最新浙江省杭州高级中学-高一(上)期末数学试卷(解析版)

A.∀x∈R，f(x)＝0且g(x)＝0
B.∀x∈R，f(x)＝0或g(x)＝0
C.∃x0∈R，f(x0)＝0且g(x0)＝0
D.∃x0∈R，f(x0)＝0或g(x0)＝0
D
【详解】试题分析：根据全称命题与存在性命题的互为否定的关系可得：命题 的否定是“ 或 ”故选D．
考点：命题的否定．
6.如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为（）
（2）利用函数的奇偶性和单调性解不等式即可.
【小问1详解】
因为 为偶函数，且 ，所以 ，解得 ，又 ，所以 , ；
设 ，则 ，因为 ，所以 ， ，所以 ，所以 在 上单调递增.
【小问2详解】
因为 为定义在 上的偶函数，且在 上单调递增， ，所以 ，平方得 ，又因为对任意 不等式恒成立，所以 ，解得 .
【详解】A. 时， ，有最大值，无最小值.故选项A错误；
B. ，当且仅当 时，等号成立，即 .而 ，故 无解，即该式无法取得等号.故选项B错误；
C.对于正数 ， ，有 ，当且仅当 时，取得等号，即 .故选项C正确；D. ， ， ，当且仅当 时，取得等号，则 .故选项D正确.
故选：CD
三、填空题：本大题共4小题，每空4分，共16分.
18.（1）化简 ；
（2）已知关于 的方程 的两根为 和 ， .求实数 以及 的值.
（1） ；（2） ，
【分析】（1）利用诱导公式化简即可；
（2）利用韦达定理得到 ， ，再将 两边平方即可求出 ，最后由 求出 .
详解】解：（1）
，
即 .
（2）因为关于 的方程 的两根为 和 ，
所以 ， ，
所以 ，所以 ，
综上可得， 的增区间为 ，减区间为 .

2019-2020学年浙江省杭州高中高一（上）期末数学试卷一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1. 已知集合P＝{−1, 0, 1}，Q＝{x|−1≤x<1}，则P∩Q＝（）A.{0}B.[−1, 0]C.{−1, 0}D.[−1, 1)2. 若一个幂函数的图象经过点(2,14)，则它的单调增区间是（）A.(−∞, 1)B.(0, +∞)C.(−∞, 0)D.R3. 下列函数既是奇函数，又在区间[−1, 1]上单调递减的是（）A.f(x)＝sin xB.f(x)＝−|x+1|C.f(x)=12(a x+a−x) D.f(x)＝ln2−x2+x4. 函数y＝ln x+2x−6零点的个数为（）A.0B.1C.2D.35. 已知函数f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)=x2+1x，则f(−1)=( ) A.−2 B.0 C.1 D.26. 已知θ∈[π2,π]，则√1+2sin(π+θ)sin(π2−θ)=()A.sinθ−cosθB.cosθ−sinθC.±(sinθ−cosθ)D.sinθ+cosθ7. 在下列函数①y=sin(2x+π6)②y=|sin(x+π4)|③y＝cos|2x|④y=tan(2x−π4)⑤y＝|tan x|⑥y＝sin|x|中周期为π的函数的个数为（）A.3个B.4个C.5个D.6个8. 函数f(x)=2x2+3x2e x的大致图象是（）A. B.C. D.9. 已知函数f(x)＝2sin ωx （其中ω>0），若对任意x 1∈[−3π4,0)，存在x 2∈(0,π3]，使得f(x 1)＝f(x 2)，则ω的取值范围为（ ） A.ω≥3 B.0<ω≤3C.ω≥92D.0<ω≤9210. 已知函数f(x)是R 上的增函数，且f(sin ω)+f(−cos ω)>f(−sin ω)+f(cos ω)，其中ω是锐角，并且使得g(x)=sin (ωx +π4)在(π2, π)上单调递减，则ω的取值范围是（ ）A.(π4, 54]B.[54, π2)C.[12, π4)D.[12, 54]二．填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）sin π6=________；cos α≥√22，则α∈________．函数y =(14)−|x|+1的单调增区间为________；奇偶性为________（填奇函数、偶函数或者非奇非偶函数）．若lg x ＝m ，lg y ＝n ，则lg √x −lg (y10)2=________；若a m ＝2，a n ＝6(a >0, m, n ∈R)，则a 3m−n2=2√33．函数y ＝cos x −sin 2x −cos 2x +74的值域为________−14,2] ；函数f(x)=3−sin x2+sin x 的值域为________23,4] ．设函数f(x)={√x(x ≥0)(12)x (x <0) ，则f （f(−4)）＝________．若α∈(π2,π)，sin (α+π4)=13，则sin α＝________已知函数f(x)=√x 2+a x 2−9，若f(x)的值域为[0, +∞)，则a 的取值范围________．三．解答题（本大题有5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）设全集为R ，A ＝{x|3<x <7}，B ＝{x|4<x <10}， （1）求∁R (A ∪B)及(∁R A)∩B ；（2）C ＝{x|a −4≤x ≤a +4}，且A ∩C ＝A ，求a 的取值范围．如图是f(x)＝A sin (ωx +φ)，(x ∈R,A >0,ω>0,0<φ<π2)在区间[−π6,5π6]上的图象，(Ⅰ)求函数f(x)的解析式；(Ⅱ)若把函数f(x)图象向左平移β个单位(β>0)后，与函数g(x)＝cos 2x 重合，求β的最小值．已知函数f(x)=cos (x −π3)+2sin 2x2 (Ⅰ)求函数f(x)在区间[−π3,π2]上的值域(Ⅱ)把函数f(x)图象所有点的上横坐标缩短为原来的12倍，再把所得的图象向左平移φ个单位长度(0<φ<π2)，再把所得的图象向下平移1个单位长度，得到函数g(x)，若函数g(x)关于点(3π4,0)对称(i)求函数g(x)的解析式；(ii)求函数g(x)单调递增区间及对称轴方程．已知m ≠0，函数f(x)＝sin x +cos x −m sin x cos x +1(Ⅰ)当m＝1时，求函数f(x)的最大值并求出相应x的值；(Ⅱ)若函数f(x)在[−π2,2π]上有6个零点，求实数m的取值范围．已知a为正数，函数f(x)＝ax2−12x−34,g(x)=log22x−log2x2+14．(Ⅰ)解不等式g(x)≤−12；(Ⅱ)若对任意的实数t，总存在x1，x2∈[t−1, t+1]，使得|f(x1)−f(x2)|≥g(x)对任意x∈[2, 4]恒成立，求实数a的最小值．参考答案与试题解析2019-2020学年浙江省杭州高中高一（上）期末数学试卷一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1.【答案】 C 2. 【答案】 C 3. 【答案】 D 4. 【答案】 B 5. 【答案】 A 6. 【答案】 A 7. 【答案】 B 8. 【答案】 B 9. 【答案】 C 10.【答案】 A二．填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分） 【答案】12,[−π4+2kπ, π4+2kπ]，k ∈Z 【答案】[0, +∞),偶函数 【答案】 12m −2n +2【答案】[,[【答案】4【答案】4+√26【答案】[814, +∞)三．解答题（本大题有5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）【答案】∵全集为R，A＝{x|3<x<7}，B＝{x|4<x<10}，∴A∪B＝{x|3<x<10}，∁R A＝{x|x≤3或x≥7}，∴∁R(A∪B)＝{x|x≤3或x≥10}，(∁R A)∩B＝{x|7≤x<10}．∵A＝{x|3<x<7}，C＝{x|a−4≤x≤a+4}，且A∩C＝A，∴A⊆C，∴{a−4≤3a+4≥7，解得3≤a≤7．∴a的取值范围是[3, 7]．【答案】（1）根据f(x)＝A sin(ωx+φ)，(x∈R,A>0,ω>0,0<φ<π2)在区间[−π6,5π6]上的图象，可得A＝1，2πω=5π6−(−π6)，∴ω＝2．再根据五点法作图，可得2⋅π3+φ＝π，∴φ=π3，∴f(x)＝sin(2x+π3)．（2）∵把函数f(x)图象向左平移β个单位(β>0)后，可得y＝sin(2x+2β+π3)的图象，由于所得图象与函数g(x)＝cos2x＝sin(2x+π2)的图象重合，∴2β+π3=2kπ+π2，k∈Z，故β的最小值为π12．【答案】（1）∵函数f(x)=cos(x−π3)+2sin2x2=12cos x+√32sin x+2⋅1−cos x2=√32sin x−12cox+1＝sin(x−π6)+1，在区间[−π3,π2]上，x−π6∈[−π2, π3]，故当x−π6=−π2时，f(x)取得最小值为0；当x−π6=π3时，f(x)取得最大值为√32+1，故函数f(x)在区间[−π3,π2]上的值域为[0, √32+1]．(2)(i)把函数f(x)＝sin(x−π6)+1图象所有点的上横坐标缩短为原来的12倍，可得y＝sin(2x−π6)+1的图象；再把所得的图象向左平移φ个单位长度(0<φ<π2)，可得y＝sin(2x+2φ−π6)+1的图象；再把所得的图象向下平移1个单位长度，得到函数g(x)＝sin(2x+2φ−π6)的图象．若函数g(x)关于点(3π4,0)对称，则2×3π4+2φ−π6=kπ，k∈Z，∴φ=−π6，∴g(x)＝sin(2x−π2)＝−cos2x．(ii)对于函数g(x)＝−cos2x，令2kπ−π≤2x≤2kπ，求得kπ−π2≤x≤kπ，可得函数g(x)的单调递增区间为[kπ−π2, kπ]，k∈Z．令2x＝kπ，求得x=kπ2，可得函数g(x)的图象的对称轴方程为x=kπ2，k∈Z．【答案】（1）当m＝1时，f(x)＝sin x+cos x−sin x cos x+1，令t＝sin x+cos x=√2sin(x+π4)∈[−√2, √2]，且t2＝1+2sin x cos x，所以sin x cos x=t 2−12，则f(t)＝t−t 2−12+1=−12(t−1)2+2，因为t∈[−√2, √2]，所以当t＝1时，函数f(x)取最大值为2，此时√2sin(x+π4)＝1，解得x＝2kπ或π2+2kπ(k∈Z)；（2）∵x∈[−π2,2π]，∴x+π4∈[−π4,9π4]，则t＝sin x+cos x=√2sin(x+π4)∈[−√2, √2]，令f(x)=g(t)=t−m⋅t 2−12+1=0，故t+1=m⋅t2−12，易知t＝−1是方程g(t)＝0的一个解，且−1=√2sin(x+π4)在x+π4∈[−π4,9π4]有三个x与之对应，当t≠−1时，由t+1=m⋅t 2−12可得t=2m+1，故t=2m +1=√2sin(x+π4)在x+π4∈[−π4,9π4]也需有三个x与之对应，故2m+1∈(−1,1]，解得m<−1，所以实数m的取值范围为(−∞, −1)．【答案】（I）令log2x＝u(u∈R)，则不等式g(x)≤−12⇔u2−2u+14≤−12，∴4u2−8u+3≤0，∴12≤u≤32，∴12≤log2x≤32，∴√2≤x≤2√2．∴不等式g(x)≤−12的解集为[√2, 2√2]．(II)令m＝log2x，则1≤m≤2，g(x)=m2−2m+14，∴g(x)max=14．因为对任意的实数t，总存在x1，x2∈[t−1, t+1]，使得|f(x1)−f(x2)|≥14．设f(x)=ax2−12x−34在[t−1, t+1]上最大值为M(t)，最小值为m(t)，f(x)的对称轴为直线x=1a．令ℎ(t)＝M(t)−m(t)，则对任意的实数t，ℎ(t)≥14．①当14a≤t−1时，M(t)＝f(t+1)，m(t)＝f(t−1)，则ℎ(t)＝M(t)−m(t)＝4at−1，此时ℎ(t)≥4a(14a +1)−1=4a≥14，∴a≥116；②当t−1<14a ≤t时，M(t)＝f(t+1)，m(t)=f(1a)=12a−34，ℎ(t)=M(t)−m(t)≥f(1a +1)−(12a−34)=a+52≥14，∴a≥−94．③当t<14a <t+1时，M(t)＝f(t−1)，m(t)=f(1a)=12a−34，ℎ(t)=M(t)−m(t)≥f(1a −1)−(12a−34)=a−32≥14，∴a≥74；④当14a≥t+1时，M(t)＝f(t−1)，m(t)＝f(t+1)，则ℎ(t)＝M(t)−m(t)＝−4at+ 1，此时ℎ(t)≥−4a(14a −1)+1=4a≥14，∴a≥116，综上，实数a的最小值为74．。

2021——2022学年杭州市部分重点中学高一上学期期末考试数学试卷（一）第I 卷 选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}1013M =-，，，，{}13N =-，，则集合M N ⋂中元素的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．32．下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的是（ ） A ．2x y =B ．3y x =C ．cos y x =D ．||y ln x =3．已知函数,0()1,0x e x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，则()()1f f =（ ）A ．0B ．1C ．eD ．1e -4.已知lg lg 0a b +=，则函数()x f x a =与函数1()log bg x x=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知函数()1x f x e =-，()22g x x x =-+，若存在a R ∈，使得()()f a g b =，则实数b 的取值范围是（ ） A ．()0,2B ．[]0,2C ．(1D ．1⎡+⎣6．某养鸭户需要在河边用围栏围起一个面积为2200m 的矩形鸭子活动场地，面向河的一边敞开不需要围栏，则围栏总长最小需要多少米？（ ）A ．20B ．40C ．60D ．807．已知函数()||f x x x =，当[,2]x t t ∈+时，恒有不等式(2)4()f x t f x +>成立，则实数t 的取值范围是（ ） A ．(2,)+∞B ．[2,)+∞C ．(,2)-∞D ．(,2]-∞8． “a >1，b >1”是“log a b ＋log b a ≥2”的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要D ．既不充分也不必要9．定义集合的商集运算为|,,A m x x m A n B B n ⎧⎫==∈∈⎨⎬⎩⎭，已知集合{2,4,6}S =，|1,2k T x x k S ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭，则集合S T T ⋃中的元素个数为( )A ．5B ．6C ．7D ．810．已知()sin (0)3f x x πωϕω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭同时满足下列三个条件：①T π=；②3y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是奇函数；③()06f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭.若()f x 在[)0,t 上没有最小值，则实数t 的取值范围是（ ）A ．50,12π⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．50,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．511,1212ππ⎛⎤⎥⎝⎦D ．511,612ππ⎛⎤⎥⎝⎦第II 卷 非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11．函数lg(2)y x =-的定义域是______．12．已知函数232,1,(),1,x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩ 则函数()()2g x f x =-的零点个数为______． 13．已知tan()24πα-=，则sin(2)4πα-的值等于__________．14．里氏震级M 的计算公式为：M=lgA ﹣lgA 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅A 0为0.001，则此次地震的震级为 级；9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的 倍． 15．已知34a =，2log 3b =，则ab =________；4b =________． 16．设函数()sin f x A B x =+，当0B <时，()f x 的最大值是32，最小值是12-，则A =_____，B =_____. 17．已知4sin 5α，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos α=________，tan2α=________． 三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．计算下列各式的值：（1）()2223327389.682--⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）941451log log 3log 5log 272⋅--+.19．已知函数()()()log 1log 1a a f x x x =+--，其中0a >且1a ≠．()1判断()f x 的奇偶性并予以证明； ()2若1a >，解关于x 的不等式()0f x >．20．（1）已知角α的终边经过点(,6)P x ，且5cos 13α=-，求sin α和tan α的值. （2）已知1cos 7α=，13cos()14αβ-=，且02πβα<<<，求角β.21．已知函数2()cos cos f x x x x =-. （1）求函数()f x 的最小正周期和单调区间； （2）求函数()f x 的零点．22．已知函数2()21x x af x a -=⋅+为奇函数，其中a 为实数．（1）求实数a 的值；（2）若0a >时，不等式()(())20xf f x f t +⋅<在[1,1]x ∈-上恒成立，求实数t的取值范围．【答案解析】第I 卷 选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}1013M =-，，，，{}13N =-，，则集合M N ⋂中元素的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】{}1013M =-，，，，{}13N =-，{}1M N ∴⋂= 故选：B2．下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的是（ ） A ．2x y = B ．3y x =C ．cos y x =D ．||y ln x =【答案】D 【解析】根据题意，依次分析选项：对于A ，2x y =，为指数函数，其定义域为R ，不是偶函数，不符合题意； 对于B ，3y x =，为幂函数，是奇函数，不符合题意；对于C ，cos y x =，为偶函数，在(0,)+∞不是增函数，不符合题意；对于D ，,0(),0lnx x y ln x ln x x ⎧==⎨-<⎩，为偶函数，且当0x >时，y lnx =，为增函数，符合题意； 故选：D ．3．已知函数,0()1,0x e x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，则()()1f f =（ ）A ．0B ．1C ．eD ．1e -【答案】B 【解析】0((1))(0)1f f f e ===，故选：B4.已知lg lg 0a b +=，则函数()x f x a =与函数1()log bg x x=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】lg lg 0,lg 0a b ab +=∴=，即1ab =.∵函数()f x 为指数函数且()f x 的定义域为R ，函数()g x 为对数函数且()g x 的定义域为()0,∞+，A 中，没有函数的定义域为()0,∞+，∴A 错误；B 中，由图象知指数函数()f x 单调递增，即1a >，()g x 单调递增，即01b <<，ab 可能为1，∴B 正确；C 中，由图象知指数函数()f x 单调递减，即01a <<，()g x 单调递增，即01b <<，ab 不可能为1，∴C 错误；D 中，由图象知指数函数()f x 单调递增，即1a >，()g x 单调递减，即1b >，ab 不可能为1，∴D 错误． 故选：B.5．已知函数()1x f x e =-，()22g x x x =-+，若存在a R ∈，使得()()f a g b =，则实数b 的取值范围是（ ） A ．()0,2B ．[]0,2C ．(1D ．1⎡+⎣【答案】C 【解析】()11x f x e =->-，所以，()221g b b b =-+>-，整理得2210b b --<，解得11b <<+故选：C.6．某养鸭户需要在河边用围栏围起一个面积为2200m 的矩形鸭子活动场地，面向河的一边敞开不需要围栏，则围栏总长最小需要多少米？（ ） A ．20 B ．40C ．60D ．80【答案】B 【解析】设此矩形面向河的一边的边长为x ，相邻的一边设为y ， 由题意得200xy =， 设围栏总长为l 米，则240l x y =+≥=， 当且仅当2x y =时取等号， 此时20,10x y ==； 则围栏总长最小需要40米； 故选：B.7．已知函数()||f x x x =，当[,2]x t t ∈+时，恒有不等式(2)4()f x t f x +>成立，则实数t 的取值范围是（ ） A ．(2,)+∞ B ．[2,)+∞ C ．(,2)-∞ D ．(,2]-∞【答案】A 【解析】||y x =为偶函数，y x =为奇函数 ()||f x x x ∴=奇函数当0x 时，2()f x x =为增函数，由奇函数在对称区间上单调性相同可得函数()f x 在R 上增函数又不等式(2)4()f x t f x +>可化为(2)|2|4||2|2|(2)x t x t x x x x f x ++>== 故当[,2]x t t ∈+时，不等式(2)4()f x t f x +>恒成立， 即当[,2]x t t ∈+时，不等式22x t x +>恒成立 即2x t <恒成立 即22t t +< 解得2t >故实数t 的取值范围是(2,)+∞ 故选：A8． “a >1，b >1”是“log a b ＋log b a ≥2”的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．既不充分也不必要【答案】A 【解析】∵1log log log log a b a a b a b b+=+，又1,1a b >>，∴log 0a b >，即1log 2log a a b b +≥=当且仅当a b =时等号成立，而11,28a b ==时有110log log log 2log 3a b aa b a b b +=+=>，显然1,1a b >>不一定成立；综上，所以有1,1a b >>是log log 2a b b a +≥充分不必要条件. 故选：A9．定义集合的商集运算为|,,A m x x m A n B B n ⎧⎫==∈∈⎨⎬⎩⎭，已知集合{2,4,6}S =，|1,2k T x x k S ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭，则集合S T T ⋃中的元素个数为( )A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B 【解析】∵集合的商集运算为|,,A m x x m A n B B n ⎧⎫==∈∈⎨⎬⎩⎭， 集合{2,4,6}S =，|1,{0,1,2}2k T x x k S ⎧⎫==-∈=⎨⎬⎩⎭， ∴{}1,2,3,4,6ST =， ∴{}0,1,2,3,4,6ST T=. ∴集合STT ⋃元素的个数为6个.故选：B.10．已知()sin (0)3f x x πωϕω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭同时满足下列三个条件：①T π=；②3y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是奇函数；③()06f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭.若()f x 在[)0,t 上没有最小值，则实数t 的取值范围是（ ）A ．50,12π⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．50,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．511,1212ππ⎛⎤⎥⎝⎦D ．511,612ππ⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D由t π=，可得2=2ππωω=⇒因为3y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是奇函数所以sin 23x πϕ⎛⎫+- ⎪⎝⎭是奇函数，即,3k k z πϕπ-=∈又因为()06f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，即()2sin sin 3k k ππππ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭所以k 是奇数，取k=1，此时43πϕ=所以函数()5sin 2sin 233f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 因为()f x 在[)0,t 上没有最小值，此时2,2333x t πππ⎡⎫-∈--⎪⎢⎣⎭所以此时432,332t πππ⎛⎤-∈ ⎥⎝⎦解得511,612t ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. 故选D.第II 卷 非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11．函数lg(2)y x =-的定义域是______． 【答案】(,2)-∞ 【解析】由题设有20x ->，解得2x <，故函数的定义域为(),2-∞，填(),2-∞．12．已知函数232,1,(),1,x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩ 则函数()()2g x f x =-的零点个数为______． 【答案】2()g x 的零点即为()0g x =的解．当1x ≤时，令322x -=，解得12x =，符合；当1x >，令22x =，解得x ()g x 的零点个数为2． 13．已知tan()24πα-=，则sin(2)4πα-的值等于__________．【答案】10【解析】由tan 1tan()241tan πααα--==+，解得tan 3α=-，因为22sin(2)(sin 2cos 2)(2sin cos cos sin )422πααααααα-=-=-+2222222sin cos cos sin 2tan 1tan cos sin 1tan ααααααααα-+-+==++222(3)1(3)1(3)⨯--+-==+-． 14．里氏震级M 的计算公式为：M=lgA ﹣lgA 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅A 0为0.001，则此次地震的震级为 级；9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的 倍． 【答案】6，10000 【解析】根据题意，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则M=lgA ﹣lgA 0=lg1000﹣lg0.001=3﹣（﹣3）=6． 设9级地震的最大的振幅是x ，5级地震最大振幅是y ， 9=lgx+3，5=lgy+3，解得x=106，y=102，∴62101000010x y ==． 故答案耿：6，10000．15．已知34a =，2log 3b =，则ab =________；4b =________． 【答案】2 9 【解析】因为34a =，所以3log 4a =，又2log 3b =， 因此32lg 4lg 3log 4log 32lg 3lg 2ab =⋅=⋅=；222log 32log 3log 944229b ====. 故答案为：2；9.16．（设函数()sin f x A B x =+，当0B <时，()f x 的最大值是32，最小值是12-，则A =_____，B =_____. 【答案】121- 【解析】根据题意，得3212A B A B ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩，解得1,12A B ==-.故答案为：1,12-17．已知4sin 5α，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos α=________，tan2α=________． 【答案】35247【解析】由已知得3cos 5α==-，所以445tan 335α==--，242243tan 27413α⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 故答案为：35；247． 三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．计算下列各式的值：（1）()22230327389.682--⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）941451log log 3log 5log 272⋅--+. 【答案】（1）3；（2）174. 【解析】（1）根据指数幂的运算法则，可得()2223327389.682--⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222333333(24441399)1[()]22--⎛⎫=--+ -⎪⎝-+⎭==.（2）根据对数的运算法则，可得941451log log 3log 5log 272⋅--+ 325211111log 2log log 5log 2414224341722=-⨯+-+=-+-+=.19．已知函数()()()log 1log 1a a f x x x =+--，其中0a >且1a ≠．()1判断()f x 的奇偶性并予以证明； ()2若1a >，解关于x 的不等式()0f x >．【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）()0,1． 【解析】()1要使函数有意义，则{1010x x +>->，即{11x x >-<，即11x -<<， 即函数的定义域为()1,1-，则()()()()()()log 1log 1log 1log 1a a a a f x x x x x f x ⎡⎤-=-+-+=-+--=-⎣⎦， 则函数()f x 是奇函数．()2若1a >，则由()0.f x >得()()log 1log 10a a x x +-->，即()()log 1log 1a a x x +>-， 即11x x +>-，则0x >， 定义域为()1,1-，01x ∴<<，即不等式的解集为()0,1．20．（1）已知角α的终边经过点(,6)P x ，且5cos 13α=-，求sin α和tan α的值. （2）已知1cos 7α=，13cos()14αβ-=，且02πβα<<<，求角β. 【答案】（1）12sin 13α=，12tan 5α=-（2）3πβ=【解析】 （1）55cos 132x α==-⇒=-， ∴5,62P ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴12sin 13α==，612tan 552α==--； （2）由1cos 7α=，02πα<<，得sin 7α=， 由13cos()14αβ-=,02πβα<<<，得02παβ<-<，得sin()αβ-=所以cos cos[()]cos cos()sin sin()βααβααβααβ=--=-+-11317142=⨯+=，又02πβ<<，∴3πβ=.21．已知函数2()cos cos f x x x x =-.（1）求函数()f x 的最小正周期和单调区间； （2）求函数()f x 的零点．【答案】（1）T π=；单调递增区间为[,]63k k ππππ-+，k Z ∈；单调递减区间为5[,]36k k ππππ++，k Z ∈； （2）6x k ππ=+或2x k π=+π，k Z ∈.【解析】（1）2()cos cos f x x x x =-cos 21222x x +=-1sin 262x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，即()1sin 262f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期22T ππ==. 因为sin y x =的单调增区间为2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，令222262k x k πππππ-≤-≤+，解得63k xk ππππ，k Z ∈.因为sin y x =的单调减区间为32,222k k ππππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦+，k Z ∈，令3222262k x k πππππ-++≤≤， 解得536k x k ππππ++≤≤，k Z ∈.所以()f x 的单调递增区间为,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.单调递减区间为5,36ππk πk π⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ ，k Z ∈.（2）函数1()sin 262f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的零点，令1sin(2)062x π--=，即1sin(2)62x π-=.2266x k πππ-=+或52266x k πππ-=+，k Z ∈ 解得6x k ππ=+或2x k π=+π，k Z ∈所以()f x 的零点为6x k ππ=+或2x k π=+π，k Z ∈22．已知函数2()21x xaf x a -=⋅+为奇函数，其中a 为实数． （1）求实数a 的值；（2）若0a >时，不等式()(())20xf f x f t +⋅<在[1,1]x ∈-上恒成立，求实数t的取值范围．【答案】（1）±1；（2）1,5⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.【解析】（1）由函数2()21x xaf x a -=⋅+为奇函数，可得()()f x f x -=-， 代入可得：222121x x x x a aa a ----=⋅+⋅++，整理可得：2222(2)1(2)x a a x -=-，所以21a =， 解得：1a =±；（2）若0a >，由（1）知1a =，所以212()12121x x x f x -==-++，由2x 为增函数，21x u =+为增函数且210x u =+>，又因为2u 为减函数，所以2u-为增函数，所以()f x 为增函数， 又因为()f x 为奇函数，由()(())20xf f x f t +⋅<可得：()20x f x t +⋅<，即21+2021x x x t -⋅<+在[1,1]x ∈-上恒成立， 若0t ≥，1x =时不成立，故0t <，令2x s =，则1(,2)2s ∈，整理可得：2(1)10t s t s ⋅++-<， 令2()(1)1g s t s t s =⋅++-，若1122t t +-≤或122t t +-≥ 需131()0242g t =-<，(2)610g t =+<，可得1156t -≤<-或12t ≤-，若11222t t +<-<，需1()02t g t+-<， 解得1125t -<<-， 综上可得：实数t 的取值范围为1,5⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.2021——2022学年杭州市部分重点中学高一上学期期末考试数学试卷（二）第I 卷 选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合U =R ,{|1A x x =<-或2}x >，则UA（ ）A ．(,1)(2,)-∞-+∞B ．[1,2]-C ．(,1][2,)-∞-+∞D ．(1,2)-2．设函数212(2)()5(2)x x f x x x x ⎧-=⎨-->⎩，则()3f f ⎡⎤⎣⎦等于（ ） A ．1-B ．1C ．5-D ．53．下列命题中正确的是（ ） A ．()0,x ∃∈+∞，23x x > B ．()0,1x ∃∈，23log log x x <C ．()0,x ∀∈+∞，131log 2xx ⎛⎫> ⎪⎝⎭D ．10,3x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，131log 2x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭4．函数153()sin 2152x x f x x π-⎛⎫=⋅+ ⎪+⎝⎭的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．5.函数的单调递增区间是( ) A ． B ． C ． D ．6．已知，，则等于（ ）12()log (2)f x x =-(,2)-∞(,0)-∞(2,)+∞(0,)+∞2παπ<<1sin cos 5αα+=tan αA.B. 或C.或 D.7．设sin 5a π=，b =2314c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．a c b <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<8．已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为( )A ．B ．C ．D ．9．已知225sin sin 240αα+-=，α在第二象限内，那么cos2α的值等于（ ）A ．35± B ．35C ．35D ．以上都不对10．关于函数()()()1sin 1sin 2cos f x x x x =-++，[]π,πx ∈-，有以下四个结论： ①()f x 是偶函数②()f x 在[]π,0-是增函数，在[]0,π是减函数 ③()f x 有且仅有1个零点 ④()f x 的最小值是1-，最大值是3 其中正确结论的个数是（ ）． A ．1B ．2C ．3D ．4第II 卷 非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11．函数lg(2)y x =-的定义域是______．12．已知函数()()3,0,0xx f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，则()3log 2f =________.13．函数()()sin f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递增区间为34-34-43-344335()f x R 21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()2log 4.1b f =()0.82c f =,,a b c a b c <<b a c <<c b a <<c a b <<___________．14．设α是第一象限角，3sin 5α=，则tan α=______.cos2=α______. 15．某地一天中6时至14时的温度变化曲线近似满足函数sin()T A t bωϕ=++2πϕπ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，6时至14时期间的温度变化曲线如图所示，它是上述函数的半个周期的图象，那么这一天6时至14时温差的最大值是_______°C；图中曲线对应的函数解析式是________.16．十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰•纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即log b a a N b N =⇔=，现已知2log 6,336b a ==，则12a b+=____，2=ab _____．17．设函数2(),0()1,0x a x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩，当a =1时，f (x )的最小值是________；若2()f x a ≥恒成立，则a 的取值范围是_________.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．已知，() （1）当时，若和均为真命题，求的取值范围： （2）若和的充分不必要条件，求的取值范围．19.已知函数，先将的图象向左平移个单位长度后，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.（1）当时，求函数的值域； （2）求函数在上的单调递增区间. 20.已知函数. （1）求函数的单调增区间；（2）若，，求的值.21．已知是定义在上的奇函数，且当时，（为常数）.（1）当时，求的解析式；（2）若关于x 的方程在上有解，求实数m 的取值范围.22．已知函数，．（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）用表示，中的较大值，当时，求函数的最小值．:p 1<:q 2221x x a -<-0a >2a =p q x p q a ()4sin 33f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭()f x 12π()g x 2,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x ()g x [0,2]π()2sin cos 2f x x x x =+()f x ()035f x =0ππ,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦0cos2x ()f x [3,3]-[0,3]x ∈()43x x f x a =+⋅a [3,0)x ∈-()f x 1()23x x f x m --=⋅+[2,1]--()22f x x x =+()24g x ax a =+()()f x g x ≥{}max ,p a p q 0a >()()(){}max ,H x f x g x =【答案解析】第I 卷 选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合U =R ,{|1A x x =<-或2}x >，则UA（ ）A ．(,1)(2,)-∞-+∞B ．[1,2]-C ．(,1][2,)-∞-+∞D ．(1,2)-【答案】B 【解析】因为U =R ,{|1A x x =<-或2}x >， 所以UA {|12}x x -≤≤.故选：B2．设函数212(2)()5(2)x x f x x x x ⎧-=⎨-->⎩，则()3f f ⎡⎤⎣⎦等于（ ） A ．1- B ．1 C ．5- D ．5【答案】A 【解析】2(3)3359351f =--=--=，1(1)121f =-=-，即()3(1)1f f f ==-⎡⎤⎣⎦. 故选：A.3．下列命题中正确的是（ ） A ．()0,x ∃∈+∞，23x x > B ．()0,1x ∃∈，23log log x x <C ．()0,x ∀∈+∞，131log 2xx ⎛⎫> ⎪⎝⎭D ．10,3x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，131log 2xx ⎛⎫> ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】0x >时，22133xx x ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，∴23x x <，A 错；(0,1)x ∈时，lg 0x <，lg3lg 20>>，因此11lg 2lg 3>，∴lg lg lg 2lg 3x x<，即23log log x x <，B 正确；13x =时，13112⎛⎫< ⎪⎝⎭，131log 13=，即131log 2xx ⎛⎫< ⎪⎝⎭，C 错； 10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，112x⎛⎫< ⎪⎝⎭，11331log log 13x >=，∴131log 2xx ⎛⎫< ⎪⎝⎭，D 错误． 故选：B ．4．函数153()sin 2152x x f x x π-⎛⎫=⋅+ ⎪+⎝⎭的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由题意得，15()cos 215xxf x x -=-⋅+， 15()cos(2)15x xf x x ---∴-=-⋅-=+51cos 2()51x x x f x --⋅=-+，则函数()f x 为奇函数，排除AC ；又33152cos 03315f ππππ-⎛⎫=-⋅< ⎪⎝⎭+，排除B. 故选：D. 5.函数的单调递增区间是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】由，得到，令，则在上递减，而在上递减，由复合函数单调性同增异减法则，得到在上递增， 故选：A6．已知，，则等于（ ） A. B. 或 C. 或D.【答案】A 【解析】∵，， ∴平方可得，即， ∴，，∵可得：，解得：，或（舍去）， ∴，可得：． 故选：A ． 7．设sin5a π=，b =2314c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）12()log (2)f x x =-(,2)-∞(,0)-∞(2,)+∞(0,)+∞20x ->2x <2t x =-2t x =-(,2)-∞12log y t =(0,)+∞12()log (2)f x x =-(,2)-∞2παπ<<1sin cos 5αα+=tan α34-34-43-3443352παπ<<1sin cos 5αα+=112sin cos 25αα+=12sin cos 025αα=-<sin 0α<cos 0α>22sin cos 1αα+=221cos cos 15αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭4cos 5α=35-143sin 555α=-=-3tan 4α=-A ．a c b <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】C 【解析】由对数函数y x =在()0,∞+单调递增的性质得：1b =>=，由指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 单调递减的性质得：2413311142212c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=<=，由三角函数sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的性质得1sin sin 562a ππ=>=.所以c a b <<. 故选：C.8．已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为( )A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】由题意：，且：，据此：，结合函数的单调性有：，即. 本题选择C 选项.9．已知225sin sin 240αα+-=，α在第二象限内，那么cos2α的值等于（ ）A ．35±B ．35C ．35D ．以上都不对【答案】A()f x R 21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()2log 4.1b f =()0.82c f =,,a b c a b c <<b a c <<c b a <<c a b <<()221log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭0.822log 5log 4.12,122>><<0.822log 5log 4.12>>()()()0.822log 5log 4.12f f f >>,a b c c b a >><<【解析】α在第二象限内，sin 0α∴>，cos 0α<， 由225sinsin 240αα+-=得：()()25sin 24sin 10αα-+=，解得：24sin 25α=，7cos 25α∴==-，即272cos 1225α-=-，29cos 225α∴=， α在第二象限内，2α∴为第一或第三象限角，3cos25α∴=±. 故选：A .10．关于函数()()()1sin 1sin 2cos f x x x x =-++，[]π,πx ∈-，有以下四个结论： ①()f x 是偶函数②()f x 在[]π,0-是增函数，在[]0,π是减函数 ③()f x 有且仅有1个零点 ④()f x 的最小值是1-，最大值是3 其中正确结论的个数是（ ）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C 【解析】函数()()()()221sin 1sin 2cos cos 2cos cos 11f x x x x x x x =-++=+=+-，()()()()22cos 2cos cos 2cos x x f x f x x x -=-+-=+=，故()f x 是偶函数，①正确； 令cos t x =在[]π,0-是增函数，在[]0,π是减函数，()()22211y f t t t t ==+=+-在[]1,1t ∈-上递增，根据复合函数单调性可知()f x 在[]π,0-是增函数，在[]0,π是减函数，②正确；()()211y f t t ==+-，[]1,1t ∈-，则1t =-时，最小值为-1，1t =时，最大值为3，④正确；令()()2110f t t =+-=得0t =或2t =-（舍去），即cos 0t x ==，则2()2x k k Z ππ=+∈，()f x 有无数个零点，故③错误.所以有3个正确结论.故选：C.第II 卷 非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11．函数lg(2)y x =-的定义域是______． 【答案】(,2)-∞ 【解析】由题设有20x ->，解得2x <，故函数的定义域为(),2-∞，填(),2-∞．12．已知函数()()3,0,0x x f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，则()3log 2f =________.【答案】12【解析】由对数函数性质知333log 1log 2log 3<<，即30log 21<<，则3log 20-<故()()()331log 2log 21331log 2log 23322f f ---=-====. 故答案为：12. 13．函数()()sin f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递增区间为___________．【答案】37[2,2],44k k k Z ++∈【解析】 由图象知：22||T πω==， 15()()044f f ==， ∴()f x 的单调递增区间为37[2,2],44k k k Z ++∈，故答案为：37[2,2],44k k k Z ++∈14．设α是第一象限角，3sin 5α=，则tan α=______.cos2=α______. 【答案】34 725【解析】∵α是第一象限角，3sin 5α=，∴4cos 5α==，∴sin 35tan cos 4534ααα===. ∴2237cos 212sin 12525αα⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：34，725.15．某地一天中6时至14时的温度变化曲线近似满足函数sin()T A t bωϕ=++2πϕπ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，6时至14时期间的温度变化曲线如图所示，它是上述函数的半个周期的图象，那么这一天6时至14时温差的最大值是_______°C；图中曲线对应的函数解析式是________.【答案】20 310sin 2084y x ππ⎛⎫=++⎪⎝⎭，[6,14]x ∈. 【解析】由图可知，这段时间的最大温差是30°C -10°C=20°C ；图中从6~14时的图象是函数sin()y A x b ωϕ=++的半个周期的图象，得1(3010)102A =-=，1(3010)202b =+=，因为121462πω⋅=-，所以8πω=，从而得10sin 208y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，将6x =，10y =代入，得10sin 620108ϕπ⎛⎫⨯++= ⎪⎝⎭，即3sin 14πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，由于2ϕπ<<π，可得34πϕ=. 故所求解析式为310sin 2084y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，[6,14]x ∈. 故答案为：20；310sin 2084y x ππ⎛⎫=++⎪⎝⎭，[6,14]x ∈. 16．十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰•纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即log b a a N b N =⇔=，现已知2log 6,336b a ==，则12a b+=____，2=ab _____．【答案】 【解析】由题意知2log 6,336ba ==，可得33log 362log 6b ==，所以66231121log 2,log 3log 6log 6a b ====， 所以66612log 2log 3log (23)1a b +=+=⨯=，又由2223log 61log 3log 2log 62a b ===，所以log 22ab ==故答案为：1.17．设函数2(),0()1,0x a x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩，当a =1时，f (x )的最小值是________；若2()f x a ≥恒成立，则a 的取值范围是_________.【答案】1 [0] 【解析】当a =1时，当0x ≤时，2()(1)1f x x =-≥，当0x >时，1()f x x x =+2≥=，当且仅当1x =时，等号成立.所以()f x 的最小值为1.当0x ≤时，2()f x a ≥，即22()x a a -≥，即(2)0x x a -≥恒成立，所以2x a -0≤恒成立，即2a x ≥恒成立，所以20a ≥，即0a ≥. 当0x >时，2()f x a ≥，即21x a x +≥恒成立，因为1x x+2≥=，当且仅当1x =时，等号成立，所以22a ≤，所以a ≤≤综上所述：a的取值范围是. 故答案为：1；三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．已知，() （1）当时，若和均为真命题，求的取值范围： （2）若和的充分不必要条件，求的取值范围．:p 1<:q 2221x x a -<-0a >2a =p q x p q a【答案】（1）；（2）． 【解析】对于命题，所以，解得， 对于命题因为，所以解得， （1）当时，因为和均为真命题，所以，解得，故的取值范围为； （2）因为是的充分不必要条件，所以 ，即，解得，故的取值范围为.结论点睛：本题考查根据充分不必要条件求参数，一般可根据如下规则判断： （1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集； （2）若是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集； （3）若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）若是的既不充分又不必要条件，则对应的集合与对应集合互不包含．19.已知函数，先将的图象向左平移个单位长度后，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.（1）当时，求函数的值域；（2）求函数在上的单调递增区间.【答案】（1）；（2）单调递增区间为和. 【解析】（1）当时，，，[2,3)[2,)+∞:p 1<20log (1)1x ≤-<23x ≤<:q 2221x x a -<-22210x x a -+-<11a x a -<<+2a =:13q x -<<p q 2313x x ≤<⎧⎨-<<⎩23x ≤<x [2,3)p q [2,3)(1,1)a a -+1213a a -<⎧⎨+≥⎩2a ≥a [2,)+∞p q q p p q p q p q p q p q q p ()4sin 33f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭()f x 12π()g x 2,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x ()g x [0,2]π4⎡⎤-⎣⎦70,18π⎡⎤⎢⎥⎣⎦1931,1818ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦2,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦583,333x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦sin 332x π⎡⎤⎛⎫∴-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦.（2）由题意得，将的图像向左平移个单位长度后，得到的图像，再将所得图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到.令，，解得，，函数的单调递增区间为. 又，故所求单调递增区间为和. 20.已知函数. （1）求函数的单调增区间；（2）若，，求的值.【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由题意，函数，令，解得， 所以函数的单调增区间为. （2）由，可得， 因为，可得，所以， ()[f x ∴∈-()f x 12π4sin 31212f x x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3()4sin 212g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭32222122k x k πππππ-+-+k ∈Z 5474183183k k xππππ-++k ∈Z ∴()g x 5474,()183183k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z [0,2]x π70,18π⎡⎤⎢⎥⎣⎦1931,1818ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()2sin cos 2f x x x x =+()f x ()035f x =0ππ,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦0cos2x 5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈410()2sin cos 2f x x x x =+πsin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π222,232k x k k ππ-+π≤+≤+π∈Z 5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈()f x 5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈()035f x =0π3sin 235x 0,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦022,33x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦04cos 235x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭21．已知是定义在上的奇函数，且当时，（为常数）.（1）当时，求的解析式； （2）若关于x 的方程在上有解，求实数m 的取值范围.【答案】（1），；（2）. 【解析】 （1）是定义在上的奇函数，且当时，，，解得，当时，. 则当时，，， ，. （2）由（1）知，当时，， 可化为， 整理得.令，根据指数函数的单调性可得，在是增函数. ，又关于x 的方程在上有解，故实数m 的取值范围是.22．已知函数，．（Ⅰ）解不等式；00cos 2cos 233x x ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦00cos 2cos sin 2sin 3333x x ππππ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x [3,3]-[0,3]x ∈()43xxf x a =+⋅a [3,0)x ∈-()f x 1()23xxf x m --=⋅+[2,1]--11()34x x f x =-[3,0)x ∈-17,52⎡⎤--⎢⎥⎣⎦()f x [3,3]-[0,3]x ∈()43x x f x a =+⋅00(0)4310f a a ∴=+⋅=+=1a =-[0,3]x ∈()43xxf x =-[3,0)x ∈-(0,3]x -∈11()43()43x x x x f x f x --∴-=-=-=-11()34x xf x ∴=-[3,0)x ∈-[2,1]x ∈--11()34x xf x =-1()23x x f x m --∴=⋅+1112334x xx xm ---=⋅+12223xxm ⎛⎫⎛⎫=--⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12()223xxg x ⎛⎫⎛⎫=--⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()g x [2,1]--17()52g x ∴-≤≤-1()23x x f x m --=⋅+[2,1]--17,52⎡⎤--⎢⎥⎣⎦()22f x x x =+()24g x ax a =+()()f x g x ≥（Ⅱ）用表示，中的较大值，当时，求函数的最小值．【答案】（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）最小值为0． 【解析】（Ⅰ）由，得，即．当时，解不等式可得：或；当时，不等式可化为，显然恒成立，所以解集为； 当时，解不等式可得：或； 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，．当或时，是开口向上的二次函数，且对称轴为，所以在上单调递减，在上单调递增， 又，，所以；当时，． 综上，的最小值为0．2021——2022学年杭州市部分重点中学高一上学期期末考试数学试卷（三）第I 卷 选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选{}max ,p a p q 0a >()()(){}max ,H x f x g x =()()f x g x ≥()22240x a x a +--≥()()220x x a +-≥1a <-2x a ≤2x ≥-1a =-()220x +≥R 1a >-2x -≤2x a ≥1a <-(][),22,a -∞⋃-+∞1a =-R 1a >-(][),22,a -∞-⋃+∞()(][)()22,,22,24,2,2x x x a H x ax a x a ⎧+∈-∞-⋃+∞⎪=⎨+∈-⎪⎩2x -≤2x a ≥()22H x x x =+1x =-()22H x x x =+(],2-∞-[)2,a +∞()20H -=()()2244410H a a a a a =+=+>()min 0H x =22x a -<<()()24220H x ax a a x =+=+>()H x项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}012M =,,，{}1,2N =，则M N ⋃=（ ）． A ．{}1,2B ．{}0C ．{}0,1,2D ．{}0,12．已知a ，b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若偶函数在区间上是增函数，则( ) A ．B ．C ．D ．4．设2313a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，532b =，21log 3c =，则（ ） A ．b a c << B ．a b c << C ．c a b << D ．b c a <<5．已知角α的终边经过点()3,4P ，则πcos 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A．50-B．50C．50-D．506．函数()f x 在[)0,+∞单调递增，且()3f x +关于3x =-对称，若()21f -=，则()21f x -≤的x 的取值范围（ ）A ．[]22-,B ．(][),22,-∞-+∞C ．()[),04,-∞+∞D ．[]0,47．对于函数()12sin 3()42f x x x R π⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭，有以下四种说法：①函数的最小值是32-②图象的对称轴是直线()312k x k Z ππ=-∈ ③图象的对称中心为,0()312k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ ()f x (]1-∞-，3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭④函数在区间7,123ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增． 其中正确的说法的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．48．函数1()11f x x=+-的图象与函数()2sin 1(24)g x x x π=+-的图象所有交点的横坐标之和等于（ ） A ．8B ．6C ．4D ．29．已知函数2,0()()21,0x e a x f x a R x x ⎧+=∈⎨->⎩，若函数()f x 在R 上有两个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞-B ．[2,0)-C ．(1,0)-D ．[1,0)-10．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()()2log 1f x x =+，则不等式()2f x ≤的解集是（ ）．A ．[]3,3-B ．[]4,4-C ．(][),33,-∞-+∞ D ．(][),44,-∞-⋃+∞第II 卷 非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11．圆锥底面半径为1cm ，母线长为2cm ，则其侧面展开图扇形的圆心角θ=___________.12．设2log 3a =，则4a =______（用数值表示），lg 36lg 4=______.（用a 表示） 13．某移动公司规定，使用甲种卡，须付“基本月租费”（每月需交的固定费用）30元，在国内通话时每分钟另收话费0.10元；使用乙种卡，不收“基本月租费”，但在国内通话时每分钟话费为0.2元．若某用户每月手机费预算为50元，则使用__________种卡才合算；若要使用甲种卡合算，则该用户每月手机费预算（元）的区间为__________．14．设函数()112,1,1x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则()3f x ≤成立的x 的取值范围为______．15．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，稳坐于永乐桥之上的“天津之眼”作为世界上唯一一座建在桥上的摩天轮，其巧夺天工和奇思妙想确是当之无愧的“世界第一”.如图，永乐桥摩天轮的直径为110m ，到达最高点时，距离地面的高度为120m ，能看到方圆40km 以内的景致，是名副其实的“天津之眼”.实际上，单从高度角度来看，天津之眼超越了曾大名鼎鼎的伦敦之眼而跃居世界第一.永乐桥摩天轮设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min .游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转到min t 后距离地面的高度为m H ，则转到10min 后距离地面的高度为______m ，在转动一周的过程中，H 关于t 的函数解析式为______.16．已知2,0()(),0x x f x f x x ⎧≥=⎨--<⎩，若4log 3a =，则()f a =___________；()1f a -=___________.17．已知(0,)απ∈，且有12sin2cos2αα-=，则cos α=___________. 三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．函数是奇函数． 求的解析式；当时，恒成立，求m 的取值范围．()22xx af x =-()1()f x ()2()0,x ∈+∞()24x f x m ->⋅+19．已知函数()22sin cos 22222x x x f x ππ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间[]0,π上的最小值及单调减区间.20．已知二次函数()f x 的图象经过点()4,4-，方程()0f x =的解集为{}0,2. （1）求()f x 的解析式；（2）是否存在实数(),m n m n <，使得()f x 的定义域和值域分别为[],m n 和[]2,2m n ？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，说明理由.21．已知函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，在,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，且满足63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求()f x 的最小正周期；（2）将函数()f x 的图象向右平移06πϕϕ⎛⎫<<⎪⎝⎭个单位后得到函数()g x 的图象，若对满足()()122f x g x -=的1x 、2x 有12min 7x x π-=，求ϕ的值.22．设函数()()21x xa t f x a --=（0a >，且1a ≠）是定义域为R 的奇函数.（1）求t 的值；（2）若函数()f x 的图象过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭，是否存在正数()1m m ≠，使函数()()22log x xm g x a a mf x -⎡⎤=+-⎣⎦在[]21,log 3上的最大值为0，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.【答案解析】第I 卷 选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}012M =,,，{}1,2N =，则M N ⋃=（ ）． A ．{}1,2 B ．{}0 C ．{}0,1,2 D ．{}0,1【答案】C 【解析】由并集定义可得：{}0,1,2M N =.故选：C.2．已知a ，b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】若a b >，则a b b >≥，即a b >，故22a b >. 取1,2a b ==-，此时22a b >，但a b <， 故22a b >推不出a b >， 故选：A.3．若偶函数在区间上是增函数，则( ) A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】函数为偶函数,则.又函数在区间上是增函数. 则，即 ()f x (]1-∞-，3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭()f x ()()22f f =-()f x (]1-∞-，()()3122f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭-()()3212f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭。

故 在区间 上为单调递增
由题知，存在 使得 成立，则必有
则 ，解得 ，故 ，所以 的最大值为 .
当 时，函数 的零点个数转化为函数 与 的图象的公共点的个数.
画图得：
由图知 与 的图象的公共点的个数共6个，
即 的零点个数为6个.
21、（1）
（2）
【解析】（1）由 ，根据对数的单调性可得 ，然后解指数不等式即可.
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
【详解】依题意， ，而 ，
所以
故选：D
3、C
【解析】判断函数非奇非偶函数，排除选项A、B，在计算 时的函数值可排除选项D，进而可得正确选项.
【详解】因为 ， 且 ，
所以 既不是奇函数也不是偶函数，排除选项A、B，
因为 ，排除选项D，
故选：C
【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置
【小问1详解】
由 得
故函数 的单调递增区间为 .
由 得
故函数 的单调递减区间为
【小问2详解】
由（1）可知， 在 上为增函数，在 上为减函数
由题意可知： ，即 ，
解得 ，故实数 的取值范围为 .
20、（1）
（2）最大值为 ，6个
【解析】(1)根据正弦的二倍角公式和辅助角公式可得 ，利用 求出 ，进而求出 ，结合三角函数的性质即可得出结果；