归一问题

【知识导图】要计算某种练习本几本卖多少钱，就必须先知道每本练习本卖多少钱；要计算几人几天干多少工作，就必须先知道每人每天干多少工作，等等。

这种归结为求一个单位数量的问题，叫做归一问题。

归一问题可以引申出一种解题方法，就是把问题中的总量推理到最小的单个量，求出单个的量，然后再求倍数量、份数量、总量。

看下面的题目：小强买了2支圆珠笔，共付了12元，现在买这种圆珠笔3支，问需要多少钱？若有48元可买这种笔多少支？不论求3支笔多少钱，还是求48元可买多少支笔，都要先算每支笔多少钱，这是归一问题，由2支笔值12元可知，每支笔的价格是12÷2=6(元)，那么3支笔需付的钱是： 6×3 =18（元）如果是48元，可买:48÷6=8（支）答：买3支笔需要18元，48元可买这种笔8支。

再看下面的题目：4艘船运解放军战士渡江，7趟可以运去战士336人，现在共有战士420人，要求5趟运完，问：需要多少艘船？这道题需要先求出l艘船1趟运战士的人数： 336÷4÷7 = 12(人)这样5趟运去420人，需船420÷I2÷5=7（艘）综合算式：420÷(336÷4÷7)÷5=7（艘）答：需要7艘船．，与归一问题对应的是归总问题，归一问题是要求出“单位量”，而归总问题是要求出“总量”。

所谓“总量”是指总路程、总产量、物品的总价等，有叶我们也把“l”看作总量【目标范例】例1.火车从南京开往上海，每小时行60千米，6小时到达，火车提速后，若要3小时到达，则每小时需要多行多少千米？【分析与解】从南京到上海的路程是一定的，这里的路程就是要求的总量。

从南京到上海的路程是:60×6= 360（千米）现在要3小时到达，每小时需要行:360÷3 =120（千米）每小时多行:120-60=60（千米）综合算式：(60×6)÷3-60=60（千米）答：火车每小时需多行60千米。

例2.修一条公路，原计划60人用80天完成，现在这批人工作20天后，又增加了30人，问剩下的部分再做多少天可以完成？【分析与解】先求出修这条公路共需的劳动日是：60×80= 4800（劳动日），这样60人工作20天后，剩下劳动日:4800 - 60×20= 3600（劳动日）剩下的工程增加30人后还需的天数为：3600÷(60 +30)= 40（天）综合算式：（60×80 - 60×20）÷(60 +30)=40（天）答：再做40天可以完成。

【现学现卖】1.（天河省实）小明步行每小时4千米，照这样的速度，步行36千米需用几小时？2.锅炉房按照每天4 5吨的用量储备了120天的供暖煤，供暖40天后，由于进行了技术改造，每天能节约0.9吨煤，问：这些煤共可以供暖多少天？【目标范例】例3.（中大附中）甲、乙、丙三人买了8个面包，平分着吃，甲付了5个面包的钱，乙付了3个面包的钱，丙没有付钱。

等吃完后一算，丙应该拿出3元2角，问甲、乙应收回多少钱（以角为单位）?【分析与解】根据题意，必须计算出甲、乙、丙每个人应付的钱数，而这关键是要知道，每个面包值多少钱。

已知三人平分8个面包，丙应拿出32角，这说明把8个面包分成三份，每份值32角钱，所以，8个面包共值： 32×3= 96（角）每个面包值：96÷8 =12（角）由于甲付出5个面包的钱12×5= 60（角），他应付32角钱，所以，甲多付钱60-32= 28（角），也就是甲应收回2元8角钱，乙应收回32 - 28 =4（角）。

综合算式：32×3÷8×5-32= 28（角）32 - 28 =4（角），或32×3÷8×3- 32 =4（角）答：甲应收回2元8角钱，乙应收回4角钱。

例4．如果买6个书包和3盒水彩笔需要294元，而如果买2个书包和3盒彩笔只需要154元。

求一个书包和一盒彩笔各多少钱？【分析与解】可将已知条件的数量关系排列如下：6个书包+3盒彩笔值294元 2个书包+3盒彩笔值154元由题意我们知道，所付的总钱数有变化，由294元降到154元，所买水彩笔数量没有变化，所买的书包个数有变化，由买6个降到买2个，总钱数的减少是因为少买了6-2=4（个）书包。

这样就可以求出每个书包多少元，接着就可以再用题目中的某一条件求出每盒彩笔有多少元。

解：书包单价：(294 - 154)÷(6-2)= 140÷4=35（元）彩笔单价：(154 - 35×2)÷3= 84÷3=28（元）答：一个书包35元，一盒彩笔28元。

【现学现卖】3.甲买了3千克苹果，2千克梨；乙买了4千克苹果，3千克梨；丙买了3千克苹果，4千克梨。

乙比甲多花5元钱，甲比丙少花了4元钱，问甲、乙、丙各花了多少钱？【目标范例】例5.学校笫批买进3个篮球和8个排球共值500元，第二批买进4个篮球和5个排球共值525元，求1个篮球、1个排球各多少元？【分析】由题意可把已知条件写成：3个篮球+8个排球值500元4个篮球+5个排球值525元由前面的例题，我们知道，如果篮球或排球个数相同，问题就好解决了。

于是想到把篮球数、排球数、总钱数扩大相同倍数的方法。

把第一个条件中的篮球数、排球数、总钱数都扩大4倍：把第二个条件中的篮球数、排球数、总钱数都扩大3倍：3×4个篮球+8×4个排球值500×4元 4×3个篮球+5×3个排球值525×3元也就是：12个篮球+32个排球值2000元 12个篮球+15个排球值1575元这样篮球数相同，就便于解答了。

解:每个排球值：(500×4-525×3)÷(8×4-5×3)= (2000 - 1575)÷(32 -15)= 425÷17 = 25（元）每个篮球值:(500 - 25×8)÷3= (500 - 200)÷3= 100（元）答：1个篮球IOO元，1个排球25元。

例6.一筐苹果，9个猴子3分钟吃了全部的1。

照这样的速度，再过多少分钟就6可以吃掉苹果总数的12?【分析】题中9个猴子是个干扰因素。

吃掉12，可以看作这是一个总量，3分钟吃了16, 看作单量，那么问题就成了“多少个16，就等于12”。

解:显然3个16，就等于12，根据题中“3分钟吃了全部的16”得，9个猴子吃3×3=9（分钟），就可以吃掉12，也就是再吃9-3 =6（分钟）就可以吃掉苹果总数的12。

【资优挑战】一、填空题1.一堆煤，原计划每天烧3吨，可以烧96天。

实际每天烧2.4吨，实际可以烧_____天。

2.某学校美化环境，用彩色水泥砖铺路面，用面积4平方分米的方砖铺要3600块，若改用面积9平方分米的方砖铺要_____块。

3.从公园到新华书店，小方每分钟走60米，40分钟可以到达，小刚每分钟走80米，______ 分钟可到达。

（用两种方法解答）4.车队向灾区运送救灾物资，去时每小时行60千米，4.5小时到达，返回时每小时多行15千米，返回出发地点用了_____时间。

（用比例解）5.甲、乙两车同时从相距780千米的两地同时相向而行，4小时相遇，甲车每小时行93.6千米，乙车每小时行_______千米。

（至少用两种方法）二.解答题6.一座炼钢厂预计2002年上半年炼钢50万吨，比下半年多产16万吨，这座炼钢厂预计在2002年平均每月要产钢多少万吨？7.4台织布机5小时可以织布2600米，24台织布机织布24960米需几小时？8．（小联盟）数学活动课上，王老师带着数学小组的同学到校园操场国旗下测量旗杆的长。

他们的办法是先拿一根3米长的竹竿，在旗杆旁竖起来，量得竹竿在阳光下的影长是2米，同时部分同学量得旗杆的影长是10米。

请你根据以上的数据，算出旗杆的长度。

【实战演练】一.填空题1.“六一”儿童节到了，同学们到市场采购水果，他们买了4千克香蕉，每500克1.80元，如果用这些钱买草莓，可买6千克。

每500克草莓_______钱。

2.小明生病了，妈妈从药店里买了一种消炎药，药盒上写着：儿童每日按体重30～50毫克／千克，分3次服用，药盒的侧面写着0.125克×12片×3板，小明体重50千克，根据这些信息，算算小明每次最少要吃_____片药。

（注：1克=l000毫克）3.春华和秋生骑摩托车同时从同一地点向相反方向行驶，0.5小时后相距47.5千米。

若春华每小时行驶42.5千米，则秋生每小时行驶_______千米。

4.买三盏台灯和一个插座需付300元；买一盏台灯和三个插座需付200元。

那么买一盏台灯和一个插座需付____元。

5.某食堂第一次运进大米5袋，面粉7袋，共重1350千克；第二次运进同样的大米3袋，同样的面粉5袋共重850千克。

问：一袋大米和一袋面粉各重_____千克。

二.解答题6.工厂运来一堆煤，如果每天烧煤1500千克，6天可以烧完。

如果每天烧1000千克，可以多烧几天？7.（华师附中）平整一块土地，原计划8人平整，每天工作7.5小时，6天可以完成任务，由于急需播种，要求5天完成，并且增加1人，问：每天要工作几小时？8.体育老师到商店买5个足球和4个篮球，需付640元：买2个足球和3个篮球需付340元，那么买一个足球和一个篮球共付多少元？。