高中数学人教A版必修二课件：第二章 点、直线、平面之间的位置关系 章末归纳提升

a
a
b b
平面内两条相交直线 空间中两条异面直线
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已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直
线 a // a, •b // b ，把 a 与b 所成的锐角（或直角）叫
做异面直线a与b所成的角．
b
O
a a
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异面直线所成的角
探究
我们规定两条平行直线的夹角为0°，那么 两条异面直线所成的角的取值范围是什么？
答：四边形EFGH是菱形
A
因为EF 1 AC，EH 1 BD
2
2
H E
且AC BD
DG
所以EF EH
B
所以平行四边形EFGH是菱形
F
C
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等角定理 思考1
在平面上，我们容易证明“如果一个角的 两边和另一个角的两边分别平行， 那么这两个 角相等或互补”．空间中，结论是否仍然成立？
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平面和平面相交于一条直线a
a
a
平面平面=直线a 被遮住的部分画虚线
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平面的表示
用集合符号表示 点与直线、点与平面、直线 与平面的关系
直线和平面都可以看成点的集合
“点P在直线l上”,“点A在平面α内”P l, A
“点P在直线l 外”,“点A在平面α外”P l , A
直线 l 在平面α内，或者说平面α经过直线 l
思考 （1）拿出两本书，看作两个平面，上下、左 右移动和翻转，它们之间的位置关系有几种？
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两个平面的位置关系
两个平面的位置关系有且只有两种 ①两个平面平行——没有公共点 ②两个平面相交——有一条公共直线．
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两个平面平行或相交的画法及表示

转到 与侧面BCC1B1在同一平面内如图D34，
连接 AB1 交 CC1 于点 P ，则由平面几何知识知，这时 PA ＋
PB1取得最小值，
∵PC∥BB1， AC· BB1 16 PC AC ∴BB ＝AB，即PC＝ AB ＝ 7 . 1
图 D34
专题二
空间角
求空间角一般分三步：作、证、求，“作”的方法要熟练
【互动与探究】
3．如图26，在圆锥PO中，已知PO＝ 2 ，⊙O的直径AB ＝2，点C在 AB 上，且∠CAB＝30° ，点D为AC的中点．
(1)证明：AC⊥平面 POD；
(2)求直线 OC 和平面 PAC 所成角的正弦值．
图 2-6
(1)证明：因为 OA＝OC，D 是 AC 的中点，所以 AC⊥OD. 又 PO⊥底面⊙O，AC⊂底面⊙O，所以 AC⊥PO. 而 OD，PO 是平面 POD 内的两条相交直线， 所以 AC⊥平面 POD.
(2)解：在△CEF中， 由(1)，可得EF＝CF＝ 6，CE＝2 3，
于是有EF2＋CF2＝CE2，所以CF⊥EF. 又由(1)知：CF ⊥C1E，且EF∩C1E＝E，所以CF ⊥平面 C1EF.又C1F⊂平面C1EF，故CF ⊥C1F. 于是∠EFC1即为二面角ECFC1的平面角． 由(1)知：△C1EF是等腰直角三角形，所以∠BFC1＝ 45°，即所求二面角ECFC1的大小为45°. 化空间为平面，然后转化为求解三角形．
章末整合提升
专题一
线面平行与垂直的证明
(1)线面平行的证明关键是找线线平行或面面平行，从而推 出线面平行． (2)线面垂直的关键是找这条直线垂直于平面内的两条相
交直线，从而推出线面垂直．
【例 1】 如图 2-1，在四棱锥 P-ABCD 中，平面 PAD ⊥平 面 ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F 分别是 AP，AD 的中 点． 求证：(1)直线 EF∥平面 PCD； (2)平面 BEF⊥平面 PAD .

H E 2
2 3 D 2 3
G F C B
在Rt△EFG中，求得∠EGF = 45°，
所以 BC与EG所成的角为45°. (2)因为BF∥AE，
A
所以∠FBG（或其补角）为所求.
在Rt△BFG中，求得∠FBG = 60°，
相交直线 空间两直线的位置关系
平行直线
异面直线
异面直线的定义
异面直线
异面直线的画法 两异面直线所成的角 一作(找)二证三求
边形叫做空间四边形ABCD.
A
相对顶点A与C，B与D的连线AC， BD叫做这个空间四边形的对角线.
B
C
D
【即时训练】
如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，判断下列直线的位置关系：
平行 ； (1)直线 A1B 与直线 D1C 的位置关系是________ 异面 ； (2)直线 A1B 与直线 B1C 的位置关系是________ 相交 ； (3)直线 D1D 与直线 D1C 的位置关系是________ 异面 ． (4)直线 AB 与直线 B1C 的位置关系是________
b a′ ？ O a b′ a′
θ
O
平 移
若两条异面直线所成的角为90°，则称它们互相垂直. 异面直线a与b垂直也记作a⊥b. 异面直线所成的角θ 的取值范围： 0 o < 90 o
例2
如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′.
（1）哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？
（2）直线BA′和CC′的夹角是多少？ （ 3 ）哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？ 解 : （1）由异面直线的定义可知， 与直线BA′成异面直线的有直线 B′C′，AD,CC′,DD′,DC,D′C′.

解析： 两直线可能相交、平行，也可能异面，故选D. 答案： D
公理 4 及等角定理的应用 多维探究型 在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，P、Q、M、N 分别为 AD、AB、C1D1、 B1C1 的中点，求证：A1P∥CN，A1Q∥CM，且∠PA1Q＝∠MCN.
证明： 取 A1B1 的中点 K，连接 BK、KM.易知四边形 MKBC 为平行四边形． 所以 CM∥BK. 又因为 A1K∥BQ 且 A1K＝BQ， 所以四边形 A1KBQ 为平行四边形， 所以 A1Q∥BK， 由公理 4 有 A1Q∥CM， 同理可证 A1P∥CN， 由于∠PA1Q 与∠MCN 对应边分别平行， 且方向相反，
[化解疑难] 求异面直线所成的角需注意的问题
(1)a 与 b 所成角的大小与点 O 无关，为了简便，点 O 常取在两条异面直线 中的一条上，例如取在直线 b 上，然后过点 O 作直线 a′∥a，a′与 b 所成的角 即为异面直线 a 与 b 所成的角.
(2)将两条异面直线所成的角转化为平面上的相交直线的夹角，实现了空间问 题向平面问题的转化．
解析： 取 AC 的中点 M， 连接 OM，ME，OE， 由 E 为 BC 的中点知 ME∥AB，OE∥DC， 所以直线 OE 与 EM 所成的锐角就是异面直线 AB 与 CD 所成的角．
在△OME 中，EM＝12AB＝ 22，OE＝12DC＝1， 因为 OM 是 Rt△AOC 斜边 AC 上的中线，
(3)两条直线垂直，既包括相交垂直，也包括异面垂直.
1．一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
() A．平行或异面
B．相交或异面
C．异面
D．相交
解析： 假设 a 与 b 是异面直线，而 c∥a，则 c 显然与 b 不平行(否则 c∥b，