三角函数的概念、同角三角函数的关系式和诱导公式

第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式[基本知识] 1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．(2)商数关系：tan α＝sin αcos α()α≠kπ＋π2，k∈Z.2．同角三角函数基本关系式的应用技巧一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.()(2)若α∈R，则tan α＝sin αcos α恒成立．()答案：(1)×(2)×二、填空题1．已知α∈()π2，π，sin α＝35，则tan α＝________.解析：∵α∈()π2，π，sin α＝35，∴cos α＝－45，于是tan α＝－34.答案：－342．已知tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α的值为________．解析：原式＝tan α＋1tan α－1＝2＋12－1＝3.答案：3[全析考法]考法一知弦求弦、切或知切求弦利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形．同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的．[例1] (1)(2019·成都龙泉中学月考)设cos(－80°)＝k ，那么tan 100°等于( ) A.1－k 2k B ．－1－k 2k C.k 1－k 2D ．－k1－k 2 (2)(2019·甘肃诊断)已知tan x ＝43，且角x 的终边落在第三象限，则cos x ＝( )A.45 B ．－45C.35D ．－35[解析] (1)∵cos(－80°)＝cos 80°＝k ，∴sin 80°＝1－cos 280°＝1－k 2， ∴tan 100°＝－tan 80°＝－1－k 2k.故选B. (2)因为角x 的终边落在第三象限，所以cos x <0，因为tan x ＝43，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin x cos x ＝43，cos x <0，解得cos x ＝－35，故选D.[答案] (1)B (2)D [易错提醒]知弦求弦、切或知切求弦时要注意判断角所在的象限，不要弄错切、弦的符号． 考法二 知切求f (sin α、cos α)的值[例2] (2019·保定三校联考)已知tan(3π＋α)＝3，则3sin α－cos α2sin α＋3cos α＝( )A.13B.89C.23D ．2[解析] ∵tan(3π＋α)＝3，∴tan α＝3，∴3sin α－cos α2sin α＋3cos α＝3tan α－12tan α＋3＝3×3－12×3＋3＝89.故选B.[答案] B [方法技巧]利用“切弦互化”的技巧(1)弦化切：把正弦、余弦化成切的结构形式，统一为“切”的表达式，进行求值．常见的结构有： ①sin α，cos α的二次齐次式(如a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α)的问题常采用“切”代换法求解； ②sin α，cos α的齐次分式()如a sin α＋b cos αc sin α＋d cos α的问题常采用分式的基本性质进行变形．(2)切化弦：利用公式tan α＝sin αcos α，把式子中的切化成弦．一般单独出现正切、余切的时候，采用此技巧． 考法三 sin α±cos α与sin αcos α关系的应用[例3] (1)已知sin αcos α＝38，且π4<α<π2，则cos α－sin α的值为( )A.12B ．±12C ．－14D ．－12(2)已知－π2<α<0，sin α＋cos α＝15，则1cos 2α－sin 2α＝( )A.75 B.257 C.725D.2425[解析] (1)因为sin αcos α＝38，所以(cos α－sin α)2＝cos 2α－2sin αcos α＋sin 2α ＝1－2sin αcos α＝1－2×38＝14，因为π4<α<π2，所以cos α<sin α，即cos α－sin α<0， 所以cos α－sin α＝－12.(2)∵sin α＋cos α＝15，∴1＋2sin αcos α＝125， ∴2sin αcos α＝－2425，(cos α－sin α)2＝1＋2425＝4925. 又∵－π2<α<0，∴cos α>0>sin α，∴cos α－sin α＝75，∴1cos 2α－sin 2α＝1(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝115×75＝257. [答案] (1)D (2)B [方法技巧]正弦、余弦“sin α±cos α，sin α·cos α”的应用sin α±cos α与sin α·cos α通过平方关系联系到一起，即(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，sin αcos α＝(sin α＋cos α)2－12，sin αcos α＝1－(sin α－cos α)22.因此在解题中已知1个可求另外2个．[集训冲关]1.[考法一]已知α∈(0，π)，cos α＝－35，则tan α＝( )A.34 B ．－34C.43D ．－43解析：选D ∵cos α＝－35且α∈(0，π)，∴sin α＝1－cos 2α＝45，∴tan α＝sin αcos α＝－43.故选D.2.[考法三]已知sin α＋cos α＝13，则sin αcos α的值为________．解析：∵sin α＋cos α＝13，∴(sin α＋cos α)2＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝1＋2sin αcos α＝19，解得sin αcos α＝－49.答案：－493.[考法二]已知tan α＝－43，求：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α的值； (2)1cos 2α－sin 2α的值； (3)sin 2α＋2sin αcos α的值．解：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α＝tan α－45tan α＋2＝－43－45×()－43＋2＝87.(2)1cos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2αcos 2α－sin 2αcos 2α＝tan 2α＋11－tan 2α＝()－432＋11－()－432＝－257. (3)sin 2α＋2sin αcos α＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋2tan αtan 2α＋1＝169－83169＋1＝－825. 突破点二 三角函数的诱导公式[基本知识]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( )(2)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍、偶数倍，变与不变指函数名称是否变化．( )答案：(1)× (2)√ 二、填空题1．已知cos(π＋α)＝－35，则sin ()3π2＋α等于________．解析：cos(π＋α)＝－cos α＝－35，则cos α＝35，sin ()3π2＋α＝－sin ()π2＋α＝－cos α＝ －35.答案：－352．已知sin ()α＋π6＝45，则sin ()α＋7π6等于________．解析：sin ()α＋7π6＝sin []()α＋π6＋π＝－sin ()α＋π6＝－45.答案：－453．已知tan ()π6－α＝33，则tan ()5π6＋α＝________.解析：tan ()5π6＋α＝tan ()π－π6＋α＝tan [ π－( π6－α ) ] ＝－tan ()π6－α＝－33.答案：－331．利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤也就是：“负化正，大化小，化到锐角为终了．” 2．利用诱导公式化简三角函数的要求 (1)化简过程是恒等变形；(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．[典例感悟](2019·武威六中第一次阶段性检测)已知f (α)＝[]sin ()π2－αtan (π＋α)－cos (π－α)2－14sin ()3π2＋α＋cos (π－α)＋cos (2π－α).(1)化简f (α)；(2)若－π3<α<π3，且f (α)<14，求α的取值范围．解：(1)f (α)＝(cos αtan α＋cos α)2－1－4cos α－cos α＋cos α＝(sin α＋cos α)2－1－4cos α＝2sin αcos α－4cos α＝－12sin α.(2)由已知得－12sin α<14，∴sin α>－12，∴2k π－π6<α<2k π＋7π6，k ∈Z.∵－π3<α<π3，∴－π6<α<π3.故α的取值范围为()－π6，π3.[方法技巧]应用诱导公式化简求值的常见问题及注意事项(1)已知角求值问题．关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用．(2)对给定的式子进行化简或求值问题．要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化．特别要注意每一个角所在的象限，防止符号及三角函数名出错．[针对训练]1．(2018·玉林陆川中学期中)sin 570°的值是( ) A ．－12B.12C.32D ．－32解析：选A sin 570°＝sin(720°－150°)＝－sin 150°＝－12.故选A.2．(2019·湖北八校联考)已知sin(π＋α)＝－13，则tan ()π2－α＝( )A ．2 2B ．－22 C.24D ．±22解析：选D ∵sin(π＋α)＝－13，∴sin α＝13，∴tan ()π2－α＝cos αsin α＝±22，故选D.3．(2019·南充模拟)设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β都是非零实数．若f (2 019)＝－1，则f (2 020)＝( )A ．1B ．2C ．0D ．－1解析：选A ∵f (2 019)＝a sin(2 019π＋α)＋b cos(2 019π＋β)＝－a sin α－b cos β＝－1，∴a sin α＋b cos β＝1，∴f (2 020)＝a sin(2 020π＋α)＋b cos(2 020π＋β)＝a sin α＋b cos β＝1.故选A.4．化简：sin 2(α＋π)·cos (π＋α)·cos (－α－2π)tan (π＋α)·sin 3()π2＋α·sin (－α－2π)＝________.解析：原式＝sin 2α·(－cos α)·cos αtan α·cos 3α·(－sin α)＝sin 2αcos 2αsin 2αcos 2α＝1.答案：1[课时跟踪检测][A 级 基础题——基稳才能楼高]1．(2019·新疆普通高中学业水平考试)已知x ∈()－π2，0，cos x ＝45，则tan x 的值为( )A.34 B ．－34C.43D ．－43解析：选B 因为x ∈()－π2，0，所以sin x ＝－1－cos 2x ＝－35，所以tan x ＝sin x cos x ＝－34.故选B. 2．(2019·淮南十校联考)已知sin ()α－π3＝13，则cos ()α＋π6的值是( )A ．－13B.13C.223D ．－223解析：选A ∵sin ()α－π3＝13，∴cos ()α＋π6＝cos []π2＋()α－π3＝－sin ()α－π3＝－13，故选A.3．(2019·重庆一模)log 2()cos 7π4的值为( )A ．－1B ．－12C.12D.22解析：选B log 2()cos 7π4＝log 2()cos π4＝log 222＝－12.故选B.4．(2019·遵义模拟)若sin ()π2＋α＝－35，且α∈( π2，π )，则sin(π－2α)＝( )A ．－2425B ．－1225解析：选A ∵sin ()π2＋α＝cos α＝－35，α∈()π2，π，∴sin α＝45，∴sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝2×45×()－35＝－2425.故选A.5．(2019·沈阳模拟)若1＋cos αsin α＝2，则cos α－3sin α＝( ) A ．－3 B ．3 C ．－95D.95解析：选C ∵1＋cos αsin α＝2，∴cos α＝2sin α－1，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin 2α＋(2sin α－1)2＝1,5sin 2α－4sin α＝0，解得sin α＝45或sin α＝0(舍去)，∴cos α－3sin α＝－sin α－1＝－95.故选C.6．(2019·庄河高中期中)已知sin ()α－π12＝13，则cos ()α＋17π12等于( )A.13B.223C ．－13D ．－223解析：选A cos ()α＋17π12＝cos []3π2＋()α－π12＝sin ()α－π12＝13.故选A. [B 级 保分题——准做快做达标]1．(2019·宝鸡金台区质检)已知sin 2α＝23，则tan α＋1tan α＝( )A. 3B.2 C ．3D ．2解析：选C tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α＝2sin 2α＝223＝3.故选C.2．(2019·常德一中月考)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α＝( ) A.43 B.34 C ．－34D ．－43解析：选C 因为sin α＋2cos α＝102，sin 2α＋cos 2α＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝31010，cos α＝1010或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－1010，cos α＝31010.所以tan α＝3或－13.所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×31－32＝－34或tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×()－131－()－132＝－34.故选C.3．(2019·株洲醴陵二中、四中期中联考)已知2sin α－cos α＝0，则sin 2α－2sin αcos α的值为( ) A ．－35B ．－125解析：选A 由已知2sin α－cos α＝0得tan α＝12，所以sin 2α－2sin αcos α＝sin 2α－2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－2tan αtan 2α＋1＝－35.故选A. 4．(2019·大庆四地六校调研)若α是三角形的一个内角，且sin ()π2＋α＋cos ()3π2＋α＝15，则tan α的值是( )A ．－43B ．－34C ．－43或－34D ．不存在解析：选A 由sin ()π2＋α＋cos ()3π2＋α＝15，得cos α＋sin α＝15，∴2sin αcos α＝－2425<0.∵α∈(0，π)，∴α∈()π2，π，∴sin α－cos α＝1－2sin αcos α＝75，∴sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43，故选A.5．(2019·平顶山、许昌联考)已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则cos 2α＋12sin 2α的值是( )A.35 B ．－35C ．－3D ．3解析：选A 由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，得tan α＋33－tan α＝5，解得tan α＝2，∴cos 2α＋12sin 2α＝cos 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1＋tan αtan 2α＋1＝1＋222＋1＝35. 6．(2019·河南中原名校联考)已知θ为第二象限角，sin θ，cos θ是关于x 的方程2x 2＋(3－1)x ＋m ＝0(m ∈R)的两根，则sin θ－cos θ＝( )A.1－32B.1＋32C. 3D ．－3解析：选B ∵sin θ，cos θ是方程2x 2＋(3－1)x ＋m ＝0(m ∈R)的两根，∴sin θ＋ cos θ＝1－32，sin θ·cos θ＝m2，可得(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θ·cos θ＝1＋m ＝2－32，解得m ＝－32.∵θ为第二象限角，∴sin θ>0，cos θ<0，即sin θ－cos θ>0，∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θ·cos θ＝1－m ＝1＋32，∴sin θ－cos θ＝ 1＋32＝1＋32，故选B. 7．(2018·全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos 2α＝23，则|a －b |＝( )A.15B.55C.255D ．1解析：选B 由cos 2α＝23，得cos 2α－sin 2α＝23，∴cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝23，即1－tan 2α1＋tan 2α＝23，∴tan α＝±55， 即b －a 2－1＝±55，∴|a －b |＝55.故选B.8．(2019·武邑中学调研)已知sin α＝13，0<α<π，则sin α2＋cos α2＝________.解析：()sin α2＋cos α22＝1＋sin α＝43，又0<α<π，∴sin α2＋cos α2>0，∴sin α2＋cos α2＝233. 答案：2339．(2019·广西桂林等五市联考)已知sin θ＋cos θ＝15，θ∈()π2，π，则tan θ＝________.解析：∵sin θ＋cos θ＝15，∴(sin θ＋cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θcos θ＝1＋2sin θcos θ＝125，∴sin θcos θ＝－1225，又π2<θ<π，∴sin θ－cos θ>0，∴(sin θ－cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ－2sin θcos θ＝1－2sin θcos θ＝4925，∴sin θ－cos θ＝75， 由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝15，sin θ－cos θ＝75，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝45，cos θ＝－35.∴tan θ＝sin θcos θ＝－43.答案：－4310．(2019·浙江名校协作体检测)已知sin ()－π2－α·cos ()－7π2＋α＝1225，且0<α<π4，则 sin α＝________，cos α＝________.解析：sin ()－π2－αcos ()－7π2＋α＝－cos α(－sin α)＝sin αcos α＝1225.又∵0<α<π4，∴0<sin α<cos α.解⎩⎨⎧sin αcos α＝1225，sin 2α＋cos 2α＝1，得sin α＝35，cos α＝45.答案：35 4511．(2019·惠安惠南中学月考)已知cos α－sin α＝5213，α∈()0，π4. (1)求sin αcos α的值；(2)求sin ()π2－2αcos ()π4＋α的值． 解：(1)∵cos α－sin α＝5213，α∈()0，π4， 平方可得1－2sin αcos α＝50169，∴sin αcos α＝119338.(2)sin α＋cos α＝(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝12213， ∴原式＝cos 2αcos ()π4＋α＝(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)22(cos α－sin α)＝2(cos α＋sin α)＝2413.12．在△ABC 中，(1)求证：cos 2A ＋B 2＋cos 2C2＝1；(2)若cos ()π2＋A sin ()3π2＋B tan(C －π)＜0，求证：△ABC 为钝角三角形． 证明：(1)在△ABC 中，A ＋B ＝π－C ，所以A ＋B 2＝π2－C2， 所以cos A ＋B 2＝cos ()π2－C 2＝sin C2，所以cos 2A ＋B 2＋cos 2C2＝1.(2)因为cos ()π2＋A sin ()3π2＋B tan(C －π)＜0， 所以(－sin A )(－cos B )tan C ＜0， 即sin A cos B tan C ＜0.因为在△ABC 中，0＜A ＜π，0＜B ＜π，0＜C ＜π且sin A ＞0，所以⎩⎨⎧ cos B ＜0，tan C ＞0或⎩⎨⎧cos B ＞0，tan C ＜0，所以B 为钝角或C 为钝角，所以△ABC 为钝角三角形.。

三角函数的诱导公式知识点三角函数的诱导公式知识点数学是人类对事物的抽象结构与模式进行严格描述的一种通用手段，可以应用于现实世界的任何问题，所有的数学对象本质上都是人为定义的。

下面是店铺整理的三角函数的诱导公式知识点，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。

三角函数的诱导公式诱导公式的本质所谓三角函数诱导公式，就是将角n·(π/2)±α的三角函数转化为角α的三角函数。

常用的诱导公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)=sinα k∈zcos(2kπ+α)=cosα k∈ztan(2kπ+α)=tanα k∈zcot(2kπ+α)=cotα k∈z公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα公式六：π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanα推算公式：3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotαcot(3π/2+α)=-tanαsin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanα诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。

§4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式考试要求 1.理解同角三角函数的基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.2.掌握诱导公式，并会简单应用．知识梳理1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：sin αcos α＝tan α⎝⎛⎭⎫α≠π2＋k π，k ∈Z . 2．三角函数的诱导公式公式 一 二 三 四 五 六 角 2k π＋α (k ∈Z ) π＋α －α π－α π2－α π2＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan αtan α－tan α－tan α口诀奇变偶不变，符号看象限常用结论同角三角函数的基本关系式的常见变形 sin 2α＝1－cos 2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos 2α＝1－sin 2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( × ) (2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立．( × )(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( × ) (4)若sin ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝13，则cos α＝－13.( √ )教材改编题1．已知α是第二象限角，sin α＝55，则cos α的值为 ． 答案 －255解析 ∵sin α＝55，α是第二象限角， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－255.2．已知sin α－2cos α3sin α＋5cos α＝－5，那么tan α的值为 ．答案 －2316解析 由sin α－2cos α3sin α＋5cos α＝－5，知cos α≠0，等式左边分子、分母同时除以cos α，可得tan α－23tan α＋5＝－5，解得tan α＝－2316.3．化简cos ⎝⎛⎭⎫α－π2sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为 ． 答案 －sin 2α解析 原式＝sin αcos α·(－sin α)·cos α＝－sin 2α.题型一 同角三角函数基本关系例1 (1)已知cos α＝－513，则13sin α＋5tan α＝ .答案 0解析 ∵cos α＝－513<0且cos α≠－1，∴α是第二或第三象限角． ①若α是第二象限角，则sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－5132＝1213， ∴tan α＝sin αcos α＝1213－513＝－125.此时13sin α＋5tan α＝13×1213＋5×⎝⎛⎭⎫－125＝0. ②若α是第三象限角， 则sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫－5132 ＝－1213，∴tan α＝sin αcos α＝－1213－513＝125，此时，13sin α＋5tan α＝13×⎝⎛⎭⎫－1213＋5×125＝0. 综上，13sin α＋5tan α＝0.(2)已知tan α＝12，则sin α－3cos αsin α＋cos α＝ ；sin 2α＋sin αcos α＋2＝ .答案 －53 135解析 已知tan α＝12，所以sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝－53.sin 2α＋sin αcos α＋2 ＝sin 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋2＝tan 2α＋tan αtan 2α＋1＋2＝⎝⎛⎭⎫122＋12⎝⎛⎭⎫122＋1＋2＝135.(3)已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，则tan θ＝ .答案 －125解析 由sin θ＋cos θ＝713，得sin θcos θ＝－60169，因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，cos θ<0， 所以sin θ－cos θ＝1－2sin θcos θ＝1713， 联立⎩⎨⎧sin θ＋cos θ＝713，sin θ－cos θ＝1713，解得⎩⎨⎧sin θ＝1213，cos θ＝－513，所以tan θ＝－125.教师备选1．(2022·锦州联考)已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则cos 2α＋12sin 2α等于( )A.35 B ．－35C ．－3D ．3答案 A解析 由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，得tan α＋33－tan α＝5，可得tan α＝2，则cos 2α＋12sin 2α＝cos 2α＋sin αcos α＝cos 2α＋sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋tan α1＋tan 2α＝35. 2．若α∈(0，π)，sin(π－α)＋cos α＝23，则sin α－cos α的值为( ) A.23B ．－23 C.43 D ．－43答案 C解析 由诱导公式得sin(π－α)＋cos α＝sin α＋cos α＝23， 所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝29，则2sin αcos α＝－79<0，因为α∈(0，π)，所以sin α>0， 所以cos α<0，所以sin α－cos α>0， 因为(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝169，所以sin α－cos α＝43.思维升华 (1)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．(2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α. 跟踪训练1 (1)(2021·新高考全国Ⅰ)若tan θ＝－2，则sin θ(1＋sin 2θ)sin θ＋cos θ等于( )A ．－65B ．－25 C.25 D.65答案 C解析 方法一 因为tan θ＝－2， 所以角θ的终边在第二或第四象限，所以⎩⎨⎧sin θ＝25，cos θ＝－15或⎩⎨⎧sin θ＝－25，cos θ＝15，所以sin θ(1＋sin 2θ)sin θ＋cos θ＝sin θ(sin θ＋cos θ)2sin θ＋cos θ＝sin θ(sin θ＋cos θ) ＝sin 2θ＋sin θcos θ ＝45－25＝25.方法二 (弦化切法)因为tan θ＝－2， 所以sin θ(1＋sin 2θ)sin θ＋cos θ＝sin θ(sin θ＋cos θ)2sin θ＋cos θ＝sin θ(sin θ＋cos θ) ＝sin 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ1＋tan 2θ＝4－21＋4＝25.(2)已知α是三角形的内角，且tan α＝－13，则sin α＋cos α的值为 ．答案 －105解析 由tan α＝－13，得sin α＝－13cos α，将其代入sin 2α＋cos 2α＝1，得109cos 2α＝1，所以cos 2α＝910，易知cos α<0，所以cos α＝－31010，sin α＝1010，故sin α＋cos α＝－105. 题型二 诱导公式例2 (1)已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值为( ) A.223B ．－223C.13 D ．－13答案 D解析 cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫α－π4 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－13.延伸探究 本例(1)改为已知θ是第二象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝45，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝ . 答案 34解析 ∵θ是第二象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝45， ∴θ＋π4为第二象限角，∴cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－35， ∴tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4 ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫θ＋π4－π2cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫θ＋π4－π2 ＝－cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－⎝⎛⎭⎫－3545＝34. (2)tan (π－α)cos (2π－α)sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos (－α－π)sin (－π－α)的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 答案 B解析 原式＝－tan α·cos α·(－cos α)cos (π＋α)·[－sin (π＋α)]＝tan α·cos 2α－cos α·sin α ＝－sin αcos α·cos αsin α＝－1.教师备选1．已知函数f (x )＝a x －2＋2(a >0且a ≠1)的图象过定点P ，且角α的始边与x 轴的正半轴重合，终边过点P ，则cos ⎝⎛⎭⎫11π2－αsin ⎝⎛⎭⎫9π2＋α＋sin 2αcos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin (－π－α)等于( )A.23 B ．－23C.32 D ．－32答案 B解析 易知函数f (x )＝a x －2＋2(a >0且a ≠1)的图象过定点P (2,3)， 故tan α＝32，则cos ⎝⎛⎭⎫11π2－αsin ⎝⎛⎭⎫9π2＋α＋sin 2αcos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin (－π－α)＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＋sin 2αcos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin α＝－sin αcos α＋2sin αcos α－sin αsin α＝－cos αsin α＝－1tan α＝－23.2．若sin x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π2，则cos x ·cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2等于( ) A.310 B ．－310C.34 D ．－34答案 A解析 易知sin x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－3cos x ， 所以tan x ＝－3， 所以cos x cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 ＝－sin x cos x ＝－sin x cos xsin 2x ＋cos 2xtan 2x ＋110思维升华 (1)诱导公式的两个应用①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了； ②化简：统一角，统一名，同角名少为终了． (2)诱导公式的应用步骤任意负角的三角函数――――――→利用诱导公式三或一任意正角的三角函数――――――→利用诱导公式一0～2π内的角的三角函数――――――→利用诱导公式二或四或五或六锐角三角函数． 跟踪训练2 (1)已知cos(75°＋α)＝13，求cos(105°－α)＋sin(15°－α)＝ .答案 0解析 因为(105°－α)＋(75°＋α)＝180°， (15°－α)＋(α＋75°)＝90°，所以cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)] ＝－cos(75°＋α)＝－13，sin(15°－α)＝sin[90°－(α＋75°)] ＝cos(75°＋α)＝13.所以cos(105°－α)＋sin(15°－α)＝－13＋13＝0.(2)(2022·盐城南阳中学月考)设tan(5π＋α)＝2，则sin (－3π＋α)＋cos (α－π)cos ⎝⎛⎭⎫α－112π＋sin ⎝⎛⎭⎫9π2＋α＝ .答案 3解析 由已知tan(5π＋α)＝tan α＝2， sin (－3π＋α)＋cos (α－π)cos ⎝⎛⎭⎫α－112π＋sin ⎝⎛⎭⎫9π2＋α＝sin (π＋α)＋cos (π－α)cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＋sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α－sin α＋cos α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝3. 题型三 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用 例3 已知f (α)＝sin (α－3π)cos (2π－α)sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos (－π－α)sin (－π－α).(1)化简f (α)；(2)若α＝－31π3，求f (α)的值；(3)若cos ⎝⎛⎭⎫－α－π2＝15，α∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，求f (α)的值． 解 (1)f (α)＝sin (α－3π)cos (2π－α)sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos (－π－α)sin (－π－α)＝－sin α×cos α×(－cos α)－cos α×sin α＝－cos α. (2)若α＝－31π3，则f (α)＝－cos ⎝⎛⎭⎫－31π3＝－cos π3＝－12. (3)由cos ⎝⎛⎭⎫－α－π2＝15， 可得sin α＝－15，因为α∈⎣⎡⎦⎤π，3π2， 所以cos α＝－265，所以f (α)＝－cos α＝265.教师备选设f (α)＝2sin (π＋α)cos (π－α)－cos (π＋α)1＋sin 2α＋cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫π2＋α(1＋2sin α≠0)． (1)化简f (α)；(2)若α＝－23π6，求f (α)的值． 解 (1)f (α)＝(－2sin α)·(－cos α)－(－cos α)1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos α(2sin α＋1)sin α(2sin α＋1)＝cos αsin α＝1tan α. (2)当α＝－23π6时， f (α)＝f ⎝⎛⎭⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎫－23π6 ＝1tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋π6 ＝1tan π6＝133＝ 3. 思维升华 (1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．(2)注意角的范围对三角函数符号的影响．跟踪训练3 (1)(2022·聊城模拟)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝⎛⎭⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是( )A.355B.377C.31010D.13答案 C解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧3sin β－2tan α＋5＝0，tan α－6sin β－1＝0. 消去sin β，得tan α＝3，∴sin α＝3cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，化简得sin 2α＝910，则sin α＝31010(α为锐角)． (2)已知－π<x <0，sin(π＋x )－cos x ＝－15，则sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x＝ . 答案 －24175解析 由已知，得sin x ＋cos x ＝15， 两边平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125， 整理得2sin x cos x ＝－2425. ∴(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925， 由－π<x <0知，sin x <0，又sin x cos x ＝－1225<0， ∴cos x >0，∴sin x －cos x <0，故sin x －cos x ＝－75. ∴sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x ＝2sin x (cos x ＋sin x )1－sin x cos x＝2sin x cos x (cos x ＋sin x )cos x －sin x＝－2425×1575＝－24175.课时精练1．cos ⎝⎛⎭⎫－19π3等于( ) A ．－32 B ．－12 C.12D.32 答案 C解析 cos ⎝⎛⎭⎫－19π3＝cos 19π3＝cos ⎝⎛⎭⎫6π＋π3＝cos π3＝12. 2．若cos 165°＝a ，则tan 195°等于( )A.1－a 2B.1－a 2aC ．－1－a 2aD ．－a 1－a 2 答案 C解析 若cos 165°＝a ，则cos 15°＝cos(180°－165°)＝－cos 165°＝－a ，sin 15°＝1－a 2，所以tan 195°＝tan(180°＋15°)＝tan 15°＝sin 15°cos 15°＝－1－a 2a. 3．若cos ⎝⎛⎭⎫α－π5＝513，则sin ⎝⎛⎭⎫7π10－α等于( ) A ．－513B ．－1213 C.1213 D.513答案 D解析 因为7π10－α＋⎝⎛⎭⎫α－π5＝π2，所以7π10－α＝π2－⎝⎛⎭⎫α－π5，所以sin ⎝⎛⎭⎫7π10－α＝cos ⎝⎛⎭⎫α－π5＝513.4．(2022·天津西青区模拟)已知sin α＋cos α＝－2，则tan α＋1tan α等于() A ．2 B.12 C ．－2 D ．－12答案 A解析 由已知得1＋2sin αcos α＝2，∴sin αcos α＝12，∴tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝112＝2.5．(多选)在△ABC 中，下列结论正确的是( )A ．sin(A ＋B )＝sin CB ．sin B ＋C 2＝cos A 2C ．tan(A ＋B )＝－tan C ⎝⎛⎭⎫C ≠π2D ．cos(A ＋B )＝cos C答案 ABC解析 在△ABC 中，有A ＋B ＋C ＝π，则sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，A 正确．sin B ＋C 2＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－A 2＝cos A 2，B 正确．tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C ⎝⎛⎭⎫C ≠π2，C 正确．cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C ，D 错误．6．(多选)已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝15，则( ) A.π2<α<π B ．sin αcos α＝－1225C ．cos α－sin α＝75D ．cos α－sin α＝－75答案 ABD解析 ∵sin α＋cos α＝15， 等式两边平方得(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝125， 解得sin αcos α＝－1225，故B 正确； ∵α∈(0，π)，sin αcos α＝－1225<0， ∴α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，故A 正确；cos α－sin α<0，且(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×⎝⎛⎭⎫－1225＝4925， 解得cos α－sin α＝－75，故D 正确． 7．cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 177°＋cos 178°＋cos 179°＝ .答案 0解析 因为cos(180°－α)＝－cos α，于是得cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 89°＋cos 90°＋cos 91°＋…＋cos 177°＋cos 178°＋cos 179° ＝cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 89°＋cos 90°－cos 89°－…－cos 3°－cos 2°－cos 1° ＝cos 90°＝0.8．设f (θ)＝2cos 2θ＋sin 2(2π－θ)＋sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－32＋2cos 2(π＋θ)＋cos (－θ)，则f ⎝⎛⎭⎫17π3＝ . 答案 －512解析 ∵f (θ)＝2cos 2θ＋sin 2θ＋cos θ－32＋2cos 2θ＋cos θ＝cos 2θ＋cos θ－22cos 2θ＋cos θ＋2，又cos 17π3＝cos ⎝⎛⎭⎫6π－π3＝cos π3＝12，∴f ⎝⎛⎭⎫17π3＝14＋12－212＋12＋2＝－512.9．(1)已知cos α是方程3x 2－x －2＝0的根，且α是第三象限角，求sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋αtan 2(π－α)cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin ⎝⎛⎭⎫π2－α的值；(2)已知sin x ＋cos x ＝－713(0<x <π)，求cos x －2sin x 的值．解 (1)因为方程3x 2－x －2＝0的根为x 1＝1，x 2＝－23，又α是第三象限角，所以cos α＝－23，所以sin α＝－53，tan α＝52.所以原式＝－cos αsin αtan 2α－sin αcos α＝tan 2α＝54.(2)∵sin x ＋cos x ＝－713(0<x <π)，∴cos x <0，sin x >0，即sin x －cos x >0，把sin x ＋cos x ＝－713，两边平方得1＋2sin x cos x ＝49169， 即2sin x cos x ＝－120169， ∴(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝289169， 即sin x －cos x ＝1713， 联立⎩⎨⎧ sin x ＋cos x ＝－713，sin x －cos x ＝1713，解得sin x ＝513，cos x ＝－1213， ∴cos x －2sin x ＝－2213. 10．(2022·衡水模拟)已知角α的终边经过点P (3m ，－6m )(m ≠0)．(1)求sin (α＋π)＋cos (α－π)sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＋2cos ⎝⎛⎭⎫α－π2的值； (2)若α是第二象限角，求sin 2⎝⎛⎭⎫α＋3π2＋sin(π－α)cos α－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α的值． 解 (1)∵m ≠0，∴cos α≠0，即sin (α＋π)＋cos (α－π)sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＋2cos ⎝⎛⎭⎫α－π2 ＝－sin α－cos αcos α＋2sin α＝－tan α－11＋2tan α. 又∵角α的终边经过点P (3m ，－6m )(m ≠0)，∴tan α＝－6m 3m＝－2， 故sin (α＋π)＋cos (α－π)sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＋2cos ⎝⎛⎭⎫α－π2＝－tan α－11＋2tan α ＝2－11＋2×(－2)＝－13. (2)∵α是第二象限角，∴m <0，则sin α＝－6m (3m )2＋(－6m )2 ＝－6m 35|m | ＝255， cos α＝3m(3m )2＋(－6m )2 ＝3m 35|m | ＝－55， ∴sin 2⎝⎛⎭⎫α＋3π2＋sin(π－α)cos α－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α ＝cos 2α＋sin αcos α＋sin α＝⎝⎛⎭⎫－552＋255×⎝⎛⎭⎫－55＋255＝－1＋255.11．(多选)已知角α满足sin α·cos α≠0，则表达式sin (α＋k π)sin α＋cos (α＋k π)cos α(k ∈Z )的取值可能为( )A ．－2B ．－1或1C ．2D ．－2或2或0答案 AC解析 当k 为奇数时，原式＝－sin αsin α＋－cos αcos α＝(－1)＋(－1)＝－2；当k 为偶数时，原式＝sin αsin α＋cos αcos α＝1＋1＝2. ∴原表达式的取值可能为－2或2.12．(2022·河北六校联考)若sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，则sin ⎝⎛⎭⎫－α－3π2sin ⎝⎛⎭⎫3π2－αtan 2(2π－α)cos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin (π＋α)等于( )A.35B.53C.45D.54答案 B解析 方程5x 2－7x －6＝0的两根为x 1＝－35，x 2＝2，则sin α＝－35. 原式＝cos α(－cos α)tan 2αsin α(－sin α)(－sin α)＝－1sin α＝53. 13．曲线y ＝e x ＋x 2－23x 在x ＝0处的切线的倾斜角为α，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝ . 答案 45解析 由题意得y ′＝f ′(x )＝e x ＋2x －23， 所以f ′(0)＝e 0－23＝13， 所以tan α＝13， 所以α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以cos α＝310， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π2 ＝cos 2α＝2cos 2α－1＝2×910－1＝45. 14．函数y ＝log a (x －3)＋2(a >0且a ≠1)的图象过定点Q ，且角α的终边也过点Q ，则3sin 2α＋2sin αcos α＝ .答案 75解析 由题意可知点Q (4,2)，所以tan α＝12， 所以3sin 2α＋2sin αcos α＝3sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α ＝3tan 2α＋2tan α1＋tan 2α＝3×14＋2×121＋14＝75.15．(多选)已知f (α)＝2sin αcos α－2sin α＋cos α＋1⎝⎛⎭⎫0≤α≤π2，则下列说法正确的是() A ．f (α)的最小值为－ 2B ．f (α)的最小值为－1C ．f (α)的最大值为2－1D ．f (α)的最大值为1－ 2答案 BD解析 设t ＝sin α＋cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4，由0≤α≤π2，得π4≤α＋π4≤3π4，则1≤t ≤2，又由(sin α＋cos α)2＝t 2，得2sin αcos α＝t 2－1，所以f (α)＝g (t )＝t 2－1－2t ＋1＝t －1－2t ＋1，又因为函数y ＝t －1和y ＝－2t ＋1在[1，2]上单调递增，所以g (t )＝t －1－2t ＋1在[1，2]上单调递增， g (t )min ＝g (1)＝－1，g (t )max ＝g (2)＝1－ 2.16．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根分别是sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求：(1)sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ的值； (2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值．解 (1)原式＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－sin θcos θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ.由已知得sin θ＋cos θ＝3＋12， 所以sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ＝3＋12. (2)由已知得sin θcos θ＝m 2， 因为1＋2sin θcos θ＝(sin θ＋cos θ)2，所以1＋m ＝⎝⎛⎭⎪⎫3＋122， 解得m ＝32. (3)联立⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θcos θ＝34，解得⎩⎨⎧ sin θ＝32，cos θ＝12 或⎩⎨⎧ sin θ＝12，cos θ＝32.因为θ∈(0,2π)，所以θ＝π3或π6.。