十隐函数求导法则
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（十） 隐函数求导法则由方程()0,=y x F 所确定的y 是x 的函数称为隐函数。
从方程()0,=y x F 中有时可解出y 是x 的显函数 ,如从方程0153=++y x 可解出显函数5153--=x y ；有时，从方程()0,=y x F 中可以解出不止一个显函数，如从方程()00222>=-+R R y x 中可以解出22x R y -±=。
它包含两个显函数，其中22x R y -=代表上半圆周，22x R y --=代表下半圆周。
但也有时隐函数并不能表示为显函数的形式，如方程()100sin <<=--εεy x y 就不能解出来)(x f y =的形式。
现在讨论当y 是由方程()0,=y x F 所确定的x 的函数，并且y 对x 可导（即()x y '存在），那么在不解出y 的情况下，如何求导数y '呢？其办法是在方程()0,=y x F 中，把y 看成x 的函数()x y y =，于是方程可看成关于x 的恒等式:()()0,≡x y x F .在等式两端同时对x 求导（左端要用到复合函数的求导法则），然后解出 y ' 即可。
例2.14 求方程()0222>=+R R y x 所确定的隐函数的导数y '. 解 当我们对方程222R y x =+的两端同时对x 求导时，则应有(()x y y =是中间变量) 022='⋅+y y x . 解出()0≠-='y yxy .思考题 证明：圆()0222>=+R R y x 在其上一点()000,y x M 处的切线方程为200R y y x x =+.问：法线方程是什么？例2.15 求曲线1ln =+y xy 在点()1,1处的切线方程。
解 将曲线方程两边对x 求导，得 0)'(ln )'(=+x x y xy ，即01='⋅+'+y yy x y . 于是 12+-='y x y y . 过点()1,1处的切线斜率=k y '()1,1=12+-y x y ()1,1=21-.故所求切线方程为 ()1211--=-x y ， 即 032=-+y x .例2.16 已知(),0sin 2=-y y x π 求()1,0-'y . 解 方程两边对x 求导，得0)]'[sin()'(2=-x x y xy π，即 ()02cos 2='⋅-'+y y y y x y ππ.,)cos(22y y x y y ππ--=' ().21cos 211,0πππ-=⋅='-y 例 2.17 证明双曲线2a y x =上任意一点的切线与两坐标轴形成的三角形的面积等于常数22a .证 在双曲线2a xy =上任取一点()00,y x ，过此点的切线斜率为 ().0,000x y xyy k y x x x -=-='== 故切线方程为 00x y y y -=-)(0x x -.此切线在y 轴与x 轴上的截距分别为02y ，02x , 故此三角形面积为20000222221a y x x y =⋅=⋅. 例2.18 设 ()11lnsin =+-y x xy ，求 0=x dx dy.解 两边对x 求导，有 ()[]()011cos ='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅+-'y x x y xy xy ()[]()()011'cos 2='+-⋅+-+⋅y y x y x y xy y xy ()())(011cos cos *='++-'+ΛΛyy x xy y x xy y当0=x 时，由 ()11lnsin =+-y x xy 可解出11ln =-y, 即 .,1ln e y y =∴=而当 e y x ==,0 时，由()*可解出 01='+-ey e . ()e e y x -='∴=10.（十一）取对数求导法（是要点） 先看几个例题。
例2.19 设()1,0≠>=a a a y x . 此为指数函数。
两边取对数得x a y ln ln =,即 a x y ln ln =,这是隐函数形式，按隐函数求导法：将此式两边对x 求导，得()()'='a x y x ln ln , 即 ()a y y x y ln ln ='⋅'.a y yln 1='⋅, a a a y y x ln ln ⋅=='∴. 即指数函数x a y =的导数为……（1） 特别当e a =时，则有()1ln =e Θ……（2） 由复合函数求导法，利用公式（1）容易求出x a y -=的导数：()()()()()()1ln -⋅⋅='-⋅'='='----a a x a a y x x x x a a x ln ⋅-=-.而 ()'++⋅='++++c bx ax e e c bx ax c bx ax 222)(()b ax e c bx ax +⋅=++22.若求由方程xy e y =所确定的隐函数y 的导数，只须两边对x 求导，得,y x y y e y '+='⋅ 所以 .xe y y y -=' (注：另一种解法,xy e y=Θ 从中容易解出.ye x y= 此为()x y y =的反函数。
而().2zy y y y y e ye y ydy d e e dy d ydydx-=-= 由此易知xy ye y e ye y xydx dx dy y y y -=-==221xe y y -=. 即x e y dx dy y -=). 例2.20 求幂函数a x y =（a x ,0>为任意实数）的导数。
解 当N n a ∈=，已有1)(-='n n nx x . 现在R a ∈∀在a x y =两边取对数，则有a x y ln ln =, 即 x a y ln ln =. 两边对求导数（y做中间变量），有 ()()'='x a y x ln ln ,()xa x a y y 1ln 1⋅='='⋅. .1-⋅=⋅=⋅='∴a ax a xx a x y a y 即()1-='a aaxx ()R a ∈.例2.19,例2.20说明：对指数函数，幂函数求导数，幂指函数求导数，都可以利用“取对数求导法”。
但注意，要尽量利用已有公式，如求(),12'+x 不必再去令21x y +=，然后两边取对数。
而可直接求()()()().1211211121112222122122xx x x x x x x +=⋅+⋅='+⋅+='⎥⎦⎤⎢⎣⎡+='+-例2.21 求幂指函数x x y =的导数y '.解法一 利用两边取对数方法：,ln ln x x y = 即 x x y ln ln ⋅=.再利用复合函数求导法则 (这里中间变量是y)：()x x x x x x y y 1ln ln ln 1⋅+='+='⋅ ()().ln 1ln 1x x x y y x +=+='∴解法二 由x x y =，可变形x x x e e y xln ln ==.()()'⋅='='∴x x e e y x x x x ln ln ln ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡'⋅+⋅=x x x e x x ln ln ln ()().ln 1ln 11ln ln ln x x x e x x x e x x x x x+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=解法一是对幂指函数两边取对数；解法二是利用()().ln x f e x f =（当()0>x f ）。
两种技法都要掌握。
例2.22 求幂指函数[])()(x x f y ϕ=的导数。
解 两边取对数),(ln )(ln x f x y ϕ=两边对x 求导，有)()(1)()(ln )(1x f x f x x f x y y '⋅⋅+'='ϕϕ，解出 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+'=')()()()(ln )(x f x f x x f x y y ϕϕ [].)()()()(ln )()()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+'=x f x f x x f x x f x ϕϕϕ 例2.20，例2.21，例2.22告诉我们，对于指数函数，幂函数,幂指函数都可采用先取对数，再求导，最后解出y '的方法——即“取对数求导法”。
不仅如此，“取对数求导法”也常用来求那些含乘，除，乘方，开方因子较多的函数的求导。
这是因为对数能变⨯，÷为+，—，把乘方变乘法。
例2.23 求()'--32)2)(1(x x .解法一()'--32)2)(1(x x ='⎭⎬⎫⎩⎨⎧--312)]2)(1[(x x=])2)(1[()]2)(1[(312322'--⋅---x x x x =)]1)(1()2(2[)2()1(13123222--+-⋅--⋅x x x x x=322222)2()1(12431x x x x x --+--⋅=32222)2()1(14331x x x x --++-⋅.解法二 令312)]2)(1[(x x y --=，两边取对数)]2ln()1[ln(31ln 2x x y -+-=，两边对x 求导数，)2)(1(14331]2112[311222x x x x x x x y y --++-⋅=--+-='⋅. 所以 .)2)(1(3143)2)(1(14331322222x x x x x x x x y y --++-=--++-⋅⋅='与解法一的方法不同，但结果一样。
细心的同学可能会对0,0)2(,012>>->-y x x ，那么，怎么可以对它们取对数呢？严格说来，应该分情况：当012=-x 或02=-x 时，由导数定义可以知道312)]2)(1[(x x y --=的导数在2,1=±=x x 处不存在。
当012≠-x 且02≠-x 时，0≠y ，此时可先在表达式312)]2)(1[(x x y --=两边取绝对值，得 3221x x y -⋅-=.因为0,02,012>>->-y x x ，所以可在上式两边取对数：]2ln 1[ln 31ln 2x x y -+-= ……（*）再对两边对x 求导数（但我们记得xx x 1)(ln ='，与xx x 1)(ln ='是相同的，即对（*）关于x 求导的结果应该与不带绝对值的式子 )]2ln()1[ln(31ln 2x x y -+-= 两边对x 求导的结果完全一样。
