关于轴承磨损量的灰色预测模型

第２８卷第５期　Ｖｏ１．２８　Ｎｏ．５　周口师范学院学报　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｚｈｏｕｋｏｕ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　２０１１年９月　Ｓｅｐ．２０１１　

关于轴承磨损量的灰色预测模型　

蔡义琼　

（华北水利水电学院数学系，河南郑州４５００１１）　

摘要：介绍了灰色数学模型ＧＭ（１，１）模型的理论，建立了关于轴承磨损量的灰色预测模型．计算结果表明，　该预测模型可以进一步了解设备运行状态的发展趋势．　关键词：灰色系统理论；ＧＭ（１，１）模型；灰色预测　中图分类号：０２９　文献标志码：Ａ　文章编号：１６７１—９４７６（２０１１）０５—００２６—０３　

灰色系统理论是由我国著名学者邓聚龙教授　

创立的一门新兴学科口］，是最常用的不确定系统研　

究方法之一，其研究对象具有某种不确定性，主要　解决一些包含未知因素的特殊领域的问题，它广泛　

应用于农业、地质、气象等学科＿２］．　

灰色系统理论从杂乱无章的、有限的、离散的　

数据中找出数据的规律，然后建立相应的灰色模型　

进行预测．灰色理论的实质是对原始随机数列采用　

生成信息的处理方法来弱化其随机性，使原始数据　序列转化为易于建模的新序列ｌ＿３］．灰色预测模型可　以分为ＧＭ（１，１）模型、ＧＭ（１，Ｎ）模型［４］、ＧＭ（Ｏ，　

Ｎ）模型［　、ＧＭ（２，１）模型、Ｖｅｒｈｕｌｓｔ模型．其中　

ＧＭ（１，１）模型是最为常用的一种模型，具有需要　

的样本数据少、原理简单、运算方便、短期预测精度　高、可检验等优点，已广泛应用于农业、经济、生态　

等领域口］．　

１灰色系统理论　

１．１　灰色预测［２　

预测就是指通过对过去的研究探讨来判断和　

推测出未来．而灰色预测是建立在对原始数据的处　理和灰色模型的建立的基础之上的．通过对系统的　

发展规律的掌握，从而对系统未来做出科学的预　

测．所以，所谓的灰色预测也就是建立在ＧＭ（１，１）　

模型基础上的预测．　

１．２　ＧＭ（１。１）模型¨２　

ＧＭ（１，１）模型是最常用、最简单的一种灰色模　型，它是由一个只包含单变量的微分方程构成的模　

型．设原始序列ｘ０和它的１一ＡＧＯ序列ｘ　分别为　

Ｘ０一（ｚｏ（１），ｚ０（２），…，ｚｏ（　）），　Ｘｌ一（ｚｌ（１），ｚ１（２），…，３１７１（，ｚ））．　称ｄ　（是）一ｌｚ　（忌）一ｚ　（足一１）为序列ｘ　（　一０，１）　

的灰导数，称　

ｄ１（忌）＋ｎｚ１（志）一ｂ　（１）　为灰色微分方程，即ＧＭ（１，１）模型．其中　

ｚ１（愚）一衄１（忌）＋（１一ａ）ｘ１（忌一１）．　∈Ｆｏ，１－１为ＧＭ模型的权重系数，一般取ａ一　

１　÷（此时ｚ１＝＝＝（ｚ１（２），　１（３），…，ｚｌ（　））称为ｘ１的　

紧邻均值生成序列），ｂ为内生变量，它反映环境对　

系统整体的作用，需要识别确定，ａ为系统变化参　数，表明了系统整体的动态特征．　１．３　ＧＭ（１。１）模型的数学转换＿１　

令ｚ　为ｘ　的紧邻均值生成序列　

Ｚ１一（　ｌ（２），　ｌ（３），…，　ｌ（　）），　ｚ１（志）一０．５ｘ１（愚）＋０．５ｘｌ（尼一１），　

其中ａ一０．５．　ＧＭ（１，１）的定义型为：ｚ。（　）＋ａｚ　（是）＝６，　以ｋ一２，３，…，，２代入上式，得到　五一（ｎ，６）　一（Ｂ　Ｂ）　Ｂ　Ｙ，　（２）　

其中Ｂ为数据矩阵，ｙ为数据向量，口为参数向量．　

１．４　模型求解［２］　

１）白化方程　＋　一ｂ的解也称时间响应　

收稿日期：２０１１—０３—１７　作者简介：蔡义琼（１９８５一），女，河南信阳人，硕士研究生，

主要从事经济数学研究　第２８卷第５期　蔡义琼：关于轴承磨损量的灰色预测模型　２７　

函数为　

Ｘｌ（￡）一（　。（ｏ）一　）　＋　．　（３）　

２）ＧＭ（１，１）灰色微分方程ｚ。（忌）＋　（　）一　

ｂ的时间响应序列为　

（是＋１）一（ｚ。（１）一鲁）ｅ＿　＋鲁，　（４）　

一１，２，…，／．／．　３）还原值　

ｘ０（愚＋１）一ｘ１（是＋１）一ｘ１（忌）．　（５）　

上式即为预测方程．　

１．５　ＧＭ（１，１）预测模型的检验　ＧＭ（１，１）模型的检验分为三个方面：残差检　

验、关联度检验、后验差检验．若三种检验都在允许　的范围内，则可以用所建的模型进行预测；否则，应　

进行残差修正．　

２　灰色ＧＭ（１，１）模型的实例分析　

选取一台空压机，其轴向止推轴承套的磨损量　的数据见表１，利用ＧＭ（１，１）模型建立预测模型，　

对其进行检验．并预测出ｚ。（９）．　

表１　轴承套磨损量数据　

２．１建立模型及求解　

设原始数列　

ｘｎ（是）一｛０．１１６　８，０．１２４　５，０．１３４　６，０．１４９　９，　

０．１７２　７，０．１９３　０，０．２１８　４，０．２４８　９），　

对其作１一ＡＧＯ，生成序列　

Ｘ　（愚）一｛０．１１６　８，０．２４１　３，０．３７５　９，０．５２５　８，　

０．６９８　５，０．８９１　５，１．１０９　９，１．３５８　８｝．　

根据上述分析，经计算，得到　

Ｂ＝＝　Ｏ．１７９　１　１　

０．３０８　６　１　

０．４５０　９　１　

Ｏ．６１２　２　１　

０．７９５　０　１　

１．０００　７　１　Ｏ．２３４　４　１　。ｌ，＝　Ｏ．１２４　５　

Ｏ．１３４　６　０．１４９　９　

０．１７２　７　

Ｏ．１９３　Ｏ　Ｏ．２１８　４　０．２４８　９　

：（ＢＴＢ）　ｌ，一ｆ＿。・¨　１．　＼０．０９９　０／　

预测微分方程模型为　ｄｘｌ一０．１１９　８ｚ　一Ｏ．０９９　０，　

预测公式ｘ（ｋ＋１）一０．９４３　２ｅ　１９鼬一０．８２６　４．　２．２　模型检验　２．２．１　残差检验　

１）根据预测公式，计算Ｘ　（忌），得　

Ｘ１（是）一｛０．１１６　８，０．２３６　９，０．２５５　５，０．２８８　０，　

０．３２４　６，０．３６５　９，０．４１２　５，０．４６５　０｝．　２）累减生成　（忌）序列　

Ｘｏ（是）一｛０．１１６　８，０．１２０　１，０．１３５　４，０．１５２　６，　０．１７２　０，０．１９３　９，０．２１８　６，０．２４６　４，）．　

原始序列　

ｘ０（志）一｛０．１１６　８，０．１２４　５，０．１３４　６，０．１４９　９，　

０．１７２　７，０．１９３　０，０．２１８　４，０．２４８　９｝．　３）计算绝对残差和相对残差序列．绝对残差序　

列　

△‘。　一｛０，０．００４　４，０．０００　８，０．００２　７，０．０００　７，　０．０００　９，０．０００　２，０．００２　５）．　

相对误差序列　

＿．　｛０，３．５３　，０．５９　９／６，１．８０　，０．４１　，　

０：４７％，０．０９　，１．ＯＯ　）．　

一吉　声　一０・９９　（，ｚ一１，２，…，８）．　

平均相对误差不超过０．９９　，模型精确度高．　

２．２．２　进行关联度检验　．　

△‘。　一｛０，０．００４　４，０．０００　８，０．００２　７，０．０００　７，　

０．０００　９，Ｏ．０００　２，０．００２　５｝，　

厶　一ｍａｘ｛０，０．００４　４，０．０００　８，０．００２　７，　

０．０００　７，０．０００　９，０．０００　２，０．００２　５｝一０．００４　４，　

△　一ｍｉｎ｛０，０．００４　４，０．０００　８，０．００２　７，　

０．０００　７，０．０００　９，０．０００　２，０．００２　５｝一０．　

由于只有两个序列（即一个参考序列，一个被比较　

序列）故不再寻求第二级最小差和最大差．　

ｒ／（ｋ）一　酱高　

（愚一１，…，６，Ｐ一０．５），　

’，一｛１，０．３３，０．７３，０．４７，０．７６，０．７１，　０．９２，０．４７），　

，．一　７／ｋ　＝１　（　）＝＝＝０・６７・　

ｒ一０．６７是满足Ｐ一０．５时的检验准则ｒ＞０．５的．　

２．２．３　后验差检验　

１）ｚ。＝：＝寺（ｏ．１１６　８＋０．１２４　５＋０．１３４　６＋　

０．１４９　９＋０．１７２　７＋０．１９３　０＋０．２１８　４＋０．２４８　９）　

一０．１６７　４．　

２）计算ｘ０序列的均方差　

一（　＿。０４７　４．一Ｉ——　二丁一Ｊ—Ｕ．４・

　２８　周口师范学院学报　２０１１年９月　

３）计算残差的均值　

一　８　］－ｏ．　ｓ．　

４）计算残差的均方差　

５）计算方差比　

ｃ一　一　０　０　４７　４　Ｏ３１　６．　ｕ—Ｓ１　一　．　一ｕ’ｕｕ　ｕ‘　

６）计算小残差概率　

Ｓｏ一０．６７４　５　Ｘ　Ｓ１＝＝＝０．６７４　５×０．０４７　４—０．０３２　０，　ｅ　一Ｉ△（愚）一△Ｉ一｛０．００１　５，０．００２　９，０．０００　７，　

０．００１　２，０．０００　８，０．０００　６，０．Ｏ０１　３，０．００１　０）．　

所有ｅ　都小于ｓ。，故小残差概率Ｐ｛ｅ　＜Ｓ。｝＝＝＝１，而　

同时根据后验差检验判断表可知Ｃ一０．０３１　６＜　

０．３５时，模型的精度为优．　

通过上述的三种检验可以说明，本文所建立的　

预测模型ｚ　（是＋１）一０．９４３　２ｅ　¨　一０．８２６　４是　

合格的．　预测值　

ｚ０（１Ｏ）一ｚ１（１０）一ｚ１（９），　艮口ｚｏ（９）一０．２７７　７．　

３　结论　

灰色预测法在诸多领域都已经广泛应用，并都　

已取得成效．然而，将其应用于设备运行状态的趋　

势预测却不多见．通过实例验证，发现灰色理论在　设备运行趋势的应用具有可行性．通过预测的结果　

为设备的维修、确保设备安全提供了依据．　

参考文献：　

［１］邓聚龙．灰色系统基本方法ＥＭ］．武汉：华中理工大学，　１９８７：２７—７２．　Ｉ－２］刘法贵，张愿章，李湘露．灰色数学及其应用［Ｍ］．开封：　河南大学出版社，２００３：４９—９０．　Ｅ３］陈庆斌，秦树人．灰色预测法在机械测试中的应用［Ｊ］．　中国测试技术，２００７，３３（５）：１Ｏ．　Ｉ－４］张业鹏，杨光友，华中平．灰色ＯＭ模型在设备维修中应　用Ｉ－Ｊ］．湖北工学院学报，２００２，１７（４）：３９—４１．　Ｅｓ］杨江天，岳雏亮．灰色模型在机械故障预测中的应用　ＥＪ３．机械强度，２００１，２３（３）：２７７—２７９．　Ｅ６］施国红．灰色预测法在设备状态趋势预报中的应用ｌ－Ｊ］．　中国安全科学学报，２０００，１０（５）：４９—５４．　

Ｇｒｅｙ　ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎ　ｍｏｄｅｌ　ｏｆ　ａｍｏｕｎｔ　ｏｆ　ｂｅａｒｉｎｇ　ｗｅａｒ　

ＣＡＩ　Ｙｉｑｉｏｎｇ　

（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｎｏｒｔｈ　Ｃｈｉｎａ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｗａｔｅｒ　

Ｃｏｎｓｅｒｖａｎｃｙ　ａｎｄ　Ｅｌｅｃｔｒｉｃ　Ｐｏｗｅｒ，Ｚｈｅｎｇｚｈｏｕ　４５００１　１，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｓｏｍｅ　ｔｈｅｏｒｙ　ａｂｏｕｔ　ｇｒｅｙ　ＧＭ（１，１）ｍｏｄｅｌ　ｉｓ　ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ　ａｎｄ　ａ　ｇｒｅｙ　ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎ　ｍｏｄｅｌ　ｉｓ　ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ　ｈｅｒｅ．Ｔｈｅ　ｒｅ—　ｓｕｉｔｓ　ｓｈｏｗ　ｔｈａｔ　ｔｈｉｓ　ｍｏｄｅｌ　ｃａｎ　ｐｒｅｄｉｃｔ　ｔｈｅ　ｆｕｔｕｒｅ　ｔｒｅｎｄ　ｏｆ　ｅｑｕｉｐｍｅｎｔ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｇｒｅｙ　ｓｙｓｔｅｍ　ｔｈｅｏｒｙ；ＧＭ（１，１）ｍｏｄｅｌ；ｆｏｒｅｃａｓｔ　

（上接第１８页）　

Ｔｈｅ　ｅｘｐｌｉｃｉｔ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ａ（１＋１）一ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ　ｓｏｌｉｔｏｎ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　

ＷＥＩ　Ｈａｎｙｕ　。ＣＨＥＮ　Ｑｉｎｙａ