郑州市第一中学2019-2020学年高一下期检测数学试题(含答案)

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2020年河南省郑州市第一中学高一下学期期中数学试题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题)
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
一、单选题
1．小明中午放学回家自己煮面条吃，有下面几道工序：①洗锅、盛水需要2分钟；②洗菜需要6分钟；③准备面条及佐料需要2分钟；④用锅把水烧开需要10分钟；⑤煮面条和菜共需要3分钟，以上各道工序，除了④之外，一次只能进行一道工序小明要将面条煮好，最少要用（）
其中是随机事件的为（ ）
A．①②B．③④C．①④D．②③
4．某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人.为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中间抽取一个容量为42的样本，则老年人、中年人、青年人分别应抽取的人数是（）
A．7，11，18B．6，12，18C．6，13，17D．7，14，21
5．下列四个数中，数值最小的是（ ）
A． B． C． D．
6．一个频数分布表（样本容量为30）不小心被损坏了一部分，若样本中数据在 上的频率为0.8，则估计样本在 ， 内的数据个数共为（）
A．15B．16C．17D．19
7．为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图.考虑以下结论：
8．古代“五行”学说认为：物质分“金、木、水、火、土”五种属性，“金克木，木克士，土克水，水克火，火克金”．从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽到的两种物质不相克的概率为（ ）

所以 2 件口罩中至少有一件不合格品的概率为 .
5
故 2 件口罩全是合格品的概率为
.
55
19.解：（1）由tan
，得cos
cos sin cos 쳌sin
tan 쳌tan
쳌
（2）由α，β为锐角，得α+β∈（0，π），2α∈（0，π），
············12 分 ͹·············4 分
又 cos（α+β）
，∴sin（α+β）
6
,
tan( )
2. ·············4 分
3
由tan
，得tan
tan tan
．
·············10 分
1
则tan (β α) tan (α 쳌 β
α)
tan α쳌β tan α 쳌tan α쳌β tan α
5 ͹ ·············12 分
郑州市 2019—2020 学年下期期末考试评分参考
高中一年级数学
一、选择题
1.D；2.A；3.A；4.A；5.C；6.D；7.A；8.D；9.A；10.D；11.B；12.D.
二、填空题
13. 2
3
；14.
5 6
；15．
31 25
16.-10.
三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
答：每台红外线治疗仪的价格为 165 元时，红外线治疗仪的月销量为 40 台.···········8 分
2
②药店每月获取得纯利 ( ) ( ͹൅䁙 쳌 ൅൅͹䁙)(
) ͹൅䁙 쳌 ͹൅
൅.
所以当
͹൅ ͹൅䁙

河南省郑州市2019-2020学年高一下期末达标测试数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知向量a ,b 满足1a b ==,a 和b 的夹角为4π,则a b ⋅=( ) A ．12BCD ．1【答案】B 【解析】 【分析】由平面向量的数量积公式，即可得到本题答案. 【详解】由题意可得o 112c s 4cos4a b a b ππ⋅==⨯⨯⋅=. 故选：B. 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积公式，属基础题.2．若变量x ，y 满足约束条件82400x y y x x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，且5z y x =-的最大值为a ，最小值为b ，则-a b 的值是A ．48B ．30C ．24D ．16【答案】C 【解析】 由()()8842165161624428x y x y x y y x z y x a y x y x +≤+≤⎧⎧⇒⇒++-≤⇒-≤⇒=⎨⎨-≤-≤⎩⎩＝， 由8802408400,02x y x y x x xx y +≤⎧-≥⎧⎪⎪-≤⇒⇒≤≤⎨⎨+≥⎪⎪≥≥⎩⎩，当8x =最大时，0y = 最小，此时58z y x =-=- 最小，8,16824b a b ∴=-∴-=+=，故选C.【点睛】本题除了做约束条件的可行域再平移0l 求得正解这种常规解法之外，也可以采用构造法解题，这就要求考生要有较强的观察能力，或者采用设元求出构造所学的系数. 3．若23x =，则x =（ ）A ．2log 2B ．lg 2lg3-C ．lg 2lg 3D ．lg3lg2【答案】D 【解析】 【分析】将指数形式化为对数形式可得2log 3x =，再利用换底公式即可. 【详解】 解：因为23x =， 所以2lg 3log 3lg 2x ==， 故选：D. 【点睛】本题考查了指数与对数的互化，重点考查了换底公式，属基础题.4．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是（ ） A ．14B ．12C ．18D ．16【答案】B 【解析】 【分析】利用古典概型概率公式求解即可. 【详解】设三件正品分别记为1,2,3，一件次品记为a则从三件正品、一件次品中随机取出两件，取出的产品可能为{}{}{}{}{}{}1,2,1,3,1,,2,3,2,,3,a a a ，共6种情况，其中取出的产品全是正品的有3种 所以产品全是正品的概率31=62P = 故选：B 【点睛】本题主要考查了利用古典概型概率公式计算概率，属于基础题.5．下列函数中，既是偶函数又在区间()0,∞+上单调递减的函数是（ ） A ．1y x=B ．21y x =+C ．21y x =-+D ．lg y x =【答案】C 【解析】【分析】依次分析选项的奇偶性和在区间()0,∞+上的单调性即可得到答案. 【详解】 因为1y x=是奇函数，故A 选项错误， 因为lg y x =是非奇非偶函数，故D 选项错误， 因为21y x =+是偶函数，由函数图像知， 在区间()0,∞+上单调递增，故B 选项错误， 因为21y x =-+是偶函数，由函数图像知， 在区间()0,∞+上单调递减，故C 选项正确. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的判断，二次函数单调性的判断，属于基础题.6．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且侧棱垂直于底面）高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ） A ．16π B ．20πC ．24πD ．32π【答案】C 【解析】 【分析】根据正四棱柱的底面是正方形,高为4,体积为16,求得底面正方形的边长,再求出其对角线长,然后根据正四棱柱的体对角线是外接球的直径可得球的半径,再根据球的表面积公式可求得. 【详解】依题意正四棱柱的体对角线1BD 是其外接球的直径, 1BD 的中点O 是球心, 如图:依题意设AB BC ==x ,则正四棱柱的体积为:24x 16=,解得2x =, 所以外接球的直径2222444162426R x x ++=++=所以外接球的半径6R =,则这个球的表面积是2424R ππ=.故选C. 【点睛】本题考查了球与正四棱柱的组合体,球的表面积公式,正四棱柱的体积公式,属中档题.7．某社区义工队有24名成员，他们年龄的茎叶图如下表所示，先将他们按年龄从小到大编号为1至24号，再用系统抽样方法抽出6人组成一个工作小组，则这个小组年龄不超过55岁的人数为（ ） 3 9 4 0 1 1 2 5 5 1 3 6 6 7 7 8 8 8 9 6 00 123 34 5A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】求出样本间隔，结合茎叶图求出年龄不超过55岁的有8人，然后进行计算即可． 【详解】解：样本间隔为2464÷=，年龄不超过55岁的有8人， 则这个小组中年龄不超过55岁的人数为2人．故选：B ． 【点睛】本题主要考查茎叶图以及系统抽样的应用，求出样本间隔是解决本题的关键，属于基础题． 8．在一段时间内，某种商品的价格x （元）和销售量y （件）之间的一组数据如下表：若y 与x 呈线性相关关系，且解得回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率0.9b ∧=，则a ∧的值为（ ） A ．0.2 B ．-0.7C ．-0.2D ．0.7【答案】C 【解析】 【分析】由题意利用线性回归方程的性质计算可得a 的值. 【详解】 由于468101285x ++++==，35891075y ++++==，由于线性回归方程过样本中心点(),x y ，故：70.98a =⨯+， 据此可得：0.2a =-. 故选C. 【点睛】本题主要考查线性回归方程的性质及其应用，属于中等题.9．从A ，B ，C 三个同学中选2名代表，则A 被选中的概率为（ ） A ．13B ．14C ．12D ．23【答案】D 【解析】 【分析】先求出基本事件总数，A 被选中包含的基本事件个数2，由此能求出A 被选中的概率． 【详解】从A ，B ，C 三个同学中选2名代表， 基本事件总数为：,,AB AC BC ，共3个，A 被选中包含的基本事件为：,AB AC ，共2个，A ∴被选中的概率23p =． 故选：D ． 【点睛】本题考查概率的求法，考查列举法和运算求解能力，是基础题． 10．已知圆心为C （6，5），且过点B （3，6）的圆的方程为（ ） A ．22(6)(5)10x y -+-= B ．22(6)(5)10x y +++= C ．22(5)(6)10x y -+-= D ．22(5)(6)10x y +++=【答案】A 【解析】 【分析】在知道圆心的情况下可设圆的标准方程为222(6)(5)x y r -+-=,然后根据圆过点B （3，6），代入方程可求出r 的值，得到圆的方程. 【详解】因为||BC ==,又因为圆心为C （6，5）,所以所求圆的方程为222(6)(5)x y r -+-=,因为此圆过点B （3，6），所以222(36)(65)r -+-=,所以210r =，因而所求圆的方程为22(6)(5)10x y -+-=.考点：圆的标准方程.11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若323n n S a n =-，则2019a =（） A ．201921-- B ．201936--C ．20191728⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．201911033⎛⎫--⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】再递推一步，两个等式相减，得到一个等式，进行合理变形，可以得到一个等比数列，求出通项公式，最后求出数列{}n a 的通项公式，最后求出2019a ，选出答案即可. 【详解】因为323n n S a n =-，所以当2,n n N *≥∈时，11323(1)n n S a n --=--，两式相减化简得：1131212()n n n n a a a a --=--⇒++=-，而13a =-，所以数列{}1n a +是以112a +=-为首项，2-为公比的等比数列，因此有1(2)(2)(21)1n n n n a a -+==-⋅-⇒--，所以201292001919(2)121a --=--=，故本题选A.【点睛】本题考查了已知数列递推公式求数列通项公式的问题，考查了等比数列的判断以及通项公式，正确的递推和等式的合理变形是解题的关键.12．计算sin15sin30sin75的值等于（ ）A ．4B ．8C ．18D ．14【答案】C 【解析】 【分析】由三角正弦的倍角公式计算即可． 【详解】 原式111sin15cos15sin30248===．故选C 【点睛】本题属于基础题，考查三角特殊值的正弦公式的计算． 二、填空题：本题共4小题13．已知等比数列｛a n ｝为递增数列，且251021,2()5n n n a a a a a ++=+=，则数列｛a n ｝的通项公式a n =______________． 【答案】2n 【解析】设数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则28911a q a q =，所以1a q =，由212()5n n n a a a +++=得22520q q -+=解得122q q ==或，因为数列{}n a 为递增数列，所以2q ，12a =，所以2n n a =考点定位：本题考查等比数列，意在考查考生对等比数列的通项公式的应用能力 14．若1()(1)k f x k x +=-()k ∈R 为幂函数，则满足sin()sin k θθ=02πθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭的θ的 值为________. 【答案】3π 【解析】 【分析】根据幂函数定义知2k =，又sin 2sin θθ=，由二倍角公式即可求解. 【详解】因为1()(1)k f x k x+=-()k ∈R 为幂函数，所以1=1k -，即2k =, 因为sin()sin k θθ=,所以sin 2sin θθ=，即2sin cos sin θθθ=， 因为02πθ<<，所以1cos 2θ=，=3πθ.故填3π. 【点睛】本题主要考查了幂函数的定义，正弦的二倍角公式，属于中档题.15．数列{}n a 的前n 项和21n S n n =++,则{}n a 的通项公式n a = _____.【答案】()()3122n nn ⎧=⎪⎨≥⎪⎩【解析】 【分析】根据n a 和n S 之间的关系,应用公式()()1112n n n S n a S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩得出结果 【详解】当1n =时,113a S ==；当2n ≥时,()()()22111112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=⎣⎦； ∴()()3122n n a n n ⎧=⎪=⎨≥⎪⎩故答案为()()3122n nn ⎧=⎪⎨≥⎪⎩【点睛】本题考查了n a 和n S 之间的关系式,注意当1n =和2n ≥时要分开讨论,题中的数列非等差数列.本题属于基础题16．设数列{}n a 的前n 项和为()*n S n ∈N，关于数列{}na ，有下列三个命题：（1）若{}n a 既是等差数列又是等比数列，则()*1n n a a n +=∈N ；（2）若2(,R)n S an bn a b =+∈，则{}n a 是等差数列： （3）若1(1)nn S =--，则{}n a 是等比数列这些命题中，真命题的序号是__________________________. 【答案】（1）、（2）、（3） 【解析】 【分析】利用等差数列和等比数列的定义，以及等差数列和等比数列的前n 项和形式，逐一判断即可. 【详解】既是等差数列又是等比数列的数列是非零常数列，故（1）正确. 等差数列的前n 项和是二次函数形式，且不含常数，故（2）正确. 等比数列的前n 项和是常数加上常数乘以nq 的形式，故（3）正确.故答案为：（1），（2），（3） 【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列的定义，同时考查了等差数列和等比数列的前n 项和，属于简单题. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2019-2020 学年河南省郑州市高一第二学期期末数学试卷、选择题（共 12 小题）1．已知平行四边形 ABCD 中，向量 ＝（ 3，7）， ＝（﹣ 2，3），则向量的坐标为3．某学校从编号依次为 01，02．⋯ 72的 72 个学生中用系统抽样（等间距抽样）的方法抽学生的编号为（s 2 为（）大排成的两位数记为 I （ a ），按从大到小排成的两位数记为 D a ）＝57，D （a ）＝ 75），执行如图所示的程序框图，若输入的6． 7． A ．已知 cos θ＝ A ．﹣7 B ．3C ．D ．4，且 θ∈（﹣B ．7，0），则 tan （ +θ）＝（C ．设 a 是一个各位数字都不是 0 且没有重复数字的两位数．将组成 D ．a 的 2 个数字按从小到 A ．15B ．﹣ 272．sin (﹣）的值是（ ）A ．﹣B ．C ．（ 5，4）C ．取一个样本，已知样本中相邻的两个组的编号分别为12，21， 则该样本中来自第四组的4． 5．A ．30B ．31列函数中是偶函数且最小正周期为22A ． y ＝ cos 4x ﹣ sin C ． y ＝ sin2x+cos2xC ． 的是（B ．D ． 32y ＝ sin4 x y ＝ cos2x已知某 7 个数据的平均数为 5，方差为 4，现又加入一个新数据 D ．335，此时这 8 个数的方差 a ）（例如 a ＝ 75，则 Ia ＝97，则输出的b ＝）A．45B．40C．35 D．308．如图是一个射击靶的示意图，其中每个圆环的宽度与中心圆的半径相等．某人朝靶上任意射击一次没有脱靶，则其命中深色部分的概率为（B．C．D．9 ．在△ ABC 中，，且∠ BAC＝120°，若，则A．2 ＝（）B．1 C．D．10．若点在函数＝sin（2x+ ）的图象上，为了得到函数A．向左平行移动B．向右平行移动C．向右平行移动x∈R）的图象，只需把曲线f（x）上所有的点（个单位长度个单位长度个单位长度D ．向左平行移动 个单位长度则实数 a 的取值范围为（二、填空题（每小题 5 分，共 20分）16．在 Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝3．以 C 为圆心， 2为半径作圆，线段 PQ 为该圆的一条直径，则 的最小值为 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知向量 ＝（3，2）， ＝（﹣ 1，2）， ＝（ 4， 1）． （ 1）求 3 + ﹣2 ；2）若（ +k ）∥（ 2 ﹣ ），求实数 k ． 18．疫情期间口罩需求量大增， 某医疗器械公司开始生产质量按指标测试分数进行划分， 其中分数不小于 70 机抽取 100 件口罩进行检测，其结果如表：11．已知 ＝（ 2sin13°，2sin77°），| ﹣ |＝1， 与 ﹣ 的夹角为，则 ? ＝（ ）A ．2B ．3C ．4D ．512．若 关于 x 的方程有两个不同解，A ．B ．C ．D ．13．已知向量 ＝（ 1， ）， ＝（ 2， 0），则 | ﹣2 | ＝ 14．已知函数 f （x ）＝ sin （ ωx +φ）（ ω>0，0< φ< π）的部分图象如图所示，则 ? 的值 ﹣ x )﹣ sin ( π﹣ x )的值KN 95 口罩，并且对所生产口罩的的为合格品， 否则为不合格品， 现随测试分数[50，60)[60， 70)[70， 80)[80，90)[90， 100]数量16422414，则 sin 2（Ⅰ）根据表中数据，估计该公司生产口罩的不合格率； Ⅱ）根据表中数据，估计该公司口罩的平均测试分数；Ⅲ）若用分层抽样的方式按是否合格从所生产口罩中抽取 5 件，再从这 5 件口罩中随 机抽取 2件，求这 2 件口罩全是合格品的概率．19．已知 α， β为锐角，1）求 cos2α的值；﹣4）．（Ⅰ）求函数 f （ x ）的单调递增区间； （Ⅱ）求函数 f （ x ）的最大值和最小值．21．如图，四边形 OQRP 为矩形，其中 P ，Q 分别是函数 f （ x ）＝ sin ωx （A >0，ω> 0） 图象上的一个最高点和最低点， O 为坐标原点， R 为图象与 x 轴的交点．求 f （ x ）的解22．红外线治疗仪的治疗作用是在红外线照射下，组织温度升高，毛细血管扩张，血流加快，物质代谢增强，组织细胞活力及再生能力提高，对我们身体某些疾病的治疗有着很大的贡献，某药店兼营某种红外线治疗仪，经过近5 个月的营销，对销售状况进行相关数据分析，发现月销售量与销售价格有关，其统计数据如表：每台红外线治疗仪的销售价格： x/元140 150 160 170 180 红外线治疗仪的月销售量： y/台6455453526（I ）根据表中数据求 y 关于 x 的线性回归方程；（Ⅱ） ① 每台红外线治疗仪的价格为 165 元时，预测红外线治疗仪的月销售量；（四舍 五入为整数）2）求 tan （β﹣ α）的值． 20．已知函数 f （ x ）＝ ? ，x ∈[，］，其中 ＝（ ，cos 2x ）， ＝（sin （ 2x），② 若该红外线治疗仪的成本为120 元/台，药店为使每月获得最大的纯收益，利用（Ⅰ）中结论，问每台该种红外线治疗仪的销售价格应定为多少元？（四舍五入，精确到 1 元）．参考公式：回归直线方程参考答案、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）1．已知平行四边形 ABCD 中，向量＝（ 3， 7）， ＝（﹣ 2，3），则向量 的坐标为（）A ．15B ．﹣27C ．（ 5，4）D ．（ 1，10）【分析】根据向量加法的平行四边形法则即可得出 ，然后带入坐标即可．解：根据向量加法的平行四边形法则， ． 故选： D ．2．sin (﹣）的值是（分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．故选： B ．3．某学校从编号依次为 01，02．⋯ 72的 72 个学生中用系统抽样（等间距抽样）的方法抽取一个样本，已知样本中相邻的两个组的编号分别为 12，21，则该样本中来自第四组的 学生的编号为（ ）A ． 30B ． 31C ．32D ． 33【分析】由样本中相邻的两个组的编号分别为12， 21，得到抽样间隔为： 21﹣ 12＝9，从而第二组的编号为 12，第三组的编号为 21，由此能求出该样本中来自第四组的学生的 编号．解：某学校从编号依次为 01， 02．⋯ 72 的 72 个学生中用系统抽样（等间距抽样）的方 法抽取一个样本，样本中相邻的两个组的编号分别为 12， 21， ∴抽样间隔为： 21﹣12＝ 9， ∴样本单元数为＝ 8，第二组的编号为 12，第三组的编号为 21，A ．B ．C ．D ．解： sin （﹣)＝ sin (﹣ 4π+）＝sin＝si＝， ＝，则该样本中来自第四组的学生的编号为21+9＝30．故选： A ．4．下列函数中是偶函数且最小正周期为的是（）22A ．y＝cos 4x﹣sin 4x B．y＝sin4 xC．y＝sin2x+cos2x D．y＝cos2x【分析】利用三角函数的奇偶性和三角函数的周期公式逐一判断即可．解：A．y＝cos24x﹣sin24x＝cos8x，是偶函数，周期T＝，符合条件；B．函数是奇函数，不符合条件；C．y＝sin2x+cos2x＝，是非奇非偶函数，不符合条件；D．函数是偶函数，周期T＝，不符合条件．故选： A ．5．已知某7 个数据的平均数为5，方差为4，现又加入一个新数据5，此时这8 个数的方差s2为（）A．B．3 C．D．4分析】根据平均数和方差的定义，计算加入一个新数据后，这组数据的平均数和方差．解：因为7 个数据的平均数为5，方差为4，又加入一个新数据5，则这8 个数的平均数为＝5，方差为s2＝×[4×7+（5﹣5）2]＝故选：C．6．已知cosθ＝，且θ∈（﹣，0），则tan +θ）＝（A．﹣7 B．7 C．D．分析】由已知结合同角基本关系可求sin θ，tan θ，然后利用两角和的正切公式可求tan +θ）．解：∵ cosθ＝，且θ∈（﹣，0），∴sinθ＝，tan ，故选： D ．7．设 a 是一个各位数字都不是 0 且没有重复数字的两位数．将组成 a 的 2 个数字按从小到 大排成的两位数记为 I （ a ），按从大到小排成的两位数记为 D （ a ）（例如 a ＝ 75，则 I （a ）＝57，D （a ）＝ 75），执行如图所示的程序框图，若输入的 a ＝97，则输出的 b ＝ （）A ． 45B ． 40C ．35D ． 30【分析】模拟运行程序，直到满足条件，确定输出 b 的值，可得答案． 解：模拟程序的运行，可得a ＝ 97，b ＝ 97﹣79＝18 a ＝ 18， b ＝ 81﹣18＝63 a ＝63， b ＝ 63﹣36＝27 a ＝27，b ＝ 72﹣27＝45 45 为 5的倍数，退出循环，输出 b 的值为 45． 故选： A ．8．如图是一个射击靶的示意图，其中每个圆环的宽度与中心圆的半径相等．某人朝靶上任意射击一次没有脱靶，则其命中深色部分的概率为（则 tan （ + θ）r ，求出由内到外的区域面积，再计算所求的概率值．解：设中心圆的半径为 r ，则由内到外的环数对应的区域面积依次为πr 2，3πr 2，5πr 2，7πr 2，则命中深颜色的概率为故选： D ．＝（ ）A ． 2B ． 1【分析】建立适当的平面直角坐标系，利用坐标表示向量，计算可．解：建立平面直角坐标系，如图所示，由题意知 A （0，1）， B （﹣ ，0），C （ ，0），则 ＝λ ＝λ（2 ，0）＝（ 2 λ，0）， ＝（﹣ ，﹣1）， ＝（ ，﹣1），所以 + ＝（ 0，﹣ 2），＝ + ＝（ 2 λ﹣ ，﹣ 1 ），所以 ? （ + ）＝ 0×（ 2 λ﹣ ）+（﹣ 1）×（﹣ 2）＝ 2． 故选： A ．C ．9．在△ ABC 中， ，且∠ BAC ＝ 120，若 ，则C ．分析】设中心圆的半径为所以 ＝，1＝4﹣分析】利用向量的模以及向量的数量积的运算法则化简求解即可． 解： ＝（ 2sin13°， 2sin77 °）＝（ 2sin13 °， 2cos13°）， | |＝ 2，| ﹣ |＝1， 与 ﹣ 的夹角为 ，的图象上，为了得到函数x ∈R ）的图象，只需把曲线 f （ x ）上所有的点（A ．向左平行移动B ．向右平行移动C ．向右平行移动 个单位长度 个单位长度 个单位长度D ．向左平行移动个单位长度分析】首先利用点的坐标求出函数的关系式，进一步利用函数的图象的平移变换和伸 缩变换的应用求出结果． 解：点 在函数 的图象上， φ）＝ 1，所以由于 ，整理得： φ＝﹣故 f （x ）＝ cos （ 2x ﹣ ），将函数的图象向左平移 个单位得到 y ＝cos[2（ x+﹣ ］＝ cos ( 2x ﹣ ）＝ sin ）＝ sin （2x）的图象．故选： D ．11．已知 ＝( 2sin13°，2sin77° ），| ﹣ |＝ 1， 与 ﹣ 的夹角为，则 ? ＝（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5＝sin (2x+∴ ? ＝ 3， 故选： B ．12．若关于 x 的方程有两个不同解，则实数 a 的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．【分析】设 t ＝sinx+cosx ，由正弦公式和正弦函数的图象和性质，可得 t 的范围，进而原 方程即为 t ﹣t 2+2﹣a ＝0即 a ＝﹣ t 2+t+2 在［0， ］有两解， 由二次函数的图象和性质， 可 得所求范围． 解：关于 x 的方程t ∈［0， ］，且 t 随着 x 的增大而增大；又 2sinxcosx ＝t 2﹣1，原方程即为 t ﹣t 2+2﹣a ＝0 即 a ＝﹣ t 2+t+2 在［0， ］有两解， 由 f （t ）＝﹣ t 2+t+2 在［0， ］递增， { ， ］递减，可得 f （t ）的最大值为 ，最小值为， 则 2≤ a < ． 故选： D ．二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13．已知向量 ＝（ 1， ）， ＝（ 2， 0），则 | ﹣2 |＝【分析】可求出向量 的坐标，进而可求出 的值．解：∵ ，∴．故答案为： ．设 t ＝sinx+cosx ＝ sin (x+），由 x ∈［﹣］，14．已知函数 f （x ）＝ sin （ ωx+φ）ω>0， 0<φ<π）的部分图象如图所示，则 ? 的值］，可得 x∈[0，φ．解：由题意知， f （x ）＝ sin （ ωx+ φ），∵ f （0）＝ sin φ＝ ∵0<φ< π，根据图象特征，可得 φ＝代入可得答案．故答案为：16．在 Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝3．以 C 为圆心， 2为半径作圆，线段 PQ 为该圆的一条直径，则 的最小值为 ﹣ 10分析】先建系，再标各点的坐标，再结合平面向量数量积的运算及三角函数辅助角公 式运算可得解．解：设 C （ 0，0），A （ a ，0），B （ 0，b ），P （ 2cos α，2sin α），Q （﹣ 2cos α，﹣2sin α）， 则 a 2+b 2＝9，又 ＝（ 2cos α﹣ a ， 2sin α）， ＝（﹣ 2cos α，﹣ 2sin α﹣ b ），则 ＝（ 2cos α﹣ a ）（﹣ 2cos α） +2sin α（﹣ 2sin α﹣ b ）15．已知 sin （ +x ）＝﹣，则 sin 2（ ﹣x )﹣sin (π﹣x ）的值分析】由已知中 sin （ x+ 可得 sin （﹣ x )＝ sin ( x +）＝ ，利用诱导公式和同角三角函数的基本关系公式，22），sin 2（ ﹣x ）＝ cos 2（x+解：∵ sin ( x+ ）＝∴ sin (﹣x )＝ sin[ π﹣ x+sin 2(x )＝ sin 2[x+]＝sin (x+ + ＝ 1﹣ sin 2( x）＝+φ＝ ．及图象特征，可得故答案为： ），）＝1﹣sin 2（x﹣ x )﹣ sin ( ∴ sin 2﹣]＝ cos 2( xπ﹣ x ）＝＝﹣ 4+2 acos α﹣ 2bsin α ＝﹣ 4+2cos （α+β）则当 cos （α+β）＝﹣ 1 时，的最小值为﹣ 10，三、解答题（本大题共 6 小题，共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知向量 ＝（3，2）， ＝（﹣ 1，2）， ＝（ 4，1）．（ 1）求 3 + ﹣2 ；（ 2）若（ +k ）∥（ 2 ﹣ ），求实数 k ．【分析】（ 1）根据题意，由向量的坐标计算公式计算即可得答案．（ 2）根据题意，求出（ +k ）和（ 2 ﹣ ）的坐标，由向量平行的坐标计算公式可得2×（ 3+4k ）﹣（﹣ 5）×（ 2+k ）＝ 0，解可得 k 的值，即可得答案． 解：（ 1）根据题意，向量 ＝（ 3，2）， ＝（﹣ 1，2）， ＝（ 4， 1）， 则 3 + ﹣2 ＝3（3，2）+（﹣1，2）﹣ 2（4，1）＝（ 0，6）；2）向量 ＝（ 3， 2）， ＝（﹣ 1， 2）， ＝（ 4， 1），则（ +k ）＝（ 3+4k ， 2+k ），（ 2 ﹣ ）＝（﹣ 5， 若（ +k ）∥（ 2 ﹣ ），则 2×（ 3+4k ）﹣（﹣ 5） 解可得 k ＝﹣ ； 故 k ＝﹣18．疫情期间口罩需求量大增， 某医疗器械公司开始生产 质量按指标测试分数进行划分， 其中分数不小于 70 的为合格品， 否则为不合格品， 现随2），×（ 2+k ）＝ 0， KN 95 口罩，并且对所生产口罩的＝ 6cos （ α+ β）﹣ ，故答案为：﹣ 10．机抽取 100 件口罩进行检测，其结果如表： 测试分数[50，60） [60， 70）[70，80）分析】（ 1）由已知结合同角基本关系进行弦化切，代入可求；[80，90)[90， 100]数量 416 4224 14（Ⅰ）根据表中数据，估计该公司生产口罩的不合格率； （Ⅱ）根据表中数据，估计该公司口罩的平均测试分数； （Ⅲ）若用分层抽样的方式按是否合格从所生产口罩中抽取 机抽取 2件，求这 2 件口罩全是合格品的概率． 【分析】 （1）在抽取的 100 件产品中，不合格的口罩 5 件，再从这 5 件口罩中随4+16＝20，由此能估计该公司 所生产口罩的不合格率．2）由频数分布表能求出平均测试分数．3）由题意所抽取的 5 件口罩中不合格的 1 件，合格的 4 件．设 4 件合格口罩记为 a ， b ，c ，d ，1件不合格口罩记为 x ．从 5 件口罩中抽取 2 件，利用列举法能求出 2 件口罩全是合格品的概率．解：（ 1）在抽取的 100 件产品中，不合格的口罩有： 4+16＝20（件）根据频率可估计该公司所生产口罩的不合格率为2）平均测试分数为3）由题意所抽取的 5 件口罩中不合格的 1 件，合格的 4 件．设 4 件合格口罩记为 a ，b ，c ，d ，1 件不合格口罩记为 x ．若抽取的口罩中恰有 1 件不合格，则共有 ax ，bx ， cx ， d x ， 4 种情况，而从 5 件口罩中抽取 2 件，共有 ab ，ac ， ad ，ax ，bc ，bd ，bx ，cd ，cx ，dx ，10 种情况， 所以 2 件口罩中至少有一件不合格品的概率为 故 2 件口罩全是合格品的概率为 ．19．已知 α， β为锐角，1）求 cos2α的值；2）求 tan （β﹣ α）的值． 所以口罩为不合格品的频率为∵（Ⅱ）∵ ，可得 ∴．，．当当 时，函数 f （ x ）有最小值﹣ 2 ．时，函数 f （ x ）有最大值﹣ 1；21．如图，四边形 OQRP 为矩形，其中 P ，Q 分别是函数 f （ x ）＝ sin ωx （ A > 0， ω> 0） 2）由已知结合同角基本关系及两角差的正切公式即可求解．2）由 α， β为锐角，得 α+β∈（0，π）， 2α∈（ 0，π）， ，．由 ，得﹣4）．（Ⅰ）求函数 f （ x ）的单调递增区间； （Ⅱ）求函数 f （ x ）的最大值和最小值．【分析】（Ⅰ）先化简并整解析式，再利用正弦函数的性质即可求解． Ⅱ）利用正弦函数整体的性质求解即可．∴＝＝．图象上的一个最高点和最低点， O 为坐标原点， R 为图象与 x 轴的交点．求 f （ x ）的解 析解： 1）由 tan α＝ ，得 cos2又 cos （ α+β）＝ ，∴ sin （ α+ β）＝20．已知函数 f （ x ）＝ ? ，x ∈[]，其中 ＝（ ， 22，cos 2x ）， ＝（ sin （ 2x+），解： （Ⅰ）因为函数 f （ x ）＝ ? ，x ∈[ ，，其中 ＝（ ， cos 2x ）， ＝（ sin2x+），﹣ 4）．，；k ∈Z ；式．【分析】设函数f（x）的最小正周期为T，则，由题意可得，然后求出周期T，利用周期公式可求ω，即可得函数f（x）的解析式．解：设函数f （x）的最小正周期为T，则，因为四边形OQRP 为矩形，得OP⊥ OQ，所以，即，解得T＝4，所以，所以．22．红外线治疗仪的治疗作用是在红外线照射下，组织温度升高，毛细血管扩张，血流加快，物质代谢增强，组织细胞活力及再生能力提高，对我们身体某些疾病的治疗有着很大的贡献，某药店兼营某种红外线治疗仪，经过近 5 个月的营销，对销售状况进行相关数据分析，发现月销售量与销售价格有其统计数据如表：关，每台红外线治疗仪的销售价格：x/元140150160170180红外线治疗仪的月销售量：y/台6455453526（I）根据表中数据求y关于x的线性回归方程；（Ⅱ）① 每台红外线治疗仪的价格为165 元时，预测红外线治疗仪的月销售量；（四舍五入为整数）② 若该红外线治疗仪的成本为120 元/台，药店为使每月获得最大的纯收益，利用（Ⅰ）中结论，问每台该种红外线治疗仪的销售价格应定为多少元？（四舍五入，精确到 1 元）．2）① 由回归方程计算 x ＝165 时对应的函数值即可；② 利用获利函数 Q （x ）是二次函数，求出 Q （ x ）取最大值时 x 的值．；2）① 由（ 1）知，当 x ＝165 时，所以每台红外线治疗仪的价格为 165 元时，红外线治疗仪的月销量为 40 台；② 药店每月获取得纯利为 Q （ x ）＝（﹣ 0.96x+198.6 ）（ x ﹣ 120）＝﹣ 0.96x 2+313.8x ﹣23832，所以药店为使每月获得最大的纯收益， 每台该种红外线治疗仪的销售价格应定为 163 元．参考公式：回归直线方程，其中分析】（ 1）计算、，求出回归系数，写出回归方程；×(140+150+160+170+180 )＝ 160，×( 64+55+45+35+26 )＝45，所以，，所以 y 关于 x 的回归方程为，所以当时， Q （x ）取得最大值；解：（1）。