(江苏专用)2018版高考数学专题复习 专题6 数列 第36练 等比数列练习 理

一、等比数列选择题1．已知1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，且()21234123a a a a a a a +++=++，若11a >，则（ ）A ．13a a <，24a a <B ．13a a >，24a a <C ．13a a <，24a a >D ．13a a >，24a a >2．已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，且a 1，a 3，a 4成等比数列，则S n 取最大值时n 的值为（ ） A ．4B ．5C ．4或5D ．5或63．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，公比为q ，11a >，676712a a a a +>+>，记{}n a 的前n 项积为nT，则下列选项错误的是（ ） A ．01q <<B ．61a >C ．121T >D ．131T >4．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？此问题中1斗为10升，则牛主人应偿还多少升粟？（ ） A ．503B ．507C ．1007D ．20075．设{a n }是等比数列，若a 1 + a 2 + a 3 =1，a 2 + a 3 + a 4 =2，则 a 6 + a 7 + a 8 =（ ） A ．6B ．16C ．32D ．646．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3=7，S 6=63，则数列{na n }的前n 项和为（ ）A ．-3+(n +1)×2nB ．3+(n +1)×2nC ．1+(n +1)×2nD ．1+(n -1)×2n 7．在3和81之间插入2个数，使这4个数成等比数列，则公比q 为（ ）A ．2±B ．2C ．3±D ．3 8．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a 、3a 、6a 成等比数列，则{}n a 的前6项的和为（ ） A ．24-B ．3-C ．3D ．89．已知等比数列{}n a 的前n 项和为,n S 且639S S =，则42aa 的值为（ ）AB ．2C．D ．410．已知等比数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，且5312a a a +=，则42S S =（ ） A ．76B ．32C ．2132D ．1411．已知正项等比数列{}n a 满足112a =，2432a a a =+，又n S 为数列{}n a 的前n 项和，则5S =（ ） A ．312或112B ．312 C ．15D ．612．已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，121a a +=，344a a +=，则5678a a a a +++=（ ）A ．80B ．20C ．32D ．255313．已知数列{}n a 的首项11a =，前n 项的和为n S ，且满足()*122n n a S n N ++=∈，则满足2100111100010n nS S 的n 的最大值为（ ）. A ．7B ．8C ．9D ．1014．等比数列{}n a 中，1234a a a ++=，4568a a a ++=，则789a a a ++等于（ ） A ．16B ．32C ．64D ．12815．.在等比数列{}n a 中，若11a =，54a =，则3a =（ ） A ．2B ．2或2-C．2-D16．古代数学名著《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：一女子善于织布，每天织的布是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问该女子每天分别织布多少？由此条件，若织布的总尺数不少于20尺，该女子需要的天数至少为 （ ） A ．6B ．7C ．8D ．917．已知等比数列{}n a 的前n 项和为2,2n S a =，公比2q ，则5S 等于（ ）A ．32B ．31C ．16D ．1518．已知等比数列{}n a 的n 项和2n n S a =-，则22212n a a a +++=（ ）A ．()221n -B ．()1213n- C ．41n -D ．()1413n- 19．正项等比数列{}n a 的公比是13，且241a a =，则其前3项的和3S =（ ） A ．14B ．13C ．12D ．1120．记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知5=10S ，1050S =，则15=S （ ） A ．180B ．160C ．210D ．250二、多选题21．已知数列{},{}n n a b 均为递增数列，{}n a 的前n 项和为,{}n n S b 的前n 项和为,n T 且满足*112,2()n n n n n a a n b b n N +++=⋅=∈，则下列结论正确的是（ ）A ．101a <<B．11b <<C ．22n n S T <D ．22n n S T ≥22．已知1a ，2a ，3a ，4a 依次成等比数列，且公比q 不为1.将此数列删去一个数后得到的数列（按原来的顺序）是等差数列，则正数q 的值是（ ） ABCD23．已知等比数列{}n a 公比为q ，前n 项和为n S ，且满足638a a =，则下列说法正确的是（ ）A ．{}n a 为单调递增数列B ．639S S = C ．3S ，6S ，9S 成等比数列D ．12n n S a a =-24．计算机病毒危害很大，一直是计算机学家研究的对象.当计算机内某文件被病毒感染后，该病毒文件就不断地感染其他未被感染文件.计算机学家们研究的一个数字为计算机病毒传染指数0,C 即一个病毒文件在一分钟内平均所传染的文件数，某计算机病毒的传染指数02,C =若一台计算机有510个可能被感染的文件，如果该台计算机有一半以上文件被感染，则该计算机将处于瘫疾状态.该计算机现只有一个病毒文件，如果未经防毒和杀毒处理，则下列说法中正确的是（ ）A ．在第3分钟内，该计算机新感染了18个文件B ．经过5分钟，该计算机共有243个病毒文件C ．10分钟后，该计算机处于瘫痪状态D ．该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为2的等比数列25．记单调递增的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若2410a a +=，23464a a a =，则（ ）A ．112n n n S S ++-= B ．12n n aC ．21nn S =-D ．121n n S -=-26．已知数列是{}n a是正项等比数列，且3723a a +=，则5a 的值可能是（ ） A ．2B ．4C ．85D ．8327．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．则下列说法正确的是（ ） A ．此人第三天走了二十四里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C ．此人第二天走的路程占全程的14D ．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍28．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，667711,01a a a a -><-，则下列结论正确的是（ ） A ．01q <<B ．681a a >C ．n S 的最大值为7SD ．n T 的最大值为6T29．记单调递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2410a a +=，23464a a a =，则（ ）A ．112n n n S S ++-=B ．12n naC ．21nn S =- D ．121n n S -=-30．在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法正确的是（ ） A ．此人第二天走了九十六里路B ．此人第三天走的路程站全程的18C ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里D ．此人后三天共走了42里路31．设数列{}n a 满足*12335(21)2(),n a a a n a n n ++++-=∈N 记数列{}21na n +的前n 项和为,n S 则（ ） A ．12a =B ．221n a n =- C ．21n nS n =+ D ．1n n S na +=32．数列{}n a 是首项为1的正项数列，123n n a a +=+，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．313a = B ．数列{}3n a +是等比数列C ．43n a n =-D ．122n n S n +=--33．已知数列{}n a 满足11a =，()*123nn na a n N a +=∈+，则下列结论正确的有（ ） A ．13n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列B ．{}n a 的通项公式为1123n n a +=-C ．{}n a 为递增数列D ．1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2234n n T n +=--34．定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ，数列(){}nf a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义在()(),00,-∞⋃+∞上的四个函数中，是“保等比数列函数”的为（ ）A ．()2f x x =B ．()2xf x =C ．()f x =D ．()ln f x x =35．已知等比数列{a n }的公比23q =-，等差数列{b n }的首项b 1＝12，若a 9＞b 9且a 10＞b 10，则以下结论正确的有（ ） A ．a 9•a 10＜0B ．a 9＞a 10C ．b 10＞0D ．b 9＞b 10【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等比数列选择题 1．B 【分析】由12340a a a a +++≥可得出1q ≥-，进而得出1q >-，再由11a >得出0q <，即可根据q 的范围判断大小. 【详解】设等比数列的公比为q ， 则()()()2321234111+++1+1+0a a a a a q q qa q q +++==≥，可得1q ≥-，当1q =-时，12340a a a a +++=，()21230a a a ++≠，1q ∴>-，()21234123a a a a a a a +++=++，即()223211+++1++q q q a q q =，()231221+++11++q q q a q q ∴=>，整理得432++2+0q q q q <，显然0q <，()1,0q ∴∈-，()20,1q ∈，()213110a a a q ∴-=->，即13a a >，()()32241110a a a q q a q q ∴-=-=-<，即24a a <.故选：B. 【点睛】关键点睛：本题考查等比数列的性质，解题的关键是通过已知条件判断出()1,0q ∈-，从而可判断大小. 2．C 【分析】由等比数列的性质及等差数列的通项公式可得公差12d =-，再由等差数列的前n 项和公式即可得解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为,0d d ≠，134,,a a a 成等比数列，2314a a a ∴=即2(22)2(23)d d +=+，则12d =-，()()211119812244216n n n n n S a n d n n --⎛⎫∴=+=-=--+ ⎪⎝⎭，所以当4n =或5时，n S 取得最大值. 故选：C. 3．D 【分析】等比数列{}n a 的各项均为正数，11a >，676712a a a a +>+>，可得67(1)(1)0a a --<，因此61a >，71a <，01q <<．进而判断出结论． 【详解】 解：等比数列{}n a 的各项均为正数，11a >，676712a a a a +>+>，67(1)(1)0a a ∴--<，11a >，若61a <，则一定有71a <，不符合由题意得61a >，71a <，01q ∴<<，故A 、B 正确． 6712a a +>，671a a ∴>，6121231267()1T a a a a a a =⋯=>，故C 正确，131371T a =<，故D 错误，∴满足1n T >的最大正整数n 的值为12．故选：D ． 4．D 【分析】设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a 1，a 2，a 3，利用等比数列的前n 项和公式即可求解. 【详解】5斗50=升，设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a 1，a 2，a 3，由题意可知a 1，a 2，a 3构成公比为2的等比数列，且S 3＝50，则()311212a --＝50，解得a 1＝507，所以牛主人应偿还粟的量为23120027a a ==故选：D【分析】根据等比数列的通项公式求出公比2q ，再根据等比数列的通项公式可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则234123()2a a a a a a q ++=++=，又1231a a a ++=，所以2q，所以55678123()1232a a a a a a q ++=++⋅=⨯=.故选：C ． 6．D 【分析】利用已知条件列出方程组求解即可得1,a q ，求出数列{a n }的通项公式，再利用错位相减法求和即可. 【详解】设等比数列{a n }的公比为q ，易知q ≠1，所以由题设得()()3136161711631a q S q a q S q ⎧-⎪==-⎪⎨-⎪==⎪-⎩， 两式相除得1+q 3=9，解得q =2， 进而可得a 1=1， 所以a n =a 1q n -1=2n -1， 所以na n =n ×2n -1.设数列{na n }的前n 项和为T n ， 则T n =1×20+2×21+3×22+…+n ×2n -1， 2T n =1×21+2×22+3×23+…+n ×2n ，两式作差得-T n =1+2+22+…+2n -1-n ×2n=1212n---n ×2n =-1+(1-n )×2n ， 故T n =1+(n -1)×2n . 故选：D. 【点睛】本题主要考查了求等比数列的通项公式问题以及利用错位相减法求和的问题.属于较易题. 7．D 【分析】根据等比数列定义知3813q =，解得答案.【详解】4个数成等比数列，则3813q =，故3q =.故选：D.【分析】根据等比中项的性质列方程，解方程求得公差d ，由此求得{}n a 的前6项的和. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由2a 、3a 、6a 成等比数列可得2326a a a =，即2(12)(1)(15)d d d +=++，整理可得220d d +=，又公差不为0，则2d =-， 故{}n a 前6项的和为616(61)6(61)661(2)2422S a d ⨯-⨯-=+=⨯+⨯-=-. 故选：A 9．D 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由题得()4561238a a a a a a ++=++，进而得2q，故2424a q a ==. 【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，因为639S S =，所以639S S =， 所以6338S S S -=，即()4561238a a a a a a ++=++， 由于()3456123a a a q a a a ++=++，所以38q =，故2q，所以2424a q a ==. 故选：D. 10．B 【分析】由5312a a a +=，解得q ，然后由414242212(1)111(1)11a q S q q q a q S qq---===+---求解. 【详解】在等比数列{}n a 中，5312a a a +=， 所以421112a q a q a +=，即42210q q +-=， 解得212q =所以414242212(1)1311(1)121a q S q q q a q S q q---===+=---， 故选：B 【点睛】本题主要考查等比数列通项公式和前n 项和公式的基本运算，属于基础题, 11．B 【分析】首先利用等比数列的性质求3a 和公比q ，再根据公式求5S . 【详解】正项等比数列{}n a 中，2432a a a =+∴，2332a a =+∴，解得32a =或31a =-（舍去） 又112a =， 2314a q a ==， 解得2q，5151(132)(1)312112a q S q --∴===--，故选：B 12．A 【分析】由条件求出公比q ，再利用前4项和和公比求5678a a a a +++的值. 【详解】根据题意，由于{}n a 是各项均为正数的等比数列，121a a +=，()234124a a q a a +==+，∴24q =，0q >，2q则()()456781234161480a a a a q a a a a +++=+++=+=.故选：A 13．C 【分析】根据()*122n n a S n N ++=∈可求出na的通项公式，然后利用求和公式求出2,n n S S ，结合不等式可求n 的最大值.【详解】1122,22()2n n n n a S a S n +-+=+=≥相减得1(22)n n a a n +=≥，11a =，212a =；则{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，100111111000210n⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，1111000210n⎛⎫<< ⎪⎝⎭，则n 的最大值为9. 故选：C 14．A 【分析】由()4633512a a a a a a q +++=+，求得3q ，再由()37s 94s 6a a a a a a q ++=++求解.【详解】1234a a a ++=，4568a a a ++=.∴32q =，∴()378945616a a a a a a q ++=++=.故选：A 15．A 【分析】由等比数列的性质可得2315a a a =⋅，且1a 与3a 同号，从而可求出3a 的值【详解】解：因为等比数列{}n a 中，11a =，54a =，所以23154a a a =⋅=，因为110a =>，所以30a >， 所以32a =， 故选：A 16．B 【分析】设女子第一天织布1a 尺，则数列{}n a 是公比为2的等比数列，由题意得515(12)512a S -==-，解得1531a =，由此能求出该女子所需的天数至少为7天． 【详解】设女子第一天织布1a 尺，则数列{}n a 是公比为2的等比数列，由题意得515(12)512a S -==-，解得1531a =， 5(12)312012n n S -∴=-，解得2125n ．因为6264=，72128=∴该女子所需的天数至少为7天．故选：B 17．B 【分析】先求得首项，根据等比数列的求和公式，代入首项和公比的值，即可计算出5S 的值. 【详解】因为等比数列{}n a 的前n 项和为2,2n S a =，公比2q，所以211a a q==，又因为1111nna q S qq，所以()551123112S -==-.故选：B. 18．D 【分析】由n a 与n S 的关系可求得12n n a ，进而可判断出数列{}2n a 也为等比数列，确定该数列的首项和公比，利用等比数列的求和公式可求得所化简所求代数式.【详解】已知等比数列{}n a 的n 项和2n n S a =-. 当1n =时，112a S a ==-；当2n ≥时，()()111222nn n n n n a S S a a ---=-=---=.由于数列{}n a 为等比数列，则12a a =-满足12n na ，所以，022a -=，解得1a =，()12n n a n N -*∴=∈，则()221124n n na --==，2121444n n n n a a +-∴==，且211a =，所以，数列{}2n a 为等比数列，且首项为1，公比为4， 因此，222121441143n n na a a --+++==-. 故选：D. 【点睛】方法点睛：求数列通项公式常用的七种方法：（1）公式法：根据等差数列或等比数列的通项公式()11n a a n d +-=或11n n a a q -=进行求解；（2）前n 项和法：根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩进行求解；（3）n S 与n a 的关系式法：由n S 与n a 的关系式，类比出1n S -与1n a -的关系式，然后两式作差，最后检验出1a 是否满足用上面的方法求出的通项；（4）累加法：当数列{}n a 中有()1n n a a f n --=，即第n 项与第1n -项的差是个有规律的数列，就可以利用这种方法； （5）累乘法：当数列{}n a 中有()1nn a f n a -=，即第n 项与第1n -项的商是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（6）构造法：①一次函数法：在数列{}n a 中，1n n a ka b -=+（k 、b 均为常数，且1k ≠，0k ≠）.一般化方法：设()1n n a m k a m -+=+，得到()1b k m =-，1bm k =-，可得出数列1n b a k ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以k 的等比数列，可求出n a ；②取倒数法：这种方法适用于()112,n n n ka a n n N ma p*--=≥∈+（k 、m 、p 为常数，0m ≠），两边取倒数后，得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于1n n a ka b-=+的式子；⑦1nn n a ba c +=+（b 、c 为常数且不为零，n *∈N ）型的数列求通项n a ，方法是在等式的两边同时除以1n c +，得到一个1n n a ka b +=+型的数列，再利用⑥中的方法求解即可. 19．B 【分析】根据等比中项的性质求出3a ，从而求出1a ，最后根据公式求出3S ； 【详解】解：因为正项等比数列{}n a 满足241a a =，由于2243a a a =，所以231a =. 所以31a =，211a q ∴=，因为13q =，所以19a =. 因此()3131131a q S q-==-.故选：B 20．C 【分析】首先根据题意得到5S ，105S S -，1510S S -构成等比数列，再利用等比中项的性质即可得到答案. 【详解】因为{}n a 为等比数列，所以5S ，105S S -，1510S S -构成等比数列. 所以()()2155010=1050S --，解得15210S =.二、多选题21．ABC 【分析】利用数列单调性及题干条件，可求出11,a b 范围；求出数列{},{}n n a b 的前2n 项和的表达式，利用数学归纳法即可证明其大小关系，即可得答案. 【详解】因为数列{}n a 为递增数列， 所以123a a a <<，所以11222a a a <+=，即11a <， 又22324a a a <+=，即2122a a =-<， 所以10a >，即101a <<，故A 正确； 因为{}n b 为递增数列， 所以123b b b <<，所以21122b b b <=，即1b < 又22234b b b <=，即2122b b =<， 所以11b >，即11b <<，故B 正确；{}n a 的前2n 项和为21234212()()()n n n S a a a a a a -=++++⋅⋅⋅++= 22(121)2[13(21)]22n n n n +-++⋅⋅⋅+-==，因为12n n n b b +⋅=，则1122n n n b b +++⋅=，所以22n n b b +=，则{}n b 的2n 项和为13212422()()n n n b b b b b b T -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=1101101122(222)(222)()(21)n n nb b b b --++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=+-1)1)n n>-=-，当n =1时，222,S T =>，所以22T S >，故D 错误； 当2n ≥时假设当n=k时，21)2k k ->21)k k ->， 则当n=k +11121)21)21)2k k k k k ++-=+-=->2221(1)k k k >++=+所以对于任意*n N ∈，都有21)2k k ->，即22n n T S >，故C 正确 故选：ABC本题考查数列的单调性的应用，数列前n 项和的求法，解题的关键在于，根据数列的单调性，得到项之间的大小关系，再结合题干条件，即可求出范围，比较前2n 项和大小时，需灵活应用等差等比求和公式及性质，结合基本不等式进行分析，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题. 22．AB 【分析】因为公比q 不为1，所以不能删去1a ，4a ，设等差数列的公差为d ，分类讨论，即可得到答案 【详解】解：因为公比q 不为1，所以不能删去1a ，4a ，设等差数列的公差为d ， ①若删去2a ，则有3142a a a =+，得231112a q a a q =+，即2321q q =+， 整理得()()()2111qq q q -=-+，因为1q ≠，所以21q q =+， 因为0q >，所以解得q =， ②若删去3a ，则2142a a a =+，得31112a q a a q =+，即321q q =+，整理得(1)(1)1q q q q -+=-，因为1q ≠，所以(1)1q q +=， 因为0q >，所以解得q =，综上12q +=或12q -+=， 故选：AB 23．BD 【分析】根据638a a =利用等比数列的性质建立关系求出2q ，然后结合等比数列的求和公式，逐项判断选项可得答案． 【详解】由638a a =，可得3338q a a =，则2q，当首项10a <时，可得{}n a 为单调递减数列，故A 错误；由663312912S S -==-，故B 正确； 假设3S ，6S ，9S 成等比数列，可得2693S S S =⨯， 即6239(12)(12)(12)-=--不成立，显然3S ，6S ，9S 不成等比数列，故C 错误；由{}n a 公比为q 的等比数列，可得11122121n n n n a a q a a S a a q --===--- 12n n S a a ∴=-，故D 正确；故选：BD ． 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用638a a =求得2q ，同时需要熟练掌握等比数列的求和公式. 24．ABC 【分析】设第1n +分钟之内新感染的文件数为1n a +，前n 分钟内新感染的病毒文件数之和为n S ，则()121n n a S +=+，且12a =，可得123n n a -=⨯，即可判断四个选项的正误.【详解】设第1n +分钟之内新感染的文件数为1n a +，前n 分钟内新感染的病毒文件数之和为n S ，则()121n n a S +=+，且12a =，由()121n n a S +=+可得()121n n a S -=+，两式相减得：12n n n a a a +=-，所以13n n a a +=，所以每分钟内新感染的病毒构成以12a =为首项，3为公比的等比数列，所以123n n a -=⨯，在第3分钟内，该计算机新感染了3132318a -=⨯=个文件，故选项A 正确；经过5分钟，该计算机共有()551234521311324313a a a a a ⨯-+++++=+==-个病毒文件，故选项B 正确；10分钟后，计算机感染病毒的总数为()101051210213111310132a a a ⨯-++++=+=>⨯-，所以计算机处于瘫痪状态，故选项C 正确； 该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为3的等比数列，故选项D 不正确； 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是读懂题意，得出第1n +分钟之内新感染的文件数为1n a +与 前n 分钟内新感染的病毒文件数之和为n S 之间的递推关系为()121n n a S +=+，从而求得n a .25．BC 【分析】根据数列的增减性由所给等式求出1a d 、，写出数列的通项公式及前n 项和公式，即可进行判断.【详解】数列{a n }为单调递增的等比数列，且24100a a +=>，0n a ∴>23464a a a =，2364a ∴=，解得34a =，2410a a +=，4410q q∴+=即22520q q -+=，解得2q或12， 又数列{a n }为单调递增的等比数列，取2q，312414a a q ===， 12n na ，212121n n n S -==--，()1121212n n nn n S S ++-=---=.故选：BC 【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的求解、等比数列的增减性、等比数列求和公式，属于基础题. 26．ABD 【分析】根据基本不等式的相关知识，结合等比数列中等比中项的性质，求出5a 的范围，即可得到所求． 【详解】解：依题意，数列是{}n a 是正项等比数列，30a ∴>，70a >，50a >，∴2373752323262a a a a a +=， 因为50a >，所以上式可化为52a ，当且仅当3a =，7a = 故选：ABD ． 【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了基本不等式，考查分析和解决问题的能力，逻辑思维能力．属于中档题． 27．BD 【分析】根据题意，得到此人每天所走路程构成以12为公比的等比数列，记该等比数列为{}n a ，公比为12q =，前n 项和为n S ，根据题意求出首项，再由等比数列的求和公式和通项公式，逐项判断，即可得出结果. 【详解】由题意，此人每天所走路程构成以12为公比的等比数列，记该等比数列为{}n a ，公比为12q =，前n 项和为n S ， 则16611163237813212a S a ⎛⎫- ⎪⎝⎭===-，解得1192a =，所以此人第三天走的路程为23148a a q =⋅=，故A 错；此人第一天走的路程比后五天走的路程多()1611623843786a S a a S --=-=-=里，故B 正确；此人第二天走的路程为213789694.54a a q =⋅=≠=，故C 错； 此人前三天走的路程为31231929648336S a a a =++=++=，后三天走的路程为6337833642S S -=-=，336428=⨯，即前三天路程之和是后三天路程之和的8倍，D 正确； 故选：BD. 【点睛】本题主要考查等比数列的应用，熟记等比数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型. 28．AD 【分析】分类讨论67,a a 大于1的情况，得出符合题意的一项. 【详解】①671,1a a >>, 与题设67101a a -<-矛盾. ②671,1,a a ><符合题意. ③671,1,a a <<与题设67101a a -<-矛盾. ④ 671,1,a a <>与题设11a >矛盾.得671,1,01a a q ><<<，则n T 的最大值为6T .∴B ，C ，错误.故选：AD. 【点睛】考查等比数列的性质及概念. 补充：等比数列的通项公式：()1*1n n a a q n N -=∈.29．BC 【分析】先求得3a ，然后求得q ，进而求得1a ，由此求得1,,n n n n a S S S +-，进而判断出正确选项. 【详解】由23464a a a =得3334a =，则34a =．设等比数列{}n a 的公比为()0q q ≠，由2410a a +=，得4410q q+=，即22520q q -+=，解得2q或12q =．又因为数列{}n a 单调递增，所以2q，所以112810a a +=，解得11a =．所以12n na ，()1122112n nn S ⨯-==--，所以()1121212n n n n n S S ++-=---=.故选：BC 【点睛】本题考查等比数列的通项公式、等比数列的性质及前n 项和，属于中档题.30．ACD 【分析】若设此人第n 天走n a 里路，则数列{}n a 是首项为1a ，公比为12q =的等比数列，由6378S =求得首项，然后分析4个选项可得答案.【详解】解：设此人第n 天走n a 里路，则数列{}n a 是首项为1a ，公比为12q =的等比数列， 因为6378S =，所以1661(1)2=378112a S -=-，解得1192a =，对于A ，由于21192962a =⨯=，所以此人第二天走了九十六里路，所以A 正确； 对于B ，由于 3148119248,43788a =⨯=>，所以B 不正确； 对于C ，由于378192186,1921866-=-=，所以此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里，所以C 正确； 对于D ，由于4561111924281632a a a ⎛⎫++=⨯++= ⎪⎝⎭，所以D 正确， 故选：ACD 【点睛】此题考查等比数的性质，等比数数的前项n 的和，属于基础题. 31．ABD 【分析】由已知关系式可求1a 、n a ，进而求得{}21na n +的通项公式以及前n 项和,n S 即可知正确选项. 【详解】由已知得：12a =，令12335...(21)2n n T a a a n a n =++++-=，则当2n ≥时，1(21)2n n n T T n a --=-=，即221n a n =-，而122211a ==⨯-也成立， ∴221n a n =-，*n N ∈，故数列{}21n a n +通项公式为211(21)(21)2121n n n n =-+--+，∴111111111121 (133557232121212121)n nS n n n n n n =-+-+-++-+-=-=---+++，即有1n n S na +=， 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：由已知12335...(21)2n n T a a a n a n =++++-=求1a 、n a ，注意验证1a 是否符合n a 通项，并由此得到{}21na n +的通项公式，利用裂项法求前n 项和n S . 32．AB 【分析】由已知构造出数列{}3n a +是等比数列，可求出数列{}n a 的通项公式以及前n 项和，结合选项逐一判断即可． 【详解】123n n a a +=+，∴()1323n n a a ++=+，∴数列{}3n a +是等比数列又∵11a =，∴()11332n n a a -+=+，∴123n n a +=-，∴313a =，∴()2412323412n n nS n n +-=-=---.故选：AB. 33．ABD 【分析】由()*123nn na a n N a +=∈+两边取倒数，可求出{}n a 的通项公式，再逐一对四个选项进行判断，即可得答案. 【详解】 因为112323n nn n a a a a ++==+，所以11132(3)n n a a ++=+，又11340a +=≠， 所以13n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以4为首项，2位公比的等比数列，11342n n a -+=⨯即1123n n a +=-，故选项A 、B 正确. 由{}n a 的通项公式为1123n n a +=-知，{}n a 为递减数列，选项C 不正确.因为1231n na +=-，所以 1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和23112(23)(23)(23)2(222)3n n n T n +=-+-++-=+++-22(12)2312234n n n n +-⨯-=⨯-=--.选项D 正确，故选：ABD 【点睛】本题考查由递推公式判断数列为等比数列，等比数列的通项公式及前n 项和，分组求和法，属于中档题. 34．AC 【分析】直接利用题目中“保等比数列函数”的性质，代入四个选项一一验证即可. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q .对于A ，则2221112()()n n n n n n f a a a q f a a a +++⎛⎫=== ⎪⎝⎭，故A 是“保等比数列函数”； 对于B ，则111()22()2n n n n a a a n a n f a f a ++-+==≠ 常数，故B 不是“保等比数列函数”； 对于C，则1()()n n f a f a +===，故C 是“保等比数列函数”；对于D ，则11ln ln ln ln ln ()1()ln ln ln ln n n n n n n n n na a q a qq f a f a a a a a ++⋅+====+≠ 常数，故D 不是“保等比数列函数”. 故选：AC. 【点睛】本题考查等比数列的定义，考查推理能力，属于基础题. 35．AD 【分析】设等差数列的公差为d ，运用等差数列和等比数列的通项公式分析A 正确，B 与C 不正确，结合条件判断等差数列为递减数列，即可得到D 正确． 【详解】数列{a n }是公比q 为23-的等比数列，{b n }是首项为12，公差设为d 的等差数列， 则8912()3a a =-，91012()3a a =-，∴a 9•a 1021712()3a =-＜0，故A 正确；∵a 1正负不确定，故B 错误；∵a 10正负不确定，∴由a 10＞b 10，不能求得b 10的符号，故C 错误；由a 9＞b 9且a 10＞b 10，则a 1（23-）8＞12+8d ，a 1（23-）9＞12+9d ， 由于910,a a 异号，因此90a <或100a <故 90b <或100b <，且b 1＝12 可得等差数列{b n }一定是递减数列，即d ＜0，即有a 9＞b 9＞b 10，故D 正确．故选：AD【点睛】本题考查了等差等比数列的综合应用，考查了等比数列的通项公式、求和公式和等差数列的单调性，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.。

班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________(满分100分，测试时间50分钟)一、填空题：请把答案直接填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上(共10题，每小题6分，共计60分)． 1．【2016高考浙江理数】设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4，a n +1=2S n +1，n ∈N *，则a 1= ，S 5= .【答案】1 121【解析】1221124,211,3a a a a a a +==+⇒==，再由111121,21(2)23(2)n n n n n n n n n a S a S n a a a a a n +-++=+=+≥⇒-=⇒=≥，又213a a =，所以515133(1),S 121.13n n a a n +-=≥==- 2．观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49照此规律，第n 个等式为 ． 【答案】()()()()2123221n n n n n +++++⋅⋅⋅+-=-3.已知数列{}n a 满足111,n n a a a n -=-=则n a =________ 【答案】()12n n + 【解析】由题意可知，213212,3,,n n a a a a a a n --=-=⋅⋅⋅-= 相加，可得123n a a n -=++⋅⋅⋅+ ，所以()11232n n n a n +=+++⋅⋅⋅+=4．已知数列*))((2,1,}{2111N n a a a na a a n n n ∈+++==+ 中，则数列}{n a 的通项为 【答案】n a n =，(*)n N ∈5．已知数列{}n a 的前n 项和29n S n n =-，则其通项公式n a =____________. 【答案】102-n 【解析】由已知得,811-==S a 当2≥n 时102)1(9)1(9221-=-+---=-=-n n n n n S S a n n n ，对n=1也适用，故n a =102-n ． 6．已知在数列{}n a 中，n n a n na 21+=+，且21=a ，则=n a 【答案】4(1)n n +【解析】由n n a n n a 21+=+得+12n n a n a n =+，即111n n a n a n --=+，故2113a a =，3224a a =， , 111n n a n a n --=+,用累乘法得12(1)n a a n n =+，故4(1)n a n n =+. 7．数列}{n a 的前n 项和记为n S ，11=a ，)1(121≥+=+n S a n n ，则}{n a 的通项公式为 ． 【答案】13n n a -=8．数列{}n a 中，已知12121,2,()n n n a a a a a n N *++===+∈，则7a =________． 【答案】1【解析】由12n n n a a a ++=+，得21n n n a a a ++=-，121,2a a ==，得3211a a a =-=，4321a a a =-=-，5432a a a =-=-，6541a a a =-=-，7651a a a =-=．9．已知数列1,(*)316n n a n N n +=∈-，则数列}{n a 最小项是第 项.【答案】5 【解析】因为1316n n a n +=-，由数列{}n a 的最小项必为0n a <，即10316n n +<-，3160n -<，从而163n <，又*n N Î，所以当n 取得最大值为5时n a 的值最小. 10．如图，互不相同的点 ,,,,21n A A A 和B 1，B 2，…，B n ，…分别在角O 的两条边上，所有A n B n 相互平行，且所有梯形A n B n B n ＋1A n ＋1的面积均相等．设OA n ＝n a ，若1a ＝1，2a ＝2，则9a ＝【答案】5【解析】依题意：互不相同的点A 1，A 2，…，A n ，…和B 1，B 2，…， B n ，…分别在角O 的两条边上．∵所有A n B n 相互平行，且所有梯形A n B n AB n+1A n+1的面积均相等． ∴利用所有的三角形都相似，面积比等于相似比的平方， 若a 1=1，a 2=2，则令m S B O A =∆11（m>0）, 所以S 梯形A1B1A2B2=3m ， ∴当n≥2时，2121153235323-----=⇒--==n n n n n n a n n a n n OA OA a a , 利用以累乘可得：212)23(a n a n -=,由于a 1=1，∴a n =23-n ∴a 9=5． 故答案为：5．11．数列{}n a 中相邻两项n a 与1n a +是方程230n x nx b ++=的两根，已知1017a =-，则51b 等于______________ 【答案】584012．对于各数互不相等的整数数组),,,,(321ni i i i （n 是不小于3的正整数），对于任意的,{1,2,3,,}p q n ∈，当q p <时有q p i i >，则称p i ，q i 是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，则数组（2，4，3，1）中的逆序数等于 ；若数组123(,,,,)ni i i i 中的逆序数为n ，则数组11(,,,)n n i i i -中的逆序数为 ．【答案】4，232n n-【解析】由题意知数组(2,4,3,1)中的逆序有2,1；4,1；3,1；4,3， 所以逆序数是4，因为若数组123(,,,,)n i i i i ⋅⋅⋅中的逆序数是n又这个数组中可以组成2(1)2n n n C -=个数对 所以数组121(,,,,)n n n i i i i --⋅⋅⋅中的逆序数是2(1)322n n n nn ---= 故答案为：4，232n n-．13．已知数列{}n a 满足11log (1)n n a a n ==+，*2()n n N ≥∈，．定义：使乘积12a a ⋅⋅ k a ⋅为正整数的*()k k N ∈叫做“积整数”．则在]2013,1[内所有“积整数”的和为 ． 【答案】203614．已知数列{a n }（n ∈N ＋）是各项均为正数且公比不等于1的等比数列，对于函数y ＝f （x ），若数列{lnf （a n ）}为等差数列，则称函数f （x ）为“保比差数列函数”.现有定义在（0，＋∞）上的四个函数：①f （x ）＝1x；②f （x ）＝e x；③f （xf （x ）＝kx （k ＞0）.则为“保比差数列函数”的是_______________. 【答案】①③④【解析】设数列的公比为q ，若lnf （a n ）为等差数列，则lnf （a n ）－lnf （a n －1）＝ln1()()n n f a f a -＝d 即1()()n n f a f a -＝e d，故f （a n ）为等比数列.①若f （x ）＝1x ，则f （a n ）＝1n a ，11()1()n n n n f a a f a a q--==是常数，所以①是“保比差数列函数”；②若f （x ）＝e x，则111()()nn n n a a a n a n f a e e f a e----==不是常数，所以②不是“保比差数列函数”；③若f （x ）则1()()n n f a f a -===为常数，所以③是“保比差数列函数”； ④若y ＝kx ，则11()()n nn n f a ka q f a ka --==为常数，所以④是“保比差数列函数”；二、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指．定区域内．．．．。

6个解答题专项强化练(四) 数列1．已知{a n}为等差数列，前n项和为S n(n∈N*)，{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4.(1)求{a n}和{b n}的通项公式；(2)求数列{a2n b2n－1}的前n项和(n∈N*)．解：(1)设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q.由已知b2＋b3＝12，得b1(q＋q2)＝12，而b1＝2，所以q2＋q－6＝0.又因为q＞0，解得q＝2.所以b n＝2n.由b3＝a4－2a1，可得3d－a1＝8.①由S11＝11b4，可得a1＋5d＝16.②由①②，解得a1＝1，d＝3，由此可得a n＝3n－2.所以数列{a n}的通项公式为a n＝3n－2，数列{b n}的通项公式为b n＝2n.(2)设数列{a2n b2n－1}的前n项和为T n，由a2n＝6n－2，b2n－1＝2×4n－1，得a2n b2n－1＝(3n－1)×4n，故T n＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n－1)×4n，4T n＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n－4)×4n＋(3n－1)×4n＋1，上述两式相减，得－3T n＝2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n－(3n－1)×4n ＋1＝12×(1－4n )1－4－4－(3n －1)×4n ＋1 ＝－(3n －2)×4n ＋1－8.故T n ＝3n －23×4n ＋1＋83. 所以数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和为3n －23×4n ＋1＋83. 2．已知数列{a n }满足：a 1＝12，a n ＋1－a n ＝p ·3n －1－nq ，n ∈N *，p ，q ∈R. (1)若q ＝0，且数列{a n }为等比数列，求p 的值；(2)若p ＝1，且a 4为数列{a n }的最小项，求q 的取值范围． 解：(1)∵q ＝0，a n ＋1－a n ＝p ·3n －1，∴a 2＝a 1＋p ＝12＋p ，a 3＝a 2＋3p ＝12＋4p ， 由数列{a n }为等比数列，得⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＋p 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＋4p ，解得p ＝0或p ＝1. 当p ＝0时，a n ＋1＝a n ，∴a n ＝12，符合题意； 当p ＝1时，a n ＋1－a n ＝3n －1，∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝12＋(1＋3＋…＋3n －2)＝12＋1－3n －11－3＝12·3n －1， ∴a n ＋1a n ＝3.符合题意．∴p 的值为0或1.(2)法一：若p ＝1，则a n ＋1－a n ＝3n －1－nq ，∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝12＋(1＋3＋…＋3n －2)－[1＋2＋…＋(n －1)]q ＝12[3n －1－n(n －1)q]． ∵数列{a n }的最小项为a 4，∴对任意的n ∈N *，有12[3n －1－n(n －1)q]≥a 4＝12(27－12q)恒成立， 即3n －1－27≥(n 2－n －12)q 对任意的n ∈N *恒成立．当n ＝1时，有－26≥－12q ，∴q ≥136； 当n ＝2时，有－24≥－10q ，∴q ≥125； 当n ＝3时，有－18≥－6q ，∴q ≥3； 当n ＝4时，有0≥0，∴q ∈R ；当n ≥5时，n 2－n －12>0，所以有q ≤3n －1－27n 2－n －12恒成立， 令c n ＝3n －1－27n 2－n －12(n ≥5，n ∈N *)，则c n ＋1－c n ＝2(n 2－2n －12)3n －1＋54n(n 2－16)(n 2－9)>0，即数列{c n }为递增数列，∴q ≤c 5＝274.。

2018年高考数学一轮复习第六章不等式、推理与证明第36讲合情推理与演绎推理实战演练理1．(2016·北京卷)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( B ) A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C．乙盒中红球不多于丙盒中红球D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多解析：假设袋中只有一红一黑两个球，第一次取出后，若将红球放入了甲盒，则乙盒中有一个黑球，丙盒中无球，A错误；若将黑球放入了甲盒，则乙盒中无球，丙盒中有一个红球，D错误；同样，假设袋中有两个红球和两个黑球，第一次取出两个红球，则乙盒中有一个红球，第二次必然拿出两个黑球，则丙盒中有一个黑球，此时乙盒中红球多于丙盒中的红球，C错误，故选B．2．(2015·山东卷)观察下列各式：C01＝40；C03＋C13＝41；C05＋C15＋C25＝42；C07＋C17＋C27＋C37＝43；…照此规律，当n∈N*时，C02n－1＋C12n－1＋C22n－1＋…＋C n－12n－1＝4n－1.＝4n－1.解析：由题知C02n－1＋C12n－1＋C22n－1＋…＋C n－12n－13．(2014·新课标全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三个去过同一城市．由此可推断乙去过的城市为A．解析：由于甲、乙、丙三人去过同一城市，而甲没有去过B城市，乙没有去过C城市，因此三人去过同一城市应为A，而甲去过的城市比乙多，但没去过B城市，所以甲去过的城市数应为2，乙去过的城市应为A．4．(2016·山东卷)观察下列等式：⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3－2＋⎝⎛⎭⎪⎫sin 2π3－2＝43×1×2； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 4π5－2＝43×2×3； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π7－2＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π9－2＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫sin 8π9－2＝43×4×5； …照此规律，⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2n π2n ＋1－2＝43n (n ＋1)． 解析：通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的43是个固定数，43后面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中π的系数的一半，43后面第二个数是第一个数的下一个自然数，所以，所求结果为43×n ×(n ＋1)，即43n (n ＋1)．。

n n n(1)求{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足a n b n＝log3a n，求{b n}的前n项和T n.2．(2015·安徽)已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设S n为数列{a n}的前n项和，b n＝an＋1SnSn＋1，求数列{b n}的前n项和T n.3．已知数列{a n}的各项均为正数，S n是数列{a n}的前n项和，且4S n＝a2n＋2a n－3.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)已知b n＝2n，求T n＝a1b1＋a2b2＋…＋a n b n的值．4．(2016·苏州、无锡、常州、镇江三模)已知常数λ≥0，若各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝1，S n＋1＝an＋1anSn＋(λ·3n＋1)a n＋1(n∈N*)．(1)若λ＝0，求数列{a n}的通项公式；(2)若a n＋1＜12an对一切n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．5．已知函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)且f(1)＝1 2 .(1)当n∈N*时，求f(n)的表达式；(2)设a n＝n·f(n)，n∈N*，求证：a1＋a2＋a3＋…＋a n＜2；(3)设b n＝(9－n)f(n＋1)f(n)，n∈N*，S n为{b n}的前n项和，当S n最大时，求n的值．答案精析1．解 (1)因为2S n ＝3n ＋3， 所以2a 1＝3＋3，故a 1＝3， 当n ＞1时，2S n －1＝3n －1＋3，此时2a n ＝2S n －2S n －1＝3n －3n －1＝2×3n －1， 即a n ＝3n －1，显然当n ＝1时，a 1不满足a n ＝3n －1， 所以a n ＝⎩⎨⎧3，n ＝1，3n －1，n ＞1.(2)因为a n b n ＝log 3a n ，所以b 1＝13，当n ＞1时，b n ＝31－n log 33n －1＝(n －1)·31－n ， 所以T 1＝b 1＝13.当n ＞1时，T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝13＋1×3－1＋2×3－2＋3×3－3＋…＋(n －1)×31－n]，所以3T n ＝1＋1×30＋2×3－1＋3×3－2＋…＋(n －1)×32－n ]， 两式相减，得2T n ＝23＋(30＋3－1＋3－2＋3－3＋…＋32－n )－(n －1)×31－n＝23＋1－31－n 1－3－1－(n －1)×31－n ＝136－6n ＋32×3n ，所以T n ＝1312－6n ＋34×3n . 经检验，n ＝1时也适合． 综上可得T n ＝1312－6n ＋34×3n. 2．解 (1)由题设知a 1·a 4＝a 2·a 3＝8. 又a 1＋a 4＝9，可解得⎩⎨⎧a 1＝1，a 4＝8或⎩⎨⎧a 1＝8，a 4＝1(舍去)．由a 4＝a 1q 3得公比q ＝2， 故a n ＝a 1q n －1＝2n －1(n ∈N *)．(2)S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2n－1，又b n ＝a n ＋1S n S n ＋1＝S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n －1S n ＋1， 所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 1－1S 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 2－1S 3＋… ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S n －1S n ＋1＝1S 1－1S n ＋1 ＝1－12n ＋1－1. 3．解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝14a 21＋12a 1－34.解得a 1＝3.又∵4S n ＝a 2n ＋2a n －3，① 当n ≥2时，4S n －1＝a 2n －1＋2a n －1－3.②①－②，得4a n ＝a 2n －a 2n －1＋2(a n －a n －1)， 即a 2n －a 2n －1－2(a n ＋a n －1)＝0.∴(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0. ∵a n ＋a n －1＞0，∴a n －a n －1＝2(n ≥2)，∴数列{a n }是以3为首项，2为公差的等差数列． ∴a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1.(2)T n ＝3×21＋5×22＋…＋(2n ＋1)·2n ，③2T n ＝3×22＋5×23＋…＋(2n －1)·2n ＋(2n ＋1)2n ＋1，④ ④－③，得T n ＝－3×21－2(22＋23＋…＋2n )＋(2n ＋1)2n ＋1 ＝－6＋8－2·2n ＋1＋(2n ＋1)·2n ＋1 ＝(2n －1)2n ＋1＋2.4．解 (1)当λ＝0时，S n ＋1＝a n ＋1a n S n ＋a n ＋1， 所以S n ＝a n ＋1a n S n. 因为a n ＞0，所以S n ＞0，所以a n ＋1＝a n . 因为a 1＝1，所以a n ＝1. (2)因为S n ＋1＝a n ＋1a nS n ＋(λ·3n ＋1)·a n ＋1，a n ＞0，所以S n ＋1a n ＋1－S na n＝λ·3n ＋1， 则S 2a 2－S 1a 1＝λ·3＋1，S 3a 3－S 2a 2＝λ·32＋1，…， S n a n －S n －1a n －1＝λ·3n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)． 累加，得S n a n－1＝λ·(3＋32＋…＋3n －1)＋n －1， 则S n ＝(λ·3n －32＋n )·a n (n ≥2，n ∈N *)．经检验，上式对n ＝1也成立，所以S n ＝(λ·3n －32＋n )·a n (n ∈N *)，①S n ＋1＝(λ·3n ＋1－32＋n ＋1)·a n ＋1(n ∈N *)．②②－①，得a n ＋1＝(λ·3n ＋1－32＋n ＋1)·a n ＋1－(λ·3n －32＋n )·a n ，即(λ·3n ＋1－32＋n )·a n ＋1＝(λ·3n －32＋n )·a n .因为λ≥0，所以λ·3n －32＋n ＞0，λ·3n ＋1－32＋n ＞0.因为a n ＋1＜12a n 对一切n ∈N *恒成立，所以λ·3n －32＋n ＜12·(λ·3n ＋1－32＋n )对一切n ∈N *恒成立，即λ＞2n3n＋3对一切n ∈N *恒成立． 记b n ＝2n3n ＋3， 则b n －b n ＋1＝2n 3n ＋3－2n ＋23n ＋1＋3＝(4n －2)3n －6(3n ＋3)(3n ＋1＋3). 当n ＝1时，b n －b n ＋1＝0； 当n ≥2时，b n －b n ＋1＞0.所以b 1＝b 2＝13是一切b n 中最大的项．综上，λ的取值范围是(13，＋∞)．5．(1)解 令x ＝n ，y ＝1， 得f (n ＋1)＝f (n )·f (1)＝12f (n )，∴{f (n )}是首项为12，公比为12的等比数列，∴f (n )＝(12)n .(2)证明 设T n 为{a n }的前n 项和， ∵a n ＝n ·f (n )＝n ·(12)n，∴T n ＝12＋2×(12)2＋3×(12)3＋…＋n ×(12)n ，12T n ＝(12)2＋2×(12)3＋3×(12)4＋…＋(n －1)×(12)n ＋n ×(12)n ＋1， 两式相减得12T n ＝12＋(12)2＋(12)3＋…＋(12)n －n ×(12)n ＋1，＝1－(12)n －n ×(12)n ＋1，∴T n ＝2－(12)n －1－n ×(12)n ＜2.(3)解 ∵f (n )＝(12)n ，∴b n ＝(9－n )f (n ＋1)f (n )＝(9－n )(12)n ＋1(12)n ＝9－n2.∴当n ≤8时，b n ＞0； 当n ＝9时，b n ＝0； 当n ＞9时，b n ＜0.∴当n ＝8或n ＝9时，S n 取得最大值．。

1．(2016·苏北四市联考)在等差数列{a n }中，已知a 2＋a 8＝11，则3a 3＋a 11＝________.2．(2016·辽宁师大附中期中)在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则2a 10－a 12的值为________．3．(2016·辽宁沈阳二中期中)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 7＝9a 3，则S 9S 5＝________.4．已知数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＋2a n ＋1－a n ＋1a n＝1，则a 6－a 5的值为________． 5．(2017·南京质检)记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S k －1＝8，S k ＝0，S k ＋1＝－10，则正整数k ＝________.6．(2016·邯郸月考)等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，三个不同的点A ，B ，C 在直线l 上，点O 在直线l 外，且满足OA →＝a 2OB →＋(a 7＋a 12)OC →，那么S 13的值为________． 7．(2016·四川眉山中学期中改编)在等差数列{a n }中，a 1＝－2015，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2017的值为________．8．(2016·镇江一模)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S n S 2n ＝n ＋14n ＋2，则a 3a 5＝________.9．(2016·苏州模拟)设正项数列{a n }的前n 项和是S n ，若{a n }和{S n }都是等差数列，则S n ＋10a n的最小值是________． 10．(2016·铁岭模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－6n ，则{|a n |}的前n 项和T n ＝________________.11．(2016·安庆一模)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12＝________. 12．(2016·临沂一中期中)设f (x )＝12x ＋2，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值是________．13．在圆x 2＋y 2＝5x 内，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32有n 条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列的首项a 1，最长弦长为a n ，若公差d ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤16，13，那么n 的取值集合为________． 14．(2016·扬州中学四模)各项均为实数的等差数列的公差为2，其首项的平方与其余各项之和不超过33，则这样的数列至多有________项．答案精析1．22 2.24 3.9 4.96 5.9 6.1337．2017解析 设等差数列前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，则S n n ＝An ＋B ，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 成等差数列． ∵S 11＝a 11＝－2015，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以－2015为首项，以1为公差的等差数列．∴S 20172017＝－2015＋2016×1＝1，∴S 2017＝2017.8.35解析 由S n S 2n ＝n ＋14n ＋2可得 n (a 1＋a n )22n (a 1＋a 2n )2＝a 1＋a n 2(a 1＋a 2n )＝n ＋14n ＋2， ∴a 1＋a n a 1＋a 2n ＝n ＋12n ＋1， 当n ＝1时，2a 1a 1＋a 2＝1＋12×1＋1， 则a 2＝2a 1，∴公差d ＝a 2－a 1＝a 1，∴a 3a 5＝a 1＋2d a 1＋4d ＝3a 15a 1＝35. 9．21解析 设数列{a n }的公差为d ，依题意 2S 2＝S 1＋S 3，即22a 1＋d ＝a 1＋3a 1＋3d ，化简可得d ＝2a 1.所以S n ＋10a n＝(n ＋10)22n －1＝14×(2n ＋20)22n －1＝14×[(2n －1)＋21]22n －1＝14(2n －1)＋2122n －1＋42]≥14×(2×21＋42)＝21，当且仅当2n －1＝2122n －1，即n ＝11时，等号成立． 10.⎩⎨⎧6n －n 2，1≤n ≤3，n 2－6n ＋18，n ≥4 解析 由S n ＝n 2－6n ，得{a n }是等差数列，且首项为－5，公差为2，∴a n ＝－5＋(n －1)×2＝2n －7，∴当n ≤3时，a n ＜0；当n ≥4时，a n ＞0，∴T n ＝⎩⎨⎧6n －n 2，1≤n ≤3，n 2－6n ＋18，n ≥4. 11.310解析 设S 3＝m ，∵S 3S 6＝13， ∴S 6＝3m ，∴S 6－S 3＝2m ，由等差数列依次每k 项之和仍为等差数列，得S 3＝m ，S 6－S 3＝2m ，S 9－S 6＝3m ，S 12－S 9＝4m ，∴S 6＝3m ，S 12＝10m ，∴S 6S 12＝310. 12．3 2解析 ∵f (x )＝12x ＋2，∴f (x )＋f (1－x )＝12x ＋2＋121－x ＋2＝22，∴由倒序相加求和法可知f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)＝3 2.13．{4,5,6}解析 由已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋y 2＝254，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，半径为52， 得a 1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫522－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝2×2＝4， a n ＝2×52＝5，由a n ＝a 1＋(n －1)d ⇔n ＝a n －a 1d ＋1＝5－4d ＋1＝1d ＋1，又16＜d ≤13，所以4≤n ＜7，则n 的取值集合为{4,5,6}．14．7解析 记这个数列为{a n }，则由题意可得a 21＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝a 21＋(n －1)(a 2＋a n )2＝a 21＋(n －1)(a 1＋n )＝a 21＋(n －1)a 1＋n (n －1)＝(a 1＋n －12)2＋n (n －1)－(n －1)24＝(a 1＋n －12)2＋(n －1)(3n ＋1)4≤33，为了使得n 尽量大，故(a 1＋n －12)2＝0， ∴(n －1)(3n ＋1)4≤33，∴(n －1)(3n ＋1)≤132，当n ＝6时，5×19＜132； 当n ＝7时，6×22＝132，故n max ＝7.。

数列1．已知等差数列满足，,则的值为____．2．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =， 8646a a a =+，则3a 的值为_________.3．设数列{}n a 为等差数列, n S 为数列{}n a 的前n 项和,已知3159,225,n S S B ==为数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，则n B =__________．4．数列{}n a 为等比数列， 11a =且1351,4,7a a a +++成等差数列，则公差d =__________． 5．设数列{}n a 的首项11a =，且满足212121n n a a +-=+与2211n n a a -=+，则数列{}n a 的前20项和为__________．6．等比数列{}n a 中， 1473692,18a a a a a a ++=++=，则{}n a 的前9项和9S =__________． 7．设数列{}n a 满足2410a a +=,点(),n n P n a 对任意的n N +∈，都有向量()11,2n n P P +=,则数列{}n a 的前n 项和n S =__________．8．已知数列{}n α满足221221,2,1cos sin ,22n n n n a a a a ππ+⎛⎫===++ ⎪⎝⎭则该数列的前21项的和为__________．9．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21n n S a =-，则1210181818=a a a -+-+-_______.10．已知各项都为整数的数列{}n a 中, 12a =，且对任意的*N n ∈，满足1122n n n a a +-<+,2n n a a +- 321n >⨯-，则2017a =__________．11．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1378S =, 71210a a +=,则17a =_______; 12．设等比数列｛a n }中,S n 是前n 项和，若36270a a -=，则＝__________。

1．数列{a n }的通项公式a n ＝n ＋n ＋1，若前n 项的和为10，则项数n ＝________.2．已知等差数列：1，a 1，a 2,9；等比数列：－9，b 1，b 2，b 3，－1.则b 2(a 2－a 1)＝________.3．已知函数y ＝f (x )，x ∈R ，数列{a n }的通项公式是a n ＝f (n )，n ∈N *，那么“函数y ＝f (x )在1，＋∞)上递增”是“数列{a n }是递增数列”的________条件． 4．(2016·杭州二模)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，(n ＋1)S n ＜nS n ＋1(n ∈N *)．若a 8a 7＜－1，则S n 取得最小值的项是________． 5．(2016·湖北黄冈中学等八校联考)已知实数等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列结论一定成立的是________．①若a 3＞0，则a 2013＜0；②若a 4＞0，则a 2014＜0；③若a 3＞0，则S 2013＞0；④若a 4＞0，则S 2014＞0.6．已知数列{a n }满足：a n ＝⎩⎨⎧(3－a )n －3，n ≤7，a n －6，n ＞7(n ∈N *)，且{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是________．7．(2016·江南十校联考)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝log 3n n ＋1(n ∈N *)，设其前n 项和为S n ，则使S n ＜－4成立的最小自然数n ＝________. 8．若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－2n －1，则数列{a n }的通项公式为________________．9．数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝r·a n＋r(n∈N*，r∈R且r≠0)，则“r＝1”是“数列{a n}为等差数列”的__________条件．10．在数列{a n}中，已知S n＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n－1(4n－3)，则S15＋S22－S31＝________.11．(2016·辽宁五校联考)已知数列{a n}满足a n＝1＋2＋3＋…＋nn，则数列{1anan＋1}的前n项和为________．12．已知数列{a n}是递增数列，且对于任意的n∈N*，a n＝n2＋λn恒成立，则实数λ的取值范围是________．13．数列12·5，15·8，18·11，…，1(3n－1)·(3n＋2)的前n项和S n＝________.14．在数列{a n}中，a1＝1，a2＝2，数列{a n a n＋1}是公比为q(q＞0)的等比数列，则数列{a n}的前2n项和S2n＝____________.答案精析1．120 2.－8 3.充分不必要 4.S 7 5．③解析 设a n ＝a 1q n －1， 因为q 2010＞0， 所以①②不成立．对于③，当a 3＞0时，a 1＞0， 因为1－q 与1－q 2013同号， 所以S 2013＞0，③正确，对于④，取数列：－1,1，－1,1，…，不满足结论，④不成立． 6．(2,3)解析 根据题意，a n ＝f (n )＝⎩⎨⎧(3－a )n －3，n ≤7，a n －6，n ＞7，n ∈N *，要使{a n }是递增数列，必有⎩⎨⎧3－a ＞0，a ＞1，(3－a )×7－3＜a8－6，解得2＜a ＜3. 7．81解析 ∵a n ＝log 3n n ＋1＝log 3n －log 3(n ＋1)，∴S n ＝log 31－log 32＋log 32－log 33＋…＋log 3n －log 3(n ＋1)＝－log 3(n ＋1)＜－4，解得n ＞34－1＝80.故最小自然数n 的值为81. 8．a n ＝⎩⎨⎧－2，n ＝1，2n －3，n ≥2解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－2； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －3， 所以数列{a n }的通项公式为 a n ＝⎩⎨⎧－2，n ＝1，2n －3，n ≥2.9．充分不必要解析 当r ＝1时，易知数列{a n }为等差数列；由题意易知a 2＝2r ，a 3＝2r 2＋r ，当数列{a n }是等差数列时，a 2－a 1＝a 3－a 2，即2r －1＝2r 2－r . 解得r ＝12或r ＝1，故“r ＝1”是“数列{a n }为等差数列”的充分不必要条件． 10．－76解析 S 15＝－4×7＋a 15＝－28＋57＝29，S 22＝－4×11＝－44，S 31＝－4×15＋a 31＝－4×15＋121＝61， S 15＋S 22－S 31＝29－44－61＝－76. 11.2n n ＋2解析 a n ＝1＋2＋3＋…＋nn＝n ＋12，则1a n a n ＋1＝4(n ＋1)(n ＋2)＝4(1n ＋1－1n ＋2)， 所以所求的前n 项和为4(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n ＋1－1n ＋2)]＝4(12－1n ＋2)＝2nn ＋2.12．(－3，＋∞)解析 因为数列{a n }是单调递增数列， 所以a n ＋1－a n ＞0 (n ∈N *)恒成立．又a n ＝n 2＋λn (n ∈N *)，所以(n ＋1)2＋λ(n ＋1)－(n 2＋λn )＞0恒成立，即2n ＋1＋λ＞0.所以λ＞－(2n ＋1)(n ∈N *)恒成立．而n ∈N *时，－(2n ＋1)的最大值为－3(当n ＝1时)， 所以λ＞－3即为所求的范围． 13.n6n ＋4解析 由数列通项公式1(3n －1)·(3n ＋2)＝13⎝⎛⎭⎪⎫13n －1－13n ＋2，得前n 项和S n ＝13(12－15＋15－18＋18－111＋…＋13n －1－13n ＋2)＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13n ＋2＝n 6n ＋4.14.⎩⎨⎧3(1－q n )1－q ，q ＞0且q ≠1，3n ，q ＝1解析 ∵数列{a n a n ＋1}是公比为q (q ＞0)的等比数列， ∴a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝q ，即a n ＋2a n＝q ， 这表明数列{a n }的所有奇数项成等比数列， 所有偶数项成等比数列，且公比都是q ， 又a 1＝1，a 2＝2，∴当q ≠1时，S 2n ＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 2n －1＋a 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n )＝a 1(1－q n )1－q ＋a 2(1－q n )1－q ＝3(1－q n )1－q ；当q ＝1时，S 2n ＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋… ＋a 2n －1＋a 2n＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ) ＝(1＋1＋1＋…＋1n 个) ＋(2＋2＋2＋…＋2n 个)＝3n . 综上所述，S 2n ＝⎩⎨⎧3(1－q n )1－q ，q ＞0且q ≠1，3n ，q ＝1.。

6个解答题专项强化练(四) 数列1．已知{a n}为等差数列，前n项和为S n(n∈N*)，{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4.(1)求{a n}和{b n}的通项公式；(2)求数列{a2n b2n－1}的前n项和(n∈N*)．解：(1)设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q.由已知b2＋b3＝12，得b1(q＋q2)＝12，而b1＝2，所以q2＋q－6＝0.又因为q＞0，解得q＝2.所以b n＝2n.由b3＝a4－2a1，可得3d－a1＝8.①由S11＝11b4，可得a1＋5d＝16.②由①②，解得a1＝1，d＝3，由此可得a n＝3n－2.所以数列{a n}的通项公式为a n＝3n－2，数列{b n}的通项公式为b n＝2n.(2)设数列{a2n b2n－1}的前n项和为T n，由a2n＝6n－2，b2n－1＝2×4n－1，得a2n b2n－1＝(3n－1)×4n，故T n＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n－1)×4n，4T n＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n－4)×4n＋(3n－1)×4n＋1，上述两式相减，得－3T n＝2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n－(3n－1)×4n ＋1＝12×(1－4n )1－4－4－(3n －1)×4n ＋1 ＝－(3n －2)×4n ＋1－8.故T n ＝3n －23×4n ＋1＋83. 所以数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和为3n －23×4n ＋1＋83. 2．已知数列{a n }满足：a 1＝12，a n ＋1－a n ＝p ·3n －1－nq ，n ∈N *，p ，q ∈R. (1)若q ＝0，且数列{a n }为等比数列，求p 的值；(2)若p ＝1，且a 4为数列{a n }的最小项，求q 的取值范围． 解：(1)∵q ＝0，a n ＋1－a n ＝p ·3n －1，∴a 2＝a 1＋p ＝12＋p ，a 3＝a 2＋3p ＝12＋4p ， 由数列{a n }为等比数列，得⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＋p 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＋4p ，解得p ＝0或p ＝1. 当p ＝0时，a n ＋1＝a n ，∴a n ＝12，符合题意； 当p ＝1时，a n ＋1－a n ＝3n －1，∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝12＋(1＋3＋…＋3n －2)＝12＋1－3n －11－3＝12·3n －1， ∴a n ＋1a n ＝3.符合题意．。

1．设数列{a n }的前n 项和为S n .已知2S n ＝3n ＋3.(1)求{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n b n ＝log 3a n ，求{b n }的前n 项和T n .2．(2015·安徽)已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 3．已知数列{a n }的各项均为正数，S n 是数列{a n }的前n 项和，且4S n ＝a 2n ＋2a n －3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)已知b n ＝2n ，求T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 的值．4．(2016·苏州、无锡、常州、镇江三模)已知常数λ≥0，若各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＋1＝a n ＋1a nS n ＋(λ·3n ＋1)a n ＋1(n ∈N *)． (1)若λ＝0，求数列{a n }的通项公式；(2)若a n ＋1＜12a n 对一切n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围．5．已知函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )且f (1)＝12.(1)当n ∈N *时，求f (n )的表达式；(2)设a n ＝n ·f (n )，n ∈N *，求证：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＜2；(3)设b n ＝(9－n )f (n ＋1)f (n )，n ∈N *，S n 为{b n }的前n 项和，当S n 最大时，求n 的值．答案精析1．解 (1)因为2S n ＝3n ＋3，所以2a 1＝3＋3，故a 1＝3，当n ＞1时，2S n －1＝3n －1＋3，此时2a n ＝2S n －2S n －1＝3n －3n －1＝2×3n －1， 即a n ＝3n －1，显然当n ＝1时，a 1不满足a n ＝3n －1，所以a n ＝⎩⎨⎧ 3，n ＝1，3n －1，n ＞1.(2)因为a n b n ＝log 3a n ，所以b 1＝13，当n ＞1时，b n ＝31－n log 33n －1＝(n －1)·31－n ，所以T 1＝b 1＝13.当n ＞1时，T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝13＋1×3－1＋2×3－2＋3×3－3＋…＋(n －1)×31－n ]，所以3T n ＝1＋1×30＋2×3－1＋3×3－2＋…＋(n －1)×32－n ]，两式相减，得2T n ＝23＋(30＋3－1＋3－2＋3－3＋…＋32－n )－(n －1)×31－n＝23＋1－31－n 1－3－1－(n －1)×31－n ＝136－6n ＋32×3n ，所以T n ＝1312－6n ＋34×3n . 经检验，n ＝1时也适合．综上可得T n ＝1312－6n ＋34×3n. 2．解 (1)由题设知a 1·a 4＝a 2·a 3＝8.又a 1＋a 4＝9，可解得⎩⎨⎧ a 1＝1，a 4＝8或⎩⎨⎧a 1＝8，a 4＝1(舍去)． 由a 4＝a 1q 3得公比q ＝2，故a n ＝a 1q n －1＝2n －1(n ∈N *)． (2)S n ＝a 1(1－q n )1－q＝2n －1，又b n ＝a n ＋1S n S n ＋1＝S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n －1S n ＋1， 所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 1－1S 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 2－1S 3＋… ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S n －1S n ＋1＝1S 1－1S n ＋1＝1－12n ＋1－1. 3．解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝14a 21＋12a 1－34.解得a 1＝3.又∵4S n ＝a 2n ＋2a n －3，①当n ≥2时，4S n －1＝a 2n －1＋2a n －1－3.②①－②，得4a n ＝a 2n －a 2n －1＋2(a n －a n －1)，即a 2n －a 2n －1－2(a n ＋a n －1)＝0.∴(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0.∵a n ＋a n －1＞0，∴a n －a n －1＝2(n ≥2)，∴数列{a n }是以3为首项，2为公差的等差数列． ∴a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1.(2)T n ＝3×21＋5×22＋…＋(2n ＋1)·2n ，③2T n ＝3×22＋5×23＋…＋(2n －1)·2n ＋(2n ＋1)2n ＋1，④ ④－③，得T n ＝－3×21－2(22＋23＋…＋2n )＋(2n ＋1)2n ＋1 ＝－6＋8－2·2n ＋1＋(2n ＋1)·2n ＋1＝(2n －1)2n ＋1＋2.4．解 (1)当λ＝0时，S n ＋1＝a n ＋1a nS n ＋a n ＋1， 所以S n ＝a n ＋1a nS n . 因为a n ＞0，所以S n ＞0，所以a n ＋1＝a n .因为a 1＝1，所以a n ＝1.(2)因为S n ＋1＝a n ＋1a nS n ＋(λ·3n ＋1)·a n ＋1，a n ＞0， 所以S n ＋1a n ＋1－S n a n＝λ·3n ＋1，则S 2a 2－S 1a 1＝λ·3＋1， S 3a 3－S 2a 2＝λ·32＋1，…， S n a n －S n －1a n －1＝λ·3n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)． 累加，得S n a n－1＝λ·(3＋32＋…＋3n －1)＋n －1， 则S n ＝(λ·3n －32＋n )·a n (n ≥2，n ∈N *)．经检验，上式对n ＝1也成立，所以S n ＝(λ·3n －32＋n )·a n (n ∈N *)，①S n ＋1＝(λ·3n ＋1－32＋n ＋1)·a n ＋1(n ∈N *)．②②－①，得a n ＋1＝(λ·3n ＋1－32＋n ＋1)·a n ＋1－(λ·3n －32＋n )·a n ，即(λ·3n ＋1－32＋n )·a n ＋1＝(λ·3n －32＋n )·a n .因为λ≥0，所以λ·3n －32＋n ＞0，λ·3n ＋1－32＋n ＞0.因为a n ＋1＜12a n 对一切n ∈N *恒成立，所以λ·3n －32＋n ＜12·(λ·3n ＋1－32＋n )对一切n ∈N *恒成立，即λ＞2n 3n ＋3对一切n ∈N *恒成立． 记b n ＝2n 3n ＋3， 则b n －b n ＋1＝2n 3n ＋3－2n ＋23n ＋1＋3＝(4n －2)3n －6(3n ＋3)(3n ＋1＋3). 当n ＝1时，b n －b n ＋1＝0；当n ≥2时，b n －b n ＋1＞0.所以b 1＝b 2＝13是一切b n 中最大的项．综上，λ的取值范围是(13，＋∞)．5．(1)解 令x ＝n ，y ＝1，得f (n ＋1)＝f (n )·f (1)＝12f (n )， ∴{f (n )}是首项为12，公比为12的等比数列，∴f (n )＝(12)n .(2)证明 设T n 为{a n }的前n 项和，∵a n ＝n ·f (n )＝n ·(12)n ，∴T n ＝12＋2×(12)2＋3×(12)3＋…＋n ×(12)n ，12T n ＝(12)2＋2×(12)3＋3×(12)4＋…＋(n －1)×(12)n ＋n ×(12)n ＋1，两式相减得12T n ＝12＋(12)2＋(12)3＋…＋(12)n －n ×(12)n ＋1， ＝1－(12)n －n ×(12)n ＋1，∴T n ＝2－(12)n －1－n ×(12)n ＜2.(3)解 ∵f (n )＝(12)n ，∴b n ＝(9－n )f (n ＋1)f (n )＝(9－n )(12)n ＋1(12)n＝9－n 2. ∴当n ≤8时，b n ＞0；当n ＝9时，b n ＝0；当n ＞9时，b n ＜0.∴当n ＝8或n ＝9时，S n 取得最大值．。