高中数学 2.2.2对数函数及其性质(2)精讲精析 新人教A版必修1

探究新知
2.对数函数 ylo gax(a0 ,且 a1 )的图像 思考：当0<a<1时， y=logax图像变化分布情况又如何 探究
呢？
（2）当0<a<1时， y=logax图像变化分布情况如下：
3.对数函数的图像及其性质 请同学们整理完成下表
一般地，对数函数 ylo gax(a0 ,且 a1 )的图像和性质如下：
新知运用
例1. 求下列函数的定义域. (a0,且a1) (1)y2loga x 函数定义域为 (0, ) (2)yloga x2
(3)yloga(4x)
新知运用
对数函数性质
例2. 比较下列各组数中两个值的大小
(1)log23.4,log28.5 解析
log23.4log28.3
(2)log0.31.8,log0.32.7
描点法作函数图像的步骤是：
思考：当0<a<1时， y=logax图像变化分布情况又如何呢？
思考：当0<a<1时， y=logax图像变化分布情况又如何呢？
（1）为什么规定
?
描点法作函数图像的步骤是：
欢迎各位领导，老师 对数函数
的图像
（2）如果一位师傅拉完面后，得到256根面条,请问拉面师傅需要拉几扣?
过定点(1, 0)，即当x＝1时，y＝0.
对数函数
的图像
对数函数 （2）函数的图的像定义域是什么?
(0, )
下面，我们来研究对数函数 ylo gax(a0 ,且 a1 )
的图像.
探究新知
a(0,1) (1,)
2.对数函数 ylo gax(a0 ,且 a1 )的图像
例：a=2时,
y=log2x，试作函数y=log2x的图像.

第一课时对数函数的图象及性质[读教材·填要点]1．对数函数的概念函数y＝log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量．2．对数函数的图象与性质a＞10＜a＜1 图像性质定义域(0，＋_∞)值域R过定点过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0函数值的变化当0＜x＜1时，y＜0当x＞1时，y＞0当0＜x<1时，y＞0当x＞1时，y＜03．反函数对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)和指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)互为反函数．[小问题·大思维]1．对数函数中为什么定义域为(0，＋∞)?提示：因为负数和0没有对数．2．函数y＝log a(x＋1)与y＝2log a x都是对数函数吗？判断对数函数的标准是什么？提示：都不是，依据对数函数的定义判断，必须底数为常数a，且a>0且a≠1，真数是自变量x，系数必须是1.3．若函数f(x)＝log13x，且a>b>1，则f(a)，f(b)与0的大小关系是什么？提示：∵0<13<1，∴函数f(x)＝log13x在(0，＋∞)上为减函数．又∵a>b>1，∴log13a<log13b<log131＝0.即f(a)<f(b)<0.[例1] 求下列函数的定义域：(1)f (x )＝lg4－xx －3(2)y ＝log 0.14x －3.[自主解答] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧4－x >0x －3≠0得x <4且x ≠3.∴所求定义域为(－∞，3)∪(3,4)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧4x －3>0log 0.14x －3≥0得⎩⎪⎨⎪⎧4x －3>04x －3≤1，∴34<x ≤1.∴所求定义域为(34，1]．——————————————————求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意底数；三是按底数的取值应用单调性.————————————————————————————————————————1．求下列函数定义域． (1)y ＝log (x －1)(3－x )； (2)y ＝log 2x ＋1－1. 解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧3－x >0x －1>0x －1≠1得1<x <3且x ≠2.∴定义域为{x |1<x <3且x ≠2}． (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0log 2x ＋1－1≥0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0x ＋1≥2得x ≥1.∴定义域为[1，＋∞).对数函数的图象[例2] 如图是对数函数y ＝log a x 的图象，已知a 取值3，43，35，110，则图象C 1，C 2，C 3，C 4相应的a 值依次是( )A.3、43、35、110B.3、43、110、35C.43、3、35、110D.43、3、110、35[自主解答] 过(0,1)作平行于x 轴的直线，与C 1，C 2，C 3，C 4的交点的坐标为(a 1,1)，(a 2,1)，(a 3,1)，(a 4,1)，其中a 1，a 2，a 3，a 4分别为各对数的底，显然a 1>a 2>a 3>a 4，所以C 1，C 2，C 3，C 4的底数依次由大到小．[答案] A——————————————————1y＝log a x a>0，且a≠1图象无限地靠近于y轴，但永远不会与y轴相交.2设y1＝l og a x，y2＝l og b x，其中a>1，b>1或0<a<1，0<b<1，则当x>1时，“底大图低”，即若a>b，则y1<y2.当0<x<1时，“底大图高”，即若a>b，则y1>y2.3在同一坐标系内，y＝log a x a>0，且a≠1的图象与y＝log\f(1,a)x a>0，且a≠1的图象关于x轴即y＝0对称. ————————————————————————————————————————2．当a>1时，函数y＝log a x和y＝(1－a)x的图象只能是( )解析：∵a >1，∴函数y ＝log a x 为增函数，且图象过定点(1,0)，故C 、D 均不正确．又∵1－a <0，∴函数y ＝(1－a )x 的图象应过坐标原点且经过第二、四象限．答案：B对数函数图象应用[例3] 已知f (x )＝|lg x |，且1c＞a ＞b ＞1，试比较f (a )、f (b )、f (c )的大小．[自主解答] 先作出函数y ＝lg x 的图象，再将图象位于x 轴下方的部分折到x 轴上方，于是得f (x )＝|lg x |图象，(如图)由图象可知，f (x ) 在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．由1c ＞a ＞b ＞1得：f (1c)＞f (a )＞f (b )，而f (1c )＝|lg 1c|＝|－lg c |＝|lg c |＝f (c )．∴f (c )＞f (a )＞f (b )．若依据例3条件求解“f(x)<1”满足的x的取值范围．解：由例3图可知f(x)<1即－1<lg x<1.∴x的取值范围为(110，10)．——————————————————1作对数函数图象，注意图象无限靠近于y轴，过1，0点及其单调性.2y＝|f x|图象可以由y＝f x图象得到，具体过程：保留y＝f x在x轴上方的图象，再将y＝f x图象在x轴下方的部分折到x轴上方. ————————————————————————————————————————3．函数f (x )＝|log 3x |在区间[a ，b ]上的值域为[0,1]，则b －a 的最小值为________．解析：数形结合|log 3x |＝0，则x ＝1，|log 3x |＝1，则x ＝13或3.作图由图可知(b －a )min ＝1－13＝23.答案：23函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，求a 的值． [错解] 因为函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)，在[2,4]最大值为log a 4，最小值为log a 2.所以log a 4－log a 2＝1，即log a 42＝1，a ＝2.[错因] 错解中误以为函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在[2,4]上是增函数．[正解] (1)当a >1时，函数y ＝log a x 在[2,4]上是增函数，所以log a 4－log a 2＝1，即log a 42＝1, 所以a ＝2.(2)当0<a <1时，函数y ＝log a x 在[2,4]上是减函数，所以log a 2－log a 4＝1，即log a 24＝1，所以a ＝12.综上a ＝2或a ＝12.1．函数f (x )＝3x21－2x＋lg(2x ＋1)的定义域是( ) A ．(－12，＋∞)B ．(－12，1)C ．(－12，12)D ．(－∞，－12)解析：由⎩⎪⎨⎪⎧1－2x >02x ＋1>0得－12<x <12.答案：C2．函数y ＝log a x 的图象如图所示，则实数a 的可能取值是( ) A ．5 B.15 C.1eD.12解析：∵函数y ＝log a x 的图象一致上升，∴函数y ＝log a x 为单调增函数， ∴a >1. 答案：A3．设a ＝log 123，b ＝(13)0.3，c ＝213，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c解析：∵a ＝log 123<log 121＝0,0<b ＝(13)0.3<(13)0＝1，c ＝213>20＝1.∴a <b <c .答案：A4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x，x ≤0，则f (f (14))＝________.解析：f (14)＝log 214＝－2.f (f (14))＝f (－2)＝3－2＝19.答案：195．已知log 0.6(x ＋2)>log 0.6(1－x )，则实数x 的取值范围是________． 解析：∵函数y ＝log 0.6x 为减函数，∴结合定义域可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>01－x >0x ＋2<1－x得⎩⎪⎨⎪⎧x >－2x <1x <－12∴－2<x <－12.答案：(－2，－12)6．已知函数y ＝log a (x ＋b )的图象如图所示，求实数a 与b 的值．解：由图象可知，函数的图象过点(－3,0)和(0,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧log a b －3＝0log a b ＝2，解之得b ＝4，a ＝2.一、选择题1．已知函数f(x)＝11－x的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∩N等于( )A．{x|x>－1} B．{x|x<1}C．{x|－1<x<1} D．∅解析：由题意得M＝{x|x<1}，N＝{x|x>－1}，则M∩N＝{x|－1<x<1}．答案：C2．函数f(x)＝log2(3x＋3－x)是( )A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．不是奇函数又不是偶函数解析：∵3x＋3－x>0恒成立．∴f(x)的定义域为R.又∵f(－x)＝log2(3－x＋3x)＝f(x)．∴f(x)为偶函数．答案：B3．如图是三个对数函数的图象，则a、b、c的大小关系是( )A ．a >b >cB ．c >b >aC ．c >a >bD ．a >c >b解析：由图可知a >1，而0<b <1,0<c <1，取y ＝1，则可知c >b .∴a >c >b . 答案：D4．已知函数f (x )＝|lg x |.若a ≠b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋b 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：f (x )＝|lg x |的图象如图所示， 由题可设0<a <1，b >1， ∴|lg a |＝－lg a ，|lg b |＝lg b ， ∴－lg a ＝lg b .即1a ＝b ，∴a ＋b ＝a ＋1a(0<a <1)．又∵函数y ＝x ＋1x(0<x <1)为减函数，∴a ＋1a>2.答案：C 二、填空题5．对数函数的图象过点(16,4)，则此函数的解析式为________． 解析：设f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，则log a 16＝4. ∴a 4＝16，又∵a >0且a ≠1，∴a ＝2.即f (x )＝log 2x . 答案：f (x )＝log 2x6．已知函数y ＝3＋log a (2x ＋3)(a >0且a ≠1)的图象必经过定点P ，则P 点坐标________．解析：∵当2x ＋3＝1即x ＝－1时，log a (2x ＋3)＝0，y ＝3，P (－1,3)． 答案：(－1,3)7．方程x 2＝log 12x 解的个数是________．解析：函数y ＝x 2和y ＝log 12x 在同一坐标系内的图象大致为：答案：18．若实数a 满足log a 2>1，则a 的取值范围为________． 解析：当a >1时，log a 2>1＝log a a . ∴2>a .∴1<a <2；当0<a <1时，log a 2<0. 不满足题意． 答案：1<a <2 三、解答题9．(1)已知函数y ＝lg(x 2＋2x ＋a )的定义域为R ，求实数a 的取值范围；(2)已知函数f (x )＝lg[(a 2－1)x 2＋(2a ＋1)x ＋1]，若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围．解：(1)因为y ＝lg(x 2＋2x ＋a )的定义域为R ， 所以x 2＋2x ＋a >0恒成立，所以Δ＝4－4a <0， 所以 a >1.故a 的取值范围是(1，＋∞)．(2)依题意(a 2－1)x 2＋(2a ＋1)x ＋1>0对一切x ∈R 恒成立．当a 2－1≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1>0，Δ＝2a ＋12－4a 2－1<0.解得a <－54.当a 2－1＝0时，显然(2a ＋1)x ＋1>0，对x ∈R 不恒成立． 所以a 的取值范围是(－∞，－54)．10．已知函数f (x )＝log a x ＋1x －1(a >0，且a ≠1)． (1)求f (x )的定义域： (2)判断函数的奇偶性．解：(1)要使函数有意义，则有x ＋1x －1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x －1>0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，x －1<0，解得x >1或x <－1，此函数的定义域为(－∞，－1)∪(1， ＋∞)，关于原点对称．(2)f (－x )＝log a －x ＋1－x －1＝log a x －1x ＋1＝－log ax ＋1x －1＝－f (x )．∴f (x )为奇函数．。

对数函数及其性质教学设计1. 教学方法建构主义学习观，强调以学生为中心，学生在教师指导下对知识的主动建构。

它既强调学习者的认知主体作用，又不忽视教师的指导作用。

高中一年级的学生正值身心发展的过渡时期，思维活跃，具有一定的独立性，喜欢新鲜事物，敢于大胆发表自己的见解，不过思维还不是很成熟.在目标分析的基础上，根据建构主义学习观，及学生的认知特点，我拟采用“探究式．．．”教学方法。

将一节课的核心内容通过四个活动的形式引导学生对知识进行主动建构。

其理论依据为建构主义学习理论。

它很好地体现了“学生为主体，教师为主导，问题为主线，思维为主攻”的“四为主”的教学思想。

2. 学法指导新课程强调“以学生发展为核心”，强调培养学生的自主探索能力与合作学习能力。

因此本节课学生将在教师的启发诱导下对教师提供的素材经历创设情境→获得新知→作图察质→问题探究→归纳性质→学以致用→趁热打铁→画龙点睛→自我提升的过程，这一过程将激发学生积极参与到教学活动中来。

3. 教学手段本节课我选择计算机辅助教学。

增大课堂容量，提高课堂效率；激发学生的学习兴趣，展示运动变化过程，使信息技术真正为教学服务．4. 教学流程创设情境获得新知作图察质问题探究归纳性质由“考古问题”引入对数函数定义列表、描点、连线底数a对图象的影响分析归纳函数性质学以致用例题分析解答二、形成概念、获得新知 定义：一般地，我们把函数叫做对数函数。

其中x 是自变量，定义域为例1求下列函数的定义域： （1）；（2）.解：（1）函数的定义域是。

（2）函数的定义域是。

归纳：形如的的函数的定义域要考虑— 三、探究归纳、总结性质 活动1：小组合作，每个组内分别利用描点法画和的图象，组长合理分工，看哪个小组完成的最好。

选取完成最好、最快的小组，由组长在班内展示。

活动2：小组讨论，对任意的a 值，对数函数图象怎么画？ 教师带领学生一起举手，共同画图。

活动3：对a ＞1时，观察图象，你能发现图象有哪些图形特征吗？然后由学生讨论完成下表左边： 函数的图象特征 函数的性质 图象都位于y 轴的右方 定义域是图象向上向下无限延展 值域是R图象都经过点（1，0）当x=1时，总有y=0log a y x =≠（a>0,且a 1）()0,+∞2log a y x =log (4)a y x =-200x x >∴≠∴2log a y x ={}0x x ≠404x x ->∴<∴log (4)a y x =-{}4x x <log ()a y f x =()0.f x >23log ,log y x y x ==1123log ,log y x y x ==log a y x =log a y x =()0,+∞））注：底数非常数，要分类讨论当a>1时，且3.4<8.50.3log y x =————————————————以下无正文————————————————以上高中数学必修教学课程教案均为word文字可编辑版，如果刚好符合你要求，欢迎下载使用。

例 2 判断函数 f（x）=ln（ 1 x 2 －x）的奇偶性.
例 2 解：∵ x 2 1 ＞x 恒成立， 故（x）的定义域为（－∞，+∞），
又∵f（－x）=ln（ 1 x 2 +x）
=－ln
1
1 x2 x
=－ln 1 x 2 x ( 1 x2 )2 x2
=－ln（ 1 x 2 －x） =－f（x）， ∴f（x）为奇函数. 在根据函数的单调性的定义判断函 数单调性的时候，首先应该根据函数的 解析式确定函数的定义域，当所给函数 的定义域关于原点对称时，再判断 f（x）和 f（－x）之间的关系. f（x）为奇函数 f（－x）=－f（x） f（x）+f（－x）=0 f (x) =－1〔f（x）≠0〕，
∴log2（x12+1）＜log2（x22+1）， 即 f（x1）＜f（x2）. ∴函数 f（x）=log2（x2+1）在 （0，+∞）上是增函数.
（2）解：是减函数，证明可以仿照
上述证明过程.
小结：利用定义证明函数的单调性
a(x 2 1) 例 4 已知 f（logax）= x(a 2 1) ，其
比较的形式，必要时还可以“搭桥”——找一个与二者有关联的第三量，以二者与第三量
（一般是–1、0、1）的关系，来判断二者的关系，另外，还可利用函数图象直观判断，比
较大小方法灵活多样，是对数学能力的极好训练.
例2
求证：函数
f
(x)
=
log 2
x 1
x
在(0, 1)上是增函数.
【分析】根据函数单调性定义来证明.
f（－x）－f（x）=0 f (x) =1〔f（x）≠0〕. f (x) 在解决具体问题时，可以根据函数