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二项分布及其应用引入姚明作为中锋，他职业生涯的罚球命中率为0．8，假设他每次命中率相同,请问他4投3中的概率是多少?问题1：在4次投篮中姚明恰好命中1次的概率是多少? 问题2：在4次投篮中姚明恰好命中2次的概率是多少? 问题３：在4次投篮中姚明恰好命中3次的概率是多少? 问题4：在4次投篮中姚明恰好命中4次的概率是多少？ 问题5：在n 次投篮中姚明恰好命中k 次的概率是多少?解读1、条件概率（1）条件概率的定义：对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号“(|)P B A ”来表示． （2）条件概率公式：()()()P A B P B A P A =I 其中()0P A A B >I ，称为事件A 与B 的积或交（或积）．把由事件A 与B 的交（或积），记做D A B =I （或D AB =）． （3）条件概率的求法：①利用定义，分别求出()P A 和()P B A ，得()()()P A B P B A P A =I ．②借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数，即()n A 再求事件()n A B I ，得()()()n A B P B A n A =I ．2、相互独立事件同时发生的概率（1）事件的独立性 ：如果事件A (或B )是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，(|)()P B A P B =，这时，我们称两个事件A ，B 相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件．如果事件A 与B 相互独立，那么事件A B g 发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即()()()P A B P A P B =g g ．如果事件1A ，2A ，…，n A 相互独立，那么这n 个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的 积，即1212()()()()n n P A A A P A P A P A =⨯⨯⨯I I L I L ，并且上式中任意多个事件i A 换成其对立事件后等式仍成立．（2）“相互独立”与“事件互斥”两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响(如有放回的抽取模型)．两事件相互独立不一定互斥．3、二项分布（1）独立重复试验如果每次试验，只考虑有两个可能的结果A 及A ，并且事件A 发生的概率相同．在相同的条件下，重复地做n 次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n 次独立重复试验．n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为()C (1)kk n k n nP k p p -=-(0,1,2,,)k n =L ．（2）二项分布若将事件A 发生的次数设为X ，事件A 不发生的概率为1q p =-，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率是()C k k n kn P X k p q-==，其中0,1,2,,k n =L ．于是得到X由于表中的第二行恰好是二项展开式001110()C C C C n n n k k n k nn n n n n q p p q p qp q p q --+=++++L L 各对应项的值，所以称这样的散型随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布，记作~(,)X B n p ．典例精讲一．选择题（共19小题）1．（2018春•重庆期末）设随机变量X ～B （3，0.2），则E （2x +1）=（ ） A ．0.6B ．1.2C ．2.2D ．3.2【分析】由随机变量X ～B （3，0.2），E （2x +1）=2E （X ）+1，由此能求出结果． 【解答】解：∵随机变量X ～B （3，0.2）， ∴E （X ）=3×0.2=0.6，∴E （2x +1）=2E （X ）+1=2×0.6+1=2.2． 故选：C ．2．（2018春•泉州期末）设随机变量X ，Y 满足：Y=3X ﹣1，X ～B （2，p ），若P（X ≥1）=59，则D （Y ）=（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【分析】由X ～B （2，p ），P （X ≥1）=59，求出p=13，从而X ～B （2，13），由此能求出D （X ），利用D （Y ）=9E （X ），能求出结果．【解答】解：∵随机变量X ，Y 满足：Y=3X ﹣1，X ～B （2，p ），P （X ≥1）=59，∴P （X=0）=1﹣P （X ≥1）=C 20(1−p)2=49，解得p=13，∴X ～B （2，13），∴D （X ）=2×13×(1−13)=49，∴D （Y ）=9E （X ）=9×49=4．故选：A ．3．（2018春•大连期末）设X 为随机变量，X ～B （n ，13），若随机变量X 的数学期望E （X ）=2，则P （X=2）等于（ ） A ．80243B ．13243C ．4243D ．1316【分析】根据X 为随机变量，X ～B （n ，13），利用二项分布的变量的期望值公式，代入公式得到n 的值，再根据二项分布概率公式得到结果．【解答】解：∵随机变量X 为随机变量，X ～B （n ，13），∴其期望EX=np=13n=2，∴n=6，∴P （X=2）=C 62⋅(13)2(1−13)4=80243．故选：A ．4．（2017春•金州区校级期末）若ξ～B （n ，p ），且E(ξ)=3，D(ξ)=32，则P（ξ=1）的值为 （ ） A ．32B ．14C ．332D ．116【分析】利用二项分布的数学期望和方差性质列出方程组，求出n ，p ，由此能求出P （ξ=1）的值．【解答】解：∵ξ～B （n ，p ），且E(ξ)=3，D(ξ)=32， ∴{np =3np(1−p)=32，解得n=6，p=12，∴P （ξ=1）=C 61(12)(12)5=332． 故选：C ．5．（2017春•庆城县校级期末）已知随机变量X ，Y 满足X +Y=8，若X ～B （10，0.6），则E （Y ），D （Y ）分别是（ ） A ．6和2.4B ．2和2.4C ．2和5.6D ．6和5.6【分析】由随机变量X ，Y 满足X +Y=8，X ～B （10，0.6），求出E （X ），D （X ），由此能求出E （Y ），D （Y ）．【解答】解：∵随机变量X ，Y 满足X +Y=8，X ～B （10，0.6）， ∴E （X ）=10×0.6=6， D （X ）=10×0.6×0.4=2.4，E （Y ）=E （8﹣X ）=8﹣E （X ）=8﹣6=2， D （Y ）=D （8﹣X ）=D （X ）=2.4． 故选：B ．6．（2017春•黄山期末）随机变量ξ服从二项分布ξ～B （n ，P ），且E （ξ）=300，D （ξ）=200，则np等于（ ）A ．3200B ．2700C ．1350D ．1200【分析】根据数学期望和方差列不等式组解出n ，p ，从而得出答案． 【解答】解：由题意可得{np =300np(1−p)=200，解得{n =900p =13，∴np=2700． 故选：B ．7．（2017春•龙海市校级期末）已知离散型随机变量X 服从二项分布X ～B （n ，p ）且E （X ）=12，D （X ）=3，则n 与p 的值分别为（ ）A ．18，23B ．16，34C ．16，14D ．18，14【分析】根据二项分布的均值与方差公式列方程组解出． 【解答】解：∵X ～B （n ，p ）且E （X ）=12，D （X ）=3， ∴{np =12np(1−p)=3，解得{n =16p =34，故选：B ．8．（2017春•辛集市校级月考）若P(ξ=K)=12K ，则n!3!(n−3)!的值为（ ） A ．1B ．20C ．35D ．7【分析】根据P(ξ=K)=12K ，求出n ，即可求出n!3!(n−3)!的值．【解答】解：由P(ξ=K)=12K ，得n(n−1)(n−2)3×2×1=n(n−1)(n−2)(n−3)4×3×2×1，n =7，所以n!3!(n−3)!=7×6×5×4!3!4!=7×6×53×2×1=35．故选：C ．9．（2016秋•东胜区校级期末）已知随机变量X 服从二项分布B （n ，p ），若E （X ）=30，D （X ）=20，则n ，p 分别等于（ ）A ．n=45，p=23B ．n=45，p=13C ．n=90，p=13D ．n=90，p=23【分析】直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可．【解答】解：随机变量X 服从二项分布B （n ，p ），若E （X ）=30，D （X ）=20，可得np=30，npq=20，q=23，则p=13，n=90，故选：C ．10．（2017秋•天心区校级月考）已知随机变量X ：B （20，13），要使P （X=k ）的值最大，则k 等于（ ） A ．5或6B ．6或7C ．7D ．7或8【分析】利用C 20k •（13）k •（23）20﹣k ≥C 20k ﹣1•（13）k ﹣1•（23）21﹣k ，C 20k •（13）k •（23）20﹣k ≥C 20k +1•（13）k +1•（23）19﹣k ，即可得出结论． 【解答】解：P （X=k ）=C 20k •（13）k •（23）20﹣k ，则由题意C 20k •（13）k •（23）20﹣k ≥C 20k ﹣1•（13）k ﹣1•（23）21﹣k ，C 20k •（13）k •（23）20﹣k ≥C 20k +1•（13）k +1•（23）19﹣k ， ∴k=6或7． 故选：B ．11．（2017秋•七里河区校级月考）若X ～B （n ，p ），且E （x ）=6，D （x ）=3，则P （x=1）的值为（ ） A ．116B ．32C ．12D ．34【分析】根据二项分布的期望和方差的计算公式，求得p 和n 的值，根据P （X=k ）=C 12k •（12）k •（12）n ﹣k ，即可求得P （x=1）的值．【解答】解：由题意Ex=np=6，Dx=np （1﹣p ）=3，解得p=12，n=12，∴P （x=1）=C 121•12•（12）11=3•2﹣10． 故选：B ．12．（2017春•抚顺期末）设服从二项分布B ～（n ，p ）的随机变量ξ的期望和方差分别是2.4与1.44，则二项分布的参数n 、p 的值为（ ） A ．n=4，p=0.6B ．n=6，p=0.4C ．n=8，p=0.3D ．n=24，p=0.1【分析】根据随机变量符合二项分布，根据二项分布的期望和方差的公式和条件中所给的期望和方差的值，得到关于n 和p 的方程组，解方程组得到要求的两个未知量．【解答】解：∵ξ服从二项分布B ～（n ，p ） 由Eξ=2.4=np ，Dξ=1.44=np （1﹣p ），可得1﹣p=1.442.4=0.6，∴p=0.4，n=2.40.4=6．故选：B ．13．（2016春•天津校级期末）已知离散型随机变量X 服从二项分布X ～B （n ，p ）且E （X ）=12，D （X ）=4，则n 与p 的值分别为（ ）A ．18，23B ．18，13C ．12，23D ．12，13【分析】根据随机变量符合二项分布，由二项分布的期望和方差的公式，及条件中所给的期望和方差的值，列出期望和方差的关系式，得到关于n 和p 的方程组，解方程组可得到n ，p 的值．【解答】解：∵随机变量X 服从二项分布X ～B （n ，p ），且E （X ）=12，D （X ）=4，∴E （X ）=12=np ，① D （X ）=4=np （1﹣p ），②①与②相除可得1﹣p=13，∴p=23，n=18．故选：A ．14．（2016春•红桥区期末）已知随机变量ξ服从二项分布，且ξ～B （3，13），则P （ξ=1）等于（ ）A ．13B ．49C ．29D ．23【分析】根据随机变量ξ服从二项分布，ξ～B （3，13），得到变量对应的概率公式，把变量等于1代入，求出概率．【解答】解：∵随机变量ξ服从二项分布，ξ～B （3，13），∴P （ξ=1）=C 31⋅13⋅(23)2=49，故选：B ．15．（2016春•福建校级期末）若随机变量ξ～B （10，35），则D （5ξ﹣3）等于（ ）A ．9B ．12C ．57D ．60【分析】利用二项分布的方差公式进行计算．【解答】解：∵随机变量ξ～B （10，35），∴D （ξ）=10×35×25=125∴D （5ξ﹣3）=25D （ξ）=60． 故选：D ．16．（2016春•铜仁市校级期中）随机变量X ～B （n ，p ），其均值等于200，标准差等于10，则n ，p 的值分别为（ ）A ．400，12B ．200，120C ．400，14D ．200，14【分析】根据随机变量符合二项分布，根据二项分布的期望和方差的公式和条件中所给的期望和方差的值，得到关于n 和p 的方程组，解方程组得到要求的两个未知量．【解答】解：∵随机变量X ～B （n ，p ），均值等于200，标准差等于10， ∴由Eξ=200=np ，Dξ=100=np （1﹣p ），可得p=12，n=400．故选：A ．17．（2015秋•孝感期末）随机变量ξ服从二项分布ξ～B （n ，p ），且Eξ=300，Dξ=200，则p 等于（ ） A ．23B ．0C ．1D ．13【分析】根据随机变量符合二项分布，根据二项分布的期望和方差的公式和条件中所给的期望和方差的值，得到关于n 和p 的方程组，解方程组得到要求的未知量p ．【解答】解：∵ξ服从二项分布B ～（n ，p ） Eξ=300，Dξ=200∴Eξ=300=np ，①；Dξ=200=np （1﹣p ），②②①可得1﹣p=200300=23，∴p=1﹣23=13故选：D ．18．（2015春•蚌埠期末）设随机变量ξ服从B （6，12），则P （ξ=3）的值是（ ）A ．58B ．38C ．516D ．316【分析】直接利用独立事件的概率公式求解即可．【解答】解：随机变量ξ服从B ～（6，12），则P （ξ=3）=C 63(12)6=516．故选：C ．19．（2015春•珠海期末）在比赛中，如果运动员甲胜运动员乙的概率是23，那么在五次比赛中，运动员甲恰有三次获胜的概率是（ ） A ．40243B ．80243C ．110243D ．20243【分析】由条件利用n 次独立重复实验中恰好发生k 次的概率计算公式，计算求得结果．【解答】解：根据每次比赛中，甲胜运动员乙的概率是23，故在五次比赛中，运动员甲恰有三次获胜的概率是C 53•(23)3•(1−23)2=80243，故选：B ．二．填空题（共5小题）20．（2016春•泰兴市校级月考）设随机变量X ～B （2，p ）．若P （X ≥1）=34，则p= 12．【分析】根据随机变量服从X ～B （2，P ）和P （X ≥1）对应的概率的值，写出概率的表示式，得到关于P 的方程，解出P 的值． 【解答】解：∵随机变量服从X ～B （2，P ），∴P （X ≥1）=1﹣P （X=0）=1﹣C 20（1﹣p ）2=34，解得p=12，故答案为：12．21．（2014春•溧阳市期末）已知二项分布满足X ～B （6，23），则P （X=2）= 20243，EX= 4 ．【分析】根据随机变量符合二项分布，x ～B （6，23）表示6此独立重复试验，每次实验成功概率为23，P （x=2）表示6次试验中成功两次的概率，根据二项分布的期望公式，代入n 和p 的值，求出期望．【解答】解：∵X 服从二项分布X ～B （6，23）∴P （X=2）=C 62(13)4(23)2=20243∵随机变量ξ服从二项分布ξ～B （6，23），∴期望Eξ=np=6×23=4故答案为：20243；422．（2011春•徐州期中）在0﹣1分布中，设P （X=0）=p ，0＜p ＜1，则P （X=1）= 1﹣p ．【分析】由两点分布的性质知，若P （X=0）=p ，0＜p ＜1，则P （X=1）=1﹣p ． 【解答】解：在0﹣1分布中， ∵P （X=0）=p ，0＜p ＜1， ∴P （X=1）=1﹣p ． 故答案为：1﹣p ．23．若随机变量X 1～B （n ，0.2），X 2～B （6，p ），X 3～B （n ，p ），且E （X 1）=2，V （X 2）=32，则σ（X 3）的值是 √102．【分析】利用二项分布的期望与方差公式，即可得出结论．【解答】解：由题意，0.2n=2，∴n=10，6p （1﹣p ）=32，∴p=12，∴X 3～B （10，12），∴D （X 3）=10×12×12=52∴σ（X 3）=√102．故答案为：√102． 24．服从二项分布∮～B （n ，p ），则D 2∮(E∮)2= （1﹣p ）2 ．【分析】随机变量服从二项分布，其E （∮）=np ，D （∮）=np （1﹣p ），即可求出则D 2∮(E∮)的值【解答】解：∵随机变量∮服从二项分布∮～B （n ，p ），∴E （∮）=np ，D （∮）=np （1﹣p ），∴D 2∮(E∮)2=（1﹣p ）2 故答案为（1﹣p ）2．三．解答题（共3小题）25．设随机变量X 具有分布P （X=k ）=15，k=1，2，3，4，5，求E （X +2）2，D （2X ﹣1），√D(X −1)．【分析】由P （X=k ）=15，k=1，2，3，4，5，知Eξ，Dξ．然后求E （X +2）2，D （2X ﹣1），√D(X −1)．【解答】解：∵P （X=k ）=15，k=1，2，3，4，5， ∴EX=（1+2+3+4+5）×15=3， DX=15[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]=2， ∴E （X +2）2=E （X 2+4X +4）=9+12=21，D （2X ﹣1）=4DX=8，√D(X −1)=√DX =√2．26．某射手射击5次，每次命中的概率为0.6，求五次中至少有三次中靶的概率．【分析】由条件利用n 次独立重复实验中恰好发生k 次的概率计算公式，分别求得五次中有三次中靶的概率、五次中有四次中靶的概率、五次中有五次中靶的概率，再把这3个概率值相加，即得所求．【解答】解：五次中有三次中靶的概率为C 53×0.63×0.42=0.3456，五次中有三次中靶的概率C 54×0.64×0.4=0.2592，五次中有三次中靶的概率C 55•0.65=0.07776，综上可得，五次中至少有三次中靶的概率为 0.3456+0.2592+0.07776=0.68256．27．选择题有4个选项，有一份试卷有10道选择题，小明每道题选对的概率都是0.25．问：（1）小明选对八道题的概率 4054 ； （2）小明连续选对八道题的概率 27410 ； （3）小明全选对的概率是 1410 ． 【分析】（1）小明选对八道题的概率C 108⋅0.258⋅0.752；（2）小明连续选对八道题的概率3•0.258•0.752；（3）小明全选对的概率是0.258•0.752．【解答】解：（1）小明选对八道题的概率C 108⋅0.258⋅0.752=405410； （2）小明连续选对八道题的概率3•0.258•0.752=274； （3）小明全选对的概率是0.2510=1410， 故答案为：405410；27410；1410．。
二项分布及其应用教案定稿第一章：二项分布的概念及性质1.1 二项分布的定义引导学生回顾概率论的基础知识，引入随机变量的概念。
解释二项分布的定义，即在固定次数n的独立实验中，每次实验成功或失败的概率为p的随机变量的分布。
1.2 二项分布的性质引导学生了解二项分布的概率质量函数（PMF）及其表达式。
解释二项分布的期望、方差等统计量，并引导学生理解其含义。
第二章：二项分布的概率计算2.1 概率质量函数的推导引导学生使用二项分布的概率质量函数公式进行计算。
解释公式中各项的物理意义，如n次实验中成功k次的概率。
2.2 特定概率下的成功次数的计算引导学生使用概率质量函数计算特定概率下的成功次数。
举例说明如何计算概率质量函数的积分。
第三章：二项分布的应用3.1 抛硬币实验引导学生进行抛硬币实验，观察并记录实验结果。
引导学生使用二项分布的概念和概率计算方法，分析实验结果的概率分布。
3.2 药物有效性测试引导学生了解药物有效性测试的背景和目的。
引导学生使用二项分布的概念和概率计算方法，分析药物有效性测试的结果。
第四章：二项分布的参数估计4.1 参数估计的概念引导学生了解参数估计的概念和方法。
解释使用样本数据来估计总体参数的过程。
4.2 二项分布的参数估计方法引导学生使用样本均值和样本方差来估计二项分布的参数np和n(1-p)。
解释估计的准确性和可靠性，并引导学生了解置信区间的概念。
第五章：二项分布的假设检验5.1 假设检验的概念引导学生了解假设检验的概念和方法。
解释使用样本数据来对总体分布的假设进行检验的过程。
5.2 二项分布的假设检验方法引导学生使用二项分布的检验统计量进行假设检验。
解释检验的显著性水平和拒绝域的概念，并引导学生了解p值的计算方法。
第六章：二项分布与正态分布的关系6.1 正态分布的概念引导学生回顾正态分布的定义和性质。
解释正态分布与二项分布的关系，即当n足够大时，二项分布近似正态分布。
6.2 二项分布到正态分布的转换引导学生了解二项分布到正态分布的转换方法。
二项分布的原理及应用1. 什么是二项分布？二项分布是概率论中的一种离散概率分布，描述了在一系列独立的伯努利试验中成功的次数。
在每次试验中，只有两个可能结果，成功（记为S）和失败（记为F），且这两个结果的概率是固定不变的。
二项分布将这些独立的试验作为一系列重复的伯努利试验，并计算在给定试验次数和成功概率下，成功次数的概率分布。
2. 二项分布的概率计算公式设每次伯努利试验中成功的概率为p，失败的概率为q=1-p。
进行n次独立的伯努利试验，成功的次数X服从二项分布。
其概率计算公式为：P(X=k) = C(n, k) * p^k * q^(n-k)其中，C(n, k)表示从n个元素中取出k个元素的组合数。
3. 二项分布的特征与性质•期望：二项分布的期望为n*p，即试验次数乘以成功的概率。
•方差：二项分布的方差为n p q，其中q=1-p。
•归一性：二项分布的概率和为1，即所有可能的事件的概率之和等于1。
•对称性：若p=0.5，则二项分布是对称的，即成功和失败的概率相等。
4. 二项分布的应用二项分布在实际中有广泛的应用，并且具有很高的实用性。
以下列举了几个常见的应用场景：4.1 质量控制在质量控制领域，二项分布被广泛用于评估和控制产品的质量。
例如，一家医药公司生产的药丸中，有5%的概率出现无效的药丸（成功），95%的概率是有效的药丸（失败）。
为了控制产品质量，公司每次从生产线上随机抽取50个药丸进行检验。
利用二项分布，可以计算出在这50个样本中出现指定个数的成功（无效药丸）的概率。
如果成功的个数超过了一定的阈值，就需要进一步调查和控制生产过程。
4.2 市场调研二项分布还可以用于市场调研中，用来确定产品推广的成功率。
例如，一个公司推出了一个新产品，通过市场调研得知每个潜在客户购买该产品的概率为0.2。
为了确定在推广活动中需要投入的资源和费用，可以利用二项分布来计算在不同投入条件下，达到指定销量目标的概率。
这样可以帮助公司制定合适的推广策略，并为销售预期做出合理的评估。
第8讲 二项分布及其应用,[学生用书P198])1．条件概率及其性质(1)条件概率的定义：设A ，B 为两个事件，且P (A )>0，称P (B |A )＝P （AB ）P （A ）为在事件A发生的条件下，事件B 发生的条件概率．(2)条件概率的性质：①0≤P (B |A )≤1；②如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )．2．事件的相互独立性(1)定义：设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立． (2)性质：①若事件A 与B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )，P (A |B )＝P (A )，P (AB )＝P (A )·P (B )．②如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B －，A －与B ，A －与B －也都相互独立． 3．独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验，A i (i ＝1，2，…，n )表示第i 次试验结果，则P (A 1A 2A 3…A n )＝P (A 1)P (A 2)…P (A n )．(2)二项分布在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率是p ，此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率，在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k(k ＝0，1，2，…，n )．1．辨明两个易误点(1)两事件互斥是指两事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，两个事件相互独立不一定互斥．(2)P (B |A )是在A 发生的条件下B 发生的概率，而P (A |B )是在B 发生的条件下A 发生的概率．2．理解事件中常见词语的含义(1)A ，B 中至少有一个发生的事件为A ∪B ； (2)A ，B 都发生的事件为AB ；(3)A ，B 都不发生的事件为A － B －；(4)A ，B 恰有一个发生的事件为A B －∪A －B ；(5)A ，B 至多一个发生的事件为A B －∪A －B ∪A － B －.1．若事件E 与F 相互独立，且P (E )＝P (F )＝14，则P (EF )的值等于( )A ．0B ．116C.14 D ．12 答案：B2．已知P (B |A )＝12，P (AB )＝38，则P (A )等于( )A.316 B ．1316 C.34 D ．14解析：选C.由P (AB )＝P (A )P (B |A )，可得P (A )＝34.3．(2015·高考全国卷Ⅰ)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )A ．0.648B ．0.432C ．0.36D ．0.312解析：选A.3次投篮投中2次的概率为P (X ＝2)＝C 23×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率为P (X ＝3)＝0.63，所以通过测试的概率为P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝C 23×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.故选A.4．设袋中有大小相同的4个红球与2个白球，若从中有放回地依次取出一个球，则6次取球中取出2个红球的概率为________．解析：由题意得红球个数X 服从二项分布，即X ～B ⎝⎛⎭⎫6，23，所以P (X ＝2)＝C 26⎝⎛⎭⎫232·⎝⎛⎭⎫134＝20243. 答案：202435．(选修2-3P55练习T3改编)国庆节放假，甲去北京旅游的概率为13，乙去北京旅游的概率为14，假定二人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________．解析：记在国庆期间“甲去北京旅游”为事件A ，“乙去北京旅游”为事件B ，又P (A －B －)＝P (A －)·P (B －)＝[1－P (A )][1－P (B )]＝⎝⎛⎭⎫1－13⎝⎛⎭⎫1－14＝12， 甲、乙二人至少有一人去北京旅游的对立事件为甲、乙二人都不去北京旅游，故所求概率为1－P (A － B －)＝1－12＝12.答案：12考点一 条件概率[学生用书P199]从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( )A.18 B ．14 C.25 D ．12[解析] P (A )＝C 23＋C 22C 25＝410＝25，P (AB )＝C 22C 25＝110，由条件概率公式，得P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝110410＝14. [答案]B若将本例中的事件B ：“取到的2个数均为偶数”改为“取到的2个数均为奇数”，则结果如何？解：P (A )＝C 23＋C 22C 25＝25，P (AB )＝C 23C 25＝310，所以P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝34.条件概率的两种求解方法(1)定义法：先求P (A )和P (AB )，再由P (B |A )＝P （AB ）P （A ）求P (B |A )．(2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再求事件AB 包含的基本事件数n (AB )，得P (B |A )＝n （AB ）n （A ）.1.如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则P (B |A )＝________．解析：依题意得，P (A )＝2×2π＝2π，P (AB )＝12×1×1π＝12π，则由条件概率公式可知，P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝14.答案：14考点二 相互独立事件的概率[学生用书P199](2016·唐山统考)某城市有东西南北四个进入城区主干道的入口，在早高峰时间段，时常发生交通拥堵现象，交警部门统计11月份30天内的拥堵天数．东西南北四个主干道入口的拥堵天数分别是18，15，9，15.假设每个入口发生拥堵现象互相独立，视频率为概率．(1)求该城市一天中早高峰时间段恰有三个入口发生拥堵的概率；(2)设X 表示一天中早高峰时间段发生拥堵的主干道入口个数，求X 的分布列． [解] (1)设东西南北四个主干道入口发生拥堵分别为事件A ，B ，C ，D .则P (A )＝1830＝35，P (B )＝1530＝12，P (C )＝930＝310，P (D )＝1530＝12.设一天恰有三个入口发生拥堵为事件M ，则 M ＝ABCD ＋ABCD ＋ABCD ＋ABCD .则P (M )＝25×12×310×12＋35×12×310×12＋35×12×710×12＋35×12×310×12＝45200＝940.(2)X 的可能取值为0，1，2，3，4.P (X ＝0)＝14200＝7100，P (X ＝1)＝55200＝1140，P (X ＝2)＝77200，P (X ＝3)＝45200＝940，P (X ＝4)＝9200.X 的分布列为：相互独立事件的概率的求法(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．(2)正面计算较烦琐或难以入手时，可从其对立事件入手计算．2.甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12与p ，且乙投球2次均未命中的概率为116.(1)求乙投球的命中率p ；(2)求甲投球2次，至少命中1次的概率． 解：(1)设“甲投一次球命中”为事件A ，“乙投一次球命中”为事件B .由题意得：P (B －)P (B －)＝116，于是P (B －)＝14或P (B －)＝－14(舍去)．故p ＝1－P (B －)＝34.(2)法一：由题设知，P (A )＝12，P (A －)＝12.故甲投球2次，至少命中1次的概率为1－P (A －·A －)＝34.法二：由题设知，P (A )＝12，P (A －)＝12.故甲投球2次，至少命中1次的概率为C 12P (A )P (A －)＋P (A )P (A )＝34.考点三 独立重复试验与二项分布(高频考点)[学生用书P200]独立重复试验与二项分布是高中数学的重要内容，也是高考命题的热点，多以解答题的形式呈现，试题难度较大，多为中高档题目．高考对独立重复试验与二项分布的考查主要有以下两个命题角度： (1)已知二项分布，求二项分布列；(2)已知随机变量服从二项分布，求某种情况下的概率．(2014·高考四川卷节选)一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立．(1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列．(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？ [解] (1)X 可能的取值为10，20，100，－200. 根据题意，有P (X ＝10)＝C 13×⎝⎛⎭⎫121×⎝⎛⎭⎫1－122＝38，P (X ＝20)＝C 23×⎝⎛⎭⎫122×⎝⎛⎭⎫1－121＝38，P (X ＝100)＝C 33×⎝⎛⎭⎫123×⎝⎛⎭⎫1－120＝18， P (X ＝－200)＝C 03×⎝⎛⎭⎫120×⎝⎛⎭⎫1－123＝18.所以X 的分布列为(2)设“第i i P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (X ＝－200)＝18.所以“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为1－P (A 1A 2A 3)＝1－⎝⎛⎭⎫183＝1－1512＝511512.因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511512.(1)独立重复试验满足的条件独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验．在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的．(2)二项分布满足的条件①每次试验中，事件发生的概率是相同的． ②各次试验中的事件是相互独立的．③每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生． ④随机变量是这n 次独立重复试验中事件发生的次数．3.(2016·唐山第一次模拟)小王在某社交网络的朋友圈中，向在线的甲、乙、丙随机发放红包，每次发放1个．(1)若小王发放5元的红包2个，求甲恰得1个的概率；(2)若小王发放3个红包，其中5元的2个，10元的1个．记乙所得红包的总钱数为X ，求X 的分布列．解：(1)设“甲恰得1个红包”为事件A ，则P (A )＝C 12×13×23＝49.(2)X 的所有可能取值为0，5，10，15，20.P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫233＝827，P (X ＝5)＝C 12×13×⎝⎛⎭⎫232＝827，P (X ＝10)＝⎝⎛⎭⎫132×23＋⎝⎛⎭⎫232×13＝627，P (X ＝15)＝C 12×⎝⎛⎭⎫132×23＝427，P (X ＝20)＝⎝⎛⎭⎫133＝127. X,[学生用书P200])规范解答——离散型随机变量的综合问题(本题满分12分)(2015·高考湖南卷)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望．(1)条件―→列出事件――→事件独立求出事件A 1、A 2、B 1、B 2的概率――→B 1、B 2互斥结果 (2)条件―→次数X 服从二项分布 ―→P （X ）的值―→分布列―→期望(1)记事件A 1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}， A 2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}， B 1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，B 2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C ＝{顾客抽奖1次能获奖}．由题意知A 1与A 2相互独立，A 1A 2与A 1A 2互斥，B 1与B 2互斥，且B 1＝A 1A 2，B 2＝A 1A 2＋A 1A 2，C ＝B 1＋B 2.因为P (A 1)＝410＝25，P (A 2)＝510＝12，(2分)所以P (B 1)＝P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝25×12＝15，(3分)P (B 2)＝P (A 1A 2＋A 1A 2)＝P (A 1A 2)＋P (A 1A 2) ＝P (A 1)P (A 2)＋P (A 1)P (A 2)＝P (A 1)(1－P (A 2))＋(1－P (A 1))P (A 2)＝25×⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫1－25×12＝12.(5分) 故所求概率为P (C )＝P (B 1＋B 2)＝P (B 1)＋P (B 2)＝15＋12＝710.(6分)(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为15，所以X ～B ⎝⎛⎭⎫3，15. (7分)于是P (X ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫150⎝⎛⎭⎫453＝64125， P (X ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫151⎝⎛⎭⎫452＝48125， P (X ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫152⎝⎛⎭⎫451＝12125， P (X ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫153⎝⎛⎭⎫450＝1125.(10分) 故X 的分布列为(11分)X 的数学期望为E (X )＝3×15＝35.(12分)(1)解答此类问题，应注意答题要求，严格按照题目及相关知识的要求答题．(2)注意分布列要用表格的形式列出来，不要认为求出各个相应的概率就结束了．1．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一个发生的概率是( )A.512 B ．12 C.712 D ．34解析：选C.依题意，得P (A )＝12，P (B )＝16，且事件A ，B 相互独立，则事件A ，B 中至少有一个发生的概率为1－P (A －·B －)＝1－P (A －)·P (B －)＝1－12×56＝712，故选C.2．设随机变量X ～B (2，p )，Y ～B (4，p )，若P (X ≥1)＝59，则P (Y ≥2)的值为( )A.3281 B ．1127C.6581 D ．1681解析：选B.因为随机变量X ～B (2，p )，Y ～B (4，p )，又P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－(1－p )2＝59，解得p ＝13，所以Y ～B ⎝⎛⎭⎫4，13，则P (Y ≥2)＝1－P (Y ＝0)－P (Y ＝1)＝1127. 3．将三颗骰子各掷一次，设事件A 为“三个点数都不同”，B 为“至少出现一个3点”，则P (A |B )＝( )A.6091 B ．12 C.712 D ．81125解析：选A.P (A |B )表示在B 发生的情况下，A 发生的概率，即在“至少出现一个3点”的情况下，“三个点数都不相同”的概率，因为“至少出现一个3点”的情况数目为6×6×6－5×5×5＝91，“三个点数都不相同”则只有一个3点，共C 13×5×4＝60种情况，故P (A |B )＝6091. 4．如果X ～B ⎝⎛⎭⎫15，14，则使P (X ＝k )取最大值的k 值为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．3或4 解析：选D.观察选项，采用特殊值法．因为P (X ＝3)＝C 315⎝⎛⎭⎫143⎝⎛⎭⎫3412， P (X ＝4)＝C 415⎝⎛⎭⎫144⎝⎛⎭⎫3411，P (X ＝5)＝C 515⎝⎛⎭⎫145⎝⎛⎭⎫3410，经比较，P (X ＝3)＝P (X ＝4)＞P (X ＝5)，故使P (X ＝k )取最大值时k ＝3或4.5．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗的成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．解析：设种子发芽为事件A ，种子成长为幼苗为事件B (发芽又成活为幼苗)． 依题意P (B |A )＝0.8，P (A )＝0.9. 根据条件概率公式P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝0.8×0.9＝0.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.答案：0.726．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20层停靠，若该电梯在底层有5个乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率都为13，用X 表示5位乘客在第20层下电梯的人数，则P (X ＝4)＝________．解析：考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，故X ～B ⎝⎛⎭⎫5，13，即有P (X ＝k )＝C k 5⎝⎛⎭⎫13k ×⎝⎛⎭⎫235－k，k ＝0，1，2，3，4，5. 故P (X ＝4)＝C 45⎝⎛⎭⎫134×⎝⎛⎭⎫231＝10243.答案：102437．(2015·高考福建卷节选)某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定．小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X ，求X 的分布列．解：(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”为事件A ，则P (A )＝56×45×34＝12.(2)依题意得，X 所有可能的取值是1，2，3.又P (X ＝1)＝16，P (X ＝2)＝56×15＝16，P (X ＝3)＝56×45×1＝23.所以X 的分布列为8．抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A 为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B 为“两颗骰子的点数之和大于8”．(1)求P (A )，P (B )，P (AB )；(2)当已知蓝色骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率．解：(1)P (A )＝26＝13.因为两颗骰子的点数之和共有36个等可能的结果，点数之和大于8的结果共有10个．所以P (B )＝1036＝518.当蓝色骰子的点数为3或6时，两颗骰子的点数之和大于8的结果有5个，故P (AB )＝536. (2)由(1)知P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝53613＝512.9．(2016·沈阳质量监测)某学校举行联欢会，所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖．甲、乙、丙三名老师都有“获奖”“待定”“淘汰”三类票各一张．每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为13，且三人投票相互没有影响．若投票结果中至少有两张“获奖”票，则决定该节目最终获一等奖；否则，该节目不能获一等奖．(1)求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率；(2)求该节目投票结果中所含“获奖”和“待定”票票数之和X 的分布列及数学期望． 解：(1)设“某节目的投票结果是最终获一等奖”这一事件为A ，则事件A 包括：该节目可以获两张“获奖”票，或者获三张“获奖”票．因为甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为13，且三人投票相互没有影响， 所以P (A )＝C 23⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫231＋C 33⎝⎛⎭⎫133＝727. (2)所含“获奖”和“待定”票票数之和X 的可能取值为0，1，2，3.P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫133＝127；P (X ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫231⎝⎛⎭⎫132＝627＝29；P (X ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫131＝1227＝49；P (X ＝3)＝⎝⎛⎭⎫233＝827.因此X所以X 的数学期望为E (X )＝0×127＋1×627＋2×1227＋3×827＝2.1．(2016·陕西省质量监测)某中学为丰富教职工生活，国庆节举办教职工趣味投篮比赛，有A ，B 两个定点投篮位置，在A 点投中一球得2分，在B 点投中一球得3分．规则是：每人投篮三次按先A 后B 再A 的顺序各投篮一次，教师甲在A 和B 点投中的概率分别是12和13，且在A ，B 两点投中与否相互独立．(1)若教师甲投篮三次，求教师甲投篮得分X 的分布列和数学期望； (2)若教师乙与教师甲在A ，B 投中的概率相同，两人按规则各投三次，求甲胜乙的概率． 解：(1)根据题意知X 的可能取值为0，2，3，4，5，7，P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫1－122×⎝⎛⎭⎫1－13＝16，P (X ＝2)＝C 12×12×⎝⎛⎭⎫1－13×⎝⎛⎭⎫1－12＝13， P (X ＝3)＝⎝⎛⎭⎫1－12×13×⎝⎛⎭⎫1－12＝112， P (X ＝4)＝12×⎝⎛⎭⎫1－13×12＝16， P (X ＝5)＝C 12×12×⎝⎛⎭⎫1－12×13＝16， P (X ＝7)＝12×13×12＝112，所以教师甲投篮得分X 的分布列为：E (X )＝0×16＋2×13＋3×112＋4×16＋5×16＋7×112＝3.(2)教师甲胜教师乙包括：甲得2分，3分，4分，5分，7分五种情形．这五种情形之间彼此互斥，因此，所求事件的概率为P ＝13×16＋112×⎝⎛⎭⎫16＋13＋16×⎝⎛⎭⎫16＋13＋112＋16×⎝⎛⎭⎫16＋13＋112＋16＋112×⎝⎛⎭⎫1－112＝1948. 2．(2016·武汉调研)某次飞镖比赛中，规定每人至多发射三镖．在M 处每射中一镖得3分，在N 处每射中一镖得2分，如果前两次得分之和超过3分即停止发射，否则发射第三镖．某选手在M 处的命中率q 1＝0.25，在N 处的命中率为q 2.该选手选择先在M 处发射一镖，以后都在N 处发射，用X 表示该选手比赛结束后所得的总分，其分布列为(1)求随机变量X (2)试比较该选手选择上述方式发射飞镖得分超过3分的概率与选择都在N 处发射飞镖得分超过3分的概率的大小．解：(1)设该选手在M 处射中为事件A ，在N 处射中为事件B ，则事件A ，B 相互独立，且P (A )＝0.25，P (A －)＝0.75，P (B )＝q 2，P (B －)＝1－q 2.根据分布列知：当X ＝0时， P (A － B － B －)＝P (A －)P (B －)P (B －)＝0.75(1－q 2)2＝0.03， 所以1－q 2＝0.2，q 2＝0.8.当X ＝2时，P 1＝P (A － B B －＋A － B － B )＝P (A －)P (B )P (B －)＋P (A －)P (B －)P (B )＝0.75q 2(1－q 2)×2＝0.24，当X ＝3时，P 2＝P (A B －B －)＝P (A )P (B －)P (B －)＝0.25(1－q 2)2＝0.01，当X ＝4时，P 3＝P (A －BB )＝P (A －)P (B )P (B )＝0.75q 22＝0.48，当X ＝5时，P 4＝P (A B －B ＋AB )＝P (A B －B )＋P (AB )＝P (A )P (B －)P (B )＋P (A )P (B )＝0.25q 2(1－q 2)＋0.25q 2＝0.24.所以随机变量X 的分布列为：(2)＝0.72. 该选手选择都在N 处发射飞镖得分超过3分的概率为P (B －BB ＋B B －B ＋BB )＝P (B －BB )＋P (B B －B )＋P (BB )＝2(1－q 2)q 22＋q 22＝0.896.所以该选手选择都在N 处发射飞镖得分超过3分的概率大．。
