课时达标检测(二十八) 平面向量的数量积及其应用

考点规范练28 平面向量的数量积与平面向量的应用一、基础巩固1.对任意平面向量a ,b ,下列关系式中不恒成立的是( ) A.|a ·b|≤|a||b| B.|a-b|≤||a|-|b|| C.(a+b )2=|a+b|2D.(a+b )·(a-b )=a 2-b 22.已知a ,b 为单位向量,其夹角为60°,则(2a -b )·b = ( )A.-1B.0C.1D.23.已知向量a ,b 满足|a |=2,|b |=1,(a +b )·b =0,则向量a ,b 的夹角为( ) A.30°B.60°C.150°D.120°4.已知向量p =(2,-3),q =(x ,6),且p ∥q ,则|p +q |的值为( ) A. 5B. 13C.5D.135.在四边形ABCD 中,若 =(1,2), =(-4,2),则该四边形的面积为( ) A. 5B.2 5C.5D.106.在△ABC 中,AB 边上的高为CD ,若 =a , =b ,a ·b =0,|a |=1,|b |=2,则 =( ) A.13a -13bB.23a -23bC.35a -35b D.5a -5b7.设向量a 与b 的夹角为θ,且a =(-2,1),a +2b =(2,3),则cos θ=( ) A.-35B.35C. 55D.-2 558.设m ,n 为非零向量,则“存在负数λ,使得m =λn ”是“m ·n <0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.已知向量a =(1, 3),b =( 3,1),则a 与b 夹角的大小为 . 10.设向量a =(x ,x+1),b =(1,2),且a ⊥b ,则x= .11.设e 1,e 2是夹角为60°的两个单位向量,若a =e 1+λe 2与b =2e 1-3e 2垂直,则λ= .12.已知|a|=2,|b|=1,(2a-3b)·(2a+b)=9.(1)求向量a与b的夹角θ;(2)求|a+b|及向量a在a+b方向上的投影.二、能力提升.若n⊥(t m+n),则实数t的13.已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,设m,n所成的角为θ,cos θ=13值为()A.4B.-4C.D.-14.在矩形ABCD中,AB=1,AD=3,P为矩形内一点,且AP=32,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+3μ的最大值为()A.32B.62C.33D.63215.已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则·()的最小值是()A.-2B.-32C.-3D.-116.如图,在同一个平面内,向量的模分别为1,1,2与的夹角为α,且tan α=7,与的夹角为 5°.若=m+n(m,n∈R),则m+n=.17.已知平面向量a,b,|a|=1,|b|=2,a·b=1.若e为平面单位向量,则|a·e|+|b·e|的最大值是.三、高考预测18.已知非零向量a,b满足|a|=2,且|a+b|=|a-b|,则向量b-a在向量a方向上的投影是.考点规范练28平面向量的数量积与平面向量的应用1.B解析A项,设向量a与b的夹角为θ,则a·b=|a||b|·cosθ≤|a||b|,所以不等式恒成立; B项,当a与b同向时,|a-b|=||a|-|b||;当a与b非零且反向时,|a-b|=|a|+|b|>||a|-|b||.故不等式不恒成立;C项,(a+b)2=|a+b|2恒成立;D项,(a+b)·(a-b)=a2-a·b+b·a-b2=a2-b2,故等式恒成立.综上,选B.2.B解析由已知得|a|=|b|=1,a与b的夹角θ=60°,∴(2a-b)·b=2a·b-b2=2|a||b|cosθ-|b|2=2×1×1×cos60°-12=0,故选B.3.D解析设向量a,b的夹角为θ,则(a+b)·b=a·b+b2=|a|·|b|cosθ+|b|2=0,即2×1×cosθ=-1,故cosθ=-12.又θ∈[0°,180°],故θ=120°,故选D.4.B解析由题意得2×6+3x=0,x=-4.|p+q|=|(2,-3)+(-4,6)|=|(-2,3)|=13.5.C解析依题意得,=1×(-4)+2×2=0,∴ .∴四边形ABCD的面积为12|||=12520=5.6.D解析∵a·b=0,∴ .∵|a|=1,|b|=2,∴AB=5.又CD⊥AB,∴AC2=AD·AB.∴AD=555.∴5555.∴55)=5(a-b),故选D.7.A解析∵向量a与b的夹角为θ, 且a=(-2,1),a+2b=(2,3),∴b =2 - 2=(2,1),∴cos θ=· 5 5=-35.8.A 解析m ,n 为非零向量,若存在λ<0,使m =λn ,即两向量反向,夹角是180°,则m ·n =|m ||n |cos180°=-|m ||n |<0.反过来,若m ·n <0,则两向量的夹角为( 0°,180°],并不一定反向,即不一定存在负数λ,使得m =λn ,所以是充分不必要条件.故选A . 9.6 解析设a 与b 的夹角为θ,则cos θ=· 2 32 2 32,且两个向量夹角范围是[0,π],故所求的夹角为 6.10.-23 解析∵a ⊥b ,∴a ·b =x+2(x+1)=0, 解得x=-23.11.1解析∵e 1,e 2是夹角为60°的两个单位向量,∴|e 1|=|e 2|=1,e 1·e 2=12. ∵(e 1+λe 2)⊥(2e 1-3e 2),∴(e 1+λe 2)·(2e 1-3e 2)=2 12+(2λ-3)e 1·e 2-3λ 22=2+12(2λ-3)-3λ=0.∴λ=1.12.解(1)因为|a |=2,|b |=1,(2a -3b )·(2a +b )=9, 所以4a 2-3b 2-4a ·b =9,即16-8cos θ-3=9. 解得cos θ=12.因为θ∈[0,π],所以θ=3.(2)由(1)可知a ·b =|a ||b |cos3=1,所以|a +b |= 2 2 2 · ,a ·(a +b )=a 2+a ·b =5.所以向量a 在a +b 方向上的投影为·(5.13.B 解析由4|m |=3|n |,可设|m |=3k ,|n |=4k (k>0),又n ⊥(t m +n ),所以n ·(t m +n )=n ·t m +n ·n =t|m |·|n |cos θ+|n |2=t ×3k ×4k ×13+(4k )2=4tk 2+16k 2=0. 所以t=-4,故选B .14.B解析因为=λ+μ, 所以||2=|λ+μ|2.所以322=λ2||2+μ2||2+2λμ.因为AB=1,AD=3,AB⊥AD,所以3=λ2+3μ2.又3=λ2+3μ2≥23λμ,所以(λ+3μ)2=3+23λμ≤3332.所以λ+3μ的最大值为62,当且仅当λ=6,μ=2时等号成立.15. B解析以BC所在的直线为x轴,BC的垂直平分线AD为y轴,D为坐标原点建立平面直角坐标系,如图.可知A(0,3),B(-1,0),C(1,0).设P(x,y),则=(-x,3-y),=(-1-x,-y),=(1-x,-y).所以=(-2x,-2y).所以·()=2x2-2y(3-y)=2x2+2-32232≥-32.当点P的坐标为0,32时,·()取得最小值为-32,故选B.16.3解析||=||=1,||=2,由tanα=7,α∈[0,π]得0<α<2,sinα>0,cosα>0,tanα=scos,sinα=7cosα,又sin2α+cos2α=1,得sinα=210,cosα=2101 5=1,=cos=-35,得方程组-3515,-351,解得5,,所以m+n=3.17.解析设a与b的夹角为φ,由已知得φ=60°,不妨取a=(1,0),b=(1,3).设e=(cosα,sinα),则|a·e|+|b·e|=|cosα|+|cosα+3sinα|≤|cosα|+|cosα|+3|sinα|=2|cosα|+3|sinα|, 当cosα与sinα同号时等号成立.所以2|cosα|+3|sinα|=|2cosα+3sinα|=3=|sin(α+θ)|其中sinθ=,cosθ=3,取θ为锐角.显然|sin(α+θ)|≤.时,|sin(α+θ)|取最大值1,此时α为锐角,sinα,cosα同为正,因此上述不等式易知当α+θ=2中等号能同时取到.故所求最大值为.18.-2解析∵|a+b|=|a-b|,∴a⊥b,即a·b=0.∴(b-a)·a=a·b-a2=-4.∴向量b-a在向量a方向上的投影为(-·-=-2.2。

平面向量的数量积与应用知识点总结平面向量是数学中一个重要的概念，涉及到许多与力学、几何等学科相关的应用。

其中，数量积是平面向量运算中的一种重要操作，具有广泛的应用价值。

本文将对平面向量的数量积以及其应用知识点进行总结。

一、平面向量的数量积数量积，又称点积或内积，是平面向量运算中的一种形式。

对于平面内的两个向量a = (a1, a2) 和 b = (b1, b2)，它们的数量积定义为：a·b = a1*b1 + a2*b2其中，a1 和 b1 是向量 a 和 b 在同一方向上的投影长度，a2 和 b2 是它们在另一方向上的投影长度。

数量积具有以下特性：1. 交换律：a·b = b·a2. 分配律：(a+b)·c = a·c + b·c3. 数量积为0的判定：如果 a·b = 0，则两个向量 a 和 b 垂直。

4. 数量积为正负的判定：如果 a·b > 0，则两个向量 a 和 b 的夹角小于 90 度；如果 a·b < 0，则两个向量 a 和 b 的夹角大于 90 度。

二、数量积的应用知识点1. 向量的模长根据数量积的定义，可以得到两个向量 a 和 b 的数量积可以表示为：a·a = ||a||^2其中，||a|| 表示向量 a 的模长，也称为向量 a 的长度。

因此，根据以上公式可以计算向量的模长。

2. 向量夹角的计算利用数量积的特性，可以计算两个向量 a 和 b 之间的夹角θ，公式如下：cosθ = (a·b) / (||a|| * ||b||)利用这个公式，可以计算任意两个向量之间的夹角。

3. 向量投影考虑一个向量 a 在另一个向量 b 上的投影，可以根据数量积得到投影的长度：proj_b(a) = (a·b) / ||b||这个投影长度表示了向量 a 在向量 b 上的投影长度，可以用于求解各种问题。

∵点 O 到直线 AB 的距离为|O→A|·sin60°＝ 23，
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∴|O→C|≥ 23，∴|m|的取值范围为 23，＋∞.
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尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用
15．(2019·洛阳市第一次联考)已知点 O 是锐角三角形 ABC 的外心，若O→C＝mO→A＋nO→B(m，n∈R)，则( C )
所以 4－2|b|×12＝2，解得|b|＝2.
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2．已知点 A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量C→D
在B→A方向上的投影是( A )
A．－3 5
B．－3 22
C．3 5
32 D. 2
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解析：依题意得，B→A＝(－2，－1)，C→D＝(5,5)， B→A·C→D＝(－2，－1)·(5,5)＝－15，|B→A|＝ 5， 因此向量C→D在B→A方向上的投影是 B→|AB→·AC→|D＝－155＝－3 5.
A．m＋n≤－2 B．－2≤m＋n<－1 C．m＋n<－1 D．－1<m＋n<0
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解析：因为点 O 是锐角三角形 ABC 的外心，所以 O 在三
角形内部，则 m<0，n<0，不妨设锐角三角形 ABC 的外接圆的
半径为 1，因为O→C＝mO→A＋nO→B，所以O→C2＝m2O→A2＋n2O→B2＋
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二、填空题 7．(2019·张掖一诊)已知平面向量 a，b 满足|a|＝|b|＝1，a⊥ (a－2b)，则|a＋b|＝ 3 .

→ → 解析 (2)取AB，AD为一组基底. → → → → → B、M、C三点共线 ∴AM＝AB＋BM ∵ BM ＝ 3 MC ， D、N、C三点共线 → 3→ → 3→ ＝AB＋ BC＝AB＋ AD， 4 4 三等分点 N D C 1→ 1→ → → → NM＝CM－CN＝－ AD＋ AB， M 4 3 → → 1 → → 1 → → ∴AM· NM＝ (4AB＋3AD)· (4AB－3AD) 四等分点 4 12 A B 1 →2 →2 1 2 2 ＝ (16AB －9AD )＝ (16× 选 C. 6 －9× 4 ) ＝ 9， 48 48 答案 (1)C (2)C
简答
B
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考点突破 考点一 平面向量的数量积
【训练 1】(2)(2015· 四川卷)设四边形 ABCD 为平行四边形， → → → → → → |AB|＝6，|AD|＝4，若点 M，N 满足BM＝3MC，DN＝2NC， → → 则AM· NM等于( ) A．20 B. 15 C．9 D．6 简答
（法二图）
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考点突破 考点一 平面向量的数量积
例 1 (2)已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB 边上的动 → → → → 点，则DE· CB的值为__________；DE· DC的最大值为________．
设 E(t，0)，t∈[0，1]， → → 则 DE ＝ (t ，－1) ， CB ＝ (0，－ 1) ， → → 所以DE· CB＝(t，－1)· (0，－1)＝1. → 因为DC＝(1，0)， （法二图） → → 所以DE· DC＝(t， －1)· (1， 0)＝t≤1，注意t的范围，因为E是AB上的 → → 点 故DE· DC的最大值为 1