高2019届高2016级高三数学一轮复习高考调研新课标作业14

第14节 极值与最值考点1 极值与最值1．函数的极值函数()f x 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有点都有0()()f x f x <，则称0()f x 是函数的一个极大值，记作0()y f x =极大值．如果对0x 附近的所有点都有0()()f x f x >，则称0()f x 是函数的一个极小值，记作0()y f x =极小值．极大值与极小值统称为极值，称0x 为极值点．求函数的极值的三个基本步骤 ①求导数()f x '；②求方程()0f x '=的所有实数根；③检验()f x '在方程()0f x '=的根左右的符号，如果是左正右负（左负右正）（注意数形结合分析），则()f x 在这个根处取得极大（小）值． 2．最值的判断法则函数()y f x =最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数()f x 最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者．间隔最值定理 导函数为21212()()()()f x ax bx c a x x x x m x x n =++=--<<< （1）当0a >时，最大值是1()f x 与()f n 中的最大者；最小值是2()f x 与()f m 中的最小者． （2）当0a <时，最大值是2()f x 与()f m 中的最大者；最小值是1()f x 与()f n 中的最小者．一般地，设()y f x =是定义在[]m n ，上的函数，()y f x =在()m n ，内有导数，求函数()y f x =在[]m n ，上的最大值与最小值可分为两步进行：（1）求()y f x =在()m n ，内的极值（极大值或极小值）； （2）将()y f x =的各极值与()f m 和()f n 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．考点一 极值与最值【例1】（2020•平邑县期中）已知函数)(x f 的定义域为R 且导函数为)(x f '，如图是函数)(x f x y '⋅=的图 象，则下列说法正确的是（ ）A ．函数)(x f 的减区间是)02(，-，)2(∞+，B ．函数)(x f 的减区间是)2(--∞，，)2(∞+，C ．2-=x 是函数的极小值点D ．2=x 是函数的极小值点【例2】（2019•运城期末）函数2()ln f x x x =-的极值点是 ．【例3】（2020•运城期末）函数1()sin sin33f x a x x =+在3x π=处有极值，则a 的值是 ．【例4】(2020•天津) 已知函数)(ln )(3R k x k x x f ∈+=，)(x f '为)(x f 的导函数． (1) 当6=k 时，(ⅰ)求曲线)(x f y =在点))1(1(f ，处的切线方程； (ⅰ)求函数xx f x f x g 9)()()(+'-=的单调区间和极值；【例5】（2017•北京）已知函数()cos x f x e x x =-． （1）求曲线()y f x =在点(0，(0))f 处的切线方程； （2）求函数()f x 在区间[0，]2π上的最大值和最小值．【解题总结】1．因此，在求函数极值问题中，一定要检验方程()0f x '=根左右的符号，更要注意变号后极大值与极小值是否与已知有矛盾．2．原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零．这个零点必须穿越x 轴，否则不是极值点．判断口诀：从左往右找穿越（导函数与x 轴的交点）；上坡低头找极小，下坡抬头找极大．【训练1】（2021·湖南月考）若1=x 是函数x a a x a x x f )3()1(31)(223-+-++=的极值点，则a 为（ ）A ．2-B ．3C ．2-或3D ．3-或2【训练2】（2020•吉林月考）设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图象如图所示，则导函数()y f x '=的图象为( )A ．B ．C ．D ．【训练3】（2021•广东期末）函数2()2x f x x e -=⋅的极大值为 ．【训练4】（2021•河东期末）若函数321()53f x x ax x =-+-无极值点，则实数a 的取值范围是 ．【训练5】（2018•新课标Ⅰ）已知函数()2sin sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是 ．考点2 恒能分问题 1.恒成立与能成立问题恒成立：对定义域D 内的任意实数，方程或不等式都成立．能成立：定义域内存在某个或某些实数，使得方程或不等式能够成立，即存在性问题． 这里，我们将这两类问题按着变量是否统一作了一个分类： 统一变量的恒成立与能成立问题类型一 （1）()y f x =满足x D ∀∈，()f x m >恒成立，则在区间D 上min ()f x m >（2）()y f x =满足x D ∀∈，()f x m <恒成立，则在区间D 上max ()f x m <类型二 （3）()y f x =满足x D ∃∈，()f x m >能成立，则等价于在区间D 上max ()f x m >（4）()y f x =满足x D ∃∈，()f x m <能成立，则等价于在区间D 上min ()f x m <类型三 （5）()y f x =，()y g x =满足x D ∀∈，()()f x g x >恒成立，则在区间D 上min [()()]0f x g x ->（6）()y f x =，()y g x =满足x D ∃∈，()()f x g x >能成立，则在区间D 上max [()()]0f x g x ->类型四 不同变量的恒成立问题（7）()y f x =满足1x ∀，2x D ∈，12|()()|f x f x m -<恒成立，则在区间D 上max min ()()f x f x m -< （8）()y f x =，()y g x =满足1x D ∈，2x D ∈，12()()f x g x >恒成立，则在各自区间上min max ()()f x g x >； 类型五 不同变量的能成立问题（9）()y f x =，()y g x =满足1x ∃，2x D ∈，12()()f x g x >能成立，则在各自区间上max min ()()f x g x >； （10）()y f x =，()y g x =满足若1x D ∃∈，总2x D ∃∈，使得12()()f x g x =成立，则在区间D 上两个函数值域交集不为∅；类型六 不同变量的恒能成立，即∀、∃共存问题（11）()y f x =，()y g x =满足11x D ∀∈，总22x D ∃∈，使得12()()f x g x >能成立，则在区间D 上min min ()()f x g x >；（12）()y f x =，()y g x =满足11x D ∃∈，总22x D ∀∈，使得12()()f x g x >能成立，则在区间D 上max max ()()f x g x >；（13）()y f x =，()y g x =满足若11x D ∀∈，总22x D ∃∈，使得12()()f x g x =成立，则在区间D 上min minmax max ()()()()f x g x f x g x ≥⎧⎨≤⎩； 【例7】（2020•重庆模拟）若函数ax x xx f ++=2cos 222sin )(存在递减区间，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1≥a B ．5≥aC ．1<aD ．5<a【例8】（2020•江西期中）已知函数)10(ln )6sin(2)(≠>-+=a a a x x a x f x ，π，对任意]10[21，，∈x x ，不等式12()()|2|f x f x a -≤-恒成立，则实数a 的最小值为（ ） A ．2e B ．eC ．3D ．22.参变分离问题分离变量法构造函数解决恒成立问题在导函数为非一次函数或二次函数的题目中，涉及一些恒单调递增（递减）或者是极值分布的问题，可以通过分离变量法，构造成()a F x ≥，或者()a F x ≤的形势，再对()F x 求导，求出在这个区间的极值（最值）．【例9】（2020•安徽月考）若函数x b x x x f ln 4)(2++-=在区间)0(∞+，上是减函数，则实数b 的取值范 围是（ ） A ．]2(--∞， B ．)2(--∞，C ．)2(∞+-，D ．)2[∞+-，【例10】(2020•东阳期末)已知不等式022<+-kx e e x x 在)0[∞+，上无解，则实数k 的取值范围是（ ） A ．)21[∞+，B ．)21[∞+-，C ．)21(∞+，D ．)21(，-∞【例11】若函数1()sin 2sin 3f x x x a x =-+在()-∞+∞，单调递增，则a 的取值范围是( )A ．[1-，1]B ．[1-，1]3C ．1[3-，1]3D ．[1-，1]3-【解题总结】1．恒能问题要注意是单一变量还是双变量，也要清楚求不同函数的最大还是最小值．2．当恒能问题中的函数结构并不是很复杂时，此法应用较多．对题中给定的函数，直接求导，通过对参 数的分类讨论，确定函数的单调性从而得到极值点，从而求出参数取值范围，其关键是讨论单调性的过程，常用手段为因式分解法、求根公式法以及观察法；如果无法求出零点，可以利用零点存在定理讨论，进而研究原函数的单调性，此时，可能会涉及到隐零点．【训练1】（2020•咸阳模拟）已知函数)(ln 2)1()(R a x x x a x f ∈--=，x a x g -=)(，若至少存在一个]1[0e x ，∈，使)()(00x g x f >成立，则实数a 的范围为（ ）A ．)2[∞+，eB ．)0(∞+，C ．)0[∞+，D ．)2(∞+，e【训练2】（2020•天心月考）已知函数2)25(12ln )(2-++-=x m x xx f ，122)(1-⋅=+x x m x g ．若对任意的]121[21，，∈x x ，不等式)()(21x g x f <恒成立，则正数m 的取值范围是（ ）A ．)2ln 10(-，B ．)85ln 220(+，C ．)2(ln ∞+，D ．)4385(ln ∞++，【训练3】（2020•上饶期末）x x kx x f ln 21)(2-=在]0(e ，上单调递增，则实数k 的取值范围是（ ） A ．]2(e ，-∞B ．]1(，-∞C ．)1[∞+，D ．)2[∞+，e考点3 同构式的应用 1.同构函数比大小【例1】（2014•山东）已知实数x 满足y x a a <)10(<<a ，则下列关系式中恒成立的是（ ） A ．111122+>+y x B ．)1ln()1ln(22+>+y xC ．22y x >D ．33y x >【例2】（2020•新课标I ）若b a b a 42log 24log 2+=+，则（ ） A ．b a 2> B ．b a 2<C ．2b a >D ．2b a <【例3】（2005•全国卷Ⅲ）若33ln =a ，44ln =b ，55ln =c ，则a ，b ，c 的大小关系为 ．【解题总结】1．比较大小问题注意构造对称统一形式，利用同构函数的单调性求解问题． 2．注意定义域问题，比较大小要保证在同一个单调区间． 【训练1】（2020•新课标II ）若2233x y x y ---<-，则（ ） A ．ln(1)0y x -+> B ．ln(1)0y x -+< C ．ln ||0x y ->D ．ln ||0x y -<【训练2】（2021•蚌埠三模）若14log log 2222++-=+-b b b a a a ，则（ ） A ．2a b >B ．2a b <C ．21a b >+D ．21b a <+【训练3】（2017•新课标Ⅰ）设x ，y ，z 为正数，且zy x 532==，则（ ）A ．z y x 532<<B ．y x z 325<<C ．x z y 253<<D ．z x y 523<<2.指对同构篇同构可以帮助我们大大简化分析和计算．指对同构式需要一个构造一个母函数，即外函数，用()F x 表示，这个母函数需要满足：①指对跨阶；②单调性和最值易求．此外，我们尤其要注意——“内值外定”问题，即内层函数的值域范围为外层函数定义域的子集，而在同构这里我们需要满足的则是外层函数单调区间的子集，这样才能比较内层大小．【例1】（2020•武邑期中）设实数0λ>，若对任意的(0)x ∈+∞，，不等式ln 0x xe λλ-≥恒成立，则λ的取值范围是 ．【例2】（2021•江西月考）已知函数13l (n )2()mxf x x x m x e -=--，当x e ≥时，()0f x ≥恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(4]e -∞， B ．(3]e -∞，C ．(2]e -∞，D ．3(]2e -∞，【例3】 （2021•T8联考）函数)0(22ln )(>-++=a x aae x f x ，若0)(>x f 恒成立，则实数a 的取值范围为 ．【例4】（2020•新高考）已知函数1()ln ln x f x ae x a -=-+．（1）当a e =时，求曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若()1f x ≥，求a 的取值范围．【解题总结】1．同构函数单调区间和最值易求．2．注意“內值外定”，避免大题交待不清楚扣分．【训练1】（2021•湖北八市）设实数0>t ，不等式0ln 2ln 2≥+-tx e tx 对0>x 恒成立，则t 范围为（ ）A ．1[)2e +∞， B ．1[)e +∞，C ．1(0)e ，D ．1(0]2e，【训练2】（2021•岳阳二模）设实数0a >，若对任意的[e )x ∈+∞，，不等式2e ln 0axa x x -≤恒成立，则a 的最大值为（ ）A ．1eB ．2eC ．e 2D ．e【训练3】（2021•廊坊月考）已知函数x e x f x ln 2)(-=λ． （1）当2=λ时，求)(x f 的图象在1=x 处的切线方程； （2）当1=λ时，判断)(x f 的零点个数并说明理由； （3）若x x x f λ-≥2)(恒成立，求λ的取值范围．3.指对同构篇朗博函数指的是形如n x x e ⋅或x ae 类型的函数，我们可以将这类函数进行“改头换面”处理，比如ln ln ln xx x xx a xx x e x e eae ee x++-⋅===，，；关于朗博函数我们统一往母函数()1x f x e x =--同构，相信大家都知道+1x e x ≥这个基本切线不等式，即()0f x ≥恒成立，当且仅当0x =时等号成立． 【例10】（2021•江苏期末）函数ln xf x xe x x 的最小值为 ．【例11】（2021•镇海模拟）若0>x 时，恒有01ln 2)3(32≥--+-x x k e x x 成立，则实数k 的取值范围 是 ．【例12】（2020•云南师大附中）已知函数x e x x f ⋅=)(，x x x g ln )(+=．（1）令)()()(x eg x f x h -=，求)(x h 的最小值；（2）若1)2()()(+-≥-x b x g x f 恒成立，求b 的取值范围．【解题总结】1．注意朗博同构的变形．2．注意大题需要找矛盾点验证充要性．【训练1】（2021•湘豫名校联考）不等式1ln 3+≥--x x a e x x 对任意的)1(∞+∈，x 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．]1(e --∞，B ．]2(2e --∞，C ．]2(--∞，D ．]3(--∞，【训练2】（2020•山东月考）已知函数1ln )(++=mx x x f ，)1()(-⋅=x e x x g ． （1）若)(x f 的最大值是0，求函数)(x f 的图象在e x =处的切线方程； （2）若对于定义域内任意x ，)()(x g x f ≤恒成立，求m 的取值范围．4.高考同构篇【例1】（2020•山东新高考）已知函数a x ae x f x ln ln )(1+-=-． （2）若1)(≥x f ，求a 的取值范围．【例2】(2018•新课标ⅰ)已知函数1ln )(--=x ae x f x ． （1）设2x =是()f x 的极值点，求a ，并求()f x 的单调区间； （2）证明：当1a e≥时，()0f x ≥．【解题总结】1．注意同构函数取等一致问题． 2．需要求导说明函数的单调性及最值．【训练1】（2015•新课标Ⅰ）设函数x a e x f x ln )(2-=． （1）讨论()f x 的导函数()f x '零点的个数； （2）证明：当0a >时，aa a x f 2ln 2)(+≥．【训练2】（2014•全国卷I ）函数x be x ae x f x x1ln )(-+=在点))1(1(f ，处的切线方程为2)1(+-=x e y ． （1）求b a ，； （2）证明：1)(>x f ．【训练3】（2013•新课标Ⅱ）已知函数)ln()(m x e x f x +-=．（1）设0x =是()f x 的极值点，求m ，并讨论()f x 的单调性；（2）当2m ≤时，证明()0f x >．考点4 分而治之的应用1.高人一等型若0)(>x F 对D x ∈恒成立，且)()()(x g x f x F -=，我们可以转化为)()(x g x f >，通过分别求出两个函数的最值，当min max ()()f x g x >时一定成立，我们称之为高人一等，如图所示；2.错位PS 型若0)(>x F 对D x ∈恒成立，且)()()(x g x f x F -=，我们可以转化为)()(x g x f >，通过分别求出两个函数的最值，当)()(1m in x f x f =)()(2m ax x g x g =≥，21x x ≠时不等式一定成立，我们称之为错位PS ，如图所示． 通常我们将)(x f 叫做上函数，)(x g 叫做下函数．3.亲密接触型若0)(≥x F 对D x ∈恒成立，且)()()(x g x f x F -=，我们可以转化为)()(x g x f ≥，通过分别求出两个函数的最值，当max min )()(x g x f ≥，且)()()()(0max 0min x g x g x f x f ===时一定成立，我们称之为亲密接触，如图所示．【例1】（2021•四川宜宾二诊）已知函数xx a x f ln )(-=. （1）若)(x f 在1=x 处取得极值，求实数a 的值；（2）讨论)(x f 在)10(，上的单调性；（3）证明：在)1(的条件下0)(>+x xe x f .【例2】（2014•新课标ⅰ）设函数1()ln x xbe f x ae x x -=+，曲线()y f x =在点(0))(1f ，处得切线方程为(1)2y e x =-+．（1）求a 和b 的值；（2）证明：()1f x >．【例3】（2018•新课标ⅰ）已知函数()ln 1x f x ae x =--．（1）设2x =是()f x 的极值点，求实数a 的值，并求()f x 的单调区间；（2）证明：当1a e≥时，()0f x ≥．【例4】（2019•新课标ⅰ）已知函数()2sin cos f x x x x x =--，()f x '为()f x 的导数．（1）证明：()f x '在区间(0)π，存在唯一零点；（2）若[0]x π∈，时，()f x ax ≥，求a 的取值范围．【解题总结】1．注意上下函数的选取，即上函数最小值与下函数最大值比较．2．注意等号，有等号往往是构造亲密接触模型，无等号往往是高人一等或错位PS 模型．【训练1】（2021•安徽十校联考）已知函数()1(1)ln f x a x x =+++．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）对任意0x >，求证：221(1)()xe a xf x xe+++>．【训练2】（2020•成都三诊）已知函数m x ae x f -=)(，其中R m a ∈，.（1）当1==m a 时，设x x f x g ln )()(-=，求函数)(x g 的单调区间；（2）当24==m a ，时，证明：)ln 1()(x x x f +>.【训练3】（2020•全国联考）已知函数)x-+=.ef x∈(1)(Rbbx（1）讨论函数的单调性；（2）若函数x(=有两个实根，求实数b的取值范围.)f lnx。

高考数学一轮复习 课时跟踪检测14 导数与函数单调性 文 湘教版(分Ⅰ、Ⅱ卷，共2页)第Ⅰ卷：夯基保分卷1．函数f (x )＝x ＋eln x 的单调递增区间为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(－∞，0)和(0，＋∞)D ．R2．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4)D ．(2，＋∞)3．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫12，c ＝f (3)，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <c <a4．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上是增函数，则a 的取值范围是( ) A ．[－1,0] B ．[－1，＋∞) C ．[0,3]D ．[3，＋∞)5．函数f (x )＝1＋x －sin x 在(0,2π)上的单调情况是________．6．(2014·河南省三市调研)若函数f (x )＝13x 3－32x 2＋ax ＋4恰在[－1,4]上单调递减，则实数a 的值为________．7．(2014·武汉武昌区联考)已知函数f (x )＝ln x ＋ke x(k 为常数，e 是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值； (2)求f (x )的单调区间．8．已知函数f(x)＝x3－ax2－3x.(1)若f(x)在[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间．第Ⅱ卷：提能增分卷1．已知函数f(x)＝(x2－ax)e x(x∈R)，a为实数．(1)当a＝0时，求函数f(x)的单调增区间；(2)若f(x)在闭区间[－1,1]上为减函数，求a的取值范围．2．(2014·深圳第一次调研)已知函数f(x)＝a x＋x2－x ln a－b(a，b∈R，a>1)，e是自然对数的底数．(1)试判断函数f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性；(2)当a＝e，b＝4时，求整数k的值，使得函数f(x)在区间(k，k＋1)上存在零点．3．(2014·石家庄质检)已知函数f (x )＝ln x ＋mx 2(m ∈R )． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若A ，B 是函数f (x )图像上不同的两点，且直线AB 的斜率恒大于1，求实数m 的取值范围．答 案第Ⅰ卷：夯基保分卷1．选A 函数定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋ex >0，故单调增区间是(0，＋∞)．2．选D ∵f (x )＝(x －3)·e x ， f ′(x )＝e x (x －2)>0，∴x >2. ∴f (x )的单调递增区间为(2，＋∞)．3．选C 依题意得，当x <1时，f ′(x )>0，f (x )为增函数；又f (3)＝f (－1)，且－1<0<12<1，因此有f (－1)<f (0)<f ⎝⎛⎭⎫12，即有f (3)<f (0)<f ⎝⎛⎭⎫12，c <a <b .4．选D f ′(x )＝2x ＋a －1x2，因为函数在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上是增函数，所以f ′(x )≥0在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上恒成立，即a ≥1x 2－2x 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上恒成立，设g (x )＝1x 2－2x ， g ′(x )＝－2x 3－2，令g ′(x )＝－2x3－2＝0，得x ＝－1，当x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，g ′(x )<0，故g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝4－1＝3，所以a ≥3，故选D.5．解析：在(0,2π)上有f ′(x )＝1－cos x >0， 所以f (x )在(0,2π)上单调递增．答案：单调递增6．解析：∵f (x )＝13x 3－32x 2＋ax ＋4，∴f ′(x )＝x 2－3x ＋a ，又函数f (x )恰在[－1，4]上单调递减，∴－1,4是f ′(x )＝0的两根，∴a ＝(－1)×4＝－4.答案：－47．解：(1)由题意得f ′(x )＝1x－ln x －k e x ，又f ′(1)＝1－ke ＝0，故k ＝1.(2)由(1)知，f ′(x )＝1x－ln x －1e x.设h (x )＝1x －ln x －1(x >0)，则h ′(x )＝－1x 2－1x <0，即h (x )在(0，＋∞)上是减函数．由h (1)＝0知，当0<x <1时，h (x )>0，从而f ′(x )>0； 当x >1时，h (x )<0，从而f ′(x )<0.综上可知，f (x )的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，＋∞)． 8．解：(1)对f (x )求导， 得f ′(x )＝3x 2－2ax －3. 由f ′(x )≥0，得a ≤32⎝⎛⎭⎫x －1x . 记t (x )＝32⎝⎛⎭⎫x －1x ，当x ≥1时，t (x )是增函数， ∴t (x )min ＝32(1－1)＝0.∴a ≤0.(2)由题意，得f ′(3)＝0， 即27－6a －3＝0，∴a ＝4. ∴f (x )＝x 3－4x 2－3x ， f ′(x )＝3x 2－8x －3.令f ′(x )＝0，得x 1＝－13，x 2＝3.当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：∴f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎤－∞，－13，[3，＋∞)， f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－13，3. 第Ⅱ卷：提能增分卷1．解：(1)当a ＝0时，f (x )＝x 2e x ，f ′(x )＝2x e x ＋x 2e x ＝(x 2＋2x )e x ，由f ′(x )>0⇒x >0或x <－2，故f (x )的单调增区间为(0，＋∞)和(－∞，－2)．(2)由f (x )＝(x 2－ax )e x ，x ∈R⇒f ′(x )＝(2x －a )e x ＋(x 2－ax )e x ＝[x 2＋(2－a )x －a ]e x . 记g (x )＝x 2＋(2－a )x －a ，依题意，x ∈[－1,1]时，g (x )≤0恒成立，结合g (x )的图像特征得⎩⎪⎨⎪⎧g (1)＝3－2a ≤0，g (－1)＝－1≤0，即a ≥32，所以a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 2．解：(1)f ′(x )＝a x ln a ＋2x －ln a ＝2x ＋(a x －1)ln a . ∵a >1，∴当x ∈(0，＋∞)时，ln a >0， a x －1>0， ∴f ′(x )>0，∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．(2)∵f (x )＝e x ＋x 2－x －4，∴f ′(x )＝e x ＋2x －1，∴f ′(0)＝0，当x >0时，e x >1， ∴f ′(x )>0，∴f (x )是(0，＋∞)上的增函数；同理，f (x )是(－∞，0)上的减函数． 又f (0)＝－3<0，f (1)＝e －4<0， f (2)＝e 2－2>0，当x >2时，f (x )>0， ∴当x >0时，函数f (x )的零点在(1,2)内， ∴k ＝1满足条件；f (0)＝－3<0，f (－1)＝1e －2<0，f (－2)＝1e2＋2>0，当x <－2时，f (x )>0，∴当x <0时，函数f (x )的零点在(－2，－1)内，∴k ＝－2满足条件． 综上所述，k ＝1或－2.3．解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x ＋2mx ＝1＋2mx 2x.当m ≥0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增． 当m <0时，由f ′(x )＝0得x ＝ －12m. 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，－12m 时，f ′(x )>0，f (x )在⎝⎛⎭⎫0， －12m 上单调递增； 当x ∈⎝⎛⎭⎫－12m ，＋∞时，f ′(x )<0，f (x )在 ⎝⎛⎭⎫－12m ，＋∞上单调递减． 综上所述，当m ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当m <0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－12m 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－12m ，＋∞上单调递减．(2)依题意，设A (a ，f (a ))，B (b ，f (b ))，不妨设a >b >0， 则k AB ＝f (a )－f (b )a －b>1恒成立， 即f (a )－f (b )>a －b 恒成立， 即f (a )－a >f (b )－b 恒成立， 令g (x )＝f (x )－x ＝ln x ＋mx 2－x ， 则g (x )在(0，＋∞)上为增函数，所以g ′(x )＝1x ＋2mx －1＝2mx 2－x ＋1x ≥0对x ∈(0，＋∞)恒成立，所以2mx 2－x ＋1≥0对x ∈(0，＋∞)恒成立，即2m ≥－1x 2＋1x ＝－⎝⎛⎭⎫1x －122＋14对x ∈(0，＋∞)恒成立，因此m ≥18. 故实数m 的取值范围为⎣⎡⎭⎫18，＋∞.。

题组层级快练（三十）1.已知点A （－1，1），B （2，y ），向量a ＝（1，2），若AB →∥a ，则实数y 的值为（ ） A.5 B.6 C.7 D.8答案 C解析 AB →＝（3，y －1），a ＝（1，2），AB →∥a ，则2×3＝1×（y －1），解得y ＝7，故选C.2.已知M （3，－2），N （－5，－1），且MP →＝12MN →，则P 点的坐标为（ ）A.（－8，1）B.（－1，－32）C.（1，32）D.（8，－1）答案 B解析 设P （x ，y ），则MP →＝（x －3，y ＋2）.而12MN →＝12（－8，1）＝（－4，12），∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－4，y ＋2＝12.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－32. ∴P （－1，－32）.故选B.3.如果e 1，e 2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（ ） A.e 1与e 1＋e 2 B.e 1－2e 2与e 1＋2e 2 C.e 1＋e 2与e 1－e 2 D.e 1＋3e 2与6e 2＋2e 1答案 D解析 选项A 中，设e 1＋e 2＝λe 1，则⎩⎪⎨⎪⎧1＝λ，1＝0，无解；选项B 中，设e 1－2e 2＝λ（e 1＋2e 2），则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，－2＝2λ，无解；选项C 中，设e 1＋e 2＝λ（e 1－e 2），则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，1＝－λ，无解；选项D 中，e 1＋3e 2＝12（6e 2＋2e 1），所以两向量是共线向量.4.设向量a ＝（1，－3），b ＝（－2，4），若表示向量4a ，3b －2a ，c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c 为（ ） A.（1，－1） B.（－1，1） C.（－4，6）D.（4，－6）答案 D解析 由题知4a ＝（4，－12），3b －2a ＝（－6，12）－（2，－6）＝（－8，18），由4a ＋（3b －2a ）＋c ＝0，知c ＝（4，－6），选D.5.（2018·河北唐山一模）在△ABC 中，∠B ＝90°，AB →＝（1，－2），AC →＝（3，λ），则λ＝（ ） A.－1 B.1 C.32 D.4答案 A解析 在△ABC 中，∵AB →＝（1，－2），AC →＝（3，λ），∴BC →＝AC →－AB →＝（2，λ＋2）.又∵∠B ＝90°，∴AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，即2－2（λ＋2）＝0，解得λ＝－1.故选A. 6.（2018·湖北襄阳模拟）设向量a ＝（m ，2），b ＝（1，m ＋1），且a 与b 的方向相反，则实数m 的值为（ ） A.－2 B.1C.－2或1D.m 的值不存在 答案 A解析 向量a ＝（m ，2），b ＝（1，m ＋1），因为a ∥b ，所以m （m ＋1）＝2×1，解得m ＝－2或1.当m ＝1时，a ＝（1，2），b ＝（1，2），a 与b 的方向相同，舍去；当m ＝－2时，a ＝（－2，2），b ＝（1，－1），a 与b 的方向相反，符合题意.故选A.7.在▱ABCD 中，若AD →＝（3，7），AB →＝（－2，3），对角线交点为O ，则CO →等于（ ） A.（－12，5）B.（－12，－5）C.（12，－5）D.（12，5）答案 B解析 CO →＝－12AC →＝－12（AD →＋AB →）＝－12（1，10）＝（－12，－5）.8.（2018·湖北襄樊一模）已知OA →＝（1，－3），OB →＝（2，－1），OC →＝（k ＋1，k －2），若A ，B ，C 三点不能构成三角形，则实数k 应满足的条件是（ ） A.k ＝－2 B.k ＝12C.k ＝1D.k ＝－1 答案 C解析 若点A ，B ，C 不能构成三角形，则向量AB →与AC →共线. 因为AB →＝OB →－OA →＝（2，－1）－（1，－3）＝（1，2），AC →＝OC →－OA →＝（k ＋1，k －2）－（1，－3）＝（k ，k ＋1）.所以1×（k ＋1）－2k ＝0，解得k ＝1，故选C.9.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量OA →＝a ，OB →＝b ，其中a ＝（3，1），b ＝（1，3）.若OC →＝λa ＋μb ，且0≤λ≤μ≤1，则C 点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是（ ）答案 A解析 由题意知OC →＝（3λ＋μ，λ＋3μ），取特殊值，λ＝0，μ＝0，知所求区域包含原点，取λ＝0，μ＝1，知所求区域包含（1，3），从而选A.10.（2017·安徽合肥一模）已知a ＝（1，3），b ＝（－2，k ），且（a ＋2b ）∥（3a －b ），则实数k ＝________. 答案 －6解析 ∵a ＝（1，3），b ＝（－2，k ），∴a ＋2b ＝（－3，3＋2k ），3a －b ＝（5，9－k ）.∵（a ＋2b ）∥（3a －b ），∴－3（9－k ）－5（3＋2k ）＝0，解得k ＝－6.11.已知梯形ABCD ，其中AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A （1，2），B （2，1），C （4，2），则点D 的坐标为________. 答案 （2，4）解析 ∵在梯形ABCD 中，DC ＝2AB ，∴DC →＝2AB →.设点D 的坐标为（x ，y ），则DC →＝（4，2）－（x ，y ）＝（4－x ，2－y ），AB →＝（2，1）－（1，2）＝（1，－1），∴（4－x ，2－y ）＝2（1，－1），即（4－x ，2－y ）＝（2，－2），∴⎩⎪⎨⎪⎧4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4， 故点D 的坐标为（2，4）.12.已知A （－3，0），B （0，3），O 为坐标原点，C 在第二象限，且∠AOC ＝30°，OC →＝λOA →＋OB →，则实数λ的值为________. 答案 1解析 由题意知OA →＝（－3，0），OB →＝（0，3），则OC →＝（－3λ，3）. 由∠AOC ＝30°知以x 轴的非负半轴为始边，OC 为终边的一个角为150°， ∴tan150°＝3－3λ，即－33＝－33λ，∴λ＝1.13.（2018·河北联盟二模）已知点A （1，0），B （1，3），点C 在第二象限，且∠AOC ＝150°，OC →＝－4OA →＋λOB →，则λ＝________. 答案 1解析 ∵点A （1，0），B （1，3），点C 在第二象限，OC →＝－4OA →＋λOB →，∴C （λ－4，3λ）.∵∠AOC ＝150°，∴∠COx ＝150°，∴tan150°＝3λλ－4＝－33，解得λ＝1.14.已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且∠AOC ＝30°.设OC →＝mOA →＋nOB →（m ，n ∈R ），则m n ＝________.答案 3解析 方法一：如图所示，∵OA →·OB →＝0，∴OB →⊥OA →.不妨设|OC →|＝2，过C 作CD →⊥OA →于D ，CE →⊥OB →于E ，则四边形ODCE 是矩形. OC →＝OD →＋DC →＝OD →＋OE →.∵|OC →|＝2，∠COD ＝30°，∴|DC →|＝1，|OD →|＝ 3. 又∵|OB →|＝3，|OA →|＝1， 故OD →＝ 3 OA →，OE →＝33OB →.∴OC →＝ 3 OA →＋33OB →，此时m ＝3，n ＝33.∴m n ＝333＝3.方法二：由OA →·OB →＝0知△AOB 为直角三角形，以OA ，OB 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，则可知OA →＝（1，0），OB →＝（0，3）.又由OC →＝mOA →＋nOB →，可知OC →＝（m ，3n ），故由tan30°＝3n m ＝33，可知mn＝3. 15.（2018·湖南长沙一模）在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝2，P 是矩形内部一点（不含边界），且AP ＝1.若AP →＝xAB →＋yAD →，则3x ＋2y 的取值范围是________. 答案 （1，2]解析 ∵在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝2，如图，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A （0，0），B （3，0），D （0，2），∴AP →＝xAB →＋yAD →＝x （3，0）＋y （0，2）＝（3x ，2y ）.∵|AP →|＝1，∴（3x ）2＋（2y ）2＝1.令3x ＝cos θ，2y ＝sin θ，θ∈（0，π2），则3x ＋2y ＝cos θ＋sin θ＝2sin （θ＋π4），∵π4＜θ＋π4＜34π，∴22＜sin （θ＋π4）≤1，1＜3x ＋2y ≤2，即3x ＋2y 的取值范围是（1，2].16.已知A ，B ，C 三点的坐标分别为（－1，0），（3，－1），（1，2），并且AE →＝13AC →，BF →＝13BC →. （1）求E ，F 的坐标； （2）求证：EF →∥AB →.答案 （1）E （－13，23），F （73，0） （2）略解析 （1）设E ，F 两点的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），则依题意，得AC →＝（2，2），BC →＝（－2，3），AB →＝（4，－1）.∴AE →＝13AC →＝（23，23），BF →＝13BC →＝（－23，1）.∴AE →＝（x 1，y 1）－（－1，0）＝（23，23），BF →＝（x 2，y 2）－（3，－1）＝（－23，1）.∴（x 1，y 1）＝（23，23）＋（－1，0）＝（－13，23），（x 2，y 2）＝（－23，1）＋（3，－1）＝（73，0）.∴E 的坐标为（－13，23），F 的坐标为（73，0）.（2）由（1）知（x 1，y 1）＝（－13，23），（x 2，y 2）＝（73，0）.∴EF →＝（x 2，y 2）－（x 1，y 1）＝（83，－23）.又AB →＝（4，－1），∵4×（－23）－（－1）×83＝0，∴EF →∥AB →.17.已知向量a ＝（sin θ，cos θ－2sin θ），b ＝（1，2）. （1）若a ∥b ，求tan θ的值； （2）若|a |＝|b |，0＜θ＜π，求θ的值. 答案 （1）14 （2）π2或3π4解析 （1）因为a ∥b ，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ，于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝14.（2）由|a |＝|b |知，sin 2θ＋（cos θ－2sin θ）2＝5，所以 1－2sin2θ＋4sin 2θ＝5.从而－2sin2θ＋2（1－cos2θ）＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1，于是sin （2θ＋π4）＝－22.又由0＜θ＜π知，π4＜2θ＋π4＜9π4，所以2θ＋π4＝5π4或2θ＋π4＝7π4.因此θ＝π2或θ＝3π4.18.（2018·潍坊二模）已知向量AB →＝（6，1），BC →＝（x ，y ），CD →＝（－2，－3）. （1）若BC →∥DA →，求x 与y 之间的关系式；（2）在（1）的条件下，若AC →⊥BD →，求x ，y 的值及四边形ABCD 的面积. 答案 （1）x ＋2y ＝0（2）x ＝－6，y ＝3，S 四边形ABCD ＝16解析 （1）∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝（x ＋4，y －2）， ∴DA →＝－AD →＝（－x －4，2－y ）.又BC →∥DA →且BC →＝（x ，y ）， ∴x （2－y ）－y （－x －4）＝0， 即x ＋2y ＝0.①（2）由于AC →＝AB →＋BC →＝（x ＋6，y ＋1）， BD →＝BC →＋CD →＝（x －2，y －3）， 又AC →⊥BD →， ∴AC →·BD →＝0，即（x ＋6）（x －2）＋（y ＋1）（y －3）＝0.② 联立①②，化简得y 2－2y －3＝0. 解得y ＝3或y ＝－1. 故当y ＝3时，x ＝－6，此时AC →＝（0，4），BD →＝（－8，0）， 当y ＝－1时，x ＝2.此时AC →＝（8，0），BD →＝（0，－4）. ∴S 四边形ABCD ＝12|AC →|·|BD →|＝16.1.（2018·西安一模）已知向量a ＝（m －1，2），b ＝（3，m ＋4），若a ∥b ，且方向相反，则|b |＝（ ） A. 5 B.10 C.3 5 D.210答案 B思路 本题需要先利用向量共线定理（或利用向量的坐标运算），求出参数m 的值（注意向量a ，b 方向相反），再根据向量模的计算公式进行求解. 解析 方法一：依题意可设a ＝t b （t ＜0），则（m －1，2）＝t （3，m ＋4），所以⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝3t ，2＝t （m ＋4），解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝－2，m ＝－5.从而b ＝（3，－1），所以|b |＝10.故选B.方法二：因为a ∥b ，所以（m －1）（m ＋4）－6＝0， 解得m ＝－5或m ＝2.根据向量a ，b 方向相反可知，m ＝－5符合题意. 从而b ＝（3，－1），所以|b |＝10.故选B.2.在平面直角坐标系中，点O （0，0），P （6，8），将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转3π4后得向量OQ →，则点Q 的坐标是（ ） A.（－72，－2） B.（－72，2） C.（－46，－2） D.（－46，2）答案 A解析 设OP →与x 轴正半轴的夹角为θ，则cos θ＝35，sin θ＝45，则由三角函数定义，可得OQ→＝（|OP →|cos （θ＋3π4），|OP →|sin （θ＋3π4））.∵|OP →|cos （θ＋3π4）＝62＋82×（cos θcos 3π4－sin θsin 3π4）＝10×[35×（－22）－45×22]＝－72，|OP →|sin （θ＋3π4）＝62＋82×（sin θcos 3π4＋cos θsin 3π4）＝10×[45×（－22）＋35×22]＝－2，∴OQ →＝（－72，－2）， 即点Q 的坐标为（－72，－2）.3.（2018·吉林普通高中二模）在等腰直角三角形ABC 中，AC ＝BC ，点D 在AB 边上且满足CD →＝tCA →＋（1－t ）CB →.若∠ACD ＝60°，则t 的值为（ ） A.3－12 B.3－1 C.3－22D.3＋12答案 A解析 ∵CD →＝tCA →＋（1－t ）CB →，∴A ，B ，D 三点共线.由题意建立如图所示的直角坐标系，设AC ＝BC ＝1，则C （0，0），A （1，0），B （0，1）.直线AB 的方程为x ＋y ＝1，直线CD 的方程为y ＝3x ，联立解得x ＝3－12，y ＝3－32，∴D （3－12，3－32），∴CD →＝（3－12，3－32）.∵CA →＝（1，0），CB →＝（0，1），∴tCA →＋（1－t ）CB →＝（t ，1－t ），∴（3－12，3－32）＝（t ，1－t ），解得t ＝3－12.故选A. 4.与直线3x ＋4y ＋5＝0的方向向量共线的一个单位向量是（ ） A.（3，4）B.（4，－3）C.（35，45）D.（45，－35）答案 D5.若平面向量a ，b 满足|a ＋b |＝1，a ＋b 平行于x 轴，b ＝（2，－1），则a ＝________. 答案 （－1，1）或（－3，1）解析 设a ＝（x ，y ），∵b ＝（2，－1），则a ＋b ＝（x ＋2，y －1），∵a ＋b 平行于x 轴，∴y －1＝0，y ＝1，故a ＋b ＝（x ＋2，0），又∵|a ＋b |＝1，∴|x ＋2|＝1，∴x ＝－1或x ＝－3，∴a ＝（－1，1）或a ＝（－3，1）.。

§ 2.6对数与对数函数A组2014—2015年模拟·基础题组限时:15分钟1.(2015广东佛山质检，9）设a=cos 420°，函数f（x）={a x,x≤0,log a x,x>0,则f(14)+f(log216)的值等于( ）A.8 B。

7 C。

6 D.52。

(2014浙江绍兴一中期中,9）设函数f(x）=｜log a x｜(0〈a<1)的定义域为［m，n］（m〈n）,值域为[0,1］,若n—m的最小值为13,则实数a的值为（)A。

14B.14或23C。

23D.23或343。

(2014云南统一检测,10)设a=log210，b=log315，c=log735,则（）A。

c〉a〉b B.b>c〉aC。

b>a〉c D.a>b>c4。

(2014辽宁五校协作体联考,8）设函数f（x)=log a｜x｜在（-∞，0）上单调递增,则f(a+1）与f(2)的大小关系是（）A.f(a+1)〉f（2)B.f(a+1）<f(2）C。

f(a+1）=f（2）D。

不能确定5。

（2014上海虹口二模,5)已知函数y=f(x）是函数y=a x（a>0且a≠1）的反函数,其图象过点（a2,a)，则f（x）= 。

6。

（2014皖南八校第三次联考，11)已知函数f(x)={f(x+2)+2,x<3,2x,x≥3,则f（log23）= .B组2014—2015年模拟·提升题组限时:30分钟1.（2014湖南岳阳一中第六次质量检测，10)已知0〈m1<2〈m2，a〉0,且a≠1，若log a m1=m1—1,log a m2=m2—1,则实数a的取值范围是( ）A。

2〈a<3 B.0〈a<1C。

1<a〈2 D。

3<a<42.(2015山西大学附中月考)当x∈（1，2）时,不等式（x—1)2〈log a x恒成立,则实数a的取值范围是.（a〉0，且a≠1)是3.(2014上海崇明一模,9)已知函数f(x）=log a2m-1-mxx+1奇函数,则函数f(x）的定义域为.4.(2014山东淄博一模，11)已知函数f(x)为奇函数，当x〉0时，f（x）=log2x,则满足不等式f（x)〉0的x的取值范围是.5.（2014上海松江模拟，13）已知函数f(x)=|log a|1-x｜|（a〉0,且a≠1)，若x1<x2<x3〈x4，且f(x1）=f（x2）=f(x3）=f(x4),则1x1+1x2+1x3+1x4= 。