2018年秋高中数学第三章空间向量与立体几何专题强化训练新人教A版选修2_1

高二数学选修2-1第三章第1节空间向量及其运算人教新课标A 版（理）一、学习目标：1. 理解空间向量的概念，了解共线或平行向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量的加法、减法、数乘向量及它们的运算律；能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．2. 理解共线向量的定理及其推论．3. 掌握空间向量的夹角和模的概念及其表示方法；掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题．4. 掌握空间向量的正交分解，空间向量的基本定理及其坐标表示；掌握空间向量的坐标运算的规律；会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直．二、重点、难点：重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律，空间直线、平面的向量参数方程及线段中点的向量公式，点在已知平面内的充要条件，两个向量的数量积的计算方法及其应用，空间向量的基本定理、向量的坐标运算．难点：由平面向量类比学习空间向量，对点在已知平面内的充要条件的理解与运用，向量运算在几何证明与计算中的应用，理解空间向量的基本定理．三、考点分析：本讲知识主要为由平面向量类比学习空间向量的概念及其基本运算，涉及到空间向量中的共线向量和共面向量，以及空间向量的基本定理和空间向量的坐标运算．数量积的运用，是我们学习的重点．一、空间向量的概念：模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量．与向量a 长度相等且方向相反的向量称为a 的相反向量，记作a -．方向相同且模相等的向量称为相等向量．二、空间向量的加法和减法、数乘运算1. 求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则．2. 求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．3. 实数λ与空间向量a 的乘积a λ是一个向量，称为向量的数乘运算．当0λ>时，a λ与a 方向相同；当0λ<时，a λ与a 方向相反；当0λ=时，a λ为零向量，记为0．a λ的长度是a 的长度的λ倍．三、共线向量与共面向量1. 向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a ，()0b b ≠，//a b 的充要条件是存在实数λ，使a b λ=．2. 向量共面定理：平行与同一平面的向量是共面向量．四、向量的数量积1. 已知两个非零向量a 和b ，在空间任取一点O ，作a OA =，b OB =，则∠AOB 称为向量a ，b 的夹角，记作,a b 〈〉．两个向量夹角的取值范围是：[],0,a b π〈〉∈．2. 对于两个非零向量a 和b ，若,2a b π〈〉=，则向量a ，b 互相垂直，记作a b ⊥．3. 已知两个非零向量a 和b ，则cos ,a b a b 〈〉称为a ，b 的数量积，记作a b ⋅．即cos ,a b a b a b ⋅=〈〉．零向量与任何向量的数量积为0．五、空间向量的坐标表示和运算设()111,,a x y z =，()222,,b x y z =，则 1. ()121212,,a b x x y y z z +=+++． 2. ()121212,,a b x x y y z z -=---． 3. ()111,,a x y z λλλλ=． 4. 121212a b x x y y z z ⋅=++．5. 若a 、b 为非零向量，则12121200a b a b x x y y z z ⊥⇔⋅=⇔++=．6. 若0b ≠，则121212//,,a b a b x x y y z z λλλλ⇔=⇔===．7. 222111a a a x y z =⋅=++．8. 121212222222111222cos ,a b a b a bx y z x y z⋅〈〉==++⋅++．9. ()111,,x y z A ，()222,,x y z B ，则()()()222212121d x x y y z z AB =AB =-+-+-知识点一 空间向量的概念的运用例1、与向量(1,3,2)a =-平行的一个向量的坐标是（ ）A ．（31，1，1） B ．（－1，－3，2） C ．（－21，23，－1）D ．（2，－3，－22）思路分析：1）题意分析：本题主要考查共线向量的概念的运用．2）解题思路：利用共线向量的概念，如果b a b a b λ=⇔≠//,0，那么说向量→→b a ,共线．也可观察坐标的系数是不是成比例．解答过程：解析：向量的共线和平行是一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式． 即b a b a b λ=⇔≠//,0，因为(1,3,2)a =-＝－2（－21，23，－1），故答案为C ． 解题后的思考：对于空间共线向量的判定，要么利用坐标对应成比例，要么利用向量的线性关系来判定．例2、在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若11B A ＝a ，11D A ＝b ，A A 1＝c ，则下列向量中与MB 1相等的向量是（ ）A ．++-2121B ．++2121 C ．c b a +-2121D ．c b a +--2121思路分析：1）题意分析：本题考查的是基本的向量相等与向量的加法，考查学生的空间想象能力． 2）解题思路：把未知向量表示为已知向量，可利用三角形或平行四边形法则解决．用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化．解答过程：解析：)(21111BC BA A A BM B B MB ++=+=＝＋21（－+）＝－21＋21＋．故选A ． 解题后的思考：对于空间向量的线性表示，我们本着把所求的向量与已知向量尽量放在一个封闭图形中的原则，再结合向量的加法得到．例3、在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是 （ ）A ．OM --=2B ．213151++=C ．=++MC MB MA 0D ．=+++OC OB OA OM 0 思路分析：1）题意分析：本题主要考查共面向量的概念的运用．2）解题思路：空间的四点P 、A 、B 、C 共面只需满足,OC z OB y OA x OP ++=且1=++z y x 即可，或者AC y AB x AP +=．解答过程：由于空间的四点P 、A 、B 、C 共面只需满足,OC z OB y OA x OP ++=且1=++z y x 即可，首先判定A ，B ，D 项都不符合题意，由排除法可知只有选C ．利用向量的加法和减法我们可以把+-+-=++)()(OM OB OM OA MC MB MA03)()(=-++=-OM OC OB OA OM OC ，)(31++=，显然满足题意． 解题后的思考：对空间向量的共面问题，我们只需利用课本中的两个结论判定即可．,z y x ++=且1=++z y x 或,y x +=都可判定P ，A ，B ，C 共面．例4、①如果向量,a b 与任何向量都不能构成空间向量的一组基底，那么,a b 的关系是不共线；②,,,O A B C 为空间四点，且向量,,OA OB OC 不构成空间的一个基底，那么点,,,O A B C 一定共面；③已知向量,,a b c 是空间的一个基底，则向量,,a b a b c +-也是空间的一个基底． 其中正确的命题是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 思路分析：1）题意分析：本题考查空间向量的基底．2）解题思路：结合空间向量基底的概念，我们逐一的判定．解答过程：命题①中，由于,a b 与任何向量都共面，说明,a b 是共线向量．因此①是错误的．命题②中，由四点确定的、共起点的三个向量不能构成基底，说明了这四点是共面的，因此②是正确的．命题③中，要判定三个向量是否可构成基底，关键是看这三个向量是不是不共面，共面与是共面的，，→→→→→→-+b a b a b a ，因此③是正确的．选C ．解题后的思考：理解空间向量的基底是由不共面的四点，或者说不共面的三个向量构成的．知识点二 空间向量的坐标运算的运用例5、在ΔABC 中，已知)0,4,2(=AB ，)0,3,1(-=BC ，则∠ABC ＝＿＿＿．思路分析：1）题意分析：本题考查用向量数量积求夹角．2）解题思路：首先要注意夹角的概念，是共起点，因此在求角的时候，要注意向量的方向，否则容易出错．解答过程：(2,4,0),(1,3,0),BA BC =--=-2cos ,2||||2510BA BC BA BC BA BC ⋅∴===-⋅ ∴∠ABC ＝145°解题后的思考：向量夹角的求解是高考中的常考题型，因此，同学们要注意准确运用．例6、已知空间三点A （0，2，3），B （－2，1，6），C （1，－1，5）． ⑴求以向量AC AB ,为一组邻边的平行四边形的面积S ；⑵若向量a 分别与向量AC AB ,垂直，且|a |＝3，求向量a 的坐标思路分析：1）题意分析：本题综合运用向量的数量积来判定垂直，求解夹角．2）解题思路：首先分析平行四边形的面积实际上是三角形面积的2倍，于是可转化为求三角形的面积，需先结合数量积求出夹角的余弦值，然后得到夹角的正弦值，再求面积；求向量的坐标，一般是先设出其坐标，然后结合已知条件，列出关系式，进而求解．解答过程：⑴21||||cos ),2,3,1(),3,1,2(==∠∴-=--=AC AB AC AB BAC AC AB ． ∴∠BAC ＝60°，3760sin ||||==∴ AC AB S ． ⑵设a ＝（x ，y ，z ），则,032=+--⇒⊥z y x AB a33||,023222=++⇒==+-⇒⊥z y x a z y x AC a解得x ＝y ＝z ＝1或x ＝y ＝z ＝－1，∴a ＝（1，1，1）或a ＝（－1，－1，－1）．解题后的思考：向量的数量积是高考中的一个热点话题，出题形式较灵活，只要同学们抓住数量积解决的问题一般是有关夹角、距离的问题这个本质即可．例7、如图所示，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点．（1）求的长；（2）求cos<11,CB BA ＞的值； （3）求证：M C B A 11⊥思路分析：1）题意分析：本题主要考查空间向量的概念及其运算的基本知识．考查空间两向量垂直的充要条件．2）解题思路：先建立空间直角坐标系，然后写出坐标，利用坐标的运算进行求解． 解答过程：如图，建立空间直角坐标系O －xyz ．（1）解：依题意得B （0，1，0）、N （1，0，1） ∴|BN |＝3)01()10()01(222=-+-+-．（2）解：依题意得A 1（1，0，2）、B （0，1，0）、C （0，0，0）、B 1（0，1，2） ∴1BA ＝{1，－1，2}，1CB ＝{0，1，2}，1BA ·1CB ＝3，|1BA |＝6，|1CB |＝5∴cos<1BA ，1CB >＝30101||||1111=⋅⋅CB BA CB BA ．（3）证明：依题意，得C 1（0，0，2）、M （21,21，2），B A 1＝{－1，1，－2}，MC 1＝{21,21，0}．∴B A 1·M C 1＝－2121+＋0＝0，∴B A 1⊥M C 1．解题后的思考：对于空间中的角和垂直的判定，如果不能直接利用定义，我们可以运用代数的方法，结合坐标运算进行．例8、已知正方体''''ABCD A B C D -的棱长为a ，M 为'BD 的中点，点N 在'A C '上，且|'|3|'|A N NC =，试求MN 的长．思路分析：1）题意分析：本题考查向量的概念及向量的坐标运算，求解有关距离的问题．2）解题思路：对于空间向量的距离的求解，可借助于向量的数量积的性质来解，也可利用坐标运算进行求解．解答过程： 以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．因为正方体棱长为a ，所以B （a ，a ，0），A'（a ，0，a ），'C （0，a ，a ），'D （0，0，a ）．由于M 为'BD 的中点，取''A C 的中点O'，所以M （2a ，2a ，2a ），O'（2a ，2a，a ）．因为|'|3|'|A N NC =，所以N 为''A C 的四等分点，从而N 为''O C 的中点，故N （4a ，34a ，a ）．根据空间两点间的距离公式，可得22236||()()()242424a a a a a MN a a =-+-+-=．解题后的思考：本题是求解空间几何体中距离的问题，我们一般利用坐标的运算进行求解．解题关键是能把坐标准确地表示出来．小结：通过以上的典型例题，同学们应熟练掌握以下基本概念：共线向量与共面向量，空间向量的基底，以及运用向量的坐标运算解决有关的距离和夹角问题．注意处理以上问题的两个方法：向量法与坐标法．空间向量及其运算是解决立体几何的一种重要工具，同学们要理解基本概念，并能对比平面向量进行加、减运算和数乘运算及数量积的运算和应用．数量积问题是向量问题中经常考查的知识点，要能灵活解决有关的夹角和距离问题，从而为后面的学习打下坚实的基础．一、预习新知本讲学习了空间向量的概念及其基本运算，那么能否利用向量解决空间中有关角与距离的问题呢？二、预习点拨探究与反思：探究任务一：用空间向量解决立体几何中有关角的问题 【反思】（1）如何用向量表示线面角、二面角及异面直线所成的角 （2）具体的求角的公式应如何怎么表示？探究任务二：用空间向量解决立体几何中有关距离的问题 【反思】（1）如何用空间向量表示空间的点线的距离、异面直线的距离、线面的距离、面面的距离？（2）求解距离的具体的计算公式是什么？（答题时间：50分钟）一、选择题1．下列命题正确的是（ ）A ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线B ．向量,,a b c 共面就是它们所在的直线共面C ．零向量没有确定的方向D ．若//a b ，则存在唯一的实数λ使得a b λ=2． 已知A （－1，－2，6），B （1，2，－6），O 为坐标原点，则向量OA OB 与的夹角是（ ）A ．0B ．2πC ．πD ．32π 3． 已知空间四边形ABCO 中，c OC ，b OB ，a OA ===，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 中点，则MN ＝（ ）A ．c b a 213221+- B ．c b a 212132++- C ．c b a 212121-+ D ．c b a 213232-+4． 设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足000=⋅=⋅=⋅AD AB ，AD AC ，AC AB ，则△BCD 是（ ）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定5． 空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝60°，则cos BC ，OA ＝（ ） A ．21B ．22C ．-21D ．06． 已知A （1，1，1）、B （2，2，2）、C （3，2，4），则△ABC 的面积为（ ） A ．3B ．32C ．6D ．267． 已知),,2(),,1,1(t t b t t t a =--=，则||b a -的最小值为（ ） A ．55 B ．555 C ．553 D ．511二、填空题8．若)1,3,2(-=a ，)3,1,2(-=b ，则以b a ,为邻边的平行四边形的面积为 ． 9．已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且GN MG 2=，现用基组{}OC OB OA ,,表示向量OG ，有OG ＝x OC z OB y OA ++，则x 、y 、z 的值分别为 ．10．已知点A （1，-2，11）、B （4，2，3），C （6，-1，4），则△ABC 的形状是 ． 11．已知向量)0,3,2(-=a ，)3,0,(k b =，若b a ,成120°的角，则k ＝ ．三、解答题12．如图，在空间直角坐标系中BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标是（21,23，0），点D 在平面yOz 上，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°．（1）求向量OD 的坐标；（2）设向量AD 和BC 的夹角为θ，求cos θ的值13．四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是一个平行四边形，AB ＝（2，－1，－4），AD ＝（4，2，0），AP ＝（－1，2，－1）． （1）求证：PA ⊥底面ABCD ； （2）求四棱锥P －ABCD 的体积；（3）对于向量a ＝（x 1，y 1，z 1），b ＝（x 2，y 2，z 2），c ＝（x 3，y 3，z 3），定义一种运算：（a ×b ）·c ＝x 1y 2z 3＋x 2y 3z 1＋x 3y 1z 2－x 1y 3z 2－x 2y 1z 3－x 3y 2z 1，试计算（AB ×AD ）·AP 的绝对值的值；说明其与四棱锥P －ABCD 体积的关系，并由此猜想向量这一运算（AB ×AD ）·AP 的绝对值的几何意义．14．若四面体对应棱的中点间的距离都相等，证明这个四面体的对棱两两垂直．1．C ；解析：由于选项A 中当b ＝→0时，就不符合题意，因此A 错误．选项B ，向量共面，但向量所在的直线不一定共面，可以是平行．选项D ，应说明b ≠→0． 2．C ；解析：||||cos b a ⋅=θ，计算结果为－1．3．B ；解析：显然OA OC OB OM ON MN 32)(21-+=-=． 4．B ；解析：过点A 的棱两两垂直，通过设棱长、应用余弦定理可得△BCD 为锐角三角形． 5．D ；解析：先建立一组基向量OC OB OA ,,，再处理⋅的值． 6．D ；解析：应用向量的运算，显然><⇒>=<AC AB AC AB ,sin ,cos ，从而得><=S ,sin ||||21． 7．C ；解析：利用向量数量积的性质求解模的平方的最小值，然后再开方即可得到． 8．56；解析：72||||,cos -=>=<b a ，得753,sin >=<b a ，从而可得结果．9．313161、、； 解析：OM ON OA MN OA MG OM OG 313161]21)(21[3221)(32213221++=-++=-+=+=+= 10．直角三角形；解析：利用空间两点间的距离公式得：222||||||AC BC AB +=．11．39-；解析：219132,cos 2-=+=>=<k k b a ，得39±=k ． 12．解：（1）过D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，在Rt △BDC 中，由∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，BC ＝2，得BD ＝1，CD ＝3，∴DE ＝CD ·sin30°＝23． OE ＝OB －BE ＝OB －BD ·cos60°＝1－2121=． ∴D 点坐标为（0，－23,21），即向量的坐标为（0，－23,21）． （2）依题意：）（）（）（0,1,0,0,1,0,0,21,23=-==， 所以）（）（0,2,0,23,1,23=-=--=-=OB OC BC OA OD AD ．设向量和BC 的夹角为θ，则cos θ222222020)23()1()23(0232)1(023||||++⋅+-+-⨯+⨯-+⨯-=⋅BC AD BC AD 1051-=． 13．（1）证明：∵AB AP ⋅＝－2－2＋4＝0，∴AP ⊥AB ． 又∵AD AP ⋅＝－4＋4＋0＝0，∴AP ⊥AD ．∵AB 、AD 是底面ABCD 上的两条相交直线，∴PA ⊥底面ABCD ． （2）解：设AB 与AD 的夹角为θ，则 cos θ1053416161428||||=+⋅++-=⋅AD AB AD ABABCD P V -＝31|AB |·|AD |·sin θ·|AP |＝161411059110532=++⋅-⋅ （3）解：|（AB ×AD ）·AP |＝|－4－32－4－8|＝48，它是四棱锥P －ABCD 体积的3倍．猜测：|（AB ×AD ）·AP |在几何上可表示以AB 、AD 、AP 为棱的平行六面体的体积（或以AB 、AD 、AP 为棱的直四棱柱的体积）． 14．证明：如图，设321,,r SC r SB r SA ===，则SN SM SH SG SF SE ,,,,,分别为121r ，)(2132r r +，)(2121r r +，321r ，)(2131r r +，221r ，由条件EF ＝GH ＝MN 得： 223123212132)2()2()2(r r r r r r r r r -+=-+=-+展开得313221r r r r r r ⋅=⋅=⋅∴0)(231=-⋅r r r ，∵1r ≠，23r r -≠， ∴1r ⊥（23r r -），即SA ⊥BC ．同理可证SB ⊥AC ，SC ⊥AB ．。

表示如图．
人教A 版数学选修2 1 ： 空间向量与立 体几何- 精品课 件p pt( 实用版)
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类型3 空间向量加减运算的应用(误区警示)
[典例3]
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，化简
→ DA
－
→ DB
＋B→1C－B→1B＋A→1B1－A→1B.
证明：如图所示，平行六面体 ABCD-A′B′C′D′，设点O是AC′的中点，
则A→O＝12A→C′＝12(A→B＋A→D＋A→A′)． 设P、M、N分别是BD′、CA′、DB′的中点． 则A→P＝A→B＋B→P＝A→B＋12B→D′＝A→B＋12·(B→A＋B→C＋
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(3)用已知向量表示指定向量的方法． 用已知向量来表示指定向量时，常结合具体图形．通 过向量的平移等手段将指定向量放在与已知向量有关的三 角形或四边形中，通过向量的运算性质将指定向量表示出 来，然后转化为已知向量的线性式．
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[变式训练] (1)下列命题中假命题的个数是( )
①向量A→B与B→A的长度相等；
②空间向量就是空间中的一条有向线段；
③不相等的两个空间向量的模必不相等．
A．1
B．2
C．3
D．0
(2)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中， AB＝4，AD＝2，AA1＝1，以该长方体的八 个顶点中的两点为起点和终点的所有向量

2018-2019高中数学选修2-1第三章训练卷空间向量与立体几何（B ）解析版一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知三棱锥O ABC -，点M ，N 分别为AB ，OC 的中点，且OA =uu v a ，OB =uu u v b ，OC =uuu vc ，用a ，b ，c 表示MN uuu v ，则MN uuu v等于（ ）A ．()12+-b c a B ．()12+-a b c C ．()12-+a b cD ．()12--c a b 【答案】D【解析】()()111111222222MN ON OM OC OA OB =-=-+=--=--u u u v u u u v u u u v u u u v u u v u u u v c a b c a b ，故选D ．2．已知()cos ,1,sin αα=a 、()sin ,1,cos αα=b ，且∥a b ，则向量+a b 与-a b 的夹角是（ ） A ．90° B ．60° C ．30° D ．0°【答案】A【解析】∵22=a ，22=b ，()()220+⋅-=-=a b a b a b ， ∴()()+⊥-a b a b ．故选A ．3．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为()4,1,3A 、()2,5,1B -、()3,7,C λ，若AB ⊥uu u v AC uuu v，则λ等于（ ）A ．28B ．28-C ．14D ．14-【答案】D【解析】()2,6,2AB =---u u u v ，()1,6,3AC λ=--u u u v，∵AB AC ⊥uu u v uuu v ，∴()2166230AB AC λ⋅=⨯-⨯--=u u u v u u u v，解得14λ=-，故选D ．4．若向量{},,a b c 是空间的一个基底，则一定可以与向量2=+p a b ，2=-q a b 构成空间的另一个基底的向量是（ ） A ．a B ．b C ．c D ．+a b【答案】C 【解析】∵1144=+a p q ，所以a 、p 、q 共面， 故a 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除A ； ∵1122=-b p q ，所以b 、p 、q 共面， 故b 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除B ； ∵3144+=-a b p q ，所以+a b 、p 、q 共面， 故+a b 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除D ；故选C ．5．在空间直角坐标系O xyz -中，已知()2,0,0A 、()2,2,0B 、()0,2,0C、(D ，若1S 、2S 、3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy 、yOz 、zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ） A ．123S S S =≠ B ．231S S S =≠ C ．132S S S =≠D ．123S S S ==【答案】B【解析】由题意可得112222S =⨯⨯=，2122S =⨯，3122S =⨯故231S S S =≠．故选B ．6．已知a 、b 是两异面直线，A 、B a ∈，C 、D b ∈，AC b ⊥，BD b ⊥且2AB =，1CD =，则直线a 、b 所成的角为（ ）A ．30°B ．60°C ．90°D ．45°【答案】B【解析】由于AB AC CD DB =++u u u v u u u v u u u v u u u v，∴()21AB CD AC CD DB CD CD ⋅=++⋅==uu u v uu u v uuu v uu u v uu u v uu u v uu u v ．1cos ,,602AB CD AB CD AB CD AB CD⋅==⇒=︒⋅u u u v u u u vu u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，故选B ． 7．如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，点E 为上底面对角线11A C 的中点，若1B E A A x A B y A D =++u uu v u u uv u uu v u u u v ，则（ ）A ．12x =-，12y =B ．12x =，12y =-C ．12x =-，12y =-D ．12x =，12y = 【答案】A【解析】()111111112BE BA AA A E AB AA A B A D =++=-+++u u u v u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u u v u u u u v1111112222AB AA AB AD AB AA AD =-+++=-++u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，∴12x =-，12y =．故选A ．8．已知()1,1,2A -、()1,0,1B -，设D 在直线AB 上，且2AD DB =uuu v uu u v ，设C 1,,13λλλ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，若CD AB ⊥，则λ的值为（ ） A ．116B ．116-C ．12 D ．13【答案】B【解析】设(),,D x y z ，则()1,1,2AD x y z =+--u u u v ，()2,1,3AB =--u u u v ，()1,,1DB x y z =----u u u v，∵2AD DB =uuu v uu u v ，∴()12112222x x y y z z +=-⎧⎪-=-⎨⎪-=--⎩，∴13130x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩．∴11033D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，113CD λλλ⎛⎫=---- ⎪⎝⎭uu u v ，，， ∵CD AB ⊥uu u v uu u v ，∴()1231=03CD AB λλλ⎛⎫⋅=-+--- ⎪⎝⎭uu u v uu u v ，∴116λ=-．故选B ．9．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AA =E 、F 分别是面1111A B C D 、面11BCC B 的中心，则E 、F 两点间的距离为（ ）A ．1BCD ．32【答案】C【解析】以点A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则(E 、F ⎛ ⎝⎭，所以EF = 故选C ．10．如图，在空间直角坐标系中有长方体1111ABCD A B C D -，1AB =，2BC =，13AA =，则点B 到直线1A C 的距离为（ ）A ．27B C D ．1【答案】B【解析】过点B 作BE 垂直1A C ，垂足为E ，设点E 的坐标为(),,x y z ， 则()10,0,3A ，()1,0,0B ，()1,2,0C ，()11,2,3AC =-u u u v ，()1,,3A E x y z =-u u u v， ()1,,BE x y z =-u u u v．因为1110A E A CBE A C ⎧⎪⎨⋅=⎪⎩uuu v uuu v uu u v uuu v ∥，所以31231230x y z x y z -⎧==⎪-⎨⎪-+-=⎩，解得5710767x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，所以2106,,777BE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭uu u v ， 所以点B 到直线1A C的距离BE =uu u v ，故选B ．11．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 是棱AB 的中点，则点E 到平面1ACD 的距离为（ ）A ．12BC ．13D ．16【答案】C【解析】如图，以D 为坐标原点，直线DA 、DC 、1DD 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则()10,0,1D 、()1,1,0E 、()1,0,0A 、()0,2,0C ．从而()11,1,1D E =-u u u v 、()1,2,0AC =-u u u v 、()11,0,1AD =-u u u v，设平面1ACD 的法向量为(),,a b c =n ，则100AC AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuu v uuuv n n ，即200a b a c -+=⎧⎨-+=⎩，得2a b a c =⎧⎨=⎩．令2a =，则()2,1,2=n ．所以点E 到平面1ACD 的距离为1212133D E h ⋅+-===uuu v n n．故选C ． 12．如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是正方形11ADD A 和ABCD 的中心，G 是1CC 的中点，设GF 、1C E 与AB 所成的角分别为α，β，则αβ+等于（ ）A ．120°B ．60°C ．75°D ．90°【答案】D【解析】建立坐标系如图，设正方体的棱长为2，则()2,0,0B 、()2,2,0A 、()0,0,1G 、()1,1,0F 、()10,0,2C 、()1,2,1E ． 则()0,2,0BA =u u v 、()1,1,1GF =-u u u v 、()11,2,1C E =-u u u v，∴cos ,BA GF BA GF BA GF ⋅==⋅uu v uuu v uu v uuu v uu v uuu v111cos ,BA C E BA C E BA C E⋅==⋅uu v uuu v uu v uuu v uu v uuu v ，∴cos α=，sin α=，cos β=sin β=，()cos 0αβ+=，∴90αβ+=︒．故选D ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．已知()1,2,0A 、()0,1,1B -，P 是x 轴上的动点，当AP BP ⋅uu u v uu v取最小值时，点P 的坐标为__________________． 【答案】1,0,02⎛⎫⎪⎝⎭【解析】设(),0,0P x ，则()1,2,0AP x =--u u u v ，(),1,1BP x =-u u v，()2171224AP BP x x x ⎛⎫⋅=-+=-+ ⎪⎝⎭uu u v uu v ，∴当12x =时，AP BP ⋅uu u v uu v 取最小值74，此时点P 的坐标为1,0,02⎛⎫⎪⎝⎭．14．已知正四棱台1111ABCD A B C D -中，上底面1111A B C D 边长为1，下底面ABCD 边长为2，侧棱与底面所成的角为60°，则异面直线1AD 与1B C 所成角的余弦值为__________________． 【答案】14【解析】设上、下底面中心分别为1O 、O ，则1OO ⊥平面ABCD ，以O 为原点，直线BD 、AC 、1OO 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系． ∵2AB =，111A B =，∴AC BD ==1111AC B D == ∵平面11BDD B ⊥平面ABCD ，∴1B BO ∠为侧棱与底面所成的角，∴160B BO ∠=︒，设棱台高为h，则tan 60︒=，∴h =∴()0,A，1D ⎛ ⎝⎭，1B ⎝⎭，()C ，∴1AD ⎛= ⎝⎭uuuv，1B C ⎛= ⎝⎭uuu v ， ∴1111111cos ,4AD B C AD B C AD B C ⋅==⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，故异面直线1AD 与1B C 所成角的余弦值为14． 15．三棱锥P －ABC 中，PA ＝PB ＝PC ＝AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝90°，则直线PA 与底面ABC 所成角的大小为________________． 【答案】45°【解析】由条件知，AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝90°，∴BC ∵PB ＝PC ＝1，∴∠BPC ＝90°，取BC 边中点E，则PE =AE =又PA ＝1，∴∠PEA ＝90°，故∠PAE ＝45°，∵E 为BC 中点，∴PE ⊥BC ，AE ⊥BC ，∴BC ⊥平面PAE ， ∴平面PAE ⊥平面ABC ，∴∠PAE 为直线PA 与平面ABC 所成角．16．已知矩形ABCD 中，AB ＝1，BC =ABCD 沿对角线AC 折起，使平面ABC 与平面ACD 垂直，则B 与D 之间的距离为__________________．【解析】如图，过B 、D 分别向AC 作垂线，垂足分别为M 、N ．则可求得12AM =、BM =12CN =、DN =1MN =．由于BD BM MN ND =++u u u v u u u v u u u v u u u v，∴()22BD BM MN ND =++uu u v uuu v uuu v uuu v()2222BM MN ND BM MN MN ND BM ND =+++⋅+⋅+⋅uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v()2225120002=+++++=⎝⎭⎝⎭，∴BD =uu u v三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．（10分）在四棱锥P －ABCD 中，ABCD 为平行四边形，AC 与BD 交于O ，G 为BD 上一点，BG ＝2GD ，PA =uu va ，PB =uu vb ，PC =uu u vc ，试用基底{},,a b c 表示向量PG uuu v．【答案】212333PG =-+uu u v a b c ．【解析】∵BG ＝2GD ，∴23BG BD =uu u v uu u v．又2BD BA BC PA PB PC PB =+=-+-=+-u u u v u u v u u u v u u v u u v u u u v u u va cb ，∴()221223333PG PB BG =+=++-=-+u u u v u u v u u u v b a c b a b c ．18．（12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2ABC π∠=，D 是棱AC 的中点，且12AB BC BB ===．（1）求证：1AB ∥平面1BC D ；（2）求异面直线1AB 与1BC 所成的角． 【答案】（1）见解析；（2）3π． 【解析】（1）如图，连接1B C 交1BC 于点O ，连接OD ．∵O 为1B C 的中点，D 为AC 的中点，∴1OD AB ∥．∵1AB ⊄平面1BC D ，OD ⊂平面1BC D ，∴1AB ∥平面1BC D ． （2）建立如图所示的空间直角坐标系B －xyz ．则()0,0,0B 、()0,2,0A 、()12,0,2C 、()10,0,2B ．∴()10,2,2AB =-u u u v 、()12,0,2BC =u u u v．1111111cos ,2AB BC AB BC AB BC ⋅===⋅u u u v u u u vu u u v u u u v u u u v u u u v ，设异面直线1AB 与1BC 所成的角为θ，则1cos 2θ=，∵0,2θπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴3θπ=． 19．（12分）如图所示，在四面体ABCD 中，AB 、BC 、CD 两两互相垂直，且1BC CD ==．（1）求证：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）求二面角C －AB －D 的大小； （3）若直线BD 与平面ACD 所成的角为30°，求线段AB 的长度． 【答案】（1）见解析；（2）45°;（3）1．【解析】解法一：（1）∵CD ⊥AB ，CD ⊥BC ，∴CD ⊥平面ABC ． 又∵CD ⊂平面ACD ，∴平面ACD ⊥平面ABC ．（2）∵AB ⊥BC ，AB ⊥CD ，∴AB ⊥平面BCD ，∴AB ⊥BD ． ∴∠CBD 是二面角C －AB －D 的平面角． ∵在Rt △BCD 中，BC ＝CD ，∴∠CBD ＝45°． ∴二面角C －AB －D 的大小为45°．（3）过点B 作BH ⊥AC ，垂足为H ，连接DH ．∵平面ACD ⊥平面ABC ，∴BH ⊥平面ACD ，∴∠BDH 为BD 与平面ACD 所成的角．∴∠BDH ＝30°．在Rt △BHD 中，BD =BH =又∵在Rt △BHC 中，BC ＝1，∴∠BCH ＝45°，∴在Rt △ABC 中，AB ＝1． 解法二：（1）同解法一．（2）设AB a =，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -，则()0,0,0B 、()0,0,A a 、()0,1,0C 、()1,1,0D ，()1,1,0BD =u u u v 、()0,0,BA a =u u v．平面ABC 的法向量()1,0,0CD =u u u v ，设平面ABD 的一个法向量为(),,x y z =n ，则有0BD x y ⋅=+=u u u v n ，0BA az ⋅==u u v n ，∴0z =，取1y =，则1x =-，∴()1,1,0=-n ．∴cos ,CD CD CD ⋅==⋅uu u v uu u v uu u v n n nC －AB －D 为锐角， ∴二面角C －AB －D 的大小为45°．（3）()0,1,AC a =-u u u v 、()1,0,0CD =u u u v 、()1,1,0BD =u u u v ．设平面ACD 的一个法向量是(),,x y z '''=m ，则0AC y az ''⋅=-=u u u v m ，0CD x '⋅==uu u v m ，令1z '=，∴y a '=，则()0,,1a =m ．∵直线BD 与平面ACD 所成角为30°，∴cos cos60BD BD BD ⋅⋅==︒⋅u u u v u u u v u u u v m m m ，解得1a =，∴AB ＝1． 20．（12分）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知AB ＝2，15AA =，E 、F 分别为1D D 、1B B 上的点，且11DE B F ==．（1）求证：BE ⊥平面ACF ；（2）求点E 到平面ACF 的距离．【答案】（1）见解析；（2）53． 【解析】（1）证明：以D 为原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则()0,0,0D 、()2,0,0A 、()2,2,0B 、()0,2,0C 、()10,0,5D 、()0,0,1E 、()2,2,4F ．∴()2,2,0AC =-u u u v 、()0,2,4AF =u u u v 、()2,2,1BE =--u u u v 、()2,0,1AE =-u u u v ．∵0BE AC ⋅=uu u v uuu v ，0BE AF ⋅=uu u v uu u v ， ∴BE AC ⊥，BE AF ⊥，且AC AF A =I ．∴BE ⊥平面ACF ．（2）解：由（1）知，BE uu u v 为平面ACF 的一个法向量，∴点E 到平面ACF 的距离53AE BE d BE⋅==uu u v ．故点E 到平面ACF 的距离为53． 21．（12分）如图所示，PD ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，PD ＝DC ，E 是PC 的中点．（1）证明：PA ∥平面BDE ；（2）求二面角B －DE －C 的余弦值．【答案】（1）见解析；（2． 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ．设PD DC a ==，则()0,0,0D 、(),0,0A a 、()0,0,P a 、(),,0B a a 、0,,22a a E ⎛⎫ ⎪⎝⎭、()0,,0C a ， ∴(),0,AP a a =-u u u v 、(),,0DB a a =u u u v 、0,,22a a DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭uuu v 、()0,,0DC a =u u u v ． （1）设平面BDE 的一个法向量为()1111,,x y z =n ，则有1100DB DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu u v uuu v n n ，即11110022ax ay a a y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，∴111111x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩． ∴()11,1,1=-n ．100AP a a ⋅=-++=u u u v n ，∴1AP ⊥uu u v n ，又∵AP ⊄平面BDE ，∴AP ∥平面BDE ．（2）设平面CDE 的一个法向量为()21,0,0=n ．12cos ,==n n B －DE －C22．（12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AC ，1AB =，12AC AA ==，AD CD =M 和N 分别为1B C 和1D D 的中点．（1）求证：MN ∥平面ABCD ；（2）求二面角11D AC B --的正弦值；（3）设E 为棱11A B 上的点．若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段1A E 的长． 【答案】（1）见解析；（2（32． 【解析】如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，依题意可得()0,0,0A 、()0,1,0B 、()2,0,0C 、()1,2,0D -、()10,0,2A 、 ()10,1,2B 、()12,0,2C 、()11,2,2D -，又因为M 、N 分别为1B C 和1D D 的中点，得11,,12M ⎛⎫ ⎪⎝⎭、()1,2,1N -．（1）依题意，可得()0,0,1=n 为平面ABCD 的一个法向量，50,,02MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭uuu v ， 由此可得，0MN ⋅=u u u v n ，又因为直线MN ⊄平面ABCD ，所以MN ∥平面ABCD ． （2）()11,2,2AD =-u u u v 、()2,0,0AC =u u u v ，设()1111,,x y z =n 为平面1ACD 的法向量，则11100AD AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuu v uuu v n n ，即111122020x y z x -+=⎧⎨=⎩，不妨设11z =， 可得()10,1,1=n ．设()2222,,x y z =n 为平面1ACB 的一个法向量，则21200AB AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuu v uuu v n n ， 又()10,1,2AB =u u u v ，得22222020y z x +=⎧⎨=⎩，不妨设21z =，可得()20,2,1=-n ．因此有121212cos ,⋅==⋅n n n n n n，于是12sin ,=n n ， 所以二面角11D AC B --（3）依题意，可设111A E A B λ=u u u v u u u u v ，其中[]0,1λ∈，则()0,,2E λ，从而()1,2,1NE λ=-+u u u v ，又()0,0,1=n 为平面ABCD 的一个法向量， 由已知得1cos 3NE NE NE ⋅===⋅uu u v uu u v uu u v n ,n n， 整理得2430λλ+-=， 又因为[]0,1λ∈，解得2λ=，所以线段1A E 2．。

数学人教A 选修2-1第三章 空间向量与立体几何单元检测(时间：45分钟，满分：100分)一、选择题(每小题6分，共48分)1．已知点A (－4,8,6)，则点A 关于y 轴对称的点的坐标为( )． A ．(－4，－8,6) B ．(－4，－8，－6) C ．(－6，－8,4) D ．(4,8，－6)2．若a ＝(0,1，－1)，b ＝(1,1,0)，且(a ＋λb )⊥a ，则实数λ的值为( )． A ．－1 B ．0 C ．1 D ．－23．若向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)，a ，b 夹角的余弦值为89，则λ等于( )， A ．2 B ．－2 C ．－2或255 D ．2或255- 4．已知a ＝(2，－1,2)，b ＝(2,2,1)，则以a ，b 为邻边的平行四边形的面积为( )．A B C ．4 D ．8 5．如图，在四面体ABCD 中，已知AB ＝b ，AD ＝a ，AC ＝c ，12BE EC =，则DE 等于( )．A ．2133-++a b c B ．2133++a b c C ．2133-+a b c D ．2133-+a b c 6．在三棱锥P －ABC 中，△ABC 为等边三角形，PA ⊥平面ABC ，且PA ＝AB ，则二面角A －PB －C 的平面角的正切值为( )．A B C D 7．已知A (1,2,3)，B (2,1,2)，P (1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动(O 为原点)，则当QA QB ⋅取最小值时，点Q 的坐标为( )．A ．444,,333⎛⎫⎪⎝⎭ B ．848,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．884,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．448,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭8．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，E ，F 分别是BB 1，CD 的中点，则点F 到平面A 1D 1E 的距离为( )．A ．310a B ．10a C ．10a D ．710a 二、填空题(每小题6分，共18分)9．若向量a ＝(4,2，－4)，b ＝(1，－3,2)，则2a ·(a ＋2b )＝________．10．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝1，EF ∥BC 且AE ＝2EB ，G 为BC 的中点，K 为△AFD 的外心，沿EF 将矩形折成120°的二面角A －EF －B ，此时KG 的长为__________．11．已知直线AB ，CD 是异面直线，AC ⊥AB ，AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，且AB ＝2，CD ＝1，则异面直线AB 与CD 所成角的大小为________．三、解答题(共3小题，共34分)12．(10分)已知向量a ＝(1，－3,2)，b ＝(－2,1,1)，点A (－3，－1,4)，B (－2，－2,2)． (1)求|2a ＋b |；(2)在直线AB 上，是否存在一点E ，使得OE ⊥b ？(O 为原点)13．(10分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为BAD ＝120°，且PA ⊥平面ABCD ，PA ＝，M ，N 分别为PB ，PD 的中点．(1)证明：MN∥平面ABCD；(2)过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A－MN－Q的平面角的余弦值．14．(14分)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1．D是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1∥平面BDA1．(1)求证：CD＝C1D；(2)求二面角A－A1D－B的平面角的余弦值；参考答案1答案：D2答案：D 解析：a ＋λb ＝(λ，1＋λ，－1)． 由(a ＋λb )⊥a ，知(a ＋λb )·a ＝0， 所以1＋λ＋1＝0，解得λ＝－2． 3答案：C解析：由公式cos 〈a ，b 〉＝||||⋅a ba b ，知89==λ＝－2或255．4答案：A 解析：|a |＝3，|b |＝3，而a·b ＝4＝|a||b|cos ,a b ，∴cos ,a b ＝49，故sin ,a b=于是以a ，b 为邻边的平行四边形的面积为 S ＝|a||b|sin ,a b＝33⨯= 5答案：A 解析：DE ＝DA ＋AB ＋BE ＝DA ＋AB ＋13(AC －AB )＝2133-++a b c ．6答案：A 解析：设PA ＝AB ＝2，建立空间直角坐标系，平面PAB 的一个法向量是m ＝(1,0, 0)，平面PBC 的一个法向量是n＝⎫⎪⎪⎝⎭． 则cos 〈m ，n〉＝·3||||||||3===m nm n m n ． ∴正切值tan 〈m ，n．7答案：D 解析：由题意可知OQ ＝λOP ，故可设Q (λ，λ，2λ)，∴QA ·QB ＝6λ2－16λ＋10＝242633λ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴43λ=时，QA ·QB 取最小值，此时Q 的坐标为448,,333⎛⎫⎪⎝⎭． 8答案：C 解析：建立如图所示的坐标系，则A 1(a,0，a )，D 1(0,0，a )，A (a,0,0)，B (a ，a,0)，B 1(a ，a ，a )，E ,,2a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，F 0,,02a ⎛⎫⎪⎝⎭．设平面A 1D 1E 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则11·0A D =n ，11·0A E =n ，即(x ，y ，z )·(－a,0,0)＝0，(x ，y ，z )·0,,2a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝0， ∴－ax ＝0，02aay z -=． ∴x ＝0，2z y =． ∴n ＝0,,2z z ⎛⎫ ⎪⎝⎭． ∴10,||||2FD d ⎛ ⋅⎝==n n ． 9答案：32解析：2a·(a ＋2b )＝2|a|2＋4a·b ＝2×36＋4×(－10)＝32． 10解析：如图，过K 作KM ⊥EF ，M 为垂足，则向量MK 与FC 的夹角为120°.KG ＝KM ＋MF ＋FC ＋CG ，2KG ＝2KM ＋2MF ＋2FC ＋2CG ＋2KM ·MF ＋2FC ·CG ＋2KM ·FC ＋2KM ·CG . ∴2KG ＝1＋14＋1＋14＋0＋0＋2×1×1×cos 60°＋0＋0＋2×12×12×cos 180°＝2＋12＋1－12＝3． ∴3KG =．答案：60° 解析：设AB 与CD 所成的角为θ， 则cos θ＝cos ,AB CD ＝AB CD AB CD⋅．由于AB ·CD ＝(AC ＋CD ＋DB )·CD ＝AC ·CD ＋2CD ＋DB ·CD ＝0＋12＋0＝1，∴cos θ＝11212AB CD AB CD⋅==⨯． 由于0°＜θ≤90°，∴θ＝60°，故异面直线AB 与CD 所成角的大小为60°．12答案：解：(1)2a ＋b ＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，故|2a ＋b|＝答案：解：OE ＝OA ＋AE ＝OA ＋t AB ＝(－3，－1,4)＋t (1，－1，－2)＝(－3＋t ，－1－t,4－2t )．若OE ⊥b ，则OE ·b ＝0，所以－2(－3＋t )＋(－1－t )＋(4－2t )＝0，解得95t =，因此存在点E ，使得OE ⊥b ，此时E 点坐标为6142,,555⎛⎫--⎪⎝⎭． 13答案：证明：连结BD ，因为M ，N 分别是PB ，PD 的中点， 所以MN 是△PBD 的中位线．所以MN ∥BD ． 又因为MN ⊄平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以MN ∥平面ABCD ．答案：解法一：连结AC 交BD 于O ，以O 为原点，OC ，OD 所在直线为x ，y 轴，建立空间直角坐标系O －xyz ，如图所示．在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，得AC ＝AB＝BD＝6． 又因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥AC ．在直角△PAC中，AC =PA =AQ ⊥PC ，得QC ＝2，PQ ＝4，由此知各点坐标如下：A(，0,0)，B (0，－3,0)，C，0,0)，D (0,3,0)，P(0,，M 3,22⎛-- ⎝，N 3,22⎛- ⎝，Q 33⎛ ⎝⎭． 设m ＝(x ，y ，z )为平面AMN 的法向量． 由AM＝32-⎝，AN＝32-⎝，知30,230.2x y x y -+=+=取z ＝－1，得m ＝(0，－1)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面QMN 的法向量．由QM＝32⎛- ⎝⎭，QN＝32⎛- ⎝⎭知30,62330.2x y z x y ⎧--+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩ 取z ＝5，得n ＝(0,5)． 于是cos 〈m ，n〉＝·||||33=m n m n ． 所以二面角A －MN －Q的平面角的余弦值为33．解法二：在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，得AC ＝AB ＝BC ＝CD ＝DA ，BDAB ． 又因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，PA ⊥AD ． 所以PB ＝PC ＝PD ． 所以△PBC ≌△PDC ．而M ，N 分别是PB ，PD 的中点，所以MQ ＝NQ ，且AM ＝12PB ＝12PD ＝AN ． 取线段MN 的中点E ，连结AE ，EQ ， 则AE ⊥MN ，QE ⊥MN ，所以∠AEQ 为二面角A －MN －Q 的平面角．由AB ＝PA ＝，故在△AMN 中，AM ＝AN ＝3，MN ＝12BD ＝3，得AE ＝2.在直角△PAC 中，AQ ⊥PC ，得AQ ＝QC ＝2，PQ ＝4，在△PBC 中，cos ∠BPC ＝222526PB PC BC PB PC +-=⋅，得MQ =在等腰△MQN 中，MQ ＝NQ MN ＝3，得QE ==.在△AEQ 中，2AE =，2QE =，AQ =cos ∠AEQ ＝222233AE QE AQ AE QE +-=⋅.所以二面角A －MN －Q ． 14答案：解：如图，以A 1为原点，A 1B 1，A 1C 1，A 1A 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A 1xyz ，则A 1(0,0,0)，B 1(1,0,0)，C 1(0,1,0)，B (1,0,1)．答案：解：如图，以A 1为原点，A 1B 1，A 1C 1，A 1A 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A 1xyz ，则A 1(0,0,0)，B 1(1,0,0)，C 1(0,1,0)，B (1,0,1)．设C 1D ＝x ，∵AC ∥PC 1， ∴111C P C D xAC CD x==-． 由此可得D (0,1，x )，P 0,1,01x x ⎛⎫+⎪-⎝⎭， ∴1A B ＝(1,0,1)，1A D ＝(0,1，x )，1B P ＝1,1,01x x ⎛⎫-+⎪-⎝⎭． 设平面BA 1D 的一个法向量为n 1＝(a ，b ， c )，则11110,0.A B a c A D b cx ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩n n 令c ＝－1，则n 1＝(1，x ，－1)． ∵PB 1∥平面BA 1D ，高中数学-打印版精心校对 ∴n 1·1B P ＝1×(－1)＋x ·11x x ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭＋(－1)×0＝0． 由此可得12x =，故CD ＝C 1D ． 答案：解：由(1)知，平面BA 1D 的一个法向量n 1＝11,,12⎛⎫- ⎪⎝⎭．又n 2＝(1,0,0)为平面AA 1D 的一个法向量， ∴cos 〈n 1，n 2〉＝1212123||||312⋅==⨯n n n n ． 故二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值为23． (3)求点C 到平面B 1DP 的距离． 答案：解：∵1PB ＝(1，－2,0)，PD ＝10,1,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， 设平面B 1DP 的一个法向量n 3＝(a 1，b 1，c 1)， 则311113120,0.2PB a b c PD b ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩n n 令c 1＝1，可得n 3＝11,,12⎛⎫ ⎪⎝⎭． 又10,0,2DC ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴点C 到平面B 1DP 的距离33||1||3DC d ⋅==n n ．。