数学基础训练9
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回归教材—锁定128分训练(9)
1. 6 【解析】当a ≤5时,A ∩B=φ,不符合题意;当a>5时,A ∩B=(5,a),故a=6.
2. -12 【解析】 (1+2i)2=1+4i-4=-3+4i=a+bi,所以a=-3,b=4,ab=-12.
3. π2 【解析】因为函数f(x)=sin(x+φ)(0<φ<π)是偶函数,所以φ=π
2+k π,又φ∈(0,π),所以φ=π
2.
4. 12 【解析】设“恰好选出的是一男一女”的事件为A,则P(A)=36=12.
5. 11 【解析】作出可行域,不等式组表示的区域是以(1,0),(-1,2),(3,2)为顶点的三角形及内部区域,如图中阴影部分所示,目标函数z=3x+y 在顶点(3,2)处取最大值
11.
(第5题)
6. 0 【解析】由题知y'=2x-2
a x ,当x=1时,k=2-a=2,所以a=0.
7. 25 【解析】由频率分布直方图可知在[2500,3000)之间的频率为500×0.0005=0.25,所以应抽取的人数为0.25×100=25.
8. (1,+∞) 【解析】设等差数列{a n }的公差为d,则d ≠0,所以由a 1,a 2,a 5成等比数列,可知
22
a =a 1a 5,即(a 1+d)2=a 1(a 1+4d),故d=2a 1,代入不等式a 1+a 2+a 5>13,解得a 1>1.
9. (-3,-2) 【解析】设圆心C(x,x+1),因为CA=CB,所以(x-1)2+x 2=(x-2)2+(x+3)2,解得x=-3,故圆心坐标是(-3,-2).
10. 5
3 【解析】易求得点M 2
,
b c a
⎛⎫ ⎪⎝
⎭,N ,bc c a ⎛⎫ ⎪
⎝⎭,由FM=4MN,得2b
a =42-bc
b a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,即
b2=4bc-4b2,所以5b=4c,所以25(c2-a2)=16c2,25a2=9c2.故
2
2
c
a=
25
9,则离心率e=
5
3.
11. 1
2【解析】如图,AB+AC=AD,依题意,得|AD|=|BC|,所以四边形ABDC是
矩形,∠BAC=90°. 因为
所以BC=2.cos∠
ABC=AB
BC=
1
2,
·
||
BA BC
BC=
||||cos
||
BA BC ABC
BC
∠
=|BA|cos∠ABC=
1
2.
(第11题)
12. 2n2-2n+1 【解析】根据前面4个图形,有f(2)-f(1)=4×1,f(3)-f(2)=4×2,f(4)-f(3)=4×3,…,f(n)-f(n-1)=4×(n-1),上述(n-1)个式子相加,得
f(n)-f(1)=4[1+2+…+(n-1)]=4×(-1)
2
n n
=2n2-2n,
所以f(n)=2n2-2n+1.
13. 或【解析】由S
△ABC
=
1
2absinC,得sinC=,又角C为三角形的内角,所以C=60°或120°.若C=60°,则在△ABC中,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=84,此时,最大边是b,故最大角为B,cosB=
222
-
2
a
c b
ac
+
,tanB=.若
C=120°,
此时C为最大角,tanC=tan120°
14. (-1,1) 【解析】作出函数图象可知,若a<b<-1,且f(a)=f(b),则
a2+2a-1=-(b2+2b-1),
整理得(a+1)2+(b+1)2=4,设
-12cos,
-12sin
a
b
θ
θ
=+
⎧
⎨
=+
⎩θ∈
5π
π,
4
⎛⎫
⎪
⎝⎭,所以ab+a+b=-1+2sin2θ∈(-1,1).
15. (1) 由题意及正弦定理可知
,
sinAcosB=sinCcosB+cosCsinB,
sinAcosB=sin(B+C)=sin(π-A)=sinA.
因为0<A<π,所以sinA≠0,所以
cosB=.
因为0<B<π,所以B=π4.
(2)因为m·n=12cosA-5cos2A, =-10cos2A+12cosA+5
=-10
2
3
cos-
5
A
⎛⎫
⎪
⎝⎭+
43
5,
所以当cosA=3
5时,m·n取最大值,
此时sinA=4
5,所以tanA=
4
3.
所以tanC=-tan(A+B)=-tan tan
1-tan tan
A B
A B
+
=7.
16. (1) 因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD = AB, PA⊥AB,
所以 PA⊥平面ABCD.
因为BD⊂平面ABCD,所以PA⊥BD.
设AC∩BD=O,
因为BC⊥CD,AB∥CD,所以BC⊥AB.
又因为AB=1,CD=4,BC=2,
所以Rt△ABC∽Rt△BCD,
所以∠BDC=∠ACB,
所以∠ACB+∠CBD=∠BDC+∠CBD=90°. 所以AC ⊥BD.
因为AC ∩PA=A,所以BD ⊥平面PAC.
(2) 连接FO,因为PB ∥平面FAC,PB ⊂平面PBD,平面PBD ∩平面FAC= FO,所以FO ∥PB,
所以DF PF =DO OB .又因为AB ∥CD,且BO OD =AB CD =1
4,所以DF ∶FP=4∶
1.
(第16题)
17. (1) 如图,作SC 垂直OB 于点C,则∠CSB=30°
,
(第17题)
∠ASB=60°. 又
故在Rt △SAB 中,得BA=3,即摄影者到立柱的水平距离为3m. 又SC=3,∠CSO=30°,在Rt △SCO 中,得
因为
,故
, 即立柱高为
m.
(2) 连接SM,SN,设SM=a,SN=b. 则在△SON 和△SOM 中,由余弦定理可得
得a 2+b 2=26.
cos∠MSN=
222
-2
2
a b
ab
+
=
11
ab≥22
22
a b
+=
11
13>
1
2.
又∠MSN∈(0°,180°),则∠MSN<30°. 故摄影者可以将彩杆全部摄入画面.
18. (1) 由题知f(x)的定义域是(0,+∞),
f'(x)=a+1
x(x>0).
①当a=0时,f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增;
②当a<0时,由f'(x)=0,解得x=-1 a,
则当x∈
1
0,-
a
⎛⎫
⎪
⎝⎭时,f'(x)>0,f(x)单调递增;
当x∈
1
-,
a
∞
⎛⎫
+
⎪
⎝⎭时,f'(x)<0,f(x)单调递减.
综上所述:当a=0时,f(x)的单调增区间为(0,+∞);
当a<0时,f(x)的单调增区间为
1
0,-
a
⎛⎫
⎪
⎝⎭,单调减区间为
1
-,
a
∞
⎛⎫
+
⎪
⎝⎭.
(2) 由题意:e x
,即e
有解,因此只需m<x-e
∈(0,+∞)有解即
可.
设h(x)=x-e
则h'(x)=1-e
x
x.
≥
>1, 且x∈(0,+∞)时,e x>1,
所以1-e
x +
<0,即h'(x)<0.
故h(x)在(0,+∞)上单调递减, 所以h(x)≤h(0)=0,
故实数m的取值范围是(-∞,0).。
