高考一轮复习：古典概型

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我爱学习网 高中数学学习网/gaozhong/shuxue/ 第2讲 古典概型

【2015年高考会这样考】

1．考查古典概型概率公式的应用，尤其是古典概型与互斥、对立事件的综合问题更是高考的热点．

2．在解答题中古典概型常与统计相结合进行综合考查，考查学生分析和解决问题的能力，难度以中档题为主．

【复习指导】

1．掌握解决古典概型的基本方法，列举基本事件、随机事件，从中找出基本事件的总个数，随机事件所含有的基本事件的个数．

2．复习时要加强与统计相关的综合题的训练，注重理解、分析、逻辑推理能力的提升．

基础梳理

1．基本事件的特点

(1)任何两个基本事件是互斥的．

(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．

2．古典概型

具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．

(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．

(2)每个基本事件出现的可能性相等．

3．古典概型的概率公式

P(A)＝A包含的基本事件的个数基本事件的总数.

一条规律

从集合的角度去看待概率，在一次试验中，等可能出现的全部结果组成一个集合I，基本事件的个数n就是集合I的元素个数，事件A是集合I的一个包含m个元素的子集．故P(A)＝cardAcardI＝mn. 我爱学习网 在线学习网 分享学习方法 励志人生

我爱学习网 高中数学学习网/gaozhong/shuxue/ 两种方法

(1)列举法：适合于较简单的试验．

(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求．另外在确定基本事件时，(x，y)可以看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同；有时也可以看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同．

双基自测

1．(人教A版教材习题改编)一枚硬币连掷2次，只有一次出现正面的概率为

( )．

A.23 B.14 C.13 D.12

解析 一枚硬币连掷2次，基本事件有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，而只有一次出现正面的事件包括(正，反)，(反，正)，故其概率为24＝12.

答案 D

2．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是( )．

A.16 B.12 C.13 D.23

解析 甲共有3种站法，故站在中间的概率为13.

答案 C

3．掷一颗骰子，观察掷出的点数，则掷得奇数点的概率为( )．

A.13 B.14 C.12 D.23

解析 掷一颗骰子共有6种情况，其中奇数点的情况有3种，故所求概率为：36＝12.

答案 C

4．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b＞a的概率是( )．

A.45 B.35 C.25 D.15

解析 基本事件的个数有5×3＝15(种)，其中满足b＞a的有3种，所以b＞a的我爱学习网 在线学习网 分享学习方法 励志人生

我爱学习网 高中数学学习网/gaozhong/shuxue/ 概率为315＝15.

答案 D

5．(2012·泰州联考)三张卡片上分别写上字母E、E、B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为________．

解析 三张卡片排成一排共有BEE，EBE，EEB三种情况，故恰好排成BEE的概率为13.

答案 13

考向一 基本事件数的探求

【例1】►做抛掷两颗骰子的试验：用(x，y)表示结果，其中x表示第一颗骰子出现的点数，y表示第二颗骰子出现的点数，写出：

(1)试验的基本事件；

(2)事件“出现点数之和大于8”；

(3)事件“出现点数相等”；

(4)事件“出现点数之和大于10”．

[审题视点] 用列举法一一列举．

解 (1)这个试验的基本事件为：

(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)

(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)

(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)

(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)

(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)

(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)

(2)事件“出现点数之和大于8”包含以下10个基本事件(3,6)，(4,5)，(4,6)(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．

(3)事件“出现点数相等”包含以下6个基本事件(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)． 我爱学习网 在线学习网 分享学习方法 励志人生

我爱学习网 高中数学学习网/gaozhong/shuxue/ (4)事件“出现点数之和大于10”包含以下3个基本事件(5,6)，(6,5)，(6,6)．

基本事件数的探求主要有两种方法：列举法和树状图法．

【训练1】 用红、黄、蓝三种不同颜色给图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，写出：

(1)试验的基本事件；

(2)事件“3个矩形颜色都相同”；

(3)事件“3个矩形颜色都不同”．

解 (1)所有可能的基本事件共27个．

(2)由图可知，事件“3个矩形都涂同一颜色”包含以下3个基本事件：红红红，黄黄黄，蓝蓝蓝．

(3)由图可知，事件“3个矩形颜色都不同”包含以下6个基本事件：红黄蓝，红蓝黄，黄红蓝，黄蓝红，蓝红黄，蓝黄红．

考向二 古典概型

【例2】►现有8名2012年伦敦奥运会志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．

(1)求A1被选中的概率；

(2)求B1和C1不全被选中的概率．

[审题视点] 确定基本事件总数，可用排列组合或用列举法，确定某事件所包含的基本事件数，用公式求解．

解 (1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件共有C13C13C12＝18个．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．

用M表示“A1恰被选中”这一事件，

事件M由C13C12＝6， 我爱学习网 在线学习网 分享学习方法 励志人生

我爱学习网 高中数学学习网/gaozhong/shuxue/ 因而P(M)＝618＝13.

(2)用N表示“B1、C1不全被选中”这一事件，则其对立事件N表示“B1、C1全被选中”这一事件，由于N包含(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)3个结果，事件N有3个基本事件组成，所以P(N)＝318＝16，由对立事件的概率公式得

P(N)＝1－P(N)＝1－16＝56.

古典概型是基本事件个数有限，每个基本事件发生的概率相等的一种概率模型，其概率等于随机事件所包含的基本事件的个数与基本事件的总个数的比值．

【训练2】 (2011·全国新课标)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )．

A.13 B.12 C.23 D.34

解析 甲、乙两人都有3种选择，共有3×3＝9(种)情况，甲、乙两人参加同一兴趣小组共有3种情况．∴甲、乙两人参加同一兴趣小组的概率P＝39＝13.

答案 A

考向三 古典概型的综合应用

【例3】►(2011·广东)在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用xn表示编号为n(n＝1,2，„，6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：

编号n 1 2 3 4 5

成绩xn 70 76 72 70 72

(1)求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s；

(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率．

[审题视点] 本题考查平均数、标准差、古典概型概率的计算．(1)由这6位同学的平均成绩为75分，建立关于x6的方程，可求得x6，然后求方差，再求标准差；我爱学习网 在线学习网 分享学习方法 励志人生

我爱学习网 高中数学学习网/gaozhong/shuxue/ (2)用列举法可得所求古典概型的概率．

解 (1)∵这6位同学的平均成绩为75分，

∴16(70＋76＋72＋70＋72＋x6)＝75，解得x6＝90，

这6位同学成绩的方差

s2＝16×[(70－75)2＋(76－75)2＋(72－75)2＋(70－75)2＋(72－75)2＋(90－75)2]＝49，∴标准差s＝7.

(2)从前5位同学中，随机地选出2位同学的成绩有：(70,76)，(70,72)，(70,70)，(70,72)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，(72,70)，(72,72)，(70,72)，共10种，

恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的有：(70,76)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，共4种，所求的概率为410＝0.4，

即恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率为0.4.

有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、分布直方图、茎叶图等给出信息，只需要能够从题中提炼出需要的信息，则此类问题即可解决．

【训练3】 一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：

轿车A 轿车B 轿车C

舒适型 100 150 z

标准型 300 450 600

按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．

(1)求z的值；

(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；

(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：

9．4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2，把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．