05第三章 第5节 函数的极值与最值

【思路点拨】 (1)利用导数求单调区间和极值.
(2)由(1)的结论，问题转化为y＝f(x)和y＝a的
图象有3个不同的交点，利用数形结合的方法求 解.
【解】 (1)f′(x)＝3x2－6，令 f′(x)＝0， 解得 x1＝－ 2，x2＝ 2. 因为当 x＞ 2或 x＜－ 2时，f′(x)＞0； 当－ 2＜x＜ 2时，f′(x)＜0. 所以 f(x)的单调递增区间为(－∞，－ 2)和( 2， ＋∞)；单调递减区间为(－ 2， 2)． 当 x＝－ 2时，f(x)有极大值 5＋4 2；
16000.
2
由题意可知,当x过小(接近0)或过大(接近60)时,箱子 的容积很小,因此,16000是最大值.
答:当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积是16000cm3.
说明
1、设出变量找出函数关系式；确定出定义域； 所得结果符合问题的实际意义
2、若函数 f ( x )在定义域内只有一个极值点x0 ， 则不需与端点比较， f ( x0 )即是所求的最大值或 最小值.
所有极值连同端点函数值进行比较， 最大的为最大值，最小的为最小值
※典型例题6
求 函 数 f ( x ) 6 1 2 x x 3 在 3 ， 3 上 的 最 值 .
解：f ' x123x2 x3,3 1、求出所有导数为0的点；
令f ' x 0,解得：x2或x2 2、计算；
又f (2) 22，f (2) 10，f (3) 15, f (3) 3
【解】 (1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，令 f′(x)＝0. 由题设，知 x1＝1 与 x2＝－23为 f′(x)＝0 的解． ∴－23a＝1－23，b3＝1×(－23)． ∴a＝－12，b＝－2. (2)由(1)知 f(x)＝x3－12x2－2x＋c，

经济决策
在经济学中，很多问题涉及到成本和收益的权衡 ，这些问题的解决往往需要利用极值的概念。
3
物理现象解释
在物理学中，很多现象可以用极值的概念来解释 ，如物体运动的轨迹、电流的分布等。
05
习题与解答
习题
判断题
如果函数在某点的导数大于0，则该点为函数的极小值点。（）
选择题
函数f(x)在x=2处取得极大值，则f''(2)（）
学习目标
01 掌握函数极值和最值的定义、性质和求解方法。 02 理解极值与最值在实际问题中的应用，提高解决
实际问题的能力。
03 通过案例分析和练习，加深对极值与最值概念的 理解和掌握。
02
函数的极值
极值的定义
极值
函数在某点的值比其邻域内的任 何点的值都大或都小，则称该点 为函数的极值点，函数在该点的 值为极值。
表格法
通过列表比较函数的一阶导数、二阶导数和函数值的 变化趋势，确定极值点。
极值的求法
求解一阶导数
首先求出函数的一阶导数。
判断单调性
根据一阶导数的符号变化，判断函数的单调性。
寻找极值点
在单调性变化的点处寻找极值点。
验证
通过比较极值点附近函数值的凹凸性，验证所找到的极值点是否正确。
03
函数的最值
最值的定义
《函数的极值与最 值》ppt课件
目 录
• 引言 • 函数的极值 • 函数的最值 • 极值与最值的比较与联系 • 习题与解答
01
引言
主题介绍
函数极值与最值的概念
介绍函数极值和最值的定义，以及它 们在数学和实际应用中的重要性。
极值与最值的区别
阐述极值和最值的不同之处，包括定 义、性质和求解方法等。

3
3 27
唯一驻点为极大值点，
y x2 T
B
Cx
s(16) 4096 为所有三角形中面积的最大者. 3 27
练习 求内接于椭圆x2 y 2 1而面积最大的矩形的各边长． a2 b2
提示：设M(x, y)是内接于椭圆的矩形在第一象限的点
则面积为s 2x 2 y 4b x a2 x2 (0 x a) a
x (, 0) 0 (0 , 52)
2 5
(52 , )
f (x)
0
f (x)
0
0.33
是极大点，其极大值为
是极小点，其极小值为
例2:求 f ( x) ( x 1)2 ( x 1)3 的单调增减区间和极值 解：（1）先求导数
f '(x) 2(x 1) ( x1) 3 3(x 1)2 (x 1)2
计算 f (3) 23; f (2) 34;
7; f (1)
f (4) 142; y 2x3 3x2 12x 14
比较得 最大值 f (4) 142，
最小值 f (1) 7.
例2. 求函数
在闭区间
上的最大值和最小值 .
y
解: 显然
且
(2x3 9x2 12x),
1 4
x
Hale Waihona Puke 02x3 9x2 12x,
（1）求导数 f (x) ； （2）求出 f (x) 的全部驻点，即 f (x) = 0 的点； （3）找出 f (x) 的所有不可导的点； （4）对每一个驻点，用定理 2 或定理 3 判
断其是否为极值点，对每一个不可导点， 用定理 2 判断其是否为极值点；
（5）计算出各极值点处的函数值，即为所求函 数的全部极值。

在工程设计中的应用
结构设计
在工程结构设计中，结构的稳定 性、强度和刚度等性能指标需要 通过计算和分析来保证。函数极 值与最值的方法可以用于分析结 构的应力分布、变形等关键参数 ，优化结构设计。
控制系统设计
在控制系统的设计中，系统的稳 定性、响应速度和精度等性能指 标需要经过权衡和优化。函数极 值与最值的方法可以用于分析控 制系统的性能指标，找到最优的 控制策略。
光学设计
在光学设计中，透镜的形状和材料需要经过精密的计算和设计，以达到最佳的光学性能。函数极值与最值的方法可以 用于分析透镜的光路，优化光学系统的性能。
电磁场研究
在电磁场的研究中，电场和磁场的变化可以通过函数极值与最值来描述。例如，在研究电磁波的传播和 散射时，可以利用函数极值与最值的方法分析电磁场的分布和变化规律。
连续函数的性质
如果函数在某区间内连续，则该函数在该区间内 必取得最大值和最小值。
极值的性质
极值点一定是驻点或不可导点，但驻点或不可导 点不一定是极值点。
最值的求法
代数法
通过函数的导数或二阶导数，结合函数的单调性、凹 凸性等性质，求得函数的最大值或最小值。
几何法
通过函数图像，直观地观察函数的最大值或最小值。
航空航天设计
在航空航天领域，飞行器的设计 和性能分析需要经过严密的计算 和分析。函数极值与最值的方法 可以用于分析飞行器的气动性能 、推进系统效率等关键参数，提 高飞行器的性能和安全性。
04
函数极值与最值的求解方法
导数法
总结词
通过求导数判断函数单调性，值和最值的一种常用方法。首先求出函数的导数，然后根据导数的符号变化判断函 数的单调性，从而确定极值点。在极值点处，函数的导数由正变负或由负变正，即一阶导数为零的点 。