第三知识块 三角函数、三角恒等变换及解三角形(第1课时-第4课时) (3)

第3课时 三角函数的周期性、三角函数的图象与性质
一、填空题
1．(扬州市高三期末调研测试)函数f(x)＝sin 2x＋3cos 2x的最小正周期是________．

解析：∵f(x)＝sin 2x＋3cos 2x＝2sin2x＋π3，∴f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.
答案：π
2．函数y＝3sin2x＋π4，x∈[0，π]的单调递减区间________．
解析：由2kπ＋π2≤2x＋π4≤2kπ＋3π2，得kπ＋π8≤x≤kπ＋5π8(k∈Z)．
由x∈[0，π]得0≤kπ＋π8且kπ＋5π8≤π，于是－18≤k≤38，∵k∈Z，
∴k＝0，∴y＝3sin2x＋π4在[0，π]上的单调递减区间为π8，5π8.
答案：π8，5π8
3．函数y＝(sin x－a)2＋1，当sin x＝a时有最小值，当sin x＝1时有最大值，则a的
取值范围是________．
解析：∵函数y＝(sin x－a)2＋1当sin x＝a时有最小值，∴－1≤a≤1，
∵当sin x＝1时有最大值，
∴a≤0，∴－1≤a≤0.
答案：－1≤a≤0

4．(苏北四市高三第二次联考)若函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)在－2π3，2π3上单调递增，则
ω的最大值为________．
解析：由题意得2π4ω≥2π3，∴0＜ω≤34，则ω的最大值为34.
答案：34
5．(江苏省高考命题研究专家原创卷)将函数y＝cos 2x的图象向右平移π6个单位，再将所得
图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标保持不变，得到图象C，则图象C
所对应的函数g(x)的单调递减区间为________．

解析：将函数y＝cos 2x的图象向右平移π6，所得图象对应的函数解析式为y＝cos2(x－
π
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)，即y＝cos2x－π3，再将其所对应的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐
标保持不变，得到的图象C所对应的函数解析式为y＝cos2×14×x－π3，即g(x)＝
cosx2－π3.再由2kπ≤x2－π3≤2kπ＋π(k∈Z)，解得4kπ＋
23π≤x≤4kπ＋8
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π(k∈Z)，故得

所求函数g(x)的单调减区间为(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
6．已知函数y＝2cos x(0≤x≤1 000π)的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则
这个封闭的图形的面积是________．

解析：如图，y＝2cos x的图象在[0,2π]上与直线y＝2围成封闭图形的面积为S＝4π，
所以在[0，1000π]上封闭图形的面积为4π×500＝2000π.
答案：2000π

7．(南通市调研考试)函数f(x)＝2sin2x－3sin x(2sin x＋3)2的值域为________．

解析：设t＝2sin x＋3∈[1,5]，则sin x＝t－32，f(x)＝g(t)＝2t－322－3×t－32t2＝12－92t＋9t2
＝3t－342－116，所以当t＝4时，g(t)取得最小值－116；当t＝1时，g(t)取得最大值5.
答案：－116，5
二、解答题
8．(苏州市高三教学调研测试)已知函数f(x)＝sin2x＋23sin xcos x＋3cos2x.
(1)求函数f(x)的单调增区间；
(2)已知f(α)＝3，且α∈(0，π)，求α的值．

解：(1)f(x)＝3sin 2x＋cos 2x＋2＝2sin2x＋π6＋2，
由－π2＋2kπ≤2x＋π6≤π2＋2kπ(k∈Z)，得－π3＋kπ≤x≤π6＋kπ(k∈Z)．

∴函数f(x)的单调增区间为(k∈Z)．
(2)由f(α)＝3，得2sin2α＋π6＋2＝3.∴sin2α＋π6＝12.
∵0＜α＜π，∴π6<2α＋π6<2π＋π6，∴2α＋π6＝56π，∴α＝π3.
9．(江苏省高考命题研究专家原创卷)已知向量a＝(3sin x，cos x)，b＝(cos x，cos x)，
设函数f(x)＝2a·b＋2m－1(x，m∈R)．
(1)求函数f(x)的解析式及单调递增区间；

(2)当x∈0，π2时，函数f(x)的最小值为5，求m的值．
解：(1)f(x)＝23sin xcos x＋2cos2x＋2m－1＝3sin 2x＋cos 2x＋2m
＝2sin2x＋π6＋2m，
令－π2＋2kπ≤2x＋π6≤π2＋2kπ(k∈Z)，∴－π3＋kπ≤x≤π6＋kπ，

所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)∵x∈0，π2，∴2x＋π6∈π6，7π6，
当2x＋π6＝7π6，即x＝π2时，函数f(x)取得最小值2m－1.∴2m－1＝5，∴m＝3.
10．(2010·金陵中学上学期期中卷)已知f(x)＝4msin x－cos 2x(x∈R)．
(1)若m＝0，求f(x)的单调递增区间；(2)若f(x)的最大值为3，求实数m的值．

解：(1)当m＝0时，f(x)＝－cos 2x，令2kπ≤2x≤2kπ＋π(k∈Z)，得kπ≤x≤kπ＋π2(k∈Z)．

因此f(x)＝－cos 2x的单调增区间为(k∈Z)．
(2)f(x)＝4msin x－cos 2x＝2sin2x＋4msin x－1＝2(sin x＋m)2－(2m2＋1)
令t＝sin x，则g(t)＝2(t＋m)2－(2m2＋1)(－1≤t≤1)．

①若－m≤0，则在t＝1时，g(t)取最大值1＋4m.由 1＋4m＝3－m≤0，得m＝12；
②若－m>0，则在t＝－1时，g(t)取最大值1－4m.
由 1－4m＝3－m>0，得m＝－12.综上，m＝±12.

1．(2010·扬州中学上学期期中卷)设函数f(x)＝a·b，其中向量a＝(m，cos 2x)，b＝(1＋
sin 2x,1)，x∈R，且y＝f(x)的图象经过点π4，2.
(1)求实数m的值；(2)求f(x)的最小正周期．
解：(1)f(x)＝a·b＝m(1＋sin 2x)＋cos 2x，∵图象经过点π4，2，
∴fπ4＝m1＋sin π2＋cosπ2＝2，解得m＝1.
(2)当m＝1时，f(x)＝1＋sin 2x＋cos 2x＝2sin2x＋π4＋1，∴T＝2π2＝π.
2．已知函数f(x)＝sin2x＋2sin xcos x＋3cos2x，x∈R，求：
(1)函数f(x)的最大值及取得最大值的自变量x的集合；
(2)函数f(x)的单调增区间．

解：(1)解法一：∵f(x)＝1－cos 2x2＋sin 2x＋3(1＋cos 2x)2＝2＋sin 2x＋cos 2x
＝2＋2sin2x＋π4，∴当2x＋π4＝2kπ＋π2(k∈Z)，即x＝kπ＋π8(k∈Z)时，f(x)取得最大
值2＋2.因此，f(x)取得最大值的自变量x的集合是{x|x＝kπ＋π8，k∈Z}．
解法二：∵f(x)＝(sin2x＋cos2x)＋sin 2x＋2cos2x＝1＋sin 2x＋1＋cos 2x＝2＋2
sin2x＋π4，
∴当2x＋π4＝2kπ＋π2(k∈Z)，即x＝kπ＋π8(k∈Z)时，f(x)取得最大值2＋2.因此，f(x)

取得最大值的自变量x的集合是.
(2)f(x)＝2＋2sin2x＋π4.由题意得2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2(k∈Z)，

即kπ－38π≤x≤kπ＋π8(k∈Z)．因此，f(x)的单调增区间是(k∈Z)．