2021届全国名校学术联盟新高考模拟试卷(十三)数学(理)试题

2021届全国名校学术联盟新高考原创预测试卷（十四）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：1.已知集合{|2,0}xA y y x ==>，2{|log (2)}B x y x ==-，则()R A B =A. [0,1)B. (1,2)C. (1,2]D. [2,)+∞【答案】C 【解析】 【分析】化简集合A ，B ，利用交并补运算得到结果.【详解】由题意易得：()1A ∞=+，，()2B ∞=+， ∴(],2RB =-∞,∴()(] 1,2RA B ⋂=,故选C【点睛】本题考查集合的交、并、补的基本运算，指数函数与对数函数的性质，考查计算能力．2.复数z 满足(1)i z i -=（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A. 12-B.12C. 12i -D.12i 【答案】B 【解析】分析：由已知等式变形得1=-iz i，再利用复数的四则运算法则求出z 的代数形式，再写出虚部．详解：由(1)i z i -=有(1)1111(1)(1)222i i i i z i i i i +-+====-+--+，则z 的虚部为12，故选B.点睛：本题主要考查了复数的四则运算以及复数的代数形式，属于容易题．若复数(,)z a bi a b R =+∈，则复数的虚部为b ．3.已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则4a =（ ）A.52B. 3C.72D. 4【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列前n 项和公式，代入844S S =即可求出112a =，再利用等差数列通项公式就能算出4a .【详解】∵{}n a 是公差为1的等差数列，844S S =， ∴1187143184422a a ⨯⨯⨯⨯⎛⎫+=⨯+ ⎪⎝⎭解得112a =，则4173122a =+⨯=，故选C. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式及其前n 项和公式的运用，是基础题． 4.已知两条直线,ab 和平面α，若b α⊂，则//a b 是//a α的（ ） A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】D 【解析】 【分析】先判断////a b a α⇒与////a a b α⇒的真假，然后利用充要条件的定义，得到//a b 与//a α的关系．【详解】当b α⊂时，若//a b 时，a 与α的关系可能是//a α，也可能是a α⊂，即//a α不一定成立，故////a b a α⇒为假命题；若//a α时，a 与b 的关系可能是//a b ，也可能是a 与b 异面，即//a b 不一定成立，故////a a b α⇒也为假命题；故//a b 是//a α的既不充分又不必要条件 故选：D【点睛】本题考查充要条件、直线与平面平行关系的判断，求解的关键是先判断////a b a α⇒与////a a b α⇒的真假.5.已知一组样本数据点()()()()11223366,,,,,,,x y x y y x x y 用最小二乘法求得其线性回归方程为24y x =-+若123,,,x x x ⋅⋅⋅6x 的平均数为1，则 1236···y y y y ++++=（ ） A. 10 B. 12C. 8D. 9【答案】B 【解析】 【分析】设这组样本数据中心点为(,)x y ，代入线性回归方程中求得y ，再求1236···y y y y ++++的值．【详解】解：设样本数据点()()()()11223366,,,,,,,x y x y y x x y 的样本中心点为(,)x y ，则1x =，代入线性回归方程24y x =-+中，得2142y =-⨯+=， 则1236···612y y y y y ++++==，故选B ．【点睛】本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题．6.《算法统宗》 中有一图形称为“方五斜七图”，注曰：方五斜七者此乃言其大略矣，内方五尺外方七尺有奇． 实际上，这是一种开平方的近似计算，即用 7 近似表示52，当内方的边长为5 时， 外方的边长为52， 略大于7．如图所示，在外方内随机取一点，则此点取自内方的概率为（ ）A.12B.22C.57D.2549【答案】A 【解析】 【分析】结合题意可计算出25S =内方，50S =外方，根据几何概型概率公式计算即可． 【详解】由题意可得25S =内方，50S =外方， 则外方内随机取一点，则此点取自内方的概率为251502=，故选A ． 【点睛】本题考查了几何概型的概率公式，属于基础题．7.如图，一只蚂蚁从点A 出发沿着水平面的线条爬行到点C ，再由点C 沿着置于水平面的正方体的棱爬行至顶点B ，则它可以爬行的不同的最短路径有（ ）条A. 40B. 60C. 80D. 120【答案】B 【解析】试题分析：蚂蚁从A 到C 需要走五段路，其中三纵二竖，共有2510C =条路径，从C 到B 共有326⨯=条路径，根据分步计数乘法原理可知，蚂蚁从A 到B 可以爬行的不同的最短路径有10660⨯=条，故选B. 考点：分步计数乘法原理.8.一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 9636π+B. 7248π+C. 4896π+D.2448π+【答案】D 【解析】 【分析】该几何体是由两部分组成的，左半部分是四分之一圆锥，右半部分是三棱锥，运用锥体体积公式可以求解.．【详解】该几何体是由左右两部分组成的锥体，左半部分是四分之一圆锥，其体积V 左=211π6843⨯⨯=24π，右半部分是三棱锥，其体积1166832V =⨯⨯⨯⨯右=48，所以该几何体的体积2448V 总π=+.故选D.【点睛】本题考查了组合体的三视图问题，以及锥体体积公式，需要平常多强化空间想象能力． 9.在(nx x+的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32，则2x 的系数为（ ）A. 50B. 70C. 90D. 120【答案】C 【解析】在(nx 中，令1x =得(13)4n n +=，即展开式中各项系数和为4n ；又展开式中的二项式系数和为2n ．由题意得42322nn n ==，解得5n =．故二项式为5(x，其展开式的通项为3552155()3r r r r r rr T C x C x --+==，（0,1,2,3,4,5r =）． 令2r得222235390T C x x ==．所以2x 的系数为90．选C ．10.已知x ，y 满足约束条件2400220x y x y a x y -+≥⎧⎪++≥⎨⎪+-≤⎩，若目标函数3z x y=+的最小值为-5，则z 的最大值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】D 【解析】 【分析】由目标函数z ＝3x +y 的最小值为`-5，可以画出满足条件的可行域，结合目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，得到参数的取值，然后求出目标函数的最大值即可． 【详解】画出x ，y 满足的可行域如下图：z ＝3x +y 变形为y=-3x+z ，其中z 表示直线的截距，可得在直线240x y -+=与直线x y a ++＝0的交点A 处，使目标函数z ＝3x +y 取得最小值-5，当过点B 时，目标函数z ＝3x +y 取得最大值，故由 35240x y x y +=-⎧⎨-+=⎩，解得 x ＝-2，y ＝1， 代入x y a ++＝0得a=1，由10220x y x y ++=⎧⎨+-=⎩⇒B （3，-4）当过点B （3，-4）时，目标函数z ＝3x +y 取得最大值，最大值为5． 故选D ．【点睛】本题考查了含参数的线性规划问题，当约束条件中含有参数时，可以先大致画出几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，再代入求解，本题属于中档题．11.已知A 是函数()sin 2018cos 201863f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值，若存在实数12,x x 使得对任意实数x 总有12()()()f x f x f x ≤≤成立，则12||A x x ⋅-的最小值为 Aπ2018B.π1009C.2π1009D.π4036【答案】B 【解析】 【分析】利用三角恒等变换可得()220186f x sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，依题意可知122,A x x =-的最小值为121009T π=，从而可得结论. 【详解】()2018cos 201863f x sin x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112014cos 2018cos 201820182222sin x x x sin x =+++2018cos 2018x x =+220186sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()max 2A f x ∴==，周期220181009T ππ==， 又存在实数12,x x ，对任意实数x 总有()()()12f x f x f x ≤≤成立，()()()()21max min 2,2f x f x f x f x ∴====-，12A x x ⋅-的最小值为121009A T π⨯=，故选B.【点睛】本题主要考查公式三角函数的图象和性质以及辅助角公式的应用，属于难题.利用该公式()sin cos )f x a x b x x ωωωϕ=+=+ 可以求出:①()f x 的周期2πω;②单调区间（利用正弦函数的单调区间可通过解不等式求得）；③值域：⎡⎣；④对称轴及对称中心（由2x k πωϕπ+=+可得对称轴方程，由x k ωϕπ+=可得对称中心横坐标.12.已知()'f x 是函数()f x 的导函数，且对任意的实数x 都有()()'23xf x ex =+()(f x e+是自然对数的底数），()01f =，若不等式()0f x k -<的解集中恰有两个整数，则实数k 的取值范围是（ ）A. 1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B. 21,0e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 21,0e ⎛⎤-⎥⎝⎦D.21,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】 令()()xf x G x e=，可得()23G x x '=+，可设()23G x x x c =++，()()001G f ==，解得1c =，()()231xf x x x e =++，利用导数研究其单调性极值与最值并且画出图象即可得出．【详解】令()()x f x G x e =，则()()()23xf x f x G x x e'-'==+， 可设()23G x x x c =++， ∵()()001G f ==，∴1c =． ∴()()231xf x x x e =++，∴()()()()25414xxf x x x e x x e '=++=++．可得：4x =-时，函数()f x 取得极大值，1x =-时， 函数()f x 取得极小值．()11f e-=-，()01f =，()2120f e -=-<，()3130f e -=>．∴210k e-<≤时，不等式()0f x k -<的解集中恰有两个整数1-，2-．故k 的取值范围是21,0e ⎛⎤-⎥⎝⎦，故选C ． 【点睛】本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值及其图象性质、方程与不等式的解法、数形结合思想方法、构造方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 二、填空题13.已知向量,a b 满足2a b ==,且2a b ⋅=,则向量a 与b 的夹角为___________. 【答案】3π 【解析】 【分析】由向量夹角公式求得向量夹角的余弦，结合向量夹角的范围，即可得解. 【详解】由题cos a b 1a,b 2a b==,a,b [0,]π∈,所以πa,b 3=故答案为π3【点睛】本题考查向量夹角公式，准确计算是关键，是基础题.14.已知函数3()sin 22(,,0)f x ax b x a b R ab =++∈≠，且(2)3f =，则(2)f -=__________．【答案】1 【解析】 【分析】令3()sin 2g x ax b x =+，可知函数()g x 为奇函数，由(2)3f =，可求得(2)1g =，之后利用性质求得结果.【详解】令3()sin 2g x ax b x =+，因为3()sin 2()g x ax b x g x -=--=-， 所以函数()g x 为奇函数，由(2)(2)23f g =+=，所以(2)1g =，所以(2)(2)2(2)2121f g g -=-+=-+=-+=，故答案是：1.【点睛】该题考查的是有关函数值的求解问题，涉及到的知识点有奇函数的性质，在解题的过程中，注意整体思维的应用.15.在ABC ∆中，,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边，若2a =，2b c =，1cos 4A =，则ABC ∆的面积等于 _____． 【答案】154【解析】 【分析】先由余弦定理结合题意求出b c ，的值，再由三角形面积公式即可求出结果. 【详解】因为2a =，2b c =，1cos 4A =，所以由余弦定理可得： 2222a b c bccosA =+-，即22244c c c =+-，所以1c =，22b c ==，因此11524ABC S bcsinA ∆==. 故答案为154【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，灵活运用余弦定理和三角形面积公式即可，属于基础题型.16.如图，三棱锥的所有顶点都在一个球面上，在△ABC 中，AB =3，∠ACB =60°，∠BCD =90°，AB ⊥CD ，CD =22，则该球的体积为__________．【答案】43π 【解析】以△ABC 所在平面为球的截面，则由正弦定理得截面圆的半径为3112=． 依题意得CD ⊥平面ABC ，故球心到截面的距离为12CD，所以球的体积为343π⋅⋅=．答案：点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 ． 三、解答题17.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩（[0,2),απα∈为参数），在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换'2,'x x y y=⎧⎨=⎩得到曲线1C ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（ρ为极径，θ为极角）． （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程和曲线1C 的极坐标方程；（Ⅱ）若射线():0OA θβρ=>与曲线1C 交于点A ，射线():02OB πθβρ=+>与曲线1C 交于点B ，求2211OAOB+的值．【答案】（Ⅰ）224x y +=，2222416cos sin ρθρθ+=；（Ⅱ）516. 【解析】 【分析】（Ⅰ）消去参数，求得曲线C 的直角方程为224x y +=，再根据图象的变换公式，即可求解曲线1C 的方程，进而得到其极坐标方程；（Ⅱ）将()0θβρ=>代入2222416cos sin ρθρθ+=，根据极坐标中极经的几何意义，即可求解．【详解】（Ⅰ）由曲线C 的参数方程为22x cos y sin αα=⎧⎨=⎩([)0,2,a a π∈为参数)，得224x y +=，所以曲线C 的直角方程为224x y +=；曲线C 经过伸缩变换得到1C 的参数方程为42x cos y sin αα''=⎧⎨=⎩，得22416x y ''+=，所以曲线C 的极坐标方程为2222416cos sin ρθρθ+=.（Ⅱ）将()0θβρ=>代入2222416cos sin ρθρθ+=得2221cos sin 164ββρ=+，即2221cos sin 164OA ββ=+， 同理22222cos sin 1sin cos 22164164OBππββββ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=+， 所以221111516416OAOB+=+=. 【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及图象的变换和极坐标的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 18.已知函数()2f x sinx cosx x =-⋅+ (Ⅰ)求函数()f x 的单调递增区间；(Ⅱ)若()03f x 5=，0πx 0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求0cos2x 的值．【答案】(1) ()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦（2【解析】试题分析：（1）先根据二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数：()f x 2sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭，再根据正弦函数性质求单调区间，最后写出区间形式（2）先代入得023sin 235x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭,再根据同角三角函数关系求得024cos 235x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,最后根据两角差的余弦公式求00224cos2cos 23310x x ππ⎡⎤+⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 试题解析：(1)()f x = 2sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭函数()f x 的单调递增区间为： ()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦（2）()0023sin 235f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,00,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 024cos 235x π⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭，00224134cos2cos 233525210x x ππ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+-=-⨯-+⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 19.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足22n n S n a +=．(1)证明：数列{}2n a ＋}是等比数列．并求数列{}n a 的通项公式n a ． (2)若数列{}n b 满足()2log 2n n b a =+，设n T 是数列2n n b a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和．求证：32nT <． 【答案】（1）122n n a +=-；（2）见解析【解析】 【分析】（1）代入n=1，求得首项1a ；再用递推法求得122n n a a -=+，再利用构造数列的方法可证明求得{}2n a +为等比数列．根据首项与公比，可求得数列{}n a 的通项公式．（2）根据()2log 2n n b a =+，可求得数列{}n b 的通项公式为1n b n =+，进而得到数列2n n b a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为等差数列与等比数列乘积的形式，再利用错位相减法求得n T ，最后可证明不等式32n T <成立． 【详解】(1)由22n n S n a +=得22n n S a n =-， 当*n N ∈时，22n n S a n =-，①当1n =时，1122S a =-，则12a =，则当2n ≥，*n N ∈时，()11221n n S a n --=--．② ①－②，得1222n n n a a a -=--， 即122n n a a -=+，所以()1222n n a a -+=+，所以1222n n a a -+=+，所以{}2n a +是以12a +为首项，以2为公比的等比数列．所以124n n a n -+=⋅，所以122n n a +=-．(2)由()2122log 2log 21n n b a n +=+==+，得2n n b a +1122n n n b n a ++=+， 则231231222n n n T ++=++⋯+， ③ 3121212222n n n n n T +++=+⋯++ 12，④ ③－④，得234122111121111114212222224212n n n n n n n T +++⎛⎫-⎪++⎝⎭=+++⋯+-=+-- 122111133422242n n n n n +++++=+--=-. 所以1333222n n n T ++=-<．【点睛】本题考查了利用递推法求数列的递推公式，再利用构造数列的方法证明数列是等比数列，再根据错位相减法求数列的前n 项和，计算量较大，易错，属于中档题．20.如图，平面四边形ABCD 中，4CD =,2AB AD ==,60BAD ∠=,30BCD ∠=，将三角形ABD 沿BD 翻折到三角形PBD 的位置，平面PBD ⊥平面BCD ，E 为PD 中点.（Ⅰ）求证：PD CE ⊥；（Ⅱ）求直线BE 与平面PCD 所成角的正弦值. 25【解析】 【分析】（Ⅰ）由题意ABD ∆为等边三角形，可以证明BC BD ⊥及BE PD ⊥，由平面PBD ⊥平面BCD ，可知BC ⊥平面PBD ，从而BC PD ⊥，进而可以得到PD ⊥平面BCE ，即可证明PD CE ⊥；(Ⅱ)以B 为坐标原点，,BC BD 分别为x 轴，y 轴建立空间直角坐标系，分别求出BE 和平面PCD 的法向量m ，由cos ,m BE m BE m BE⋅=⋅可以得到答案．【详解】（Ⅰ）由题意ABD ∆为等边三角形，则2BD =，在三角形BCD 中，4CD =,30BCD ∠=，由余弦定理可求得23BC =222CD BD BC ∴=+，即BC BD ⊥又平面PBD ⊥平面BCD ，平面PBD ⋂平面BCD BD =，BC ⊂平面BCDBC ∴⊥平面PBD BC PD ⇒⊥等边三角形PBD 中，E 为PD 中点，则BE PD ⊥，且BC BE B ⋂=PD ∴⊥平面BCE ，PD CE ∴⊥（Ⅱ）以B 为坐标原点，,BC BD 分别为x 轴，y 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0B ，()23,0,0C ，()0,2,0D ，(3P ，330,,22E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭()23,2,0CD =-，(0,1,3PD =-设(),,m x y z =是平面PCD 的法向量，则0m CD ⋅=，0m PD ⋅=232030x y y z ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩ 取()1,3,1m = 3332522cos ,53m BE m BE m BE+⋅===⋅⋅ 所以直线BE 与平面PCD 所成角的正弦值为25. 【点睛】本题考查了直线、平面垂直的判定及其性质，考查了直线与平面所成角的求法，属于中档题．21.甲、乙两品牌计划入驻某商场，该商场批准两个品牌先进场试销5天．两品牌提供的返利方案如下：甲品牌无固定返利，卖出10件以内（含10件）的产品，每件产品返利5元，超出10件的部分每件返利7元；乙品牌每天固定返利20元，且每卖出一件产品再返利3元．经统计，两家品牌在试销期间的销售件数的茎叶图如下：（Ⅰ）现从乙品牌试销的5天中随机抽取3天，求这3天的销售量中至少有一天低于10的概率.（Ⅱ）若将频率视作概率，回答以下问题：①记甲品牌的日返利额为X （单位：元），求X 的分布列和数学期望；②商场拟在甲、乙两品牌中选择一个长期销售，如果仅从日返利额的角度考虑，请利用所学的统计学知识为商场作出选择，并说明理由. 【答案】（Ⅰ）910（Ⅱ）①详见解析②商场应选择乙品牌长期销售，详见解析 【解析】 【分析】（I ）直接法：分别计算有1天低于和有2天低于的10件的概率，然后相加，求得所求概率.间接法：用1减去抽取的3天都不低于10件的概率，求得所求至少有一天低于10的概率.（II ）①先计算出甲品牌的日返利额X 的所有可能取值，由此求得X 的分布列并求得数学期望.②计算出乙品牌日返利额Y 的分布列和数学期望，结合①中X 的数学期望，可知商场应选择乙品牌长期销售.【详解】（Ⅰ）设A 为从乙品牌试销售的5天中抽取3天，这3天的销售量中至少有一天低于10件的事件，则()1221232335C C C C 9C 10P A +==.另法：设A 为从乙品牌试销售的5天中抽取3天，这3天的销售量中至少有一天低于10件的事件，则A 为从乙品牌试销售的5天中抽取3天，这3天的销售量都不低于10件的事件，则()()3335C 19111C 1010P A P A =-=-=-=.（Ⅱ）①设甲品牌的日销售量为随机变量ξ，则甲品牌的日返利额X （单位：元）与ξ的关系为：()5,01050710,11X ξξξξ≤≤⎧=⎨+-≥⎩.当6ξ=时，30X =；当7ξ=时，35X =；当10ξ=时，50X =；当12ξ=时，64X =；故X 的分布列为()21113035506441.85555E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（元）②设乙品牌的日销售量为随机变量η，乙品牌的日返利额Y （单位：元）与η的关系为：203Y η=+，且η的分布列为则()112169121310.45555E η=⨯+⨯+⨯+⨯=（件） 则()()()320320310.42051.2E Y E E ηη=+=+=⨯+=（元） 因为乙品牌的日平均返利额大于甲品牌的日平均返利额，所以如果仅从日返利额的角度考虑，商场应选择乙品牌长期销售.②另法：乙品牌的日返利额Y （单位：元）的取值集合为{}38,47,56,59，分布列为则()11213847565951.25555E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=（元） 【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查随机变量分布列和数学期望的计算，考查实际生活中的决策问题，考查运算求解能力，属于中档题.22.已知()sin ()f x a x a R =∈,()xg x e =.(1)若01a <≤,判断函数()(1)ln G x f x x =-+在()0,1上的单调性；(2)设2()()2(1),()F x g x mx x k k R =--++∈,对0,0x m ∀><,有()0F x >恒成立,求k 的最小值【答案】（1）()G x 在()0,1单调递增, （2）2. 【解析】 【分析】(1)求导后根据反比例函数与余弦函数的范围可得()'0G x >即可证明单调性.(2)求导得()()221xF x e mx x k =--++,再分析()22xt x e mx =--的零点所在的区间,设零点为0x ,参变分离求()F x 的最值,再利用隐零点问题的最值方法,参变分离后进行最值求解即可.【详解】（1）()()1G x asin x lnx =-+. ()()1'1G x acos x x =--+ ()11acos x x=-- 又()0,1x ∈，因此11x>，而()cos 11a x -≤，所以()'0G x >，故()G x 在()0,1单调递增. （2）由题意知，()()221xF x e mx x k =--++()'22x F x e mx =--，设()22x t x e mx =--，则()'2x t x e m =-，由于0m <，故()'0t x >，()0,x ∈+∞时，()t x 单调递增，又()01t =-，()2220t ln mln =->，因此()t x 在()0,2ln 存在唯一零点0x ，使()00t x =，即00220xe mx --=，且当()00,x x ∈，()0t x <，()'0F x <，()F x 单调递减；()0,x x ∈+∞ ，()0t x >，()'0F x >，()F x 单调递增；故()()()02000210xmin F x F x e mx x k ==--++>，故()0002000002211222x x x x e k e x x e x x -⎛⎫>-+⋅++=-++ ⎪⎝⎭， 设()122xx Z x e x ⎛⎫=-++⎪⎝⎭,()0,ln 2x ∈ ()1'12x x Z x e -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又设()()11022x x x x k x e k x e -⎛⎫=+=⋅> ⎪'⎝⎭故()k x 在()0,2ln 上单调递增，因此()()1002k x k >=>，即()'0Z x >，()Z x 在()0,2ln 单调递增，()()1,2ln2Z x ∈，又12242ln ln <=<，所以2k ≥， 故所求k 的最小值为2.【点睛】本题主要考查了利用导数解决函数的单调性问题,同时也考查了隐零点问题与恒成立问题,需要根据题意求导分析极值点与最值等.属于难题.。

2021-2022年高三全真模拟卷数学理科试题第13套及答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 命题“”的否命题．．．是（）A. B.C. D.2. 下图是指数函数（1）y=ax，（2）y=bx，（3）y=cx，（4）y=dx的图像，则a、b、c、d与1的大小关系是（）A．;B．；C．；D．3. 函数y=a x在［0，1］上的最大值与最小值的和为3，则a等于（）A. B.2 C.4 D.4. 复数（i）3的值是（）A. －iB.iC.－1D.15. sin2x>cos2x，则x的取值范围是（）A.{x|2kπ－π<x<2kπ+，k∈Z}B.{x|2kπ+<x<2kπ+π，k∈Z}C.{x|kπ－<x<kπ+，k∈Z}D.{x|kπ+<x<kπ+π，k∈Z}6. 在5张卡片上分别写着数字1、2、3、4、5，然后把它们混合，再任意排成一行，则得到的数能被5或2整除的概率是( )(A) 0.8 (B) 0.6 (C) 0.4 (D) 0.27. 一给定函数的图象在下列图中，并且对任意，由关系式得到的数列满足，则该函数的图象是（）A B C D8. 若,则下列不等式:①;②;③;④中,正确的不等式有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（９～１２题）9. 若,则的取值范围是10. 方程的解是_________11. 已知圆（x＋1）2＋y2＝1和圆外一点P（0，2），过点P作圆的切线，则两条切线夹角的正切值是．12. 若（x+1）n＝x n＋…＋ax3＋bx2＋…＋1（n∈N*），且a∶b＝3∶1，那么n=_____. （二）选做题（13 ~ 15题，考生只能从中选做两题）13. （不等式选讲选做题）不等式的解集为__________________.14. （坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，点是椭圆上的一个动点，则x+y 的最大值是__________________15. (几何证明选讲选做题）如图，半径为的⊙O中，OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过N点的切线交CA的延长线于P．若OA=OM，则MN的长为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤， 16. （本小题满分12分）已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示.(Ⅰ) 求函数的解析式；(Ⅱ) 如何由函数的图象通过适当的变换得到函数的图象, 写出变换过程.17. （本小题满分12分）一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有2件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否接收．抽检规则是这样的：一次取一件产品检查（取出的产品不放回箱子），若前三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品.（1）求这箱产品被用户接收的概率；（2）记抽检的产品件数为，求的分布列和数学期望．18. （本小题满分14分）如图5，已知等腰直角三角形，其中∠=90º，．点A 、D 分别是、的中点，现将△沿着边折起到△位置， 使⊥，连结、． （1）求证：⊥；（2）求二面角的平面角的余弦值．y xO219.（本小题满分14分）已知将圆上的每一点的纵坐标压缩到原来的,对应的横坐标不变,得到曲线C；经过点M(2,1)且平行于OM的直线在y轴上的截距为m(m≠0),直线与曲线C交于A、B两个不同点.(1)求曲线的方程；(2)求m的取值范围.20.(本小题满分14分)已知函数在处取得极值2.（1）求函数的表达式；（2）当满足什么条件时，函数在区间上单调递增？（3）若为图象上任意一点，直线与的图象切于点，求直线的斜率的取值范围。

2020届名校学术联盟新高考原创精准模拟考试（十三）理科数学试卷本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.设集合，，则中元素的个数为( )A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】B【解析】【分析】可求出集合，然后进行交集的运算即可求出，从而得出元素的个数．【详解】；∴；∴中元素的个数为2．故选：B．【点睛】考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算，集合元素的概念，熟记概念即可，属于基础题型.2.满足＝i(i为虚数单位)的复数z等于( )A. B.C. D.【答案】D【解析】得，故选B．3.函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用函数为奇函数排除A；再由当x→+∞时，y→+∞，排除B；利用导数判断单调性且求极值得答案．【详解】函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），且f（-x）=-f（x），函数为奇函数，排除A；又当x→+∞时，y→+∞，排除B；而x＞0时，,可得x=1为函数的极小值点，结合图象可知，函数的部分图象大致为C．故选C．【点睛】本题考查函数的定义域、值域、奇偶性、单调性图象等基础知识，考查逻辑推理能力、抽象概括能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想等，是中档题．4.已知向量，满足，，， ( )A. 6B. 4C.D.【答案】C【解析】【分析】由已知可求，然后由，代入即可求解【详解】∵，∴，∵，，∴，，故选：C．【点睛】本题主要考查了向量的数量积的性质的简单应用，熟记模的计算公式即可，属于基础试题．5.设的内角的对边分别是，若，，，则( )A. 1B.C. 2D. 4【答案】D【解析】【分析】由已知利用二倍角的余弦函数公式可求的值，根据余弦定理即可解得的值．【详解】∵，，，∴，∴由余弦定理，可得：，可得：，∴解得：，或(舍去)．故选：D．【点睛】本题主要考查了二倍角的余弦函数公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．6.已知双曲线与抛物线有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知条件求出双曲线的一个焦点为，可得关于的方程，求出，由此能求出双曲线的渐近线方程．【详解】∵抛物线的焦点为，∴双曲线的一个焦点为，∴，∴，∴双曲线的渐近线方程为．故选：A．【点睛】本题主要考查圆锥曲线的基本元素之间的关系问题，同时双曲线、椭圆的相应知识也进行了综合性考查．7.秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为4，2，则输出v的值为A. 66B. 33C. 16D. 8【答案】A【解析】初始值，程序运行过程如下：,;;;;跳出循环，输出的值为,故选A.8.已知定义在上的函数，，设两曲线与在公共点处的切线相同，则值等于A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分别求得和的导数，令它们的导数相等，求得切点的横坐标，进而求得纵坐标，代入求得的值.【详解】，令，解得，这就是切点的横坐标，代入求得切点的纵坐标为，将代入得.故选D.【点睛】本小题主要考查函数导数与切线，考查两个函数公共点的切线方程，有关切线的问题关键点在于切点和斜率.属于基础题.9.中国古代数学名著《九章算术》中记载：“圆周与其直径之比被定为3，圆中弓形面积为（为弦长，为半径长与圆心到弦的距离之差）.”据此计算，已知一个圆中弓形所对应的弦长，，质点随机投入此圆中，则质点落在该弓形内的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用圆中弓形面积为,可求得弓形的面积，根据勾股定理求得圆的半径，可得圆的面积，由勾股定理可得结果.【详解】由圆中弓形面积为可知：弓形的面积.设圆的半径为，则，解得，所以圆的面积，所以质点落在弓形内的概率为,故选C.【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时, 忽视验证事件是否等可能性导致错误.10.已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，是的中点，则所成的角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：设的交点为，连接，则为所成的角或其补角；设正四棱锥的棱长为，则，所以，故C为正确答案．考点：异面直线所成的角．【此处有视频，请去附件查看】11.已知定义在上的奇函数满足，当时，，则函数在区间上所有零点之和为( )A. 8B. 6C. 4D. 2【答案】A【解析】【分析】根据的奇偶性和对称性，推出函数的周期性，根据函数与方程之间的关系，转化为两个函数交点问题，利用对称性进行求解即可．【详解】解：∵奇函数满足，∴，即是周期为4的周期函数，同时函数关于对称，∵若，则，∴即，，若，则，此时，，若，则，此时，，由得，作出函数与，在上的图象，由图象知两个函数图象有4个交点，且四个交点，两两关于点对称，设彼此对称的交点横坐标为，，，，则，，得，，即，函数在区间上所有零点之和为8，故选：A．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，根据条件求出函数的周期，利用数形结合转化为两个函数的交点问题是解决本题的关键．12.已知点是抛物线上的一个动点，是圆：上的一个动点，则的最小值为（）A. B. C. 3 D. 4【答案】C【解析】由题意可知圆的圆心坐标，半径为1；抛物线的焦点，虚线为抛物线的准线；为点到虚线的距离且，由抛物线的性质可知，.故可知。

2021届全国名校学术联盟新高考模拟试卷（一）数学（理）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.1.设全集{}2|250,Q x x x x N =-≤∈，且P Q ⊆，则满足条件的集合P 的个数是（ ）A. 3B. 4C. 7D. 8 【答案】D【解析】 {}{}25|250,N |0,N 0,1,22Q x x x x x x x ⎧⎫=-≤∈=≤≤∈=⎨⎬⎩⎭ ，所以满足P Q ⊆ 的集合P 有328= 个，故选D.2.已知i 是虚数单位，复数512i i -的虚部为（ ） A. 1-B. 1C. i -D. i【答案】B【解析】因为()()()()512512*********i i i i i i i i i ++===-+--+ ，所以复数512i i-的虚部为1 ，故选B. 3.已知a ，b 都是实数，那么“lg lg a b >”是“a b >”的（ ）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】【分析】利用对数函数的单调性、不等式的性质即可判断出结论．【详解】,a b 都是实数，由“lg lg a b >”有a b >成立，反之不成立，例如2,0a b ==.所以“lg lg a b >”是“a b >”的充分不必要条件.故选：B 【点睛】本题考查了对数函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 4.淮南市正在创建全国文明城市，某校数学组办公室为了美化环境，购买了5盆月季花和4盆菊花，各盆大小均不一样，将其中4盆摆成一排，则至多有一盆菊花的摆法种数为（ ） A. 960 B. 1080C. 1560D. 3024 【答案】B【解析】【分析】分两类：第一类一盆菊花都没有，第二类只有一盆菊花，将两类种数分别算出相加即可. 【详解】解：一盆菊花都没有的摆法种数为45120A =，只有一盆菊花的摆法种数为134454960C C A =， 则至多有一盆菊花的摆法种数为1209601080+=， 故选：B.【点睛】本题考查分类加法原理，考查排列组合数的计算，是基础题. 5.数列{}1(252)2n n --的最大项所在的项数为（ ） A. 10B. 11C. 12D. 9【答案】B【解析】【分析】令1(252)2n n a n -=-，则n a 最大时有11n n n n a a a a -+≥⎧⎨≥⎩，代入通项公式解出n ，即可求出最大项的项数.【详解】令1(252)2n n a n -=-，当2n ≥时，设n a 为最大项，则11n n n n a a a a -+≥⎧⎨≥⎩即121(252)2(272)2,(252)2(232)2,n n n n n n n n ---⎧-≥-⎨-≥-⎩解得212322n ≤≤. 而*n N ∈，所以11n =，又1n =时，有122342a a =<=，所以数列{}1(252)2n n --的最大项所在的项数为11. 故选：B .【点睛】本题考查数列求最大项问题，考查学生的计算能力，属于基础题.6.函数()21ln 12f x x x =--的大致图象为（ ） A.B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由()()f x f x -=得到()f x 为偶函数，所以当0x >时，()21ln 12f x x x =--，求导讨论其单调性，分析其极值就可以得到答案. 【详解】因为()()()21ln 12f x x x f x -=----=， 所以()f x 为偶函数, 则当0x >时，()21ln 12f x x x =--. 此时211()x f x x x x='-=-， 当1x >时，()0f x '> 当01x <<时，()0f x '<.所以()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增.在0x >上，当1x =时函数()f x 有最小值11(1)1122f =-=->-..由()f x 为偶函数，根据选项的图像C 符合.故选：C【点睛】本题考查根据函数表达式选择其图像的问题，这类问题主要是分析其定义域、值域、奇偶性、对称性、单调性和一些特殊点即可,属于中档题.7.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．己知ABC ∆的顶点()4,0A ，()0,2B ，且AC BC =，则ABC ∆的欧拉线方程为（ ）A. 230x y -+=B. 230x y +-=C. 230x y --=D. 230x y --=【答案】D【解析】【分析】由于AC BC =，可得：ABC ∆的外心、重心、垂心都位于线段AB 的垂直平分线上，求出线段AB 的垂直平分线，即可得出ABC ∆的欧拉线的方程．【详解】因为AC BC =，可得：ABC ∆的外心、重心、垂心都位于线段AB 的垂直平分线上 ()4,0A ，()0,2B ，则,A B 的中点为(2,1)201042AB k -==--, 所以AB 的垂直平分线的方程为：12(2)y x -=-，即23y x =-.故选：D【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形的外心重心垂心性质，考查了对新知识的理解应用，属于中档题．8.已知双曲线22214x y b-=()0b >的左右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 的直线交双曲线右支于A 、B 两点，若1ABF ∆是等腰三角形，且120A ∠=︒．则1ABF ∆的周长为（ ）A. 83+B. )41-C. 83+D. )22 【答案】A【解析】【分析】利用双曲线的定义以及三角形结合正弦定理，转化求解三角形的周长即可.【详解】双曲线的焦点在x 轴上，则2,24a a ==；设2||AF m =，由双曲线的定义可知：12||||24AF AF a m =+=+，由题意可得：1222||||||||||AF AB AF BF m BF ==+=+，据此可得：2||4BF =，又 ，∴12||2||8BF a BF =+=，1ABF 由正弦定理有:11||||sin120sin 30BF AF =︒︒,即11|||BF AF所以8)m =+，解得：123m =， 所以1ABF ∆的周长为：11||||||AF BF AB ++=122(4)8162833m ++=+⨯=+ 故选：A【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．9.已知4x π=是函数()()sin f x x ωϕ=+（03ω<<，0ϕπ<<）的一个零点，将()f x 的图象向右平移12π个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则函数()f x 的单调递增区间是（ ） A. 32,2412k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ B. 544,12343k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ C. 52,2124k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ D. 344,43123k k ππππ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ 【答案】D【解析】【分析】 通过条件可得4k πωϕπ+=，122k ππωϕπ-+=+，结合03ω<<，0ϕπ<<可求出,ωϕ，即可得35()sin 28f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令35222282k x k πππππ-+≤+≤+，求出x 的范围即为函数()f x 的单调递增区间.【详解】解：由已知sin 044f πωϕπ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得4k πωϕπ+=，k Z ∈， 又03ω<<，0ϕπ<<， 7044πωϕπ∴<+<，即704k ππ<<，k Z ∈， 1k ∴=，4πωϕπ∴+=①； 又sin sin 121212f x x x ϕπππωωωϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所得图象关于y 轴对称，sin 112πωϕ⎛⎫∴-+=± ⎪⎝⎭， 122k ππωϕπ∴-+=+，k Z ∈，将①代入消去ϕ得1242k ππωπωππ-+-=+，k Z ∈， 33,032k ωω∴=-<<， 0k ∴=时，32ω=， 58ϕπ∴=， 35()sin 28f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭， 令35222282k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈， 34443123k x k ππππ∴-+≤≤-+，k Z ∈， 故选：D.【点睛】本题考查三角函数的图像和性质，考查计算能力和分析能力，是中档题.10.已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图是 （ ）A. B.C. D.【答案】D【解析】试题分析：依次还原几何体，可以得出A,B,C 中的三视图是同一个三棱锥，摆放的位置不同而已，而D 和它们表示的不是同一个三棱锥.考点：本小题主要考查几何体的三视图，考查学生的空间想象能力.点评：解决此类问题的关键在于根据三视图还原几何体.11.已知球O 的半径为2，A 、B 是球面上的两点，且23AB =，若点P 是球面上任意一点，则PA PB ⋅的取值范围是（ ） A. []1,3-B. []2,6-C. []0,1D. []0,3 【答案】B【解析】【分析】作出图形，取线段AB 的中点M ，利用向量的加法法则可得PA PM MA =+，PB PM MA =-，可得出2223PA PB PM MA PM ⋅=-=-，求出PM 的最大值和最小值，即可得出PA PB ⋅的取值范围.【详解】作出图形，取线段AB 的中点M ，连接OP 、OA 、OB 、OM 、PM ，可知OMAB ⊥， 由勾股定理可得221OM OA AM =-=，且有MB MA =-，由向量的加法法则可得PA PM MA =+，PB PM MB PM MA =+=-，()()222223PA PB PM MA PM MA PM MAPM MA PM ∴⋅=+-=-=-=-. PM PO OM =+，由向量的三角不等式可得PO OM PM PO OM -≤≤+，13PM ∴≤≤，所以，[]232,6PA PB PM ⋅=-∈-.因此，PA PB ⋅的取值范围是[]2,6-.故选：B.【点睛】本题考查向量数量积取值范围的计算，解题的关键就是选择合适的基底来表示向量，考查数形结合思想以及计算能力，属于中等题.12.己知()()()ln 1ln 1f x ax x x x =++++与()2g x x =的图象有三个不同的公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A. 1,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B. 2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C. 1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭D. ( 【答案】C【解析】【分析】依题意，方程ln 1ln 111x x a x x ++⎛⎫⎛⎫++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭有三个不相等的实根，令ln 1()x t x x+=，利用导数研究函数()t x 的单调性及最值情况，再分类讨论得解.【详解】解：方程()()f x g x =即为()()2ln 1ln 1ax x x x x ++++=，则方程ln 1ln 111x x a x x ++⎛⎫⎛⎫++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭有三个不相等的实根， 令ln 1()x t x x +=得2(1)10t a t a +++-=①，且2ln ()x t x x -'=， ∴函数()t x 在(0,1)上单增，在(1,)+∞上单减，故max ()(1)1t x t ==，且t →+∞时，()0t x →，0t →时，()t x →-∞∴方程①的两个根12,t t 的情况是：（i ）若1212,(0,1),t t t t ∈≠，则()f x 与()g x 的图象有四个不同的公共点，不合题意；（ii ）若1(0,1)t ∈且21t =或20t =，则()f x 与()g x 的图象有三个不同的公共点，令1t =，则1(1)10a a +++-=，12a ∴=-，此时另一根为(320,1)-∉，舍去； 令0t =，则10a -=，1a ，此时另一根为12(0,)-∉，舍去；（iii ）若1(0,1)t ∈且20t <，则()f x 与()g x 的图象有三个不同的公共点，令2()(1)1h x t a t a =+++-，则(0)0(1)0h h <⎧⎨>⎩，解得112a -<<. 故选：C.【点睛】本题考查函数图像的交点与方程根的关系，考查分类讨论思想，旨在锻炼学生的推理论证能力，属于中档题.二、填空题（每题5分，满分20分）13.设x ，y 满足约束条件326020480x y x y x y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =-的最小值是________【答案】4-【解析】【分析】根据约束条件画出可行域，可知需确定122z y x =-在y 轴截距的最大值，通过平移可得结果，从而确定所求最小值.【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：将2z x y =-化为：122z y x =- 可知z 的最小值即为122z y x =-在y 轴截距最大时z 的取值 由图像平移可知，当122z y x =-过点A 时，截距最大由20480x y x y +-=⎧⎨-+=⎩得()0,2A min 0224z ∴=-⨯=-本题正确结果：4-【点睛】本题考查线性规划中的求解z ax by =+的最值类的问题，重点是通过平移确定取得最值的点. 14.已知等腰直角ABC 的斜边2BC =，沿斜边的高线AD 将ADC 折起，使二面角B AD C --的大小为3π，则四面体ABCD 的外接球的表面积为__________． 【答案】73π 【解析】 等腰直角ABC 翻折后,AD CD AD BD AD BDC CDB ⊥⊥∴⊥∴∠面 是二面角B AD C --的平面角，即3CDB π∠=，因此BDC 外接圆半径为11323sin 3π⋅= ，四面体ABCD 的外接球半径等于22317()(321)2R =+=，外接球的表面积为274.3R ππ= 点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解. 15.我们称一个数列是“有趣数列”，当且仅当该数列满足以下两个条件：①所有的奇数项满足2121n n a a -+<，所有的偶数项满足222n n a a +<；②任意相邻的两项21n a -，2n a 满足21n a -<2n a .根据上面的信息完成下面的问题：（i ）数列1,23456,,,,__________“有趣数列”（填“是”或者“不是”）；（ii ）若2(1)nn a n n=+-，则数列{}n a __________“有趣数列”（填“是”或者“不是”）.【答案】 (1). 是 (2). 是 【解析】 【分析】依据定义检验可得正确的结论.【详解】若数列为1,23456,,,,，则该数列为递增数列，满足“有趣数列”的定义， 故1,23456,,,,为“有趣数列”. 若2(1)nn a n n=+-，则21212221,212121n n a n a n n n -+=--=+--+， 222222,22222n n a n a n n n +=+=+++. 21212224220212141n n a a n n n -+-=--+=--<-+-，故2121n n a a -+<.()()222411222022212n n a a n n n n +-=-+=-+≤-+<++,故222n n a a +<.212222221210212212n n a a n n n n n n--=----=---<--，故21n a -<2n a . 综上，{}n a 为“有趣数列”. 故答案为：是，是.【点睛】本题以“有趣数列”为载体，考虑数列的单调性，注意根据定义检验即可，本题为中档题. 16.已知函数()sin f x x =.若存在1x ，2x ，…，m x 满足1206m x x x π≤<<<≤…，且()()12||f x f x -+()()()()()*231||||120,m m f x f x f x f x m m --++-=≥∈N …，则m 的最小值为________. 【答案】8 【解析】 【分析】由正弦函数的有界性可得，对任意,(,1,2,3,,)i j x x i j m =…，都有()()max()i jf x f x f x -≤min ()2f x -=，要使m 取得最小值，尽可能多让(1,2,3,,)i x i m =…取得最高点和最低点，然后作图可得满足条件的最小m 值.【详解】∵sin y x =对任意,(,1,2,3,,)i j x x i j m =…，都有()()maxmin ()()2i jf x f x f x f x -≤-=，要使m 取得最小值，尽可能多让(1,2,3,,)i x i m =…取得最高点和最低点，考虑1206m x x x π≤<<<≤…，()()()()()()1223112m m f x f x f x f x f x f x --+-++-=…， 按下图取值即可满足条件，∴m 的最小值为8. 故答案为:8.【点睛】本题考查正弦函数的图象和性质，考查分析问题和解决问题的能力，考查数学转化思想方法，正确理解对任意,(,1,2,3,,)i j x x i j m =…，都有()()maxmin ()()2i j f x f x f x f x -≤-=是解题的关键，属于难题.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.如图所示，有一块等腰直角三角形地块ABC ，90A ∠=，BC 长2千米，现对这块地进行绿化改造，计划从BC 的中点D 引出两条成45°的线段DE 和DF ，与AB 和AC 围成四边形区域AEDF ，在该区域内种植花卉，其余区域种植草坪；设BDE α∠=，试求花卉种植面积()S α的取值范围．【答案】12,14⎛ ⎝⎦【解析】 【分析】利用正弦定理得sin 3sin 4BE απα=⎛⎫- ⎪⎝⎭，3sin 4sin CF παα⎛⎫- ⎪⎝⎭=，求得BDE DCF S S ∆∆+，从而有()()ABC BDE DCF S S S S α∆∆∆=-+，再根据条件得,42⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππα，从而求出答案．【详解】解：在△BDE 中，∠BED =34πα-，由正弦定理得13sin sin 4BE απα=⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴sin 3sin 4BE απα=⎛⎫- ⎪⎝⎭， 在△DCF 中，3,4FDC DFC παα∠=-∠=，由正弦定理得13sin sin 4CF παα=⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴3sin 4sin CF παα⎛⎫- ⎪⎝⎭=， 11sin sin 2424BDE DCF S S BE BD CF CD ππ∆∆∴+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯()4BF CF =+3sin sin 434sin sin 4πααπαα⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎪=+⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭33sin cos cos sin sin 44334sin sin cos cos sin 44ππαααππααα⎫-⎪=+⎪ ⎪-⎝⎭4cos sin ααα⎫=++⎝2==1sin 2cos 222sin 2cos 21αααα-+=-+1112sin 2cos 21αα⎛⎫=+ ⎪-+⎝⎭11222sin 224πα=+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ ， ()()ABC BDE DCF S S S S α∆∆∆∴=-+11222sin 224πα=-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ ∴AEDF 为四边形区域，,42ππα⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，32,444πππα⎛⎫∴-∈ ⎪⎝⎭， 2sin 2,142πα⎛⎤⎛⎫∴-∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，()12142S α∴<≤-， ∴花卉种植面积()S α取值范围是12,14⎛⎤- ⎥ ⎝⎦． 【点睛】本题主要考查利用正弦定理解三角形面积问题，属于基础题．18.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1B A ⊥底面ABCD ，12BB BC AB ==，60ABC ∠=︒. （1）求证：1AB A D ⊥；（2）求二面角1A A D C --的余弦值.【答案】(1)见解析；（210【解析】 【分析】（1）连接11A C ，1C D ，AC ,通过勾股定理得到AB AC ⊥，再由条件推得1AB C D ⊥进而得到线面垂直，线线垂直；（2）建立坐标系，分别求得两个面的法向量，进而求得夹角的余弦值.【详解】(1)连接11A C ，1C D ，AC ，以为原几何体是平行六面体，故得到1111AA CC ACCA =∴是平行四边形，进而得到11AC AC ∥，因为2BC AB =且60ABC ∠=︒， 在三角形ABC 中由余弦定理得到边22222122AC AB BC AB BC BC AB =+-⨯⨯=-，222AB AC BC AB AC ∴+=∴⊥，进而得到11AB A C ⊥，又因为1B A ⊥底面ABCD ，1111,B A AB B ACD AB C D ∴⊥∴⊥1111AC C D C AB ⋂=∴⊥面11AC D .1AB A D ∴⊥.(2)根据题干，以及第一问可建立如图坐标系：设122BB BC AB ===，13AB =，()()1,0,0,0,0,0B A ，()()10,0,3,0,3,0B C 根据()1111,0,3A B AB A =⇒-，设面1AA D 的法向量为(),,n x y z =()()11,0,3,1,3,0AA AD BC =-==- ()303,1,130x z n x y ⎧-+=⎪⇒=⎨-+=⎪⎩设面1A CD 的法向量为(),,m x y z =()1,0,0AB DC ==，()11,3,3CA =--，()00,1,1330x m x y z =⎧⎪⇒=⎨--+=⎪⎩ 则两个半平面的夹角余弦值为：10cos .5||||n m n m θ⋅==⋅【点睛】这个题目考查了空间中直线和面的位置关系的应用，涉及线面垂直的性质的应用，以及线线垂直的证明，和二面角的求法，一般求二面角，可以利用几何方法，做出二面角，或者建立空间坐标系得到法向量进而求得二面角的大小.19.2018年反映社会现实的电影《我不是药神》引起了很大的轰动，治疗特种病的创新药研发成了当务之急．为此，某药企加大了研发投入，市场上治疗一类慢性病的特效药品A 的研发费用x （百万元）和销量y （万盒）的统计数据如下：（1）求y 与x 的相关系数r 精确到0.01，并判断y 与x 的关系是否可用线性回归方程模型拟合？（规定：0.75r ≥时，可用线性回归方程模型拟合）；（2）该药企准备生产药品A 的三类不同的剂型1A ，2A ，3A ，并对其进行两次检测，当第一次检测合格后，才能进行第二次检测．第一次检测时，三类剂型1A ，2A ，3A 合格的概率分别为12，45，35，第二次检测时，三类剂型1A ，2A ，3A 合格的概率分别为45，12，23．两次检测过程相互独立，设经过两次检测后1A ，2A ，3A 三类剂型合格的种类数为X ，求X 的数学期望．附：（1）相关系数ni ix y nx yr -=∑（2）81347i ii x y==∑，8211308i i x ==∑，82193i i y ==∑【答案】（1）0.98;可用线性回归模型拟合．（2）65【解析】 【分析】（1）根据题目提供的数据求出,x y ，代入相关系数公式求出r ，根据r 的大小来确定结果；（2）求出药品A 的每类剂型经过两次检测后合格的概率，发现它们相同，那么经过两次检测后1A ，2A ，3A 三类剂型合格的种类数为X ，X 服从二项分布235X B ⎛⎫⎪⎝⎭,，利用二项分布的期望公式求解即可. 【详解】解：（1）由题意可知2361021131518118x +++++++==，112 2.56 3.5 3.5 4.538y +++++++==，由公式0.983402121785r ==≈⨯，0.980.75r ≈>，∴y 与x 的关系可用线性回归模型拟合；（2）药品A 的每类剂型经过两次检测后合格的概率分别为1142255A P =⨯=，2412525A P =⨯=，3322535A P =⨯=，由题意，235XB ⎛⎫⎪⎝⎭, ， ()26355E X ∴=⨯=.【点睛】本题考查相关系数r 的求解，考查二项分布的期望，是中档题.20.给定椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>，称圆心在原点O ，半径为22a b +的圆是椭圆C 的“准圆”.若椭圆C 的一个焦点为(20)F ，，其短轴上的一个端点到F 的距离为3.（1）求椭圆C 的方程和其“准圆”方程；（2）点P 是椭圆C 的“准圆”上的动点，过点P 作椭圆的切线12,l l 交“准圆”于点,M N . ①当点P 为“准圆”与y 轴正半轴的交点时，求直线12,l l 的方程并证明12l l ⊥； ②求证：线段MN 的长为定值.【答案】（1）2213x y +=,224x y +=,（2）（ⅰ）22y x y x =+=-+，，（ⅱ）详见解析. 【解析】 【详解】（1）231c a b ==∴=，，，∴椭圆方程为2213x y +=，准圆方程为224x y +=．（2）（ⅰ）因为准圆224x y +=与y 轴正半轴的交点为(02)P ，， 设过点(02)P ，且与椭圆相切的直线为2y kx =+， 所以由222{13y kx x y ，，=++=得22(13)1290k x kx +++=.因为直线2y kx =+与椭圆相切，所以2214449(13)0k k ∆=-⨯+=，解得1k =±，所以12l l ，方程为22y x y x =+=-+，． 121l l k k ⋅=-，12l l ∴⊥．（ⅱ）①当直线12l l ，中有一条斜率不存在时，不妨设直线1l 斜率不存在， 则1l ：3x =±，当1l ：3x =时，与准圆交于点(31)(31)-，，，，此时2l 为1y =（或1y =-），显然直线12l l ，垂直； 同理可证当1l ：3x =-时，直线12l l ，垂直 ②当12l l ，斜率存在时，设点00(,)P x y ，其中22004x y +=. 设经过点00()P x y ，与椭圆相切的直线为00()y t x x y =-+， 所以由0022(){13y t x x y x y =-++=，，得2220000(13)6()3()30t x t y tx x y tx ++-+--=.由0∆=化简整理得，因为22004x y +=，所以有2220000(3)2(3)0x t x y t x -++-=.设12l l ，的斜率分别为12t t ，，因为12l l ，与椭圆相切， 所以12t t ，满足上述方程2220000(3)2(3)0x t x y t x -++-=，所以121t t ⋅=-，即12l l ，垂直． 综合①②知：因为12l l ，经过点00()P x y ，，又分别交其准圆于点M N ，，且12l l ，垂直. 所以线段MN 为准圆224x y +=的直径，4MN ＝， 所以线段MN 的长为定值．考点：1、椭圆及其方程；2、直线与圆锥曲线的位置关系. 21.已知函数()ln 1x x a f x x++=，在区间[]1,2有极值．（1）求a 的取值范围； （2）证明：()()sin 1a x f x x+>．【答案】（1）01a <<（2）见解析 【解析】 【分析】（1）()f x 在区间[]1,2有极值转化为()f x 在区间[]1,2上不是单调函数，利用导数，分类讨论，研究()f x 在[1,2]上的单调性即可； （2）将证明()()sin 1a x f x x+>转化为证明ln sin 1x x a x >-.先证ln 1x x ax >-，然后再证1sin 1ax a x ->-，进而可得()()sin 1xf x a x >+.【详解】解：（1）由()1ln a f x x x +=+得()()()221110x a a f x x x x x -++'=-=>，当11a +≤即0a ≤时，()0f x '≥，所以()f x 在[1,2]上单调递增，无极值； 当12a +≥即1a ≥时，()0f x '≤，所以()f x [1,2]上单调递减，无极值；当112a <+<即01a <<，由()0f x '>得1x a >+；由()0f x '<得1x a <+，所以()f x 在[)1,1a +上单调递减，在(]1,2a +上单调递增，符合题意，01a ∴<<；（2）要证()()sin 1xf x a x >+成立，只需证ln 1sin x x a a x a ++>+成立，即证ln sin 1x x a x >-， 先证：ln 1x x ax >-.设()ln 1g x x x ax =-+，则()1ln ln 1g x x a x a '=+-=+-，所以()f x 在()10,a e-上单调递减，在()1,a e -+∞上单调递增，所以()()()1111111a a a a g x g ea eae e ----≥=--+=-，因为01a <<，所以110a e -->，则()0g x >，即ln 1x x ax >-①，再证：1sin 1ax a x ->-.设()sin h x x x =-，则()1cos 0h x x '=-≥.所以()h x 在()0,∞+上单调递增，则()()00h x h >=，即sin x x >.因为01a <<，所以1sin 1ax a x ->-②， 由①②可ln sin 1x x a x >-，所以()()sin 1xf x a x >+.【点睛】本题考查函数极值的存在性问题，考查函数不等式的证明，关键是要将问题进行转化，考查计算能力，是一道难度较大的题目.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.已知曲线C 的极坐标方程是24cos 6sin 12ρρθρθ=+-，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为12212x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数）. （1）写出直线l 的一般方程与曲线C 的直角坐标方程，并判断它们的位置关系；（2）将曲线C 向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度，得到曲线D ，设曲线D 经过伸缩变换','2,x x y y =⎧⎨=⎩得到曲线E ，设曲线E 上任一点为(),M x y12y +的取值范围. 【答案】10y +-=；22(2)(3)1x y -+-=；直线l 和曲线C 相切. (2) [2,2]-. 【解析】【详解】（I ）直线l10y +-=， 曲线C 的直角坐标方程为22231x y .1=，所以直线l 和曲线C 相切. （II ）曲线D 为221x y +=.曲线D 经过伸缩变换',{'2,x x y y ==得到曲线E 的方程为2214y x +=， 则点M 的参数方程为,{2x cos y sin θθ==（θ为参数）， 所以133cos sin 2sin 23x y πθθθ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，所以132x y +的取值范围为[]22-,.23.已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.(1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1，2]，求a 的取值范围．【答案】(1) {x |x ≥4或x ≤1}；(2) [－3，0].【解析】试题分析：（1）解绝对值不等式首先分情况去掉绝对值不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（2）原命题等价于-2-x≤a≤2-x 在[1，2]上恒成立，由此求得求a 的取值范围试题解析：（1）当a ＝－3时，f （x ）＝25,2{1,2325,3x x x x x -+≤<<-≥当x≤2时，由f （x ）≥3得－2x ＋5≥3，解得x≤1；当2＜x ＜3时，f （x ）≥3无解；当x≥3时，由f （x ）≥3得2x －5≥3，解得x≥4.所以f （x ）≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}． 6分（2）f （x ）≤|x －4||x －4|－|x －2|≥|x ＋a|.当x ∈[1，2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a|（4－x ）－（2－x ）≥|x ＋a|－2－a≤x≤2－a ，由条件得－2－a≤1且2－a≥2，解得－3≤a≤0，故满足条件的实数a 的取值范围为[－3，0]．考点：绝对值不等式的解法；带绝对值的函数。