4.3 2021届正弦定理和余弦定理1

∴此三角形有两解．]3．在△ABC中，a cos A＝b cos B，则这个三角形的形状为________．等腰三角形或直角三角形[由正弦定理，得sin A cos A＝sin B cos B，即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝π2，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．]4．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝23，则△ABC的面积等于________．23[因为23sin 60°＝4sin B，所以sin B＝1，所以B＝90°，所以AB＝2，所以S△ABC ＝12×2×23＝23.](对应学生用书第82页)考点1利用正、余弦定理解三角形问题在△ABD 中，42＝x 2＋(72)2－2x ×72cos (π－α)，② ①＋②得x ＝92，∴BC ＝9.]3．(20xx·贵阳模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成公差为2的等差数列，C ＝120°.(1)求边长a ；(2)求AB 边上的高CD 的长．[解] (1)由题意得b ＝a ＋2，c ＝a ＋4， 由余弦定理cos C ＝a2＋b2－c22ab得cos 120°＝a2＋（a ＋2）2－（a ＋4）22a （a ＋2），即a 2－a －6＝0，所以a ＝3或a ＝－2(舍去)，所以a ＝3. (2)法一：由(1)知a ＝3，b ＝5，c ＝7， 由三角形的面积公式得 12ab sin ∠ACB ＝12c ×CD ，所以CD ＝ab sin ∠ACBc＝3×5×327＝15314，即AB 边上的高CD ＝15314. 法二：由(1)知a ＝3，b ＝5，c ＝7， 由正弦定理得3sin A ＝7sin ∠ACB ＝7sin 120°， 即sin A ＝3314， 在Rt △ACD 中，CD ＝AC sin A ＝5×3314＝15314， 即AB 边上的高CD ＝15314. 考点2 与三角形面积有关的问题(2)法一：如图，由题设可得∠CAD ＝π2， 所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝π6，故△ABD 面积与△ACD 面积的比值为12AB·AD·sin π612AC·AD ＝1，又△ABC 的面积为12×4×2sin ∠BAC ＝23，所以△ABD 的面积为3. 法二：由余弦定理得cos C ＝27， 在Rt △ACD 中，cos C ＝ACCD ，所以CD ＝7，所以AD ＝3，DB ＝CD ＝7， 所以S △ABD ＝S △ACD ＝12×2×7×sin C ＝7×37＝3.法三：∠BAD ＝π6，由余弦定理得cos C ＝27，所以CD ＝7，所以AD ＝3， 所以S △ABD ＝12×4×3×sin ∠DAB ＝3.(1)若已知一个角(角的大小或该角的正弦值、余弦值)，一般结合题意求夹这个角的两边或两边之积，再代入公式求解；(2)若已知三边，可先求一个角的余弦值，再求正弦值，最后代入公式得面当B＋C＝π2时，A＝π2；当C－B＝π2时，A＝π4.综上，A＝π2或A＝π4.考点3判断三角形的形状判断三角形形状的2种思路(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定B[由正弦定理得sin B cos C＋sin C cos B＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin(π－A)＝sin2A，sin A＝sin2A.∵A∈(0，π)，∴sin A＞0，∴sin A＝1，即A＝π2，∴△ABC为直角三角形．][母题探究]。

1【课前测试】1、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知A ＝π6，a ＝1，b ＝3，则B ＝________.2、△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，则B ＝________．2解三角形【知识梳理】一、利用正、余弦定理解三角形1．正弦定理、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则(1)S ＝12a ·h a (h a 表示边a 上的高)；(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A .(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)．二、利用正、余弦定理判断三角形的形状1、应用余弦定理判断三角形形状的方法 在△ABC 中，c 是最大的边，若c 2<a 2＋b 2，则△ABC 是锐角三角形； 若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是直角三角形；若c2>a2＋b2，则△ABC是钝角三角形．2、判断三角形形状的常用技巧若已知条件中既有边又有角，则(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论.34【课堂讲解】要点一 利用正弦定理解三角形利用正弦定理可以解决的两类问题： (1)已知两角和任一边，求其他两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角．由于三角形的形状不能唯一确定，会出现两解、一解和无解三种情况．例1、(1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________.变式训练：1、在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝2a sin B ，则A ＝( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．75°2、(2017·合肥模拟)在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，B ＝60°，则cos C ＝________.要点二 利用余弦定理解三角形利用余弦定理可以解决的两类问题：(1)已知两边及夹角，先求第三边，再求其余两个角． (2)已知三边，求三个内角．例2、(1)在△ABC 中，已知a －b ＝4，a ＋c ＝2b ，且最大角为120°，则这个三角形的最大边等于( )A ．4B ．14C ．4或14D ．24(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a cos C ＋32c ＝b ，则A ＝________. 变式训练：51、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝7，b ＝3，c ＝2，则A ＝( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π22、设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝2 3，cos A ＝32且b ＜c ，则b ＝( ) A ．3 B ．2 2 C ．2 D.3要点三 利用正、余弦定理解三角形例3、设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B .(1)求a 的值；(2)求sin ()A ＋π4的值．变式训练：1、设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________.2、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin 2B ＋sin 2C ＝sin 2A ＋sin B sin C . (1)求角A 的大小；(2)若cos B ＝13，a ＝3，求c 的值．要点四 利用正、弦定理判断三角形的形状6例4、(1)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cb <cos A ，则△ABC 为( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形(2)在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c2c (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形变式训练：1、设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形D ．等边三角形2、已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A cos B ＝ba＝2，则该三角形的形状是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形D ．钝角三角形3、在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，则△ABC 的形状是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形4、在△ABC 中，已知a 2＋b 2－c 2＝ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，试判断△ABC 的形状．要点五 三角形中的面积问题解题策略：7(1)利用正弦定理、余弦定理解三角形，求出三角形的有关元素之后，直接求三角形的面积，或求出两边之积及夹角正弦，再求解．(2)把面积作为已知条件之一，与正弦定理、余弦定理结合求出三角形的其他各量．面积公式中涉及面积、两边及两边夹角正弦四个量，结合已知条件列方程求解．例5、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(2b －c )cos A ＝a cos C .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，b ＝2c ，求△ABC 的面积．变式训练：1、在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3 B.932 C.332D ．332、已知△ABC 是斜三角形，内角A ，B ，C 所对的边的长分别为a ，b ，c .若c sin A ＝3a cos C . (1)求角C ；(2)若c ＝21，且sin C ＋sin(B －A )＝5sin 2A ，求△ABC 的面积．83、已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．4、△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c . (1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长．5、△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍． (1)求sin B sin C；(2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长．9要点六 三角形中的范围问题解三角形问题中，求解某个量(式子)的取值范围是命题的热点，其主要解决思路是：要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大．例6、设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A ，且B 为钝角．(1)证明：B －A ＝π2；(2)求sin A ＋sin C 的取值范围．10变式训练：1、△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则角A 的取值范围是________．2、已知△ABC 中，角A ，32B ，C 成等差数列，且△ABC 的面积为1＋2，则AC 边的长的最小值是________．要点七 正、余弦定理在平面几何中的应用此类题目求解时，一般有如下思路：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解； (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．例7、(2017·广东茂名模拟)如图，已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝π3，b ＝7，c ＝2，D 为BC 的中点． (1)求cos ∠BAC 的值； (2)求AD 的值．变式训练：如图，在△ABC 中，C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足，若DE ＝22，则cosA ＝( )A.223 B.24 C.64 D.6311【课后练习】1．在△ABC 中，若sin A a ＝cos B b，则B 的值为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°2．在△ABC 中，已知AB ＝3，A ＝120°，且△ABC 的面积为1534，则BC ＝( ) A ．3 B ．5 C ．7 D ．153．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a sin A ＋b sin B <c sin C ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定4．在△ABC 中，若sin C sin A ＝3，b 2－a 2＝52ac ，则cos B 的值为( ) A.13 B.12 C.15 D.145．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，若S ＋a 2＝(b ＋c )2，则cos A 等于( ) A.45 B ．－45 C.1517 D ．－15176．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，b ＝2a cos B ，c ＝1，则△ABC 的面积等于( )A.32 B.34 C.36 D.38 7．(2017·渭南模拟)在△ABC 中，若a 2－b 2＝3bc 且sin (A ＋B )sin B＝23，则A ＝( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π68．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b c －a ＝sin A sin C ＋sin B，则B ＝( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.3π49．已知在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大内角的大小为________．1210．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________． 11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c ＝1，B ＝45°，cos A ＝35，则b ＝________. 12．在△ABC 中，若b ＝2，A ＝120°，三角形的面积S ＝3，则三角形外接圆的半径为________．13、(2017·郑州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos 2C －cos 2A ＝2sin ()π3＋C ·sin ()π3－C .(1)求角A 的值；(2)若a ＝3且b ≥a ，求2b －c 的取值范围．14、在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ≠b ，c ＝3，cos 2A －cos 2B ＝3sin A cos A －3sin B cos B .(1)求角C 的大小；(2)若sin A ＝45，求△ABC 的面积．【课后测试】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，满足S＝34(a2＋b2－c2)．(1)求角C的大小；(2)求sin A＋sin B的最大值．13。

(2)已知△ABC的三个内角A, B, C所对的边分别为a, b, c.若2cos Csin B=sin A,则该三角形的形状是( )A.等边三角形 B.等腰三角形C.等腰三角形或直角三角形 D.直角三角形
课堂考点探究
[解析]在△ABC中,由2cos Csin B=sin A及正弦定理可得2bcos C=a,再利用余弦定理可得2b×=a,可得b=c,则该三角形的形状是等腰三角形,故选B.
A
课堂考点探究
(2)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cos2=,则△ABC的形状为( )A.等边三角形 B.等腰三角形或直角三角形C.等腰直角三角形 D.直角三角形
[思路点拨] 先利用二倍角的余弦公式化简等式,再利用正弦定理边化角,然后利用两角和的正弦公式进行化简,可得C=,进而判断三角形的形状.[解析]由cos2==,得cos A==,即cos Asin C=sin B,所以cos Asin C = sin(A+C),整理得sin Acos C=0,因为0<A<π,所以sin A≠0,所以cos C=0,因为0<C<π,所以C=,故△ABC为直角三角形.故选D.
D
[总结反思]判定三角形的形状的常用途径:(1)角化边:利用正弦、余弦定理化角为边,通过代数恒等变换,求出边与边之间的关系进行判断.(2)边化角:利用正弦、余弦定理化边为角,通过三角恒等变换,得出三角形内角之间的关系进行判断.
课堂考点探究
课堂考点探究
变式题 (1)(多选题)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列说法中正确的有( )A.若==,则△ABC一定是等边三角形B.若acos A=bcos B,则△ABC一定是等腰三角形C.若bcos C+ccos B=b,则△ABC一定是等腰三角形D.若a2+b2<c2,则△ABC一定是钝角三角形

正弦定理和余弦定理【复习指导】1．掌握正弦定理和余弦定理的推导方法．2．通过正、余定理变形技巧实现三角形中的边角转换，解题过程中做到正余弦定理的优化选择．基础梳理1．正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为： ⑴．::sin :sin :sin a b c A B C =；⑵．2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =； ⑶．sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R=等形式，以解决不同的三角形问题． 2．余弦定理：2222cos a b c bc A =+-，2222cos b c a ca B =+-，2222cos c a b ab C =+-．余弦定理可以变形为：222cos 2b c a A bc+-=，222cos 2c a b B ca+-=，222cos 2a b c C ab +-=．3．1111sin sin sin ()22242ABC abc S ab C bc A ca B a b c r R ∆=====++(R 是三角形外接圆半径，r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算,R r ．4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知,,a b A ，则A 为锐角A 为钝角或直角图形关系 式 sin a b A <sin a b A =sin b A a b<< a b ≥a b> a b ≤解的 个数 无解 一解 两解一解 一解无解一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在ABC ∆ 中，sin sin A B a b A B >⇔>⇒>． 两类问题在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：⑴．已知两角及任一边，求其它边或角；⑵．已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况⑵中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：⑴．已知两边及夹角求第三边和其他两角；⑵．已知三边，求各角． 两种途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：⑴．化边为角；⑵．化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．双基自测1．在ABC ∆中，60A = ，75B = ，10a =，则c =__________． 2．在ABC ∆中，若sin cos A Ba b=，则B =__________． 3．在ABC ∆中，3a =，1b =，2c =，则A =__________．4．在ABC ∆中，32a =，23b =，1cos 3C =，则ABC ∆的面积为__________． 5．已知ABC ∆三边满足2223a b c ab +=-，则此三角形的最大内角为________．考向一 利用正弦定理解三角形【例1】在ABC ∆中，3a =，2b =，45B = °．求角,A C 和边c ． [审题视点]已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注意解的判断．一．正弦定理的应用条件：⑴．已知两角和任意一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．⑵．已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意． 二．情况⑴只有一解，而情况⑵是有可能出现两解的情况，判断一解、两解的依据为“大边对大角”．【训练1】(11北京) ⑴．在ABC ∆中，若5b =，4B π=，tan 2A =，则sin A =________；a =_____．考向二 利用余弦定理解三角形【例2】在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且cos cos 2B bC a c=-+． ⑴．求角B 的大小；⑵．若13b =，4a c +=，求ABC ∆的面积． [审题视点]由cos cos 2B bC a c=-+，利用余弦定理转化为边的关系求解．⑴．根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键．⑵．熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．【训练2】已知,,A B C 为ABC ∆的三个内角，其所对的边分别为,,a b c ，且22cos cos 02AA +=． ⑴．求角A 的值；⑵．若213a =，4b c +=，求ABC ∆的面积．考向三 利用正、余弦定理判断三角形形状【例3】在ABC ∆中，若2222()sin()()sin a b A B a b C +-=-，试判断ABC ∆的形状． [审题视点]首先边化角或角化边，再整理化简即可判断．判断三角形的形状的基本思想是；利用正、余弦定理进行边角的统一．即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系． 【训练3】在ABC ∆中，若cos cos cos a b cA B C==；则ABC ∆的形状是__________．考向四 三角形的面积【例4】(11山东)在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．已知cos 2cos 2cos A C c aB b--=．⑴．求sin sin CA的值；⑵．若1cos ,24B b ==，求ABC ∆的面积S ．练习4．(课标)已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，3s i n s i n c a C c A =-．⑴．求A ；⑵．若2a =，ABC ∆的面积为3，求,b c ．考向五 正、余弦定理的综合应用【例5】在ABC ∆中，内角,,A B C 对边的边长分别是,,a b c ，已知2c =，3C π=．⑴．若ABC ∆的面积等于3，求,a b ；⑵．若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC ∆的面积．[审题视点] 第⑴问根据三角形的面积公式和余弦定理列出关于,a b 的方程，通过方程组求解；第⑵问根据sin sin()2sin 2C B A A +-=进行三角恒等变换，将角的关系转换为边的关系，求出边,a b 的值即可解决问题．正弦定理、余弦定理、三角形面积公式对任意三角形都成立，通过这些等式就可以把有限的条件纳入到方程中，通过解方程组获得更多的元素，再通过这些新的条件解决问题．训练5：设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，且4cos 5B =，2b =． ⑴．当6A π=时，求a 的值；⑵．当ABC ∆的面积为3时，求a c +的值．练习．(12浙江)在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．已知2cos 3A =，sin 5cos B C =．⑴．求tan C 的值；⑵．若2a =，求ABC ∆的面积．考向六 三角形中的最值问题【例6】已知在非等边三角形ABC ∆的外接圆半径为2，最大边23BC =，求sin sin B C +的取值范围．练习6：在ABC ∆中，,,a b c 成等比数列，求B 及1sin 2sin cos()By B A C +=-+的取值范围．【例7】(11湖南)在ABC ∆，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足sin cos c A a C =．⑴．求角C 的大小；⑵．求3sin cos()4A B π-+的最大值，并求取得最大值时角,A B 的大小．练习7．在A B C ∆中，已知2BC =，1AB AC ⋅=，则A B C ∆面积的最大值是 ． 练习：1．ABC ∆中，60,3B AC =︒=，则2AB BC +的最大值为__________． 2．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且,,A B C 成等差数列．⑴．若32AB BC ⋅=-，3b =，求a c +的值；⑵．求2sin sin A C -的取值范围．3．在ABC ∆中，若222,8AB AC BC =+=，则ABC ∆面积的最大值为▲ ． 3 4．在ABC ∆中，两中线AD 与BE 相互垂直，则cos()A B +的最大值为 5．等腰ABC ∆的周长为23，则ABC ∆腰AB 上的中线CD 的长的最小值 ．16．若2AB =，2AC BC =，则ABC S ∆的最大值为 22 ． 7．在ABC ∆中，6A π=，D 是BC 边上任意一点（D 与,B C 不重合），且2||||AB AD BD DC =+⋅，则B = ▲ ．作业：1．在ABC ∆中，,,a b c 成等比数列，且22a c ac bc -=-，求A 及sin b Bc． 2．在ABC ∆中，4a =，5b c +=，tan tan 3(1tan tan )A B A B +=--，求sin A ． 3．在ABC ∆中，2b a =，3B A π=+，求A ．4．在ABC ∆中，sin (sin cos )sin 0A B B C +-=，sin cos 20B C +=，求,,A B C ． 5．在锐角ABC ∆中，3sin()5A B +=，1sin()5A B -=， ⑴．求证：tan 2tan A B =； ⑵．若3AB =，求AB 边上的高．6．在ABC ∆中，10a b +=，8c =，求tan tan22A B ． 7．在ABC ∆中，222a b c ab +=+，且3sin sin 4A B =，试判断ABC ∆的形状． 8．在ABC ∆中，2sin cos 2A A +=，且2,3b c ==，求tan A 及ABC ∆的面积． 9．在ABC ∆中，,,A B C 成等比数列，求22cos cos y A C =+的取值范围．10．在ABC ∆中，sin cos 2A A +=，3cos 2cos()A B π=--，求ABC ∆的三个内角．11．若将例3的已知条件“sin cos 2A A +=”改为“sin(2)2sin()A B ππ-=--”其余条件不变，求ABC ∆的三个内角．12．(11江苏)在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边为,,a b c ． ⑴．若sin()2cos 6A A π+=，求角A 的值；⑵．若1cos ,33A b c ==，求sin C 的值．13．(12江西)在ABC ∆中，角,,A B C 对边分别为,,a b c ．4A π=，sin()sin()44b Cc B a ππ+-+=．⑴．求证:2B C π-=；⑵．若2a =，求ABC ∆的面积．14．(12江西)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．已知3c o s ()16c o s B c B C --=．⑴．求cos A ；⑵．若3a =，ABC ∆的面积为22，求,b c ．15．(10安徽)ABC ∆的面积是30，内角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，12cos 13A =． ⑴．求AB AC ⋅；⑵．若1c b -=，求a 的值．阅卷报告6——忽视三角形中的边角条件致错【问题诊断】考查解三角形的题在高考中一般难度不大，但稍不注意，会出现“会而不对，对而不全”的情况，其主要原因就是忽视三角形中的边角条件，【防范措施】解三角函数的求值问题时，估算是一个重要步骤，估算时应考虑三角形中的边角条件．【示例】(11安徽)在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 所对的边长，3a =，2b =，12cos()0B C ++=，求边BC 上的高．错因：忽视三角形中“大边对大角”的定理，产生了增根． 实录：由12cos()0B C ++=，知1c o s 2A =，故3A π=，根据正弦定理sin sin a bA B=得：sin 2sin 2b A B a ==，故4B π=或34B π=．以下解答过程略． 正解：由12cos()0B C ++=，知1c o s 2A =，故3A π=．在ABC ∆中，由sin sin a bA B=，故sin 2sin 2b A B a ==．因a b >，故4B π=，则5()12C A B ππ=-+=．故sin sin()C B A =+=624+．故BC 边上的高为31sin 2b C +=． 练习：(辽宁)ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a bc ，2sin sin cos 2a A B b A a +=．⑴．求b a；⑵．若2223c b a =+，求B ．解答：⑴．由正弦定理得，22sin sin sin cos 2sin A B B A A +=，即22sin (sin cos )B A A +=2sin A ．故sin 2sin B A =，所以2ba=． ⑵．由余弦定理和2223c b a =+，得(13)cos 2aB c+=．由⑴知，222b a =，故22(23)c a =+．可得21cos 2B =，又cos 0B >，故2cos 2B =，故4B π=． 解三角形高考题1．(江苏)在锐角ABC ∆，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，6cos ba C a b+=，则tan tan tan tan C CA B+=___． 2．(浙江)在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，设S 为ABC ∆的面积，满足34S =⋅ 222()a b c +-． ⑴．求角C 的大小； ⑵．求sin sin A B +的最大值．3．(浙江)在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知1cos 24C =-． ⑴．求sin C 的值；⑵．当2a =，2sin sin A C =，求b 及c 的长． 4．(天津)在ABC ∆中，cos cos AC BAB C=． ⑴．证明：B C =：⑵．若1cos 3A =-，求sin(4)3B π+的值．5．(安徽)设ABC ∆是锐角三角形，,,a b c 分别是内角,,A B C 所对边长，并且22sin sin()sin()sin 33A B B B ππ=+-+．⑴．求角A 的值；⑵．若12AB AC ⋅=，27a =，求,b c (其中b c <)．6．如图，在△ABC 中，已知3=AB ，6=AC ，7BC =，AD 是BAC ∠平分线． ⑴．求证：2DC BD =； ⑵．求AB DC ⋅的值．6．已知ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ．若co s c o s a B b A c -=，ABCD。