3.5对数与对数函数

解：∵ y = log 2 x 在 ( 0 , + ∞) 上是增函数
且 3 . 4 ＜8 . 5
∴ log 2 3 . 4 ＜ log 2 8 . 5
（2）log 0 . 3 1 . 8 与 log 0 . 3 2 . 7
解：∵ y = log 0 . 3 x 在 ( 0 , + ∞) 上是减函数
且 1 . 8 ＜2 . 7
图象特征 图象位于y轴右方
图象向上、向下无限延伸 自左向右看图象逐渐下降
代数表述 值域: R
定义域 : ( 0,+∞)
在(0,+∞)上是： 减函数
必修1第三章第5节
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猜猜:
对数函数 y log3 x和y log1 的x 图象.
3
y 2
1
11 42
0 123 4
在(0,+∞)上是 增函数
质
当x>1时， y>0
当x=1时， y=0
在(0,+∞)上是 减函数
当x>1时， y<0
当x=1时， y=0
当0<x<1时， y<0
当0<x<1时， y>0
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新知应用
例1 比较下列各组数中两个数的大小：
（1）log 2 3 . 4 与 log 2 8 . 5
16
则f(1)=( A )
2
A.-1
B.1
C -4. D 1/16
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新课学习
用描点法画出对数函数

课 题： 3．5对数函数与指数函数的导数(1)教学目的：1.理解掌握对数函数的导数的两个求导公式.2.在学习了函数四则运算的求导法则与复合函数求导法则的基础上，应用对数函数的求导公式，能求简单的初等函数的导数 教学重点：应用对数函数的求导公式求简单的初等函数的导数． 教学难点：对数函数的导数的记忆，对数函数求导公式的灵活运用. 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入：1. 常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=2.法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±．法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'(Cu x Cu x '=法则3 '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭3.复合函数的导数：设函数u =ϕ(x )在点x 处有导数u ′x =ϕ′(x )，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f (ϕ (x ))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅= 或f ′x (ϕ (x ))=f ′(u )ϕ′(x ).4.复合函数的求导法则复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数5.复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代． 二、讲解新课：⒈对数函数的导数（1）： xx )'(ln = 证明：∵ x x f y ln )(==∴ x x x x x x y ∆+=-∆+=∆lnln )ln()1ln(xx∆+=， ∴ )1ln(1x x x x y ∆+∆=∆∆=)1ln(1xxx x x ∆+∆x xx x x ∆∆+=)1ln(1∴ =∆∆=→∆x y y x 0lim 'x xx x x x ∆→∆∆+)1ln(lim 10])1(lim ln[10x xx x x x ∆→∆∆+=xe x 1ln 1==．即 xx 1)'(ln =． 附：重要极限e xxx =+∞→)11(lim 或e x x x =+→10)1(lim2.对数函数的导数（2）： xx a a log 1)'(log = 证明：根据对数的换底公式 e xx a a x x a a log 11ln 1)'ln ln ()'(log =⋅==． 根据对数函数的求导公式以及函数的四则运算的求导法则、复合函数的求导法则，我们可以求一些简单函数的导数．三、讲解范例：例1求)132ln(2++=x x y 的导数．解： y ′=［ln(2x 2+3x +1)］′=13212++x x (2x 2+3x +1)′=132342+++x x x 例2求21lg x y -=的导数． 解法一：y ′=(lg21x -)′=211x-lg e ·(21x -)′=21lg x e-·21·(1－x 2)21-(1－x 2)′=21lg x e -·2121x-·(－2x )=1lg 1lg 22-=--x e x x e x分析：对数函数，可以先把它化简，然后根据求导法则进行求导解法二：∵ y =lg2112=-x lg(1－x 2) ∴y ′=［21lg(1－x 2)］′=21121x -lg e (1－x 2)′ =)1(2lg 2x e -·(－2x )=1lg 2-x ex 说明：真数中若含乘方或开方、乘法或除法的，均可先变形再求导． 实际上，解法1中u y lg =，v u =，21x v -=，取了两个中间变量，属于多重复合．而解法2中u y lg 21=，21x u -=，仅有一次复合，所以其解法显得简单，不易出错．例3求函数y =ln(12+x －x )的导数.分析：由复合函数求导法则：y ′x =y ′u ·u ′x 对原函数由外向内逐个拆成几个简单的基本初等函数.解：)1(1122'-+⋅-+='x x xx y 1221[(1)21)2x x -=+⋅-1)=-==例4 若f (x )=ln(ln x )，那么f ′(x )|x =e = .(B) A.e B.e1 C.1 D.以上都不对解：f ′(x )=［ln(ln x )］′=xln 1·(ln x )′=x x ln 1f ′(x )|x =e =e e ln 1⋅e例5 y =ln ［ln(ln x )］的导数是 (C)A.)ln(ln 1x x B.)ln(ln ln 1x x C.)ln(ln ln 1x x x D.)ln(ln 1x解：y ′=)ln(ln 1x ［ln(ln x )］′=)ln(ln 1x ·xln 1 (ln x )′=)ln(ln 1x ·x ln 1·x 1=)ln(ln ln 1x x x ⋅ 所以用复合函数的求导法则时，要由外向内逐层求导，直到不能求导为止. 例6求y =ln|x |的导数.解：当x ＞0时，y =ln x . y ′=(ln x )′=x1； 当x ＜0时，y =ln(－x )，y ′=［ln(－x )］′=x -1 (－1)= x1，∴y ′=x1错误方法：y ′=(ln|x |)′=||1x ，|x |可以看成ln|x |的中间变量，对|x |还要求导.所以以后遇到要求含有绝对值的函数的导数时，首先要把绝对值去掉，分情况讨论.例7求y =log a 21x +的导数. 解：y ′=(log a21x+)′=211x+log a e ·(21x +)′221221log 2)1(211log x e x x x x e a a +=⋅+⋅+=- 例8（仅教师参考）求y =nx x)(ln 的导数.分析：这类函数是指数上也是含有x 的幂函数.这样用以前学过的幂函数的求导公式就行不通了. 以前指数是常数的幂函数.像形如(u (x ))v (x )的函数的求导，它的方法可以是两边取自然对数，然后再对x 求导.解：y =nx x )(ln 两边取自然对数.ln y =ln nx x)(ln =(ln x )n ·ln x =(ln x )n +1.两边对x 求导，y1y ′=(n +1)(ln x )n ·(ln x )′=(n +1)x x n)(ln∴y ′=x x n n ))(ln 1(+·y =xx n n ))(ln 1(+·nx x )(ln =(n +1)(ln x )n ·1)(ln -nx x.四、课堂练习：求下列函数的导数.1.y =x ln x 解：y ′=(x ln x )′=x ′ln x +x (ln x )′=ln x +x ·x1=ln x +1 2.y x 解：y ′=(ln x 1)′=x11 (x 1)′=x ·(－1)·x －2=－x －1=－x 1.3.y =log a (x 2－2). 解：y ′=［log a (x 2－2)］′=2log 2-x e a (x 2－2)′=2log 22-x e x a . 4.y =lg(sin x )解：y ′=［lg(sin x )］′=x e sin lg (sin x )′=xe sin lg cos x =cot x lg e . 5.y =lnx -1.解：y ′=(ln x -1)′)1(11'--=x x)1()1(211121---=-x x )1(21)1(21-=--=x x6.y =ln12+x解：y ′=(ln12+x )′)1(1122'++=x x⋅+⋅+=-2122)1(2111x x 122+=x x x . 7.y =1ln +x xx －ln(x +1). 解：y ′=(1ln +x xx )′－［ln(x +1)］′ 21(ln )(1)ln (1)1(1)1x x x x x x x x x '+⋅+-+=-++2(ln 1)(1)ln 1(1)1x x x x x x ++-=-++ 2ln ln 1ln 1(1)x x x x x x x x +++---=+2ln (1)xx =+8.y =a a x x a a x x 22222ln22++⋅++. 解：y ′=)ln 2()2(22222'+++'+aa x x a a x x1222211()2(222x a x a x x a-'=⋅+⋅+1222221()2]2x a x -++⋅22(1+2222=222==五、小结 ：⑴要记住并用熟对数函数的两个求导公式；⑵遇到真数中含有乘法、除法、乘方、开方这些运算的，可以先利用对数运算性质将函数解析式作变形处理，然后再求导，以使运算较简便 六、课后作业：求下列函数的导数：⑴)1(log 22x x y ++=； ⑵2211ln xx y -+=； ⑶xx y 2sin ln=； ⑷)(sin ln 2x e y -=． 解：⑴)'1(1log '222x x x x ey ++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++=)'1(12111log 2222x x x x e⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=222111log x x x x e221log x e +=； ⑵)]1ln()1[ln(2122x x y --+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---++=22221)'1(1)'1(21'x x x x y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+=22121221x x x x 412x x-=； ⑶)'2sin (2sin 'x x x x y =22sin 2cos 22sin xx x x x x -⋅=x x 12cot 2-=； ⑷cot(2)(sin )1)(cos()sin(2)(sin )]'([sin '222x e x e x e x e x e x e y --=----=--=七、板书设计（略）八、课后记：。

5.1对数函数的概念 5.2对数函数y=log2x的图像和性质课后篇巩固提升1.下列各组函数中,表示同一函数的是()A.y=和y=()2B.|y|=|x|和y3=x3C.y=log a x2和y=2log a xD.y=x和y=log a a x解析:对于A,定义域不同;对于B,对应法则不同;对于C,定义域不同;对于D,y=log a a x⇔y=x.答案:D2.若函数f(x)=a x(a>0,且a≠1)的反函数是g(x),且g=-1,则f-=()A.B.2 C.D.解析:由已知得g(x)=log a x.又g=log a=-1,于是a=4,因此f(x)=4x,故f--.答案:C3.已知函数f(x)=log2x,且f(m)>0,则m的取值范围是()A.(0,+∞)B.(0,1)C.(1,+∞)D.R解析:结合f(x)=log2x的图像(图略)可知,当f(m)>0时,m>1.答案:C4.设f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=log2x,则当x<0时,f(x)=()A.-log2xB.log2(-x)C.log x2D.-log2(-x)解析:设x<0,则-x>0,则f(-x)=log2(-x).∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x).∴当x<0时,f(x)=-log2(-x).答案:D5.已知函数y=log2x,其反函数y=g(x),则g(x-1)的图像是()解析:由题意知g(x)=2x,所以g(x-1)=2x-1,故选C.答案:C6.设a,b,c均为正数,且2a=lo a,=lo b,=log2c,则()A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c解析:由函数y=2x,y=,y=log2x,y=lo x的图像可得出a<b<c.答案:A7.导学号85104071已知函数f(x)=若f(a)=,则实数a的值为()A.-1B.C.-1或D.1或-解析:当a>0时,log2a=,则a=;当a≤ 时,2a=,即2a=2-1,则a=-1.综上,a=-1或a=.答案:C8.设f(x)是对数函数,且f()=-,那么f()= .解析:设对数函数f(x)=log a x(a>0,a≠1).由条件得log a=-,即log a=-,则a=.因此f(x)=lo x.所以f()=lo=lo -=-.答案:-9.函数f(x)=log2x在区间[a,2a](a>0)上的最大值与最小值之差为. 解析:∵f(x)=log2x在区间[a,2a]上是增加的,∴f(x)max-f(x)min=f(2a)-f(a)=log22a-log2a=1.答案:110.已知函数f(x)=直线y=a与函数f(x)的图像恒有两个不同的交点,则a的取值范围是.解析:如图所示,需使函数f(x)的图像与直线y=a恒有两个不同的交点,则a∈(0,1].答案:(0,1]11.导学号85104072已知函数f(x)=|log2x|.(1)若f(m)=3,求m的值;(2)若a≠b,且f(a)=f(b),求ab的值.解:(1)由f(m)=3,得|log2m|=3,即log2m=3或log2m=-3,解得m=8或m=.(2)∵a≠b,且f(a)=f(b),不妨设a<b,∴|log2a|=|log2b|,则-log2a=log2b,∴log2a+log2b=0,∴log2ab=0,故ab=1.。

学习资料§5对数函数5.1对数函数的概念5．2对数函数y＝log2x的图像和性质内容标准学科素养1。

理解对数函数的概念以及对数函数与指数函数间的关系．2。

了解指数函数与对数函数互为反函数，并会求指数函数或对数函数的反函数．3。

会画具体函数的图像.精准数学概念熟练等价转化加强数形结合授课提示：对应学生用书第54页[基础认识］知识点一对数函数错误!下列函数是对数函数的是()A．y＝ln x B．y＝ln（x＋1）C．y＝log x e D．y＝log x x提示：据对数函数定义可以判断选A.知识梳理对数函数(1）一般地，我们把函数y＝log a x(a＞0,a≠1)叫作对数函数，a叫作对数函数的底数，x 是自变量，定义域是(0，＋∞），值域是R。

(2)两类特殊的对数函数①常用对数函数:y＝lg x，其底数为10。

②自然对数函数：y＝ln x，其底数为无理数e.知识点二反函数思考并完成以下问题你能把指数式y＝a x（a＞0，a≠1)化成对数式吗?在这个对数式中，x是y的函数吗？提示:根据对数的定义,得x＝log a y(a＞0，a≠1）．因为y＝a x是单调函数,每一个y都有唯一确定的x与之对应，所以x是y的函数．知识梳理反函数指数函数y＝a x(a＞0，a≠1）是对数函数y＝log a x(a＞0，a≠1）的反函数；同时对数函数y＝log a x（a＞0，a≠1）也是指数函数y＝a x(a＞0，a≠1）的反函数，即同底的指数函数与对数函数互为反函数．知识点三函数y＝log2x的图像和性质错误!描点法作图的一般步骤是怎样的?提示:分三步：列表、描点、连线．知识梳理函数y＝log2x的图像和性质观察函数y＝log2x的图像可得：图像特征函数性质过点(1，0)当x＝1时，y＝0在y轴的右侧定义域是（0,＋∞）向上、向下无限延伸值域是R在直线x＝1右侧，图像位于x轴上方；在直线x若x＞1，则y＞0；若0＜x＜1,则y＜0 ＝1左侧，图像位于x轴下方函数图像从左到右是上升的在（0,＋∞）上是增函数x2提示:(1）如图．（2)在(0，＋∞)内，指数函数y＝2x与对数函数y＝log 2x均单调递增．2．函数y＝a x的定义域和值域与y＝log a x的定义域和值域有什么关系？提示:对数函数y＝log a x的定义域是指数函数y＝a x的值域,对数函数y＝log a x的值域是指数函数y＝a x的定义域．［自我检测]1．函数y＝2－x的反函数的图像为（）解析:因为y＝2－x＝错误!x与y＝log错误!x互为反函数，所以选D.答案：D2．函数f(x)＝lg(x－1)＋错误!的定义域为________．解析：由题意知错误!解得1＜x≤5.故函数f(x)的定义域为(1,5]．答案：(1，5]授课提示：对应学生用书第55页探究一对数的定义及相关定义域问题［例1］判断下列函数是否是对数函数？并说明理由．①y＝log a x2（a＞0，且a≠1）;②y＝log2x－1；③y＝2log8x;④y＝log x a(x＞0，且x≠1）；⑤y＝log5x.［思路点拨]根据对数的定义进行判断．［解析]因为①中真数是x2，而不是x，所以不是对数函数;因为②中y＝log2x－1常数项为－1，而非0，故不是对数函数；因为③中log8x前的系数是2，而不是1，所以不是对数函数；因为④中底数是自变量x，而非常数a，所以不是对数函数；⑤为对数函数．方法技巧判断一个函数是否是对数函数的方法(1）看形式：判断一个函数是否是对数函数，关键是看解析式是否符合y＝log a x（a＞0且a≠1)这一结构形式．(2）明特征：对数函数的解析式具有三个特征：①系数为1；②底数为大于0且不等于1的常数;③对数的真数仅有自变量x.只要有一个特征不具备，则不是对数函数．跟踪探究1。