乘积微分算子的自伴性及特征值对边界的依赖性本文主要围绕乘积微分算子的白伴性及特征值对边界的依赖性展开研究.微分算子从本质来说是无界可闭的线性算子,无界闭的线性算子的定义域一定不能是全空间,因此定义域的选择始终是微分算子研究中的一个十分重要而困难的问题.在微分算式给定的前提下,对所研究的算子提出的具体要求最终体现在对定义域的限制上.定义域不同的微分算子,其谱分解,特别是离散谱会有很大不同.在这些定义域的选择中,自伴域的选择就是其中重要之一.自伴微分算子因其有重要的应用背景,不仅使得它的谱与反谱问题成为数学家研究的热门课题,同时白伴性的识别与描述问题也被提到了重要位置.本文首先研究了微分算式乘积的自伴域的实参数解描述问题,在适当条件的假设下,利用互为相反数的一对值所对应的解刻画了微分算式乘积的自伴域,使得自伴边界条件中矩阵的确定只与这些解在正则点的初始值有关.其次,对于四阶奇型对称微分算式而言,会出现中间亏指数情形.本文接着研究了由具有任意亏指数的对称常微分算式生成的两个四阶及高阶奇型微分算子的积的自伴性问题.通过在半直线上使用实参数解对自伴域的刻画定理及分析技巧,以矩阵形式给出了,具任意亏指数的奇型对称微分算式产生的两个微分算子的积自伴的充要条件,并获得了与积算子自伴性有关的一些结果.再次,人们在工程实践中发现：一根材料均匀的,横截面积与长度相比可忽略不计的,有弹性的杆,两端以一定的有意义的方式固定住,然后去弹奏它,会发现杆发出的音会随其长度的缩短而逐渐变强,即杆的固有频率在逐渐增高,这一现象更为力学家所熟知.用数学的语言将这一问题翻译出来就是四阶边值问题的特征值对边界的依赖性问题.结合Dauge, Q. Kong ([38],[51],[87])等人的工作,借助微分算子的谱理论这一有利工具我们研究了两类四阶及高阶边值问题
的特征值对边界的依赖性.给出了第n个特征值关于其中一端点的一阶微分表达式,并证明了当区间长度趋于零时,在本文所考虑的边界条件情形下,所有的特征值会趋于无穷.并给出了具体的例子.最后本文研究了具有周期边界条件的四阶边值问题的矩阵表示,并考虑了它的逆过程即矩阵特征值问题的四阶边值问题表示.全文共分六个部分：一、介绍本文所研究问题的背景及本文的主要结果；二、文中所涉及相关符号、概念以及性质；三、微分算式乘积的自伴域的实参数解刻画；四、两个奇型微分算子乘积的自伴性；五、微分方程边值问题的特征值对边界的依赖性；六、具有周期边界条件的四阶边值问题的矩阵表示.
