和B同时被选中的概率;(3)A或B被选中的概率.A,B,C,D,E五人中任选三人参加会议,对应的样本空间Ω={(A,B,C),(A,B,D),(A,B,E),(A,C,D),(A,C,E),(A,D,E),(B,C,D),(B,C,E),(B,D,E),(C,D,E)},且每种结果出现是等可能的.(1)事件“A被选中”共包含6个样本点,故所求事件的概率为P1=610=0.6.(2)“A,B同时被选中”共包含3个样本点,故所求事件的概率为P2=310=0.3.(3)(方法一)“A或B被选中”的对立事件为“A和B均未被选中”,故所求事件的概率为P3=1-110=910=0.9.(方法二)“A或B被选中”即A,B两人至少有一个被选中,共包含9个样本点.故所求事件的概率为P3=910=0.9.9.现有6道题,其中4道甲类题,2道乙类题,张同学从中任取2道题解答.求:(1)所取的2道题都是甲类题的概率;(2)所取的2道题不是同一类题的概率.将4道甲类题依次编号为1,2,3,4,2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题的样本空间为{(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)},共有15个样本点;并且这些样本点的出现是等可能的,记事件A=“张同学所取的2道题都是甲类题”,则A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},共有6个样本点,所以P(A)=615=25.(2)(方法一)样本空间同(1).记事件B=“张同学所取的2道题不是同一类题”,则B={(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6)},共有8个样本点,所以P(B)=815.(方法二)记事件C=“张同学所取的2道题都是乙类题”,则C={(5,6)},P(C)=115.所以所求概率P=1-〖P(A)+P(C)〗=1-(615+115)=815.1.在一对事件A,B中,若事件A是必然事件,事件B是不可能事件,则A和B()A.是互斥事件,不是对立事件B.是对立事件,但不是互斥事件C.是互斥事件,也是对立事件D.既不是对立事件,也不是互斥事件,B两个事件不可能同时发生,而且必有一个发生,所以A,B两事件既是互斥事件,也是对立事件.2.从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为()A.110B.15C.310D.25,表中每组数据中的第一个数表示第一次取到的数,第二个数表示第二次取到的数.总计有25种情况,满足条件的有10种,所以所求概率为1025=25.3.记a,b分别是投掷两次骰子所得的数字,则方程x2-ax+2b=0有两个不同实根的概率为()A.518B.14C.310D.91036种,其中方程x2-ax+2b=0有两个不同实根的条件是Δ=a2-8b>0,满足此条件的基本事件有(3,1),(4,1),(5,1),(5,2),(5,3),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),共9个,其概率P=936=14.4.从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为0的概率是()A.49B.13C.29D.19,则个位数与十位数中必有一个奇数一个偶数,所以可以分两类:(1)当个位为奇数时,有5×4=20(个)符合条件的两位数.(2)当个位为偶数时,有5×5=25(个)符合条件的两位数.因此共有20+25=45(个)符合条件的两位数,其中个位数为0的两位数有5个,所以所求概率为P=545=19.5.中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛,甲夺得冠军的概率为37,乙夺得冠军的概率为14,那么中国队夺得乒乓球单打冠军的概率为.“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”,但这两个事件不可能同时发生,即彼此互斥,所以由互斥事件概率的加法公式得,中国队夺得女子乒乓球冠军的概率为37+14=1928.6.20名学生某次数学考试成绩(单位:分)的频率分布直方图如下图所示.则频率分布直方图中a的值为;若从成绩在区间〖50,70)内的学生中任选2人,则此2人的成绩都在〖60,70)内的概率为.10,由(2a+3a+7a+6a+2a)×10=1,解得a=1200=0.005.记成绩落在区间〖50,60)内的2人为A1,A2,成绩落在区间〖60,70)内的3人为B1,B2,B3,则从成绩在区间〖50,70)内的学生中任选2人,对应的样本空间Ω={(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3)},共有10个样本点,其中2人的成绩都在区间〖60,70)内的样本点有3个:(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3),故所求概率为P=310..0053107.为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况,调查部门对某校6名学生进行问卷调查.6人得分情况为:5,6,7,8,9,10.把这6名学生的得分看成一个总体.(1)求该总体的平均数;(2)用不放回简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名,他们的得分组成一个样本.求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.总体平均数为16×(5+6+7+8+9+10)=7.5.(2)设A表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”.从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有{(5,6),(5,7),(5,8),(5,9),(5,10),(6,7),(6,8),(6,9),(6,10),(7,8),(7,9),(7,10),(8,9),(8,10),(9,10)},共有15个基本结果.事件A包含的基本结果有{(5,9),(5,10),(6,8),(6,9),(6,10),(7,8),(7,9)},共有7个基本结果.所以所求的概率为P(A)=715.8.小王、小李两名同学玩掷骰子(骰子质地均匀)游戏,规则:小王先掷一枚骰子,向上的点数记为x;小李后掷一枚骰子,向上的点数记为y.(1)在直角坐标系xOy中,以(x,y)为坐标的点共有几个?试求点(x,y)落在直线x+y=7上的概率;(2)规定:若x+y≥10,则小王赢;若x+y≤4,则小李赢,其他情况不分输赢.试问这个游戏规则公平吗?请说明理由.因为x,y可取1,2,3,4,5,6,故以(x,y)为坐标的点共有36个.记点(x,y)落在直线x+y=7上为事件A,则事件A包含的样本点有6个:(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),所以事件A的概率P(A)=636=16.(2)公平.理由如下:记x+y≥10为事件B,x+y≤4为事件C,用数对(x,y)表示x,y的取值.则事件B 包含(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6)共6个数对;事件C包含(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)共6个数对.由(1)知基本事件总数为36个,所以P(B)=636=16,P(C)=636=16,所以小王、小李获胜的可能性相等,游戏规则是公平的.。

第4讲随机大事的概率最新考纲 1.了解随机大事发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区分；2.了解两个互斥大事的概率加法公式．知识梳理1．频率与概率(1)在相同的条件S下重复n次试验，观看某一大事A是否消灭，称n次试验中大事A消灭的次数n A为大事A消灭的频数，称大事A消灭的比例f n(A)＝n An为大事A消灭的频率．(2)在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机大事A发生的频率会在某个常数四周摇摆，即随机大事A发生的频率具有稳定性．这时我们把这个常数叫作随机大事A的概率，记作P(A)．2．大事的关系与运算定义符号表示包含关系假如大事A发生，则大事B肯定发生，这时称大事B包含大事A(或称大事A包含于大事B)B⊇A(或A⊆B)相等关系若B⊇A且A⊇B A＝B和大事(并大事)若某大事发生当且仅当大事A发生或大事B发生，称此大事为大事A与大事B的并大事(或和大事)A＋B(或A∪B)交大事(积大事)若某大事发生当且仅当大事A发生且大事B发生，则称此大事为大事A与大事B的交大事(或积大事)A∩B(或AB)互斥大事若A∩B为不行能大事，则称大事A与大事B互斥A∩B＝∅对立大事若A∩B为不行能大事，A∪B为必定大事，那么称大事A与大事B互为对立大事A∩B＝∅P(A＋B)＝13.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.(2)必定大事的概率P(E)＝1.(3)不行能大事的概率P(F)＝0.(4)互斥大事概率的加法公式①假如大事A与大事B互斥，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．②若大事B与大事A互为对立大事，则P(A)＝1－P(B)．诊断自测1．推断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT呈现(1)大事发生的频率与概率是相同的．()(2)在大量的重复试验中，概率是频率的稳定值．()(3)若随机大事A发生的概率为P(A)，则0≤P(A)≤1.()(4)6张奖券中只有一张有奖，甲、乙先后各抽取一张，则甲中奖的概率小于乙中奖的概率．()答案(1)×(2)√(3)√(4)×2．袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则：①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球．在上述大事中，是对立大事的为()A．①B．②C．③D．④解析至少有1个白球和全是黑球不同时发生，且肯定有一个发生．∴②中两大事是对立大事．答案 B3．(2022·天津卷)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为()A.56 B.25C.16D.13解析 设“两人下成和棋”为大事A ，“甲获胜”为大事B .大事A 与B 是互斥大事，所以甲不输的概率P ＝P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝12＋13＝56. 答案 A4．(2021·威海模拟)围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________． 解析 由题意知，所求概率P ＝17＋1235＝1735. 答案 17355．(2021·长沙模拟)有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5,15.5)，2；[15.5,19.5)，4；[19.5,23.5)，9；[23.5,27.5)，18；[27.5,31.5)，11；[31.5,35.5)，12；[35.5，39.5)，7；[39.5,43.5]，3.依据样本的频率分布估量，数据落在[27.5,43.5]内的概率约是________．解析 由条件可知，落在[27.5,43.5]的数据有11＋12＋7＋3＝33(个)，故所求概率约为3366＝12. 答案 12考点一 随机大事间的关系【例1】 从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述大事中，是对立大事的是( ) A ．① B ．②④ C ．③ D ．①③解析 从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数有3种状况：一奇一偶，两个奇数，两个偶数． 其中“至少有一个是奇数”包含一奇一偶或两个奇数这两种状况，它与两个都是偶数是对立大事．又①②④中的大事可以同时发生，不是对立大事． 答案 C规律方法 (1)本题中精确 理解恰有两个奇数(偶数)，一奇一偶，至少有一个奇数(偶数)是求解的关键，必要时可把全部试验结果写出来，看所求大事包含哪些试验结果，从而断定所给大事的关系．(2)精确 把握互斥大事与对立大事的概念． ①互斥大事是不行能同时发生的大事，但可以同时不发生．②对立大事是特殊的互斥大事，特殊在对立的两个大事不行能都不发生，即有且仅有一个发生． 【训练1】 口袋里装有1红，2白，3黄共6个外形相同的小球，从中取出2球，大事A ＝“取出的2球同色”，B ＝“取出的2球中至少有1个黄球”，C ＝“取出的2球至少有1个白球”，D ＝“取出的2球不同色”，E ＝“取出的2球中至多有1个白球”．下列推断中正确的序号为________．①A 与D 为对立大事；②B 与C 是互斥大事；③C 与E 是对立大事；④P (C ＋E )＝1；⑤P (B )＝P (C )．解析 当取出的2个球中一黄一白时，B 与C 都发生，②不正确．当取出的2个球中恰有一个白球时，大事C 与E 都发生，则③不正确．明显A 与D 是对立大事，①正确；C ＋E 不肯定为必定大事，P (C ∪E )≤1，④不正确．由于P (B )＝45，P (C )＝35，所以⑤不正确． 答案 ①考点二 随机大事的频率与概率【例2】 (2022·全国Ⅱ卷)某险种的基本保费为a (单位：元)，连续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数0 1 2 3 4 ≥5 保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 频数605030302010(1)记A 为大事：(2)记B 为大事：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P (B )的估量值；(3)求续保人本年度平均保费的估量值．解 (1)大事A 发生当且仅当一年内出险次数小于2，由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为60＋50200＝0.55，故P(A)的估量值为0.55.(2)大事B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4，由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为30＋30200＝0.3，故P(B)的估量值为0.3.(3)由所给数据得调查的200×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a.因此，续保人本年度平均保费的估量值为1.192 5a.规律方法(1)解题的关键是依据统计图表分析满足条件的大事发生的频数，计算频率，用频率估量概率．(2)频率反映了一个随机大事消灭的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机大事发生的可能性的大小，通过大量的重复试验，大事发生的频率会渐渐趋近于某一个常数(概率)，因此有时也用频率来作为随机大事概率的估量值.【训练2】(2021·北京卷)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的状况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.(1)(2)估量顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)假如顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？解(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估量为2001 000＝0.2.(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品．所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估量为100＋2001 000＝0.3.(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估量为2001 000＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估量为100＋200＋3001 000＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估量为1001 000＝0.1.所以，假如顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．考点三互斥大事与对立大事的概率【例3】某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，支配一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.(1)确定x，y的值，并估量顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率)．解(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.该超市全部顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简洁随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估量，其估量值为1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9(分钟)．(2)记A表示大事“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2，A3分别表示大事“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”、“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”、“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”．将频率视为概率得P(A1)＝15100＝320，P(A2)＝30100＝310，P(A3)＝25100＝14.由于A＝A1＋A2＋A3，且A1，A2，A3是互斥大事，所以P(A)＝P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝320＋310＋14＝710.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为7 10.规律方法(1)①求解本题的关键是正确推断各大事的关系，以及把所求大事用已知概率的大事表示出来．②结算时间不超过2分钟的大事，包括结算时间为2分钟的情形，否则会计算错误．(2)求简单的互斥大事的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求大事的概率分解为一些彼此互斥的大事的概率再求和；二是间接法，先求该大事的对立大事的概率，再由P(A)＝1－P(A)求解．当题目涉及“至多”、“至少”型问题，多考虑间接法．【训练3】某商场有奖销售活动中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的大事分别为A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．解(1)P(A)＝11 000，P(B)＝101 000＝1100，P(C)＝501 000＝120.故大事A，B，C的概率分别为11 000，1100，120.(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个大事为M，则M＝A ＋B＋C.∵A，B，C两两互斥，∴P(M)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝1＋10＋501 000＝611 000.故1张奖券的中奖概率为611 000.(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为大事N，则大事N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立大事，∴P(N)＝1－P(A＋B)＝1－⎝⎛⎭⎪⎫11 000＋1100＝9891 000.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 000.[思想方法]1．对于给定的随机大事A，由于大事A发生的频率f n(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率f n(A)来估量概率P(A)．2．对立大事不仅两个大事不能同时发生，而且二者必有一个发生．3．求简单的互斥大事的概率一般有两种方法：(1)直接法：将所求大事的概率分解为一些彼此互斥的大事的概率的和，运用互斥大事的求和公式计算．(2)间接法：先求此大事的对立大事的概率，再用公式P(A)＝1－P(A)，即运用逆向思维(正难则反)．[易错防范]1．易将概率与频率混淆，频率随着试验次数变化而变化，而概率是一个常数．2．正确生疏互斥大事与对立大事的关系，对立大事是互斥大事，是互斥大事中的特殊状况，但互斥大事不肯定是对立大事，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．3．需精确理解题意，特殊留心“至多……”“至少……”“不少于……”等语句的含义.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．有一个玩耍，其规章是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，任意两人不能同一个方向．大事“甲向南”与大事“乙向南”是()A．互斥但非对立大事B．对立大事C．相互独立大事D．以上都不对解析由于任意两人不能同一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不行能的，故是互斥大事，但不是对立大事．答案 A2．(2021·合肥模拟)从一箱产品中随机地抽取一件，设大事A＝{抽到一等品}，大事B＝{抽到二等品}，大事C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则大事“抽到的不是一等品”的概率为()A．0.7 B．0.65 C．0.35 D．0.3解析大事“抽到的产品不是一等品”与大事A是对立大事，由于P(A)＝0.65，所以由对立大事的概率公式得“抽到的产品不是一等品”的概率为P＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.答案 C3．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若大事“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率为710的大事是()A．至多有一张移动卡B．恰有一张移动卡C．都不是移动卡D．至少有一张移动卡解析至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”、“两张全是联通卡”两个大事，它是“2张全是移动卡”的对立大事，因此“至多有一张移动卡”的概率为7 10.答案 A4．某袋中有编号为1,2,3,4,5,6的6个球(小球除编号外完全相同)，甲先从袋中摸出一个球，登记编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，登记编号，则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是()A.15 B.16 C.56 D.3536解析设a，b分别为甲、乙摸出球的编号．由题意，摸球试验共有36种不同结果，满足a＝b的基本大事共有6种．所以摸出编号不同的概率P＝1－636＝56.答案 C5．掷一个骰子的试验，大事A表示“消灭小于5的偶数点”，大事B表示“消灭小于5的点数”，若B表示B的对立大事，则一次试验中，大事A＋B发生的概率为()A.13 B.12 C.23 D.56解析掷一个骰子的试验有6种可能结果．依题意P(A)＝26＝13，P(B)＝46＝23，∴P(B)＝1－P(B)＝1－23＝13，∵B表示“消灭5点或6点”的大事，因此大事A与B互斥，从而P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝13＋13＝23.答案 C二、填空题6．给出下列三个命题，其中正确命题有________个．①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次消灭正面，因此正面消灭的概率是37；③随机大事发生的频率就是这个随机大事发生的概率．解析①错，不肯定是10件次品；②错，37是频率而非概率；③错，频率不等于概率，这是两个不同的概念．答案07．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现接受随机模拟的方法估量该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907966191925271932812458569683 431257393027556488730113537989据此估量，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________．解析20组随机数中，恰有两次命中的有5组，因此该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为P＝520＝14.答案1 48．某城市2021年的空气质量状况如表所示：其中污染指数T≤＜T≤150时，空气质量为稍微污染，则该城市2021年空气质量达到良或优的概率为________．解析由题意可知2021年空气质量达到良或优的概率为P＝110＋16＋13＝35.答案35三、解答题9．某班选派5人，参与学校进行的数学竞赛，获奖的人数及其概率如下：(1)若获奖人数不超过2(2)若获奖人数最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，求y，z的值．解记大事“在竞赛中，有k人获奖”为A k(k∈N，k≤5)，则大事A k彼此互斥．(1)∵获奖人数不超过2人的概率为0.56，∴P(A0)＋P(A1)＋P(A2)＝0.1＋0.16＋x＝0.56.解得x＝0.3.(2)由获奖人数最多4人的概率为0.96，得P(A5)＝1－0.96＝0.04，即z＝0.04.由获奖人数最少3人的概率为0.44，得P(A3)＋P(A4)＋P(A5)＝0.44，即y＋0.2＋0.04＝0.44.解得y＝0.2.10．(2021·陕西卷)随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气状况进行统计，结果如下：(1)在(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开头进行连续2天的运动会，估量运动会期间不下雨的概率．解(1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估量概率，4月份任选一天，西安市不下雨的概率为P＝2630＝1315.(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1日与2日，2日与3日等)，这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率f＝1416＝78.以频率估量概率，运动会期间不下雨的概率为78.力量提升题组(建议用时：20分钟)11．设大事A，B，已知P(A)＝15，P(B)＝13，P(A＋B)＝815，则A，B之间的关系肯定为()A．两个任意大事B．互斥大事C．非互斥大事D．对立大事解析由于P(A)＋P(B)＝15＋13＝815＝P(A＋B)，所以A，B之间的关系肯定为互斥大事．答案 B12.如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成果，其中一个数字被污损，则甲的平均成果超过乙的平均成果的概率是()A.25 B.710 C.45 D.910解析设被污损的数字为x，则x甲＝15(88＋89＋90＋91＋92)＝90，x乙＝15(83＋83＋87＋99＋90＋x)，若x甲＝x乙，则x＝8.若x甲＞x乙，则x可以为0,1,2,3,4,5,6,7，故P＝810＝45.答案 C13．抛掷一枚均匀的正方体骰子(各面分别标有数字1,2,3,4,5,6)，大事A表示“朝上一面的数是奇数”，大事B表示“朝上一面的数不超过2”，则P(A＋B)＝________.解析将大事A＋B分为：大事C“朝上一面的数为1,2”与大事D“朝上一面的数为3,5”．则C，D互斥，且P(C)＝13，P(D)＝13，∴P(A＋B)＝P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝2 3.答案2 314．(2021·宝鸡调研)某保险公司利用简洁随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额(元)0 1 000 2 000 3 000 4 000车辆数(辆)500130100150120(1)(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估量在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．解(1)设A表示大事“赔付金额为3 000元”，B表示大事“赔付金额为4 000元”，以频率估量概率得P(A)＝1501 000＝0.15，P(B)＝1201 000＝0.12.由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是3 000元和4 000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C表示大事“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100(辆)，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为24100＝0.24，由频率估量概率得P(C)＝0.24.特殊提示：老师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.。

0
(3)不可能事件的概率：P(A)＝____．
(4)概率的加法公式
P(A)＋P(B)
如果事件A与事件B互斥，则P(A∪ B)＝____________．
(5)对立事件的概率
若事件A与事件B互为对立事件，则A∪ B为必然事件．P(A∪ B)＝
1
1－P(B)
____，P(A)＝________．
二、必明2个常用结论
1．从集合的角度理解互斥事件和对立事件
(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交
集为空集．
ഥ 所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所
(2)事件A的对立事件A
含的结果组成的集合的补集．
2．概率加法公式的推广
当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法
公式的推广，即
P(A1∪ 2 ∪ ⋯ ∪ An )＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
学科素养：通过随机事件概率的应用考查数学建模、数据分析的核
心素养．
必备知识—基础落实
一、必记4个知识点
1．事件的分类
事件的分类
确定事件
随机事件
具体事件
必然事件
不可能事件
随机事件
在条
件S下
定义
一定会发生
一定不会发生
可能发生也
可能不发生
的事件
2.频率和概率
(1)频数、频率的概念比较
名称
条件一
条件二
万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位：毫米)有关．
据统计，当X＝70时，Y＝460；X每增加10，Y增加5.
已知近20年X的值为
140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，