线性代数 大作业(一)

第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ().(A) 24315 (B) 14325(C) 41523(D)243512．如果阶排列的逆序数是, 则排列的逆序数是( ).n n j j j 21k 12j j j n (A)(B)(C)(D)k k n -k n -2!k n n --2)1(3. 阶行列式的展开式中含的项共有()项.n 1211a a (A) 0(B)(C) (D) 2-n )!2(-n )!1(-n 4．( ).=0001001001001000(A) 0 (B) (C) (D) 21-15.( ).=01100000100100(A) 0 (B) (C) (D) 21-16．在函数中项的系数是( ).1000323211112)(x x x x x f ----=3x (A) 0(B) (C)(D) 21-17. 若，则 ( ).21333231232221131211==a a a a a a a a a D =---=3231333122212321121113111222222a a a a a a a a a a a a D (A) 4 (B)(C) 2 (D) 4-2-8．若，则 ( ).a a a a a =22211211=21112212ka a ka a(A) (B) (C) (D)ka ka -a k 2ak 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是, 第3行元的余子式依次为3,1,0,4-, 则().x ,1,5,2-=x (A) 0(B)(C)(D) 23-310. 若，则中第一行元的代数余子式的和为().5734111113263478----=D D (A)(B)(C)(D)1-2-3-011. 若，则中第四行元的余子式的和为( ).2235001011110403--=D D (A)(B)(C)(D)1-2-3-012. 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组有非零解.k ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x ( )(A) (B)(C)(D)1-2-3-0二、填空题1. 阶排列的逆序数是.n 2)12(13)2(24-n n 2．在六阶行列式中项所带的符号是.261365415432a a a a a a 3．四阶行列式中包含且带正号的项是.4322a a 4．若一个阶行列式中至少有个元素等于, 则这个行列式的值等于n 12+-n n 0.5. 行列式.=01001110101001116．行列式.=-0100002000010 nn 7．行列式.=--0001)1(2211)1(111 n n n n a a a a a a 8．如果，则.M a a a a a a a a a D ==333231232221131211=---=3232333122222321121213111333333a a a a a a a a a a a a D 9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为.10．行列式.=--+---+---1111111111111111x x x x 11．阶行列式.n =+++λλλ11111111112．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为.13．设行列式，为D 中第四行元的代数余子式，5678123487654321=D j A 4)4,3,2,1(=j 则.=+++44434241234A A A A 14．已知， D 中第四列元的代数余子式的和为.db c a c c a b b a b c a c b a D =15．设行列式，为的代数余子式，则62211765144334321-==D jA 4)4,3,2,1(4=j a j ，.=+4241A A =+4443A A16．已知行列式，D 中第一行元的代数余子式的和为nn D10301002112531-=.17．齐次线性方程组仅有零解的充要条件是.⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=++0020232121321x x x kx x x x kx 18．若齐次线性方程组有非零解，则=.⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x k 三、计算题1.; 2．；cb a d b a dc ad c b dc b a dc b a dc b a++++++++33332222yx yx x y x y y x y x +++3．解方程； 4．；0011011101110=x x xx 111111321321221221221----n n n n a a a a x a a a a x a a a a x a a a a x5. ()； na a a a111111111111210n j a j ,,1,0,1 =≠6. bn bb ----)1(1111211111311117. ； 8．; n a b b b a a b b a a a b 321222111111111xa a a a x a a a a x a a a a x n nn 3212121219.;10.2212221212121111nn n nnx x x x x x x x x x x x x x x +++210001200000210001210001211．.aa a a a a a a aD ---------=111100011000110001四、证明题1．设，证明：.1=abcd 011111111111122222222=++++dddd c c c c b b b b a a a a 2．.3332221112333332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a x b a -=++++++3．.))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b a dc b a +++------=4．.∏∑≤<≤=----=nj i i j n i i nnn nn nn n nna a a a a a a a a a a a a a a 1121222212222121)(1115．设两两不等，证明的充要条件是.c b a ,,0111333=c b a c ba 0=++cb a参考答案一．单项选择题A D A C C D ABCD B B 二．填空题1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.n ”“-43312214a a a a 00!)1(1n n --; 8.; 9.; 10.; 11.; 12.;1)1(212)1()1(n n n n n a a a ---M 3-160-4x 1)(-+n n λλ2-13.; 14.; 15.; 16.; 17.; 18.009,12-)11(!1∑=-nk k n 3,2-≠k 7=k 三．计算题1．； 2. ；))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++-)(233y x +-3. ;4.1,0,2-=x ∏-=-11)(n k kax 5.;6. ;)111()1(00∑∏==-+-nk k nk k a a ))2(()1)(2(b n b b ---+- 7. ;8. ;∏=--nk k kna b1)()1(∏∑==-+nk k nk k a x a x 11)()(9. ;10. ;∑=+nk k x 111+n 11. .)1)(1(42a a a ++-四. 证明题 (略)第二章 矩阵一、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是( )。

线性代数习题一说明：本卷中，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，||α||表示向量α的长度，αT表示向量α的转置，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．设行列式111213212223313233a a a a a a a a a =2，则111213313233213122322333333a a a a a a a a a a a a ------=（ ） A ．-6 B ．-3 C ．3D ．62．设矩阵A ，X 为同阶方阵，且A 可逆，若A （X -E ）=E ，则矩阵X =（ ） A ．E +A -1B ．E -AC ．E +AD ．E -A -13．设矩阵A ，B 均为可逆方阵，则以下结论正确的是（ ）A ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆，且其逆为-1-1⎛⎫⎪⎝⎭A B B ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 不可逆 C ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆，且其逆为-1-1⎛⎫ ⎪⎝⎭B AD ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆，且其逆为-1-1⎛⎫⎪⎝⎭A B 4．设α1，α2，…，αk 是n 维列向量，则α1，α2，…，αk 线性无关的充分必要条件是（ ）A ．向量组α1，α2，…，αk 中任意两个向量线性无关B ．存在一组不全为0的数l 1，l 2，…，l k ，使得l 1α1+l 2α2+…+l k αk ≠0C ．向量组α1，α2，…，αk 中存在一个向量不能由其余向量线性表示D ．向量组α1，α2，…，αk 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示5．已知向量2(1,2,2,1),32(1,4,3,0),T T+=---+=--αβαβ则+αβ=（ ） A ．（0，-2，-1，1）TB ．（-2，0，-1，1）TC ．（1，-1，-2，0）TD ．（2，-6，-5，-1）T6．实数向量空间V ={(x , y , z )|3x +2y +5z =0}的维数是（ ） A ．1B ．2C．3 D．47．设α是非齐次线性方程组Ax=b的解，β是其导出组Ax=0的解，则以下结论正确的是（）A．α+β是Ax=0的解B．α+β是Ax=b的解C．β-α是Ax=b的解D．α-β是Ax=0的解8．设三阶方阵A的特征值分别为11,,324，则A-1的特征值为（）A．12,4,3B．111,,243C．11,,324D．2,4,39．设矩阵A=121-，则与矩阵A相似的矩阵是（）A．11123--B．01102C．211-D．121-10．以下关于正定矩阵叙述正确的是（）A．正定矩阵的乘积一定是正定矩阵B．正定矩阵的行列式一定小于零C．正定矩阵的行列式一定大于零D．正定矩阵的差一定是正定矩阵二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。

作业成绩班级 姓名 序号第1次作业 行列式的性质本次作业目的熟悉行列式的性质；会用化三角法计算简单行列式。

1. 用行列式性质证明下列等式：(1) 1111111122222223333333a kb b c c a b c a kb b c c a b c a kb b c c a b c ++++=++23； 证 (2) 2y z z x x y x yz x yy z z x z x y z xx yy z yzx ++++++=+++； 证(3)()()()()()()()()()()()()22222222222222221231230123123a a a a b b b b cc c cd d d d ++++++=++++++。

证作业成绩班级姓名序号第2次作业行列式展开克莱姆法则本次作业目的熟悉行列式展开法则和克莱姆法则；会熟练应用展开法则计算行列式；会用克莱姆法则解低阶方程组，讨论方程组的解。

1.1121234134124206D−−=−，求3132342A A A++。

解2. 计算下列行列式：(1) 1111 1111 1111 1111xxyy+−+−；解(2)222b c c a a ba b ca b c+++；解作业成绩班级 姓名 序号第3次作业 矩阵及其运算本次作业目的掌握矩阵的加法、数乘、乘法、转置和方阵的行列式及其运算规律。

1. 计算：(1) ；()123223−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎝⎠解(2) 111213112312222321332333()a a a x x x x a a a x a a a x ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎞⎟⎟⎟⎠。

解2. 设，求3111123111,124111051⎛⎞⎛⎜⎟⎜=−=−−⎜⎟⎜⎜⎟⎜−⎝⎠⎝A B AB 解3. 已知11(1,2,3),1,,23⎛⎞==⎜⎝⎠αβ⎟，矩阵=A T αβ，其中T α是α的转置，求(为正整数)。

线性代数 大作业（一）学号：02121443 姓名：惠政 成绩：____________1. 设A=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--730005600032001，且B=(E+A)1-(E-A),则(E+B)1-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--45.100033000210001A=[1 0 0 0;-2 3 0 0;0 6 5 0;0 0 -3 7]; B=inv(eye(4)+A)*(eye(4)-A); inv(eye(4)+B) ans =1.0000 0 0 0 -1.00002.0000 0 0 03.0000 3.0000 0 0 0.0000 -1.50004.0000 2. 非齐次线性方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+-+--=-++--=-+----=-++--=-++--2101099650074121929543914622517141413235432154321543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的解为(3955500,-2477700,-1521800,7075700,2712600)T。

A=[-23 -13 14 14 -7;-2 -2 1 6 -14;-4 -5 -9 2 -9;-4 -7 1 0 -0;9 -1 1 -9 10]; b=[51;-39;121;-65;210]; x=inv(A)*b x =1.0e+006 * 3.9555 -2.4777 -1.5218 7.0757 2.71263. 设行列式D=2235085095234321-c c c c ，则其第4行各余子式分别为M 41=9c 4+72c 2-45c 3 M 42=-24c 4+72c 1 M 43=-15c 4+45c 1 M 44=24c 2-153c +9c 1。

syms c1 c2 c3 c4;D=[3 2 5 9;c1 c2 c3 c4;0 5 8 0;5 3 -2 2]; a=[2 5 9;c2 c3 c4;5 8 0]; b=[3 5 9;c1 c3 c4;0 8 0]; c=[3 2 9;c1 c2 c4;0 5 0]; d=[3 2 5;c1 c2 c3;0 5 8]; det(a),det(b),det(c),det(d); ans =9*c4+72*c2-45*c3 ans =-24*c4+72*c1 ans =-15*c4+45*c1 ans =24*c2-15*c3+9*c1 4. 设R 3的两个基为α1=（1,1,0）T,α2=(0,1,1)T，α3=(0,0,1)Tβ1=(1，-1,2)T,β2=(1,1-1)T,β3=(-2,1，-3)T求解从基α1，α2，α3到基β1，β2，β3的过渡矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡6-1-4302-2-11 B=[1 0 0;1 1 0;0 1 1],C=[1 1 -2;-1 1 1;2 -1 -3]A=inv(B)*C A =1 1 -2 -2 034 -1 -6 5. 非齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++=++++12372023244322454323654321543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的通解为k 1⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡00015.0-+k 2⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡15.3-1075.0+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡7143.102857.0-02143.0- A=[6 3 2 3 4;4 2 1 2 3;4 2 3 2 1;2 1 7 3 2];b=[5;4;0;1]; x0=A\b x=null(A,'r') x0 =-0.2143 0 -0.2857 0 1.7143 x =-0.5000 0.7500 1.0000 0 0 1.0000 0 -3.5000 0 1.0000 6. 其次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=+-++-=+--+=+++-0)28(7004)5(2300)3(20442)2(4321432143214321x k x x x x x k x x x x x k x x x x x k 在k 为______1,3,4,6_________时有非零解，其分别对应的基础解系是(0,21,1,-45)T ,(0,-2,0,1)T ,(-3,-7,1,1)T,(35,1,31,65)T 。