2014-2015年内蒙古巴彦淖尔一中高二上学期数学期中试卷及参考答案(国际班)

2014-2015学年内蒙古巴彦淖尔一中高三（上）期中数学试卷（理科）一.选择题（5分×12=60分）每小题给出的四个选项只有一项正确1．（5分）sin（﹣300°）的值是（）A．B．﹣ C．D．﹣2．（5分）函数f（x）=ln（x+1）的定义域为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，1）C．（﹣1，+∞）D．（1，+∞）3．（5分）在复平面上，复数z=i（1+3i）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．（5分）已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量同方向的单位向量为（）A．B．C．D．5．（5分）如图，阴影区域的边界是直线y=0，x=2，x=0及曲线y=3x2，则这个区域的面积是（）A．4 B．8 C．D．6．（5分）在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若=2，=+λ，则λ=（）A．B．C．D．7．（5分）“φ=π”是“曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C=2B，则为（）A．2sinC B．2cosB C．2sinB D．2cosC9．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度10．（5分）在△ABC中，AB=6，O为△ABC的外心，则等于（）A．B．18 C．12 D．611．（5分）已知点（a，b）在圆x2+y2=1上，则函数f（x）=acos2x+bsinxcosx﹣﹣1的最小正周期和最小值分别为（）A．B． C． D．12．（5分）设f（x）的定义域为D，若f（x）满足条件：存在[a，b]⊆D，使f （x）在[a，b]上的值域是，则称f（x）为“倍缩函数”．若函数f（x）=ln（e x+t）为“倍缩函数”，则t的范围是（）A．（，+∞）B．（0，1） C．（0，]D．（0，）二.填空题（5分×4=20分）13．（5分）已知扇形的面积为，半径为1，则扇形的圆心角为．14．（5分）已知tan（θ﹣π）=2，则sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ+3的值为．15．（5分）已知=（λ，2），=（﹣3，5），且与的夹角为锐角，则λ的取值范围是．16．（5分）若x1和x2是方程x2﹣mx﹣2=0的两个实根，不等式a2﹣5a﹣3≥|x1﹣x2|对任意实数m∈[﹣1，1]恒成立，则a的取值范围是．三.解答题（10分+12分+12分+12分+12分+12分=70分）17．（10分）已知函数f（x）=4cosxsin（x+）﹣1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调增区间；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．18．（12分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．19．（12分）已知||=1，||=4，且向量与不共线，（1）若与的夹角为60°，求（2﹣）•（+）；（2）若向量k+与k﹣互相垂直，求k的值．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：BE⊥DC；（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正切值．21．（12分）已知f（x）=．（Ⅰ）求函数y=f（x）的单调区间；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=x2﹣2x+k有实数解，求实数k的取值范围；（Ⅲ）当n∈N*，n≥2时，求证：nf（n）＜2+++…+．22．（12分）（选做题）已知f（x）=|x+1|+|x﹣1|，不等式f（x）＜4的解集为M．（1）求M；（2）当a，b∈M时，证明：2|a+b|＜|4+ab|．2014-2015学年内蒙古巴彦淖尔一中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（5分&#215;12=60分）每小题给出的四个选项只有一项正确1．（5分）sin（﹣300°）的值是（）A．B．﹣ C．D．﹣【解答】解：sin（﹣300°）=sin（360°﹣300°）=sin60°=故选：A．2．（5分）函数f（x）=ln（x+1）的定义域为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，1）C．（﹣1，+∞）D．（1，+∞）【解答】解：由x+1＞0，得x＞﹣1．∴函数f（x）=ln（x+1）的定义域为（﹣1，+∞）．故选：C．3．（5分）在复平面上，复数z=i（1+3i）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：化简可得z=i（1+3i）=i+3i2=﹣3+i，∴复数z对应的点为（﹣3，1），在第二象限．故选：B．4．（5分）已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量同方向的单位向量为（）A．B．C．D．【解答】解：∵已知点A（1，3），B（4，﹣1），∴=（4，﹣1）﹣（1，3）=（3，﹣4），||==5，则与向量同方向的单位向量为=，故选：A．5．（5分）如图，阴影区域的边界是直线y=0，x=2，x=0及曲线y=3x2，则这个区域的面积是（）A．4 B．8 C．D．【解答】解：这个区域的面积是，故选：B．6．（5分）在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若=2，=+λ，则λ=（）A．B．C．D．【解答】解：∵在△ABC中，已知D是边AB上的一点，，，而由题意可得===，故有λ=，故选：B．7．（5分）“φ=π”是“曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：φ=π时，曲线y=sin（2x+φ）=﹣sin2x，过坐标原点．但是，曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点，即O（0，0）在图象上，将（0，0）代入解析式整理即得sinφ=0，φ=kπ，k∈Z，不一定有φ=π．故“φ=π”是“曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点”的充分而不必要条件．故选：A．8．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C=2B，则为（）A．2sinC B．2cosB C．2sinB D．2cosC【解答】解：在△ABC中，∵C=2B，∴sinC=sin2B=2sinBcosB，即c=2bcosB，则=2cosB．故选：B．9．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【解答】解：根据函数的图象：A=1又解得：T=π则：ω=2当x=，f（）=sin（+φ）=0解得：所以：f（x）=sin（2x+）要得到g（x）=sin2x的图象只需将函数图象向右平移个单位即可．故选：A．10．（5分）在△ABC中，AB=6，O为△ABC的外心，则等于（）A．B．18 C．12 D．6【解答】解：∵AB=6，O为△ABC的外心，∴==××=×36=18；故选：B．11．（5分）已知点（a，b）在圆x2+y2=1上，则函数f（x）=acos2x+bsinxcosx﹣﹣1的最小正周期和最小值分别为（）A．B． C． D．【解答】解：∵点（a，b）在圆x2+y2=1上，∴a2+b2=1．====﹣1，（tanθ=）．∴函数的最小正周期为，当sin（2x+θ）=﹣1时，函数有最小值﹣．故选：B．12．（5分）设f（x）的定义域为D，若f（x）满足条件：存在[a，b]⊆D，使f （x）在[a，b]上的值域是，则称f（x）为“倍缩函数”．若函数f（x）=ln（e x+t）为“倍缩函数”，则t的范围是（）A．（，+∞）B．（0，1） C．（0，]D．（0，）【解答】解：∵函数f（x）=ln（e x+t）为“倍缩函数”，且满足存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是，∴f（x）在[a，b]上是增函数；∴，即；∴方程e x﹣+t=0可化为y2﹣y+t=0（其中y=），∴该方程有两个不等的实根，且两根都大于0；即，解得0＜t＜；∴满足条件的t的范围是（0，）；故选：D．二.填空题（5分&#215;4=20分）13．（5分）已知扇形的面积为，半径为1，则扇形的圆心角为．【解答】解：根据扇形的面积公式，得n==．故答案为：．14．（5分）已知tan（θ﹣π）=2，则sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ+3的值为．【解答】解：∵已知tan（θ﹣π）=2=tanθ，则sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ+3=+3=+3=+3=，故答案为．15．（5分）已知=（λ，2），=（﹣3，5），且与的夹角为锐角，则λ的取值范围是λ＜且λ≠﹣．【解答】解：∵=（λ，2），=（﹣3，5），且与的夹角为锐角，∴=﹣3λ+10＞0，解得λ＜，但当5λ=2×（﹣3），即λ=﹣时，两向量同向，应舍去，∴λ的取值范围为：λ＜且λ≠﹣，故答案为：λ＜且λ≠﹣．16．（5分）若x1和x2是方程x2﹣mx﹣2=0的两个实根，不等式a2﹣5a﹣3≥|x1﹣x2|对任意实数m∈[﹣1，1]恒成立，则a的取值范围是a≥6或a≤﹣1．【解答】解：∵x1和x2是方程x2﹣mx﹣2=0的两个实根，∴；∴|x1﹣x2|==；∴当m∈[﹣1，1]时，|x1﹣x2|max=3；故不等式a2﹣5a﹣3≥|x1﹣x2|对任意实数m∈[﹣1，1]恒成立可化为a2﹣5a﹣3≥3；解得a≥6或a≤﹣1．故答案为：a≥6或a≤﹣1．三.解答题（10分+12分+12分+12分+12分+12分=70分）17．（10分）已知函数f（x）=4cosxsin（x+）﹣1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调增区间；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．【解答】解：f（x）=4cosx（sinx+cosx）﹣1=2sinxcosx+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+），（Ⅰ）∵ω=2，∴T=π；令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，则f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；（Ⅱ）∵﹣≤x≤，∴﹣≤2x+≤，∴﹣1≤2sin（2x+）≤2，即﹣1≤f（x）≤2，则f（x）的最小值为﹣1，最大值为2．18．（12分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵cosA=，∴sinA==，∵B=A+．∴sinB=sin（A+）=cosA=，由正弦定理知=，∴b=•sinB=×=3．（Ⅱ）∵sinB=，B=A+＞∴cosB=﹣=﹣，sinC=sin（π﹣A﹣B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×（﹣）+×=，∴S=a•b•sinC=×3×3×=．19．（12分）已知||=1，||=4，且向量与不共线，（1）若与的夹角为60°，求（2﹣）•（+）；（2）若向量k+与k﹣互相垂直，求k的值．【解答】解：（1）∵||=1，||=4，与的夹角为60°∴===2×1+1×4×cos60°﹣42=﹣12．（2）由题意可得：，即，∵||=1，||=4，与的夹角为60°∴k2﹣16=0，∴k=±4．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：BE⊥DC；（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正切值．【解答】（Ⅰ）证明：如图，取PD中点M，连接EM，AM．由于E，M分别为PC，PD的中点，故EM∥DC，且EM=，又由已知，可得EM∥AB，且EM=AB，故四边形ABEM为平行四边形，所以BE∥AM．因为PA⊥底面ABCD，故PA⊥CD，而CD⊥DA，从而CD⊥平面PAD，因为AM⊂平面PAD，于是CD⊥AM，又BE∥AM，所以BE⊥CD．…（6分）（Ⅱ）解：连接BM，由（Ⅰ）有CD⊥平面PAD，得CD⊥PD，而EM∥CD，故PD⊥EM．又因为AD=AP，M为PD的中点，故PD⊥AM，可得PD⊥BE，所以PD⊥平面BEM，故平面BEM⊥平面PBD．所以直线BE在平面PBD内的射影为直线BM，而BE⊥EM，可得∠EBM为锐角，故∠EBM为直线BE与平面PBD所成的角．…（9分）依题意，有PD=2，而M为PD中点，可得AM=，进而BE=．故在直角三角形BEM中，tan∠EBM=，所以直线BE与平面PBD所成的角的正切值为．…（12分）21．（12分）已知f（x）=．（Ⅰ）求函数y=f（x）的单调区间；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=x2﹣2x+k有实数解，求实数k的取值范围；（Ⅲ）当n∈N*，n≥2时，求证：nf（n）＜2+++…+．【解答】解：（Ⅰ）∵f′（x）=﹣，∴当x∈（0，1）时，f′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，f′x）＜0；∴函数f（x）在区间（0，1）上为增函数；在区间（1，+∞）为减函数．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）的极大值为f（1）=1，令g（x）=x2﹣2x+k，所以当x=1时，函数g（x）取得最小值g（1）=k﹣1，又因为方程g（x）=x2﹣2x+k有实数解，那么k﹣1≤1，即k≤2，所以实数k的取值范围是：k≤2．（Ⅲ）∵函数f（x）在区间（1，+∞）为减函数，而1+＞1，（n∈N*，n≥2），∴f（1+）＜f（1）=1，∴1+ln（1+）＜1+，即ln （n +1）﹣lnn ＜，∴lnn=ln2﹣ln1+ln3﹣ln2+…+lnn ﹣ln （n ﹣1）＜1+++…+，即1+lnn ＜2+++…+，而n•f （n ）=1+lnn ， ∴nf （n ）＜2+++…+结论成立．22．（12分）（选做题）已知f （x ）=|x +1|+|x ﹣1|，不等式f （x ）＜4的解集为M ．（1）求M ；（2）当a ，b ∈M 时，证明：2|a +b |＜|4+ab |．【解答】（Ⅰ）解：f （x ）=|x +1|+|x ﹣1|=当x ＜﹣1时，由﹣2x ＜4，得﹣2＜x ＜﹣1； 当﹣1≤x ≤1时，f （x ）=2＜4； 当x ＞1时，由2x ＜4，得1＜x ＜2． 所以M=（﹣2，2）．…（5分）（Ⅱ）证明：当a ，b ∈M ，即﹣2＜a ，b ＜2，∵4（a +b ）2﹣（4+ab ）2=4（a 2+2ab +b 2）﹣（16+8ab +a 2b 2）=（a 2﹣4）（4﹣b 2）＜0，∴4（a +b ）2＜（4+ab ）2， ∴2|a +b |＜|4+ab |．…（10分）赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n 是偶数时，正数a 的正的n表示，负的n 次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a NaN =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质定义域 (0,)+∞值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<变化对图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x O(1,0)xO (1,0)。

说明: 1.本试卷分第I卷和第II卷两部分,共150分。

2.将第I卷选择题答案代号用2B铅笔填在答题卡上。

第I卷（选择题 共60分） 一、选择题（5分×12=60分）在每小题给出的四个选项只有一项正确. 1．阅读所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是 A．123 B.38 C．11 D．3 2．某城市修建经济适用房．已知甲、乙、丙三个社区分别有低收入家庭360户、270户、180户，若首批经济适用房中有90套住房用于解决住房紧张问题，采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从乙社区中抽取低收入家庭的户数为（ ） A．40B．36C．30D．20( ) A、 B、 C、 D、 4．某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号、29号、42号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号是 A．10 B.11 C.12 D.16 5．如图，某人向圆内投镖，如果他每次都投入圆内，那么他投中正方形区域的概率 A. B. C. D. 6．小明同学根据表记录的产量（吨）与能耗（吨标准煤）对应的四组数据，用最小二乘法求出了关于的线性回归方程，据此模型预报产量为7吨时能耗为（ ） A. B. C . D. 7个红球和个黑球的口袋内任取个球，互斥而不对立的两个事件是：（ ） A B．至少有一个红球与都是红球 C．至少有一个黑球与至少有个红球 D．恰有个黑球与恰有个黑球 8．甲、乙两位歌手在“中国好声音”选拔赛中，5位评委评分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别为、，则下列判断正确的是（ ）A. ，甲比乙成绩稳定B. ，乙比甲成绩稳定C. ，甲比乙成绩稳定D. ，乙比甲成绩稳定 9．为了了解某地区10000名高三男生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17～18岁的高三男生体重(kg)，得到频率分布直方图如图．根据图示，请你估计该地区高三男生中体重在[56.564.5]的学生人数是 A．40 B．400C．4000 D．4400 运行如的程序后，输出的结果为 ( ) i=1 WHILE i<7 i=i+1 s=2*i-1 i=i+2 WEND PRINT s ,i END A．137 B．74 C．97 D．95 11．下面表述恰当的是( ) A．回归直线必过样本中心点 B．回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线 C．从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么此人有99%的可能患有肺病 D．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上每隔30分钟抽取一件产品作检验，这种抽样为简单随机抽样 12．下课后教室里最后还剩下2位男同学和2位女同学，四位同学先后离开，则第二位走的是男同学的概率是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（5分×4=20分）. 13．把二进制数110 011化为十进制数为 ； 14． 15．甲、乙两人需安排值班周一至周四共四天，每人两天，具体安排抽签决定，则不出现同一人连续值班情况的概率是_____ 16．给出下列5种说法：①在频率分布直方图中，众数左边和右边的直方图的面积相等；②标准差越小，样本数据的波动也越小；③回归分析就是研究两个相关事件的独立性；④在回归分析中，预报变量是由解释变量和随机误差共同确定的；⑤相关指数是用来刻画回归效果的，的值越大，说明残差平方和越小，回归模型的拟合效果越好. 其中说法正确的是____________（请将正确说法的序号写在横线上）. 三、解答题（10分+12分+12分+12分+12分+12分=70分） 17．某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六组[90,100)，[100,110)，…， [140,150)后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题． （Ⅰ）求分数在[120,130)内的频率； （Ⅱ）若在同一组数据中，将该组区间的中点值(如：组区间[100,110)的中点值为＝105)作为这组数据的平均分，据此估计本次考试的平均分； 18．某工厂有甲、乙两个生产小组，每个小组各有四名工人，某天该厂每位工人的生产情况如下表． 员工号 1 2 3 4 甲组 件数 9 11 1l 9 员工号 1 2 3 4 乙组 件数 9 8 10 9(1)求乙组员工生产件数的平均数和方差； (2)分别从甲、乙两组中随机选取一名员工的生产件数，求这两名员工的生产总件数为19的概率． 19．一河南旅游团到安徽旅游．看到安徽有很多特色食品，其中水果类较有名气的有：怀远石榴、砀山梨、徽州青枣等19种，点心类较有名气的有：一品玉带糕、徽墨酥、八公山大救驾等38种，小吃类较有名气的有：符离集烧鸡、无为熏鸭、合肥龙虾等57种．该旅游团的游客决定按分层抽样的方法从这些特产中买6种带给亲朋品尝． （Ⅰ）求应从水果类、点心类、小吃类中分别买回的种数； （Ⅱ）若某游客从买回的6种特产中随机抽取2种送给自己的父母， ①列出所有可能的抽取结果； ②求抽取的2种特产均为小吃的概率． 20．为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所科研单位A、B、C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表（单位：人）： 科研单位相关人数抽取人数A16B123C8 （1）确定与的值；（2）若从科研单位A、C抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自科研单位A的概率. 21．某校学习小组开展“学生语文成绩与外语成绩的关系”的课题研究，对该校高二年级800名学生上学期期末语文和外语成绩，按优秀和不优秀分类得结果：语文和外语都优秀的有60人，语文成绩优秀但外语不优秀的有140人，外语成绩优秀但语文不优秀的有100人. （Ⅰ）能否在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生的语文成绩与外语成绩有关系？ （） 0．0100．0050．0016．6357．87910．828附： 22．有两个不透明的箱子，每个箱子都装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字1、2、3、4． （Ⅰ）甲从其中一个箱子中摸出一个球，乙从另一个箱子摸出一个球，谁摸出的球上标的数字大谁就获胜（若数字相同则为平局），求甲获胜的概率； （Ⅱ）摸球方法与（Ⅰ）同，若规定：两人摸到的球上所标数字相同甲获胜，所标数字不相同则乙获胜，这样规定公平吗？请说明理由。

2014-2015学年内蒙古巴彦淖尔一中高三（上）期中数学试卷（理科）一.选择题（5分×12=60分）每小题给出的四个选项只有一项正确1．（5分）sin（﹣300°）的值是（）A．B．﹣ C．D．﹣2．（5分）函数f（x）=ln（x+1）的定义域为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，1）C．（﹣1，+∞）D．（1，+∞）3．（5分）在复平面上，复数z=i（1+3i）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．（5分）已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量同方向的单位向量为（）A．B．C．D．5．（5分）如图，阴影区域的边界是直线y=0，x=2，x=0及曲线y=3x2，则这个区域的面积是（）A．4 B．8 C．D．6．（5分）在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若=2，=+λ，则λ=（）A．B．C．D．7．（5分）“φ=π”是“曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C=2B，则为（）A．2sinC B．2cosB C．2sinB D．2cosC9．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度10．（5分）在△ABC中，AB=6，O为△ABC的外心，则等于（）A．B．18 C．12 D．611．（5分）已知点（a，b）在圆x2+y2=1上，则函数f（x）=acos2x+bsinxcosx﹣﹣1的最小正周期和最小值分别为（）A．B． C． D．12．（5分）设f（x）的定义域为D，若f（x）满足条件：存在[a，b]⊆D，使f （x）在[a，b]上的值域是，则称f（x）为“倍缩函数”．若函数f（x）=ln（e x+t）为“倍缩函数”，则t的范围是（）A．（，+∞）B．（0，1） C．（0，]D．（0，）二.填空题（5分×4=20分）13．（5分）已知扇形的面积为，半径为1，则扇形的圆心角为．14．（5分）已知tan（θ﹣π）=2，则sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ+3的值为．15．（5分）已知=（λ，2），=（﹣3，5），且与的夹角为锐角，则λ的取值范围是．16．（5分）若x1和x2是方程x2﹣mx﹣2=0的两个实根，不等式a2﹣5a﹣3≥|x1﹣x2|对任意实数m∈[﹣1，1]恒成立，则a的取值范围是．三.解答题（10分+12分+12分+12分+12分+12分=70分）17．（10分）已知函数f（x）=4cosxsin（x+）﹣1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调增区间；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．18．（12分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．19．（12分）已知||=1，||=4，且向量与不共线，（1）若与的夹角为60°，求（2﹣）•（+）；（2）若向量k+与k﹣互相垂直，求k的值．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：BE⊥DC；（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正切值．21．（12分）已知f（x）=．（Ⅰ）求函数y=f（x）的单调区间；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=x2﹣2x+k有实数解，求实数k的取值范围；（Ⅲ）当n∈N*，n≥2时，求证：nf（n）＜2+++…+．22．（12分）（选做题）已知f（x）=|x+1|+|x﹣1|，不等式f（x）＜4的解集为M．（1）求M；（2）当a，b∈M时，证明：2|a+b|＜|4+ab|．2014-2015学年内蒙古巴彦淖尔一中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（5分&#215;12=60分）每小题给出的四个选项只有一项正确1．（5分）sin（﹣300°）的值是（）A．B．﹣ C．D．﹣【解答】解：sin（﹣300°）=sin（360°﹣300°）=sin60°=故选：A．2．（5分）函数f（x）=ln（x+1）的定义域为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，1）C．（﹣1，+∞）D．（1，+∞）【解答】解：由x+1＞0，得x＞﹣1．∴函数f（x）=ln（x+1）的定义域为（﹣1，+∞）．故选：C．3．（5分）在复平面上，复数z=i（1+3i）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：化简可得z=i（1+3i）=i+3i2=﹣3+i，∴复数z对应的点为（﹣3，1），在第二象限．故选：B．4．（5分）已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量同方向的单位向量为（）A．B．C．D．【解答】解：∵已知点A（1，3），B（4，﹣1），∴=（4，﹣1）﹣（1，3）=（3，﹣4），||==5，则与向量同方向的单位向量为=，故选：A．5．（5分）如图，阴影区域的边界是直线y=0，x=2，x=0及曲线y=3x2，则这个区域的面积是（）A．4 B．8 C．D．【解答】解：这个区域的面积是，故选：B．6．（5分）在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若=2，=+λ，则λ=（）A．B．C．D．【解答】解：∵在△ABC中，已知D是边AB上的一点，，，而由题意可得===，故有λ=，故选：B．7．（5分）“φ=π”是“曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：φ=π时，曲线y=sin（2x+φ）=﹣sin2x，过坐标原点．但是，曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点，即O（0，0）在图象上，将（0，0）代入解析式整理即得sinφ=0，φ=kπ，k∈Z，不一定有φ=π．故“φ=π”是“曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点”的充分而不必要条件．故选：A．8．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C=2B，则为（）A．2sinC B．2cosB C．2sinB D．2cosC【解答】解：在△ABC中，∵C=2B，∴sinC=sin2B=2sinBcosB，即c=2bcosB，则=2cosB．故选：B．9．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【解答】解：根据函数的图象：A=1又解得：T=π则：ω=2当x=，f（）=sin（+φ）=0解得：所以：f（x）=sin（2x+）要得到g（x）=sin2x的图象只需将函数图象向右平移个单位即可．故选：A．10．（5分）在△ABC中，AB=6，O为△ABC的外心，则等于（）A．B．18 C．12 D．6【解答】解：∵AB=6，O为△ABC的外心，∴==××=×36=18；故选：B．11．（5分）已知点（a，b）在圆x2+y2=1上，则函数f（x）=acos2x+bsinxcosx﹣﹣1的最小正周期和最小值分别为（）A．B． C． D．【解答】解：∵点（a，b）在圆x2+y2=1上，∴a2+b2=1．====﹣1，（tanθ=）．∴函数的最小正周期为，当sin（2x+θ）=﹣1时，函数有最小值﹣．故选：B．12．（5分）设f（x）的定义域为D，若f（x）满足条件：存在[a，b]⊆D，使f （x）在[a，b]上的值域是，则称f（x）为“倍缩函数”．若函数f（x）=ln（e x+t）为“倍缩函数”，则t的范围是（）A．（，+∞）B．（0，1） C．（0，]D．（0，）【解答】解：∵函数f（x）=ln（e x+t）为“倍缩函数”，且满足存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是，∴f（x）在[a，b]上是增函数；∴，即；∴方程e x﹣+t=0可化为y2﹣y+t=0（其中y=），∴该方程有两个不等的实根，且两根都大于0；即，解得0＜t＜；∴满足条件的t的范围是（0，）；故选：D．二.填空题（5分&#215;4=20分）13．（5分）已知扇形的面积为，半径为1，则扇形的圆心角为．【解答】解：根据扇形的面积公式，得n==．故答案为：．14．（5分）已知tan（θ﹣π）=2，则sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ+3的值为．【解答】解：∵已知tan（θ﹣π）=2=tanθ，则sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ+3=+3=+3=+3=，故答案为．15．（5分）已知=（λ，2），=（﹣3，5），且与的夹角为锐角，则λ的取值范围是λ＜且λ≠﹣．【解答】解：∵=（λ，2），=（﹣3，5），且与的夹角为锐角，∴=﹣3λ+10＞0，解得λ＜，但当5λ=2×（﹣3），即λ=﹣时，两向量同向，应舍去，∴λ的取值范围为：λ＜且λ≠﹣，故答案为：λ＜且λ≠﹣．16．（5分）若x1和x2是方程x2﹣mx﹣2=0的两个实根，不等式a2﹣5a﹣3≥|x1﹣x2|对任意实数m∈[﹣1，1]恒成立，则a的取值范围是a≥6或a≤﹣1．【解答】解：∵x1和x2是方程x2﹣mx﹣2=0的两个实根，∴；∴|x1﹣x2|==；∴当m∈[﹣1，1]时，|x1﹣x2|max=3；故不等式a2﹣5a﹣3≥|x1﹣x2|对任意实数m∈[﹣1，1]恒成立可化为a2﹣5a﹣3≥3；解得a≥6或a≤﹣1．故答案为：a≥6或a≤﹣1．三.解答题（10分+12分+12分+12分+12分+12分=70分）17．（10分）已知函数f（x）=4cosxsin（x+）﹣1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调增区间；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．【解答】解：f（x）=4cosx（sinx+cosx）﹣1=2sinxcosx+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+），（Ⅰ）∵ω=2，∴T=π；令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，则f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；（Ⅱ）∵﹣≤x≤，∴﹣≤2x+≤，∴﹣1≤2sin（2x+）≤2，即﹣1≤f（x）≤2，则f（x）的最小值为﹣1，最大值为2．18．（12分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵cosA=，∴sinA==，∵B=A+．∴sinB=sin（A+）=cosA=，由正弦定理知=，∴b=•sinB=×=3．（Ⅱ）∵sinB=，B=A+＞∴cosB=﹣=﹣，sinC=sin（π﹣A﹣B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×（﹣）+×=，∴S=a•b•sinC=×3×3×=．19．（12分）已知||=1，||=4，且向量与不共线，（1）若与的夹角为60°，求（2﹣）•（+）；（2）若向量k+与k﹣互相垂直，求k的值．【解答】解：（1）∵||=1，||=4，与的夹角为60°∴===2×1+1×4×cos60°﹣42=﹣12．（2）由题意可得：，即，∵||=1，||=4，与的夹角为60°∴k2﹣16=0，∴k=±4．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：BE⊥DC；（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正切值．【解答】（Ⅰ）证明：如图，取PD中点M，连接EM，AM．由于E，M分别为PC，PD的中点，故EM∥DC，且EM=，又由已知，可得EM∥AB，且EM=AB，故四边形ABEM为平行四边形，所以BE∥AM．因为PA⊥底面ABCD，故PA⊥CD，而CD⊥DA，从而CD⊥平面PAD，因为AM⊂平面PAD，于是CD⊥AM，又BE∥AM，所以BE⊥CD．…（6分）（Ⅱ）解：连接BM，由（Ⅰ）有CD⊥平面PAD，得CD⊥PD，而EM∥CD，故PD⊥EM．又因为AD=AP，M为PD的中点，故PD⊥AM，可得PD⊥BE，所以PD⊥平面BEM，故平面BEM⊥平面PBD．所以直线BE在平面PBD内的射影为直线BM，而BE⊥EM，可得∠EBM为锐角，故∠EBM为直线BE与平面PBD所成的角．…（9分）依题意，有PD=2，而M为PD中点，可得AM=，进而BE=．故在直角三角形BEM中，tan∠EBM=，所以直线BE与平面PBD所成的角的正切值为．…（12分）21．（12分）已知f（x）=．（Ⅰ）求函数y=f（x）的单调区间；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=x2﹣2x+k有实数解，求实数k的取值范围；（Ⅲ）当n∈N*，n≥2时，求证：nf（n）＜2+++…+．【解答】解：（Ⅰ）∵f′（x）=﹣，∴当x∈（0，1）时，f′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，f′x）＜0；∴函数f（x）在区间（0，1）上为增函数；在区间（1，+∞）为减函数．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）的极大值为f（1）=1，令g（x）=x2﹣2x+k，所以当x=1时，函数g（x）取得最小值g（1）=k﹣1，又因为方程g（x）=x2﹣2x+k有实数解，那么k﹣1≤1，即k≤2，所以实数k的取值范围是：k≤2．（Ⅲ）∵函数f（x）在区间（1，+∞）为减函数，而1+＞1，（n∈N*，n≥2），∴f（1+）＜f（1）=1，∴1+ln（1+）＜1+，即ln（n+1）﹣lnn＜，∴lnn=ln2﹣ln1+ln3﹣ln2+…+lnn﹣ln（n﹣1）＜1+++…+，即1+lnn＜2+++…+，而n•f（n）=1+lnn，∴nf（n）＜2+++…+结论成立．22．（12分）（选做题）已知f（x）=|x+1|+|x﹣1|，不等式f（x）＜4的解集为M．（1）求M；（2）当a，b∈M时，证明：2|a+b|＜|4+ab|．【解答】（Ⅰ）解：f（x）=|x+1|+|x﹣1|=当x＜﹣1时，由﹣2x＜4，得﹣2＜x＜﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（x）=2＜4；当x＞1时，由2x＜4，得1＜x＜2．所以M=（﹣2，2）．…（5分）（Ⅱ）证明：当a，b∈M，即﹣2＜a，b＜2，∵4（a+b）2﹣（4+ab）2=4（a2+2ab+b2）﹣（16+8ab+a2b2）=（a2﹣4）（4﹣b2）＜0，∴4（a+b）2＜（4+ab）2，∴2|a+b|＜|4+ab|．…（10分）。

内蒙古巴彦淖尔市2017-2018学年高二数学上学期期中试题（B 卷）一．选择题（5分×12=60分）在每小题给出的四个选项只有一项正确.1．已知a b R ∈、且a b >，则下列不等关系正确的是（ ）A. 22a b >B. a b <C. 1a b >D. 33a b >2．集合A={x|x 2+2x ＞0}，B={x|x 2+2x ﹣3＜0}，则A ∩B=（ ）A. （﹣3，1）B. （﹣3，﹣2）C. RD. （﹣3，﹣2）∪（0，1）3．设0a >，则19a a +的最小值为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 74．在不等式210x y +->表示的平面区域内的点是（ ）A. ()1,1-B. ()0,1C. ()1,0D. ()2,0-5若不等式210ax bx >＋＋的解集为1|1 3x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则a b +的值为 () A. 5 B. 5- C. 6 D. 6-6 k 进制数3651(k)，则k 可能是( )A. 2B. 4C. 6D. 87．不等式435x -≤的解集是（ ） A. . 1{|3}3x x -<< B. 1{|3}3x x -≤≤ C. 1{|3}3x x ≤≤- D. 1{|3}3x x x ≤-≥或8 函数()212(0)f x x x x =+>的最小值为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 69．若x,y 满足，则z=2x+y 的最小值是（ ） A. B. 8 C. D. 510．函数46y x x =-+-的最小值为（ ）A. 2 C. 4 D. 611下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，18，则输出的a 等于 ( )A. 0B. 2C. 4D. 1412．已知,1,=>ab b a 则ba b a -+22的最小值是（ ）． A 22 B 2 C 2 D 1二．填空题（5分×4=20分）13．已知点()3,1和点()4,6-在直线320x y m -+=的两侧，则m 的取值范围是 .14．如图所示，程序框图的输出结果是__________15．一段长为L m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，则菜园的最大面积是 。