第22届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷及详细解答(初一年级)

第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题参考答案（小学中年级组）一、填空（每题 10 分, 共80分）二、解答下列各题（每题 15 分, 共60分, 要求写出简要过程）9. 【答案】33【解答】如图, DG=EG =3, 所以AG =9.△GAB 的面积69227=⨯÷=.连接AH , 则△HAB 的面积66218=⨯÷=. 所以△HAG 的面积27189=-=. 因此△HEG 的面积933=÷=.所以, 阴影五边形CDGHF 的面积66333=⨯-=. 10. 【答案】802米【解答】整个比赛中, 乌龟一共跑了1000米, 如果兔子没有睡觉, 则兔子跑的距离应该为100055000⨯=米, 而实际上, 兔子只跑了100010990-=米. 就是说, 兔子睡觉的时间内, 他可以跑的距离为50009904010-=米, 则在同样的时间内, 乌龟跑的距离为40105802÷=米. 11. 【答案】36个【解答】如图, 边长为1的正六边形有32425119⨯+⨯+⨯=（个）;边长为2的正六边形有2237⨯+=（个）; 边长为3的正六边形有1（个）; 边长为GH 的正六边形有7（个）; 边长为GI 的正六边形有2（个）; 共有36个.12. 【答案】6【解答】标有字母x 的格子称为格子x . 1至9的和是45, 记格子x 周边格子所填整数的和为y , 按题目要求, 则有454536y x x kx =---=-=,即(1)36x kx k x +=+=,这里k 是整数, 得到x 是36的约数. 已知36有约数36, 18, 12, 9, 6, 4, 3, 2, 1. 既然是求x 的最大值, 可从36的约数从大至小来判断x 的最大值是多少.显然, 36, 18, 12不可以.为陈述方便, 如图1, 在格子中填上代表数字的字母.1) 设9x =, e 和d 可取的数字有1, 2, 3, 6, 7, 8, 要求4e d m +=⨯, 故{,}e d 可取{1,7}或{2,6}. 先尝试{2,6}, 因为网格上下对称, 可取6e =, 2d =, 见图2. 此时, 格子6 (即填数字6的格子)周边4个格子中数字和是15f +, 是数字6的倍数, f 只能是3. 根据题目要求, 此时尚余的数字1, 7, 8, 不能满足a b +是5的倍数. 类似的讨论, 可以得到: {,}e d 不可以取{1,7}. 2) 设6x =, 可以, 见图3.图1图3图2。

2017 年第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛（武汉赛区）
决赛试卷（小高组）
一、填空题
1．（10 分）计算：2017
÷2019+Fra bibliotek＝．
2．（10 分）如图，圆周上有 12 个点，将圆周 12 等分．以这些等分点为四个顶点的矩形共
有
个．
3．（10 分）如图，已知 ABCDEFGHI 为正九边形，那么∠DIG＝
每个格点上标的数等于这点左、下所有格点各数之和， 所以 4 枚白棋 2 枚黑棋共有 208 种不同拿法． 故答案是：208． 11．（10 分）熙熙军团的胸章是如图所示的正八边形图案，已知正八边形的边长为 18，那么 阴影部分的面积是多少？
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【分析】按题意，将图等积变形，将阴影部分的面积转化为求其它三角形的面积，最后
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定理，可以求得约数的个数．
【解答】解：根据分析，n 有 10 个约数，2n 有 20 个约数，
按约数和定理，又∵
，∴n 的质因数分解式中含有 0 个 2；
设 n＝3amx，又∵
，∴n 的质因数分解式中含有一个 3，
根据约数和定理，得 n 的约数和为：（a+1）（x+1）＝10， 解得：a＝1，x＝4，此时 n＝3×m4； 故 6n＝2×3×n＝2×3×3×m4＝2×32×m4， 其约数和为：（1+1）×（2+1）（4+1）＝2×3×5＝30， 故答案是：30． 7．（10 分）甲乙两人进行 10 公里赛跑，甲跑完全程用了 50 分钟，此时乙离终点还差 500 米．为了给乙一次机会，两人约定，第二次赛跑时甲退后 500 米起跑．假设两次跑步两 人速度都不变，则第二次跑步第一个人到达终点时，另一人离终点还差 25 米． 【分析】首先找到不变量是时间，两人两次赛跑的时间是相同的，路程是成比例关系． 【解答】解：依题意可知： 当甲跑全程 10 公里时即 10000 米，乙跑全程的 10000﹣500＝9500 米，两人跑的时间相 同，路程成比例关系． 即 10000：9500＝20：19＝（10000+500）：9975． 当甲跑完 10500 米时，乙跑 9975 米． 还差 10000﹣9975＝25（米） 故答案为：25 8．（10 分）对于两位数 n，A、B、C、D 四人有以下的对话： A：“n 能被 24 整除．” B：“n 能被 33 整除．” C：“n 能被 62 整除．” D：“n 的各位数字之和为 15．” 其中只有 2 人的话是正确的，那么 n 的取值为 96 ． 【分析】四个人只有两个人的话是正确的，B、C 的话都要求 n 的数字和是 9 的倍数，与 的 D 的话矛盾，从四个人的话中找到共同点和不同的，以及矛盾的点，即可判断谁的话 是正确的．

第二十二届华罗庚杯少年数学邀请赛决赛初二年级组试题详解1，选（B)。

不能简单地把两个速度加起来平均，而是要根据速度的定义来做：设家到学校的距离为S，则去的时间为：S/4，回来的时间为：S/6，总路程为2S，所以往返的平均速度为：2S/(S/4+S/6)=24/5=4.8；2，选（C)。

不能简单地把两个人的速度比看成是6:5。

当甲到达6楼时走了5层楼，乙到达5楼时走了4层楼，所以甲到达36楼时走了35层，乙走了4×（35÷5）=28层，故乙到达29层。

3，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b的图形过点A（1,1），与坐标轴围成的三角形面积为2，这样的一次函数有▁▁▁个？（华赛杯22初二）4，如图，两个边长为6的正方形ABFE和EFCD拼成长方形ABCD，点G在线段ED 上，连接BG交EF于点H。

如果五边形CDGHF的面积为33，那么线段BG的长为多少？6，某校给学生提供苹果、香蕉和梨三种水果，用作课间加餐，每个人至少选择一种，可以多选，某班30名学生的调查结果如下：（1）没选苹果的学生中，选香蕉的人数是选梨的人数的2倍；（2）三种水果都选的学生有7人；（3）在恰好选了两种水果的学生中，选择香蕉和梨组合的人数比选其他组合的人数之和多3人；（4）在只选一种水果的学生中，恰好有一半选了苹果。

那么，只选了一种水果的学生有几人？【解】设只选苹果的人数为P，只选梨的人数为L，只选香蕉的人数为J，只选苹果和梨的人数为X，只选苹果和香蕉的人数为Y，只选梨和香蕉的人数为Z，则具体选择情况如下图所示：将⑦⑧代入⑤，得：P =13-Z ⑨将⑥⑨代入⑧得：3L=13-2Z，∵L≥1，∴13-2Z≥3，即Z≤5；由⑦，∵X+Y≥0，∴Z≥3，即3≤Z≤5，而L=（13-2Z）/3，只有当Z=5时，L有整数解1，故Z=5，L=1，代入⑨得：P=8，代入⑧得：J=7，故：P+L+J=8+1+7=16，即只选了一种水果的学生有16人。

初一华杯赛试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列哪个选项是最小的正整数？A. 0B. 1C. 2D. -1答案：B2. 如果一个数的绝对值是5，那么这个数可能是：A. 5B. -5C. 5或-5D. 都不是答案：C3. 计算下列表达式的结果是偶数的是：A. 3 + 5B. 4 × 6C. 7 - 3D. 2 × 3答案：B4. 一个数的平方等于它本身，这个数可能是：A. 0B. 1C. 0或1D. 都不是答案：C5. 下列哪个数是质数？A. 2B. 4C. 6D. 8答案：A二、填空题（每题2分，共10分）6. 一个数的相反数是-8，这个数是________。

答案：87. 如果一个数的立方等于-27，那么这个数是________。

答案：-38. 一个数的平方根是4，那么这个数是________。

答案：169. 一个数的绝对值是10，这个数可能是________或________。

答案：10 或 -1010. 一个数的倒数是1/2，那么这个数是________。

答案：2三、解答题（每题5分，共20分）11. 计算下列表达式的值：(3x - 2) / (x + 1)，当x = 3时。

答案：将x = 3代入表达式，得到(3×3 - 2) / (3 + 1) = (9 - 2) / 4 = 7 / 4。

12. 一个长方形的长是宽的两倍，如果长和宽的和是20厘米，求长和宽各是多少？答案：设宽为x，则长为2x。

根据题意，x + 2x = 20，解得x = 20 / 3，所以宽为20 / 3厘米，长为40 / 3厘米。

13. 一个数的平方加上这个数的两倍等于21，求这个数。

答案：设这个数为x，根据题意，x^2 + 2x = 21。

解这个一元二次方程，得到x = 3 或 x = -7。

14. 一个班级有40名学生，其中1/4的学生是男生，求班级中女生的人数。

答案：班级中有1/4 × 40 = 10名男生，所以女生的人数为40 - 10 = 30名。