几类不同增长的函数模型【学习目标】1．借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异．2．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增大等几类不同的增长和函数模型的意义．3．通过本节内容的学习，培养用函数的观念、思想和方法去理解、解决实际问题的意识，感悟到现实世界中数学无处不在，世界是数学的物化形式，数学是世界的精髓．【要点梳理】 要点一：几类函数模型的增长差异 一般地，对于指数函数和幂函数，通过探索可以发现，在区间上，无论比大多少，尽管在的一定范围内，会小于，但由于的增长快于的增长，因此总存在一个，当时，就会有．同样地，对于对数函数增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与轴平行一样，尽管在的一定范围内，可能会大于，但由于的增长慢于的增长，因此总存在一个，当时，就会有．综上所述，在区间上，尽管函数、和都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着的增大，的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度，而的增长则会越来越慢，因此总会存在一个，当时，就有三类函数模型增长规律的定性描述：1．直线上升反映了一次函数（一次项系数大于零）的增长趋势，其增长速度不变（恒为常数）；2．指数爆炸反映了指数函数（底数大于1）的增长趋势，其增长速度迅速（越来越快）；3．对数增长反映了对数函数（底数大于1）的增长趋势，其增长速度平缓（越来越慢）．如图所示：
要点诠释：当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快．要点二：利用函数的增长规律在实际问题中建立函数模型 若实际问题的增长规律与一些常见函数的增长规律相吻合，则可在实际问题中建立相应的函数模型，确定其系数，便得到相应的函数模型，从而完成建模．常用的函数模型有以下几类：（1）线性增长模型：；（2）线性减少模型：．（2）二次函数模型：当研究的问题呈现先增长后减少的特点时，可以选用二次函数；当研究的问题呈现先减少后增长的特点时，可以选用二次函数(1)xyaa(0)yx0,axxaxxax0x0xxxaxlogayxxxlogaxxlogaxx0x0xxlogaxx0,(1)xyaa(0)yxlog(1)ayxax(1)xyaa(0)yxlog(1)ayxa0x0xxlog.xaxxa
教学，重要的不是教师的“教”，而是学生的“学”
1 3、2、1、2几类不同增长的函数模型
一、【学习目标】
（寄语教师：这一节课例题要有所取舍，因为这一节课的内容比较多.）
1、指数函数、对数函数、幂函数的增长差异；
2、幂函数、指数函数、对数函数的应用.
【教学效果】：教学目标的出示，有利于学生课堂学习的目的性.
二、【自学内容和要求及自学过程】
阅读下列材料，结合教材第99-101页内容，回答下列问题
材料一：我们知道，对数函数y=xalog(a>1),指数函数y=ax(a>1)与幂函数y=xn(n>0)在区间(0，+∞)上都是增函数.但这三类函数的增长是有差异的.请观察下图，下图是函数y=log2x,y=2x,y=x2的图像：
我们可以得到，在区间(0，+∞)上函数y=log2x,y=2x,y=x2均为单调增函数，y=log2x的图象与另外两函数的图象没有交点，且总在另外两函数的图象的下方，y=2x的图象与y=x2的图象有两个交点(2，4)和(4，16).
材料二：在计算器或计算机中，610*05.1常表示成1.05E+06或1.05E6.其中字母“E”表示610的“底数”10，之后的整数6即为610的指数.如下图和下表所示为函数y=2x与y=x2的图像在大范围内的图像：
教学，重要的不是教师的“教”，而是学生的“学”
2
<1>请你根据材料一所述，在材料一的图像上标出使下列两个不等
式222logxxx和xxx2log22成立的自变量x取值范围；
<2>由问题<1>你能得出怎样结论？
<3>通过材料二，你能得出什么结论？
结论：<1>取值范围分别是(2，4)、(0，2)∪(4，+∞)；<2>y=2x的图象与y=x2的图象有两个交点(2，4)和(4，16)，这表明2x与x2在自变量不同的区间内有不同的大小关系，有时2x当自变量x越来越大时，可以看到，y=2x的图象就像与x轴垂直一样，2x的值快速增长，x2比起2x来，几乎有些微不足道.
1 3.2.1第二课时。 几类不同增长的函数模型
1、某动物数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，设第一年有100只，则到第七年它们发展到( )
A．300只 B．400只 C．500只 D．600只
2、马先生于两年前购买了一部手机，现在这款手机的价格已降为1000元，设这种手机每年降价20%，那么两年前这部手机的价格为( )
A．1535.5元 B．1440元C．1620元 D．1562.5元
3、为了改善某地的生态环境，政府决心绿化荒山，计划第一年先植树0.5万亩，以后每年比上年增加1万亩，结果第x年植树亩数y(万亩)是时间x(年数)的一次函数，这个函数的图象是(
)
4、某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每月用水不超过10 m3，按每立方米x元收取水费；每月用水超过10 m3，超过部分加倍收费，某职工某月缴费16x元，则该职工这个月实际用水为( )
A．13 m3 B．14 m3 C．18 m3 D．26 m3
5．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x(年)的函数关系较为近似的是( )
A．y＝0.2x B．y＝110(x2＋2x) C．y＝2x10 D．y＝0.2＋log16x
6、某工厂12月份的产量是1月份产量的7倍，那么该工厂这一年中的月平均增长率是( )
A.711 B.712 C.127－1 D.117－1
7、假设某商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝aA，那么广告效应D＝aA－A，当A＝________时，取得最大值．
8、将进货价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件；若每件的售价涨0.5元，其销售量减少10件，问将售价定为多少时，才能使所赚利润最大？并求出这个最大利润．
3．2.1
几类不同增长的函数模型
函数模型
(1)在区间(0，＋∞)上，函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝xα(α>0)都是□1增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上．
(2)在区间(0，＋∞)上随着x的增大，y＝ax(a>1)的□2增长速度越来越快，会超过□3并远远大于y＝xα(α>0)的增长速度，而y＝logax(a>1)的□4增长速度则会越来越慢．
(3)对于函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)，y＝xα(α>0)，存在一个x0，使得当x>x0时，有□5ax>xα>logax.
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝x3比y＝2x增长的速度更快些．( )
(2)当x>100时，函数y＝10x－1比y＝lg x增长的速度快．( )
(3)能用指数型函数f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a>0，b>1)表达的函数模型，称为指数型函数模型，也常称为“爆炸型”函数．( )
答案 (1)× (2)√ (3)√
2．做一做
(1)已知变量x，y满足y＝1－3x，当x增加1个单位时，y的变化情况是________．
(2)(教材改编P98T1)当x>4时，a＝4x，b＝log4x，c＝x4的大小关
系为________．
(3)(教材改编P95例1)某商店每月利润的平均增长率为2%，若12月份的利润是当年1月份利润的k倍，则k＝________.
(4)如图所示的曲线反映的是________函数模型的增长趋势．
答案 (1)减少3个单位 (2)b
『释疑解难』
(1)一次函数模型
一次函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．
(2)指数函数模型
指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．
(3)对数函数模型
对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．
