河北工业大学线性代数作业答案

线性代数练习题 第一章 行 列 式系 专业 班 姓名 学号第一节 行列式的定义一．选择题1．若行列式x52231521- = 0，则=x [ C ] （A ）2 （B ）2- （C ）3 （D ）3- 2．线性方程组⎩⎨⎧=+=+473322121x x x x ，则方程组的解),(21x x = [ C ]（A ）（13，5） （B ）（13-，5） （C ）（13，5-） （D ）（5,13--）3．方程093142112=x x根的个数是 [ C ] （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）34．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 [ A D ] （A ）665144322315a a a a a a （B ）655344322611a a a a a a （C ）346542165321a a a a a a （D ）266544133251a a a a a a 5．若55443211)541()1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式ij a 的一项，则l k ,的值及该项的符号为[ B ]（A ）3,2==l k ，符号为正； （B ）3,2==l k ，符号为负； （C ）2,3==l k ，符号为正； （D ）2,3==l k ，符号为负6．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是 [ B ] (A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于n 个 二、填空题 1．行列式1221--k k 0≠的充分必要条件是 3,1k k ≠≠-2．排列36715284的逆序数是 133．已知排列397461t s r 为奇排列，则r = 2,8,5 s = 5,2,8 ，t = 8,5,2 4．在六阶行列式ij a 中，623551461423a a a a a a 应取的符号为 负 。

河北工业大学教务处试题标准答案及评分标准用纸课程名称:线性代数 （ A 卷）一、填空题（每小题3分，共15分）1、3-；2、12d b c a -⎛⎫ ⎪-⎝⎭； 3、k(12ξξ-),k ∈R ； 4、3； 5、 3. 二、选择题（每小题3分，共15分）1、C2、A3、B4、D 5 、D 三、解答题（每小题8分，共32分） 1、13233331125132320112501A A A ----+=-- ………………………………………………………………（3分）0= ………………………………………………………………（8分） 2、由X AX B =+ 得()E A X B -= ……………………………………………………………（2分）因(,)E A B -=110111012010253--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭～101200111100333-⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭～100310102000111-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭………………………………………………（6分） 所以X=312011-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭………………………………………………………………（8分）3、 因*112A A A A --==， ……………………………………………………………（2分）所以*11()3A A --+=…………………………………………………………（4分）=15A - =5n1A - …………………………………………………………（6分）=5n1A -=52n………………………………………………………………（8分） 4、记()123,,A ααα=，设11x x x βααα=++. ……………………………………… （2分） 解法一： 1111(,)22230323A a b a a b β-⎛⎫ ⎪=+-- ⎪ ⎪-+-⎝⎭ ～ 1111010323a b a a b -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-+-⎝⎭～111101000a b a b -⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭………………… …………………（4分） 故当 0a ≠且b a ≠时，方程组有唯一解，即β能由123,,ααα线性表示，且表示式唯一； ………（6分）此时，(,A β ～1100110100010a a ⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，1211(1)a aβαα=-+. ………………… …………………（8分）解法二：111222()032A a b a a b a a b-=+--=--+ ………………… …………………（2分）故当 0a ≠且b a ≠时，方程组（1）有唯一解，即β能由123,,ααα线性表示，且表示式唯一；……（4分）此时，1111(,)22230323A a b a a b β-⎛⎫ ⎪=+-- ⎪ ⎪-+-⎝⎭ ～ 1111010323a b a a b -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-+-⎝⎭～ 111101000a b a b -⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭～1100110100010a a ⎛⎫- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ………… …………………（4分）1211(1)aaβαα=-+ ………… ……………………………………（8分）四（14分）、系数矩阵为 111111a A a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，增广矩阵为113112112a a B a a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭， （1）解法一 B ～2112011001133a a a a a a -⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪---⎝⎭～112011000(1)(2)33a a a a a a -⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-+-⎝⎭… …………………（4分） 当1a ≠且2a ≠-时，()()3R B R A ==，方程组有唯一解；当2a =-时，B ～112203300009--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭，()3,()2R B R A ==，方程组无解；当1a =时，B ～111200000000-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，()()13R B R A ==<，方程组有无穷多个解。

《线性代数》课后习题答案第一章行列式习题1.11. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。

因为)3(Q Q ?，所以)3(Q 中至少含有两个复数。

任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有3)()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(21212121221121212211212122 11b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。

因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以)3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221 121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。

如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。

又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以)3(33)(3)3()3)(3()3)(3(332222212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--=-+-+=++。

综上所述，我们有)3(Q 是数域。

（2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。

（3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ?。

（反证法）如果)()(q Qp Q ?，则q b a p Q b a +=?∈?,，从而有q ab qb a p p 2)()(222++==。

由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。

所以有0=a 或0=b 。

线性代数作业提示与答案作业（1）一．k x x k x k x -====4321,0,, 二．⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==--=++=2413212211,757975,767171k x k x k k x k k x三．1．阶梯形（不唯一）：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---14010612007121002301，简化阶梯形⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-100000211000001002701 秩为4；2．简化阶梯形为单位矩阵.四．1．其系数矩阵的行列式值为 2)1)(2(-+λλ（该方程组的系数矩阵为方阵，故可以借助于行列式来判定）当12≠-≠λλ,时，方程组只有零解，当2-=λ时，通解为=x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111k ；当1=λ时，通解为=x T T k k ]1,0,1[]0,1,1[21-+-；2．⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-++----2200123230121211~2λλλλA ， 当2-≠λ时，方程组有唯一解；当2-=λ时，方程组有无穷解，通解为=x TT k ],,[],,[022111+.作业(2)一．1． =x 1，2，3； 2. !)(n n 11-- 3.-1204. ()()!)1(221n n n --- 5. 41322314a a a a 6. 2,0=x 7.abc 3- 8.12二．1．1； 2.以第二列、第三列分别减去第一列，再把第二列、第三列分别加到第一列上，得到333333222222111111b a a c c b b a a c c b b a a c c b +++++++++=2323322111c b a c b a c b a 3． 0；（注：行列式计算中注意行列式的表示方法不要和矩阵表示方法混淆，而且计算过程中用的是等号） 4．1222+++γβα作业(3)一．1．c; 2. d ; 3.a二．1.将第n ,,, 32列都加到第一列上，提出公因子∑=+ni iax 1，得到(∑=+ni i a x 1)1-n x.2.由第二列起，各列均减第一列，按第二行展开，得)!(22--n ．3．由第1-n 行至第一行，相继将前一行元素乘以1-后加到后一行上，得到.)1(01000010111112212)1(n nn n n n --=--4．按第一列展开，得到行列式的值为.)(n n n y x 11+-+三．3)(=A R （注：用矩阵的行初等变换化为梯矩阵，数非零行即可.注意矩阵的表示方法和变换过程中用到的是等价符号）作业(4)一. 1.()B A +32; 2. 24. 3. 232221x x x ++ ， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡232313322212312121x x x x x x x x x x x x x x x ， 4. BA AB = 二. 1. a 2. a三. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---10832082四. 1.⎥⎦⎤⎢⎣⎡---21426711. 2. 不能相乘. . 3.323223313113212112233322222111)()()(x x a a x x a a x x a a x a x a x a ++++++++作业(5)一.1.1-n a ； 2．0； 3．=A -1⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--3405700021； 4. I ; 5．121-A二. 1. c; 2 .b; 3.b; 4. c; 5.d四. 1 五. n215-作业(6)一． 1.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001010,-1, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001010； 2. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡2100010001,2,200010001 3. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-004010001,1.104010001 4. ()331-R =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-1000103015. 列，[]3231,,3a a a a - 6. 相等二. 1．b ；2．c;三. 1．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-17162132130121A ； 2．⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-111110011100011000011A四. 1. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==-4141B A X ， 2. ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----==-212942521B A X 作业(7)一. 1. b a 23=；2. 1221b a b a =；3．R )(A 2≤；4．0≠lm ； 二.1．a ; 2. b; 3.d;三 1a 能由23,a a 唯一地线性表示，4a 不能由123,,a a a 线性表示四．123123212,,[,,]123124B b b b a a a AD ⎡⎤⎢⎥⎡⎤===⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，因,5det =D ，故)()(B R A R =，从而321,,b b b 线性无关.作业(8)一．1．r ；2．相 3． 1，通解为=x ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-++⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--100101010011121 n k k k二.1．d; 2．d ； 三.（1）412323aa a a =++，（2）又123,,a a a 线性无关，故123,,a a a 是向量组123,,a a a ,4a 的一个最大线性无关向量组.（3）123,,a a a ,4a 的秩和矩阵A =[123,,a a a ,4a ]的秩都为3.四．12341121014129321315101[,,,]~9315410003670000a a a a ⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦,12,a a 是向量组的一个最大线性无关组.且31241211521,9933a a a a a a =-+=+.作业(9)一 1．T ],,[558 2．r ；12,,,ra a a L ； 3．n-r 二. 1.b; 2. b; 3. a ； 4. d ； 5.c ； 6.d 三. 证明123,,aa a ,4a 线性无关，向量[]1,2,7,4b T=在这组基下的坐标为4351--,,,.四． ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--00007510072021~A ,基础解系为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=175072001221ξξ,,通解为=x 2211ξξk k + （注：先求出分量形式的通解，转化为向量形式的通解，容易得到基础解系。

线性代数习题三答案
《线性代数习题三答案》
线性代数作为数学的一个重要分支，对于理工科的学生来说是一个非常重要的课程。

在学习线性代数的过程中，习题是一个非常重要的部分，通过做习题可以加深对知识点的理解，提高解题能力。

今天我们就来看一下线性代数习题三的答案。

1. 习题一：
已知矩阵A= [1, 2; 3, 4]，求矩阵A的转置矩阵。

答案：A的转置矩阵记为A^T，即A^T= [1, 3; 2, 4]。

2. 习题二：
已知向量a= [1, 2, 3]，b= [4, 5, 6]，求向量a和b的内积。

答案：向量a和b的内积记为a·b，即a·b= 1*4 + 2*5 + 3*6 = 32。

3. 习题三：
已知矩阵A= [1, 2; 3, 4]，求矩阵A的行列式。

答案：矩阵A的行列式记为|A|，即|A|= 1*4 - 2*3 = 4-6 = -2。

通过以上习题的答案，我们可以看到线性代数中一些基本概念的运用，比如矩阵的转置、向量的内积、矩阵的行列式等。

这些概念在实际应用中有着广泛的用途，比如在工程、物理、经济等领域都会涉及到线性代数的知识。

因此，掌握好线性代数的基础知识，对于我们未来的学习和工作都是非常有帮助的。

希望通过对习题三的答案的学习，大家能够更加深入地理解线性代数的知识，提高解题能力，为将来的学习和工作打下坚实的基础。

第一章 行列式4.计算下列各行列式：（1）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢7110025*********4； （2）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢-265232112131412； （3）⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎣⎢---ef cf bf de cd bd ae ac ab ； （4）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢---d c b a100110011001解(1)7110025102021421434327c c c c --0100142310202110214---=34)1(143102211014+-⨯---=143102211014-- 321132c c c c ++1417172001099-=0(2)2605232112131412-24c c -2605032122130412-24r r -0412032122130412- 14r r -0000032122130412-=0(3)ef cf bf de cd bd ae ac ab ---=ec b e c b ec b adf ---=111111111---adfbce =abcdef 4(4)d c b a 100110011001---21ar r +dc b a ab 100110011010---+=12)1)(1(+--dc a ab 10111--+23dc c +010111-+-+cd c ada ab =23)1)(1(+--cdadab +-+111=1++++ad cd ab abcd5.证明: (1)1112222b b a a b ab a +=3)(b a -; (2)bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++=y x z x z y z y x b a )(33+;(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ;(4)444422221111d c b a d c b a d c b a ))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-⋅;(5)1221100000100001a x a a a a x x x n n n +-----n n n n a x a x a x ++++=--111 . 证明(1)00122222221312a b a b a a b a ab a c c c c ------=左边a b a b a b a ab 22)1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--=右边=-=3)(b a(2)bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开按第一列左边bzay by ax x by ax bx az z bxaz bz ay y b +++++++ ++++++002y by ax z x bx az y z bz ay x a 分别再分bzay y x by ax x z bxaz z y b +++z y x y x z x z y b y x z x z y z y x a 33+分别再分右边=-+=233)1(yx z x z y zy x b y x z x z y z y x a(3) 2222222222222222)3()2()12()3()2()12()3()2()12()3()2()12(++++++++++++++++=d d d d d c c c c c b b b b b a a a a a 左边9644129644129644129644122222141312++++++++++++---d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c c c 964496449644964422222++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a 分成二项按第二列964419644196441964412222+++++++++d d d c c c b b b a a a 949494949464222224232423d d c c b b a a c c c c c c c c ----第二项第一项06416416416412222=+ddd c c c bb b a a a (4) 444444422222220001ad a c a b a ad a c a b a ad a c a b a ---------=左边=)()()(222222222222222a d d a c c a b b a d a c a b ad a c a b --------- =)()()(111))()((222a d d a c c a b b a d a c ab a d ac a b ++++++--- =⨯---))()((ad a c a b )()()()()(00122222a b b a d d a b b a c c a b b bd b c a b +-++-++--+ =⨯-----))()()()((b d b c a d a c a b )()()()(112222b d a b bd d b c a b bc c ++++++++=))()()()((d b c b d a c a b a -----))((d c b a d c +++-(5) 用数学归纳法证明.,1,2212122命题成立时当a x a x a x a x D n ++=+-==假设对于)1(-n 阶行列式命题成立，即 ,122111-----++++=n n n n n a x a x a x D:1列展开按第则n D1110010001)1(11----+=+-x xa xD D n n n n 右边=+=-n n a xD 1 所以，对于n 阶行列式命题成立.6.设n 阶行列式)det(ij a D =,把D 上下翻转、或逆时针旋转 90、或依副对角线翻转，依次得n nn n a a a a D 11111 =， 11112n nn n a a a a D = ，11113a a a a D n nnn =，证明D D D D D n n =-==-32)1(21,)1(.证明 )det(ij a D =nnn n nn n nn n a a a a a a a a a a D 2211111111111)1(--==∴ =--=--nnn n nnn n a a a a a a a a 331122111121)1()1( nnn n n n a a a a 111121)1()1()1(---=--D D n n n n 2)1()1()2(21)1()1(--+-+++-=-=同理可证nnn n n n a a a a D 11112)1(2)1(--=D D n n T n n 2)1(2)1()1()1(---=-= D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(7.计算下列各行列式（阶行列式为k D k ）：(1)a aD n 11=,其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0；(2)xaaax aa a x D n=; (3) 1111)()1()()1(1111n a a a n a a a n a a a D n n n n n n n ------=---+; 提示：利用范德蒙德行列式的结果． (4) nnnnn d c d c b a b a D000011112=; (5)j i a a D ij ij n -==其中),det(;(6)nn a a a D +++=11111111121 ,021≠n a a a 其中.解(1) aa a a a D n 00010000000000001000 =按最后一行展开)1()1(100000000000010000)1(-⨯-+-n n n aa a)1)(1(2)1(--⋅-+n n na aa(再按第一行展开)n n n nn a a a+-⋅-=--+)2)(2(1)1()1(2--=n n a a )1(22-=-a a n(2)将第一行乘)1(-分别加到其余各行，得ax x a ax x a a x x a aa a x D n ------=0000000 再将各列都加到第一列上，得ax ax a x aaa a n x D n ----+=000000000)1( )(])1([1a x a n x n --+=- (3) 从第1+n 行开始，第1+n 行经过n 次相邻对换，换到第1行，第n 行经)1(-n 次对换换到第2行…，经2)1(1)1(+=++-+n n n n 次行交换，得 nn n n n n n n n n a a a n a a a n a a aD )()1()()1(1111)1(1112)1(1-------=---++此行列式为范德蒙德行列式∏≥>≥++++--+--=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏∏≥>≥+++-++≥>≥++-•-•-=---=111)1(2)1(112)1()][()1()1()]([)1(j i n n n n n j i n n n j i j i∏≥>≥+-=11)(j i n j i(4) nn nnn d c d c b a b a D 011112=nn n n n nd d c d c b a b a a 0000000011111111----展开按第一行0000)1(1111111112c d c d c b a b a b nn n n n nn ----+-+2222 ---n n n n n n D c b D d a 都按最后一行展开由此得递推公式：222)(--=n n n n n n D c b d a D即 ∏=-=ni i i iin D c b da D 222)(而 111111112c b d a d c b a D -==得 ∏=-=ni i i i i n c b d a D 12)((5)j i a ij -=432140123310122210113210)det( --------==n n n n n n n n a D ij n ,3221r r r r --0432111111111111111111111 --------------n n n n,,141312c c c c c c +++152423210222102210002100001---------------n n n n n =212)1()1(----n n n(6)nn a a D a +++=11111111121,,433221c c c c c c ---n n n n a a a a a a a a a a +-------10000100010000100010001000011433221 展开（由下往上）按最后一列))(1(121-+n n a a a a nn n a a a a a a a a a --------00000000000000000000000000022433221 nn n a a a a a a a a ----+--000000000000000001133221 ++ nn n a a a a a a a a -------000000000000000001143322n n n n n n a a a a a a a a a a a a 322321121))(1(++++=---)11)((121∑=+=ni in a a a a8.用克莱姆法则解下列方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++;01123,2532,242,5)1(4321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=++=++=++=+.15,065,065,065,165)2(5454343232121x x x x x x x x x x x x x解 (1)11213513241211111----=D 8120735032101111------=145008130032101111---=1421420005410032101111-=---= 112105132412211151------=D 11210513290501115----=1121023313090509151------=2331309050112109151------=1202300461000112109151-----=14200038100112109151----=142-=112035122412111512-----=D 811507312032701151-------=3139011230023101151-=2842840001910023101151-=----=426110135232422115113-=----=D ; 14202132132212151114=-----=D1,3,2,144332211-========∴DDx D D x D D x D D x (2) 510006510006510006510065=D 展开按最后一行61000510065100655-'D D D ''-'=65 D D D ''-'''-''=6)65(5D D '''-''=3019D D ''''-'''=1146566551141965=⨯-⨯=(,11的余子式中为行列式a D D ',11的余子式中为a D D ''''类推D D ''''''',) 51001651000651000650000611=D 展开按第一列6510065100650006+'D 46+'=D 460319+''''-'''=D 1507=51010651000650000601000152=D 展开按第二列5100651006500061-6510065000610005-365510651065⨯-= 1145108065-=--=51100650000601000051001653=D 展开按第三列51006500061000516500061000510065+6100510656510650061+= 703114619=⨯+=51000601000051000651010654=D 展开按第四列61000510065100655000610005100651--51065106565--=395-= 110051000651000651100655=D 展开按最后一列D '+10005100651006512122111=+= 665212;665395;665703;6651145;665150744321=-==-==∴x x x x x ． 9.齐次线性方程组取何值时问,,μλ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？解 μλμμμλ-==12111113D ， 齐次线性方程组有非零解，则03=D即 0=-μλμ 得 10==λμ或不难验证，当,10时或==λμ该齐次线性方程组确有非零解.10.齐次线性方程组取何值时问,λ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ 有非零解？解λλλ----=111132421D λλλλ--+--=101112431)3)(1(2)1(4)3()1(3λλλλλ-------+-=3)1(2)1(23-+-+-=λλλ 齐次线性方程组有非零解，则0=D得 32,0===λλλ或不难验证，当32,0===λλλ或时，该齐次线性方程组确有非零解.第二章 矩阵及其运算1. 已知线性变换:⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=3213321232113235322y y y x y y y x y y y x ,求从变量x 1, x 2, x 3到变量y 1, y 2, y 3的线性变换.解 由已知:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x , 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211221323513122x x x y y y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321423736947y y y , ⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=321332123211423736947x x x y x x x y x x x y .2. 已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x , ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y , 求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换.解 由已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z , 所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x .3. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=150421321B , 求3AB -2A 及A T B . 解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB ⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T . 4. 计算下列乘积:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134; 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=49635. (2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(; 解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(=(1⨯3+2⨯2+3⨯1)=(10).(3))21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛; 解 )21(312-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=632142. (4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412 ; 解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎭⎫ ⎝⎛---=6520876. (5)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ; 解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x =(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3 a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3 a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.5. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101B , 问: (1)AB =BA 吗?解 AB ≠BA .因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8321BA , 所以AB ≠BA .(2)(A +B)2=A 2+2AB +B 2吗?解 (A +B)2≠A 2+2AB +B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52225222)(2B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2914148, 但 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++43011288611483222B AB A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=27151610, 所以(A +B)2≠A 2+2AB +B 2.(3)(A +B)(A -B)=A 2-B 2吗?解 (A +B)(A -B)≠A 2-B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1020B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+906010205222))((B A B A , 而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-718243011148322B A , 故(A +B)(A -B)≠A 2-B 2.6. 举反列说明下列命题是错误的:(1)若A 2=0, 则A =0;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010A , 则A 2=0, 但A ≠0. (2)若A 2=A , 则A =0或A =E ;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011A , 则A 2=A , 但A ≠0且A ≠E . (3)若AX =AY , 且A ≠0, 则X =Y .解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111X , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011Y , 则AX =AY , 且A ≠0, 但X ≠Y .7. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λA , 求A 2, A 3, ⋅ ⋅ ⋅, A k . 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011011012λλλA , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==1301101120123λλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k . 8. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ001001A , 求A k . 解 首先观察⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222002012λλλλλ, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=43423434004064λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=545345450050105λλλλλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎝⎛=k A k k k k k k k k k k λλλλλλ0002)1(121----⎪⎪⎪⎭⎫ . 用数学归纳法证明:当k =2时, 显然成立.假设k 时成立，则k +1时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ, 由数学归纳法原理知:⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121. 9. 设A , B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T AB 也是对称矩阵. 证明 因为A T =A , 所以(B T AB)T =B T (B T A)T =B T A T B =B T AB ,从而B T AB 是对称矩阵.10. 设A , B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB =BA . 证明 充分性: 因为A T =A , B T =B , 且AB =BA , 所以(AB)T =(BA)T =A T B T =AB ,即AB 是对称矩阵.必要性: 因为A T =A , B T =B , 且(AB)T =AB , 所以AB =(AB)T =B T A T =BA .11. 求下列矩阵的逆矩阵:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛5221; 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=5221A . |A|=1, 故A -1存在. 因为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225*22122111A A A A A , 故*||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1225. (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-θθθθcos sin sin cos ; 解⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos A . |A|=1≠0, 故A -1存在. 因为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=θθθθcos sin sin cos *22122111A A A A A , 所以*||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos . (3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---145243121; 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=145243121A . |A|=2≠0, 故A -1存在. 因为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A , 所以 *||11A A A =-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=1716213213012.(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 0021(a 1a 2⋅ ⋅ ⋅a n≠0) .解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a A 0021, 由对角矩阵的性质知⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n a a a A 10011211 . 12. 解下列矩阵方程:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛12643152X ; 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-126431521X ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12642153⎪⎭⎫ ⎝⎛-=80232. (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--234311*********X ; 解 1111012112234311-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=03323210123431131 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=32538122. (3)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-101311022141X ;解 11110210132141--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210110131142121 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=21010366121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=04111. (4)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X . 解 11010100001021102341100001010--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001021102341100001010⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=201431012. 13. 利用逆矩阵解下列线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3532522132321321321x x x x x x x x x ;解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x , 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x , 从而有 ⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x .(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--05231322321321321x x x x x x x x x .解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----012523312111321x x x ,故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3050125233121111321x x x , 故有 ⎪⎩⎪⎨⎧===305321x x x .14. 设A k =O (k 为正整数), 证明(E -A)-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1. 证明 因为A k =O , 所以E -A k =E . 又因为 E -A k =(E -A)(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1),所以 (E -A)(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)=E , 由定理2推论知(E -A)可逆, 且(E -A)-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.证明 一方面, 有E =(E -A)-1(E -A). 另一方面, 由A k =O , 有E =(E -A)+(A -A 2)+A 2-⋅ ⋅ ⋅-A k -1+(A k -1-A k ) =(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A),故 (E -A)-1(E -A)=(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A), 两端同时右乘(E -A)-1, 就有(E -A)-1(E -A)=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.15. 设方阵A 满足A 2-A -2E =O , 证明A 及A +2E 都可逆, 并求A -1及(A +2E)-1.证明 由A 2-A -2E =O 得 A 2-A =2E , 即A(A -E)=2E ,或E E A A =-⋅)(21,由定理2推论知A 可逆, 且)(211E A A -=-.由A 2-A -2E =O 得A 2-A -6E =-4E , 即(A +2E)(A -3E)=-4E ,或E A E E A =-⋅+)3(41)2(由定理2推论知(A +2E)可逆, 且)3(41)2(1A E E A -=+-.证明 由A 2-A -2E =O 得A 2-A =2E , 两端同时取行列式得 |A 2-A|=2,即 |A||A -E|=2, 故 |A|≠0,所以A 可逆, 而A +2E =A 2, |A +2E|=|A 2|=|A|2≠0, 故A +2E 也可逆. 由 A 2-A -2E =O ⇒A(A -E)=2E⇒A -1A(A -E)=2A -1E ⇒)(211E A A -=-,又由 A 2-A -2E =O ⇒(A +2E)A -3(A +2E)=-4E⇒ (A +2E)(A -3E)=-4 E ,所以 (A +2E)-1(A +2E)(A -3E)=-4(A +2 E)-1,)3(41)2(1A E E A -=+-.16. 设A 为3阶矩阵,21||=A , 求|(2A)-1-5A*|.解 因为*||11A A A =-, 所以|||521||*5)2(|111----=-A A A A A |2521|11---=A A=|-2A -1|=(-2)3|A -1|=-8|A|-1=-8⨯2=-16. 17. 设矩阵A 可逆, 证明其伴随阵A*也可逆, 且(A*)-1=(A -1)*.证明 由*||11A A A =-, 得A*=|A|A -1, 所以当A 可逆时, 有|A*|=|A|n |A -1|=|A|n -1≠0,从而A*也可逆.因为A*=|A|A -1, 所以 (A*)-1=|A|-1A .又*)(||)*(||1111---==A A A A A , 所以(A*)-1=|A|-1A =|A|-1|A|(A -1)*=(A -1)*. 18. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A*, 证明: (1)若|A|=0, 则|A*|=0; (2)|A*|=|A|n -1. 证明(1)用反证法证明. 假设|A*|≠0, 则有A*(A*)-1=E , 由此得 A =A A*(A*)-1=|A|E(A*)-1=O ,所以A*=O , 这与|A*|≠0矛盾，故当|A|=0时, 有|A*|=0.(2)由于*||11A A A =-, 则AA*=|A|E , 取行列式得到|A||A*|=|A|n . 若|A|≠0, 则|A*|=|A|n -1;若|A|=0, 由(1)知|A*|=0, 此时命题也成立. 因此|A*|=|A|n -1.19. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=321011330A , AB =A +2B , 求B .解 由AB =A +2E 可得(A -2E)B =A , 故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=--321011330121011332)2(11A E A B ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=011321330.20. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101020101A , 且AB +E =A 2+B , 求B .解 由AB +E =A 2+B 得 (A -E)B =A 2-E ,即 (A -E)B =(A -E)(A +E).因为01001010100||≠-==-E A , 所以(A -E)可逆, 从而⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=201030102E A B .21. 设A =diag(1, -2, 1), A*BA =2BA -8E , 求B . 解 由A*BA =2BA -8E 得 (A*-2E)BA =-8E , B =-8(A*-2E)-1A -1 =-8[A(A*-2E)]-1 =-8(AA*-2A)-1 =-8(|A|E -2A)-1 =-8(-2E -2A)-1 =4(E +A)-1=4[diag(2, -1, 2)]-1)21 ,1 ,21(diag 4-==2diag(1, -2, 1).22. 已知矩阵A 的伴随阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=8030010100100001*A , 且ABA -1=BA -1+3E , 求B .解 由|A*|=|A|3=8, 得|A|=2. 由ABA -1=BA -1+3E 得 AB =B +3A ,B =3(A -E)-1A =3[A(E -A -1)]-1A11*)2(6*)21(3---=-=A E A E⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-1030060600600006603001010010000161. 23. 设P -1AP =Λ, 其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ2001, 求A 11.解 由P -1AP =Λ, 得A =P ΛP -1, 所以A 11= A=P Λ11P -1.|P|=3,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1141*P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1141311P ,而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-=Λ11111120 012001,故⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=68468327322731.24. 设AP =P Λ, 其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111201111P , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ511, 求ϕ(A)=A 8(5E -6A +A 2).解 ϕ(Λ)=Λ8(5E -6Λ+Λ2)=diag(1,1,58)[diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)] =diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0). ϕ(A)=P ϕ(Λ)P -1*)(||1P P P Λ=ϕ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1213032220000000011112011112⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111111114.25. 设矩阵A 、B 及A +B 都可逆, 证明A -1+B -1也可逆, 并求其逆阵. 证明 因为A -1(A +B)B -1=B -1+A -1=A -1+B -1,而A -1(A +B)B -1是三个可逆矩阵的乘积, 所以A -1(A +B)B -1可逆, 即A -1+B -1可逆.(A -1+B -1)-1=[A -1(A +B)B -1]-1=B(A +B)-1A .26. 计算⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121. 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=10211A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=30122A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12131B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=30322B ,则⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ,而⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+4225303212131021211B B A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=90343032301222B A ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=9000340042102521, 即 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=9000340042102521. 27. 取⎪⎭⎫ ⎝⎛==-==1001D C B A , 验证|||||||| D C B A D C B A ≠.解4100120021100101002000021010010110100101==--=--=D C B A , 而01111|||||||| ==D C B A , 故|||||||| D C B A D C B A ≠. 28. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22023443O O A , 求|A 8|及A 4. 解 令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34431A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=22022A ,则⎪⎭⎫⎝⎛=21A O O A A ,故8218⎪⎭⎫ ⎝⎛=A O O A A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8281A O O A ,1682818281810||||||||||===A A A A A .⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=464444241422025005O O A O O A A . 29. 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆, 求(1)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ;解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211C C C C O B A O , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ⎪⎭⎫ ⎝⎛4321C C C C ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=s n E O O E BC BC AC AC 2143. 由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧====s n E BC O BC O AC E AC 2143⇒⎪⎩⎪⎨⎧====--121413B C O C O C A C ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛---O A B O O B A O 111. (2)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛B C O A .解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211D D D D B C O A , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛s n E O O E BD CD BD CD AD AD D D D D B C O A 4231214321. 由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==s n E BD CD O BD CD O AD E AD 423121⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-===----14113211B D CA B D O D A D ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11111B CA B O A BC O A . 30. 求下列矩阵的逆阵:(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2500380000120025; 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2538B , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--5221122511A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--8532253811B .于是 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----850032000052002125003800001200251111B A B A .(2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4121031200210001. 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=4103B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2112C , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------1111114121031200210001B CA B O A BC O A⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=411212458103161210021210001.第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1．把下列矩阵化为行最简形矩阵：(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; (2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320; (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311; (4)⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132.解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313*********2)3()2(~r r r r -+-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---020*********)2()1(32~-÷-÷r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--01003100120123~r r -⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201 33~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100031001201323~r r +⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1000010012013121)2(~r r r r +-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100001000001(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1740343013201312)2()3(2~r r r r -+-+⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---31003100132021233~r r r r ++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031001002021~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031005010 (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311 141312323~rr r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311)5()3()4(432~-÷-÷-÷r r r ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----22100221002210034311 2423213~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000000002210032011(4) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132 242321232~rr r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110141312782~rr r r r r --+⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--410004100020201111134221)1(~r r r r r --⨯↔⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----0000041000111102020132~rr +⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000004100030110202012.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A ，求A 。

河北工业大学线性代数作业（1）学院班级姓名学号一. 讨论下列齐次方程组是否有非零解，若有，求出其通解.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=+-+=+-+-=---0136152032024303524321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x二．求出下列线性方程组的通解.⎪⎩⎪⎨⎧-=+-+=-+-=+-+2534432312432143214321x x x x x x x x x x x x三．用初等变换化下列矩阵为简化梯形矩阵，指出矩阵的秩是多少：1．⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--370320852373812023012．nn 11111001110001100001⨯⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------四. (1)当λ取什么值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧0=++0=++0=++321321321x x x x x x x x x λλλ 只有零解？有非零解？若有非零解,则确定其通解.(2)当λ分别取什么值时，下面方程组有唯一解？有无穷多解？无解？在它有无穷多解时，求出它的通解.⎪⎩⎪⎨⎧=++=+--=++-2321321321λλλ222x x x x x x x x x河北工业大学线性代数作业（2）学院 班级 姓名 学号一．填空题 1． 若行列式0=3333222211111xx x ，则.________,___,=x 2．0100002000010n n=-L L L L L L L L L.3. 1070002000003000000400050= .4. =--nn n 0000000000100002000200010000.5.=0000041323123222114131211a a a a a a a a a a . 6. 当____x 时，0010413=xx x .7.若23013221D 1=，则==ca c ab a b 2033202D 2 . 8.若1333231232221131211-=a a a a a a a a a ，则=---333231312322212113121111324324324a a a a a a a a a a a a . 二．计算下列行列式的值：1．20104110631432111112.333333222222111111b a a c c b b a a c c b b a a c c b +++++++++3．dd c c b b a a d c b a dc b a 3434343412121212111122222222--------4．111222+++γγβγαβγββααγαβα河北工业大学线性代数作业（3）学院班级姓名学号一．选择题1．若()r R =A ，则A 中（ ）r 阶子式不等于零.()a 任意一个； ()b 只有一个； ()c 至少有一个； ()d 至多有一个.2．克拉默法则仅适用于解（ ）方程组.()a 非齐次线性方程组； ()b 齐次线性方程组；()c 任何有解的方程组；()d 方程个数=未知量个数，系数矩阵的行列式不等于零.3．设n m ⨯A ，则下列说法不正确的是（ ）.()a 若()r R =A ，则n m ⨯A 不存在等于零的1-r 阶子式； ()b ()()T R R A A =； ()c (){}min ,R m n ≤A ；()d 当n m =时，若A 为降秩（退化、奇异）方阵，则()n,det 0R <=A A .二．计算下面的n 阶行列式.1．nn n n a x a a a a a x a a a a a x a a a a a x ++++3213213213212.122222222232222n3．nnnnnn n n n n n nn n n n11321221----4．xyy x y x y x 0000000000三．用初等变换法求下面矩阵的秩A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--05916410202131412311.河北工业大学线性代数作业（4）学院班级姓名学号一．填空题1．若矩阵X 满足方程()()0=-2+-2X B X A ，则X= . 2. 设A 为3阶矩阵，3=A ，则A 2 =.3．已知[]321=x x x ,,A , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=B 321x x x ，则=AB ，__________=BA .4. 设B A ,为n 阶方阵，则()()22B A B A B A -=-+成立的条件为_______. 二. 单项选择题1．设有矩阵,,3223⨯⨯B A 33⨯C , 则下列运算可以进行的是（ ）.()a ABC ；()b TAB； ()c BC AB +； ()d ΒΑ23+.2．设A 为n m ⨯矩阵，则TAA 是（ ）.()a m 阶方阵； ()b n 阶方阵；()c n m ⨯矩阵；()d m n ⨯矩阵.三. 计算2--3B A C ，已知,,⎥⎦⎤⎢⎣⎡1-1012-7=⎥⎦⎤⎢⎣⎡3021-21=B A C ⎥⎦⎤⎢⎣⎡01726-3-=.四. 计算下列矩阵的乘积（如不符合两矩阵相乘的条件，则说明不能相乘）. 1. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡6234021231 2. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡3402⎥⎦⎤⎢⎣⎡104312 3. []⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321333231232221131211321x x x a a a a a a a a a x x x河北工业大学线性代数作业（5）学院班级姓名学号一. 填空题1. 设A 为n 阶矩阵，且0≠=a A det ，A adj 为其转置伴随阵，则det(adj A )= .2. 设4阶矩阵A 的秩为2，则其转置伴随阵A adj 的秩为 .3. 若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡740530002=A ，则=1-A .4. 设B A ,为n 阶矩阵，且I AB =，则=BA .5．设A 为n 阶可逆矩阵，则()12T-T ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦Α .二.单项选择题1．设B A ,均为n 阶可逆方阵，则=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-100B A ( ).()⎥⎦⎤⎢⎣⎡001-1-B A a ； ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡001-1-BA b ； ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡001-1-AB c ； ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡001-1-A B d . 2．设C B A ,,是同阶方阵,且A 可逆，则下列各式中不一定成立的是（ ）.()a 若AC AB =，则=B C ；()b =ΑΒCA ，则=BC ；()c 若0=AB ，则0=B ； ()d 若CA BA =，则=BC .3．下列矩阵可逆的是（ ）.()a n 阶对角矩阵； ()b n 阶满秩矩阵；()c n 阶实对称矩阵； ()d n 阶上三角阵.4．设A 为n 阶对称矩阵，且A 可逆，那么有（ ）.()a T A A =-1； ()b A A T -=；()c IA A T =-1； ()d 以上结论都不对.5．B A,为n 阶矩阵，下列运算正确的是（ ）.()a ()k k k B A AB =； ()b ()111---=B A AB ；()c A A AA T T= ； ()d AA A A adj adj =.三．设A 满足,O I A A =4--2证明I A I A 2--,,都可逆.四. 设A ，B 均为2阶矩阵，且2=1-=B A det ,det ，求()]2det[21-ΒΑΤ.五．设A 是n 阶矩阵，A adj 是A 的转置伴随阵，若5=A det ，求 det[(5adj A )1-]的值.河北工业大学线性代数作业（6）学院班级 姓名 学号一．填空题 1.3阶初等阵=12R, ()=12det R,()=-112R .2.3阶初等阵 ()=23R , ()()=2det 3R ,()()=-132R .3.3阶初等阵()=-413R, ()()=-4det 12R，()()=--1134R.4.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡3-3-3-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡333231232221331332123111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A ，则A = .5.初等矩阵C 31()3-右乘矩阵123[,,]a a a =A ，相当于对A 进行初等 变换，结果为______.6.矩阵A 经过有限次初等变换化为矩阵B ，则矩阵A 与B 的秩 .二. 单项选择题1．在下列矩阵中，不是初等矩阵的是（ ）.()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡010100001a ；()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡00101-0100b ；()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1000520001.c ；()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡105010001d . 2．下列说法正确的是（ ）.()a 对单位阵施行初等变换后所得的矩阵都是初等矩阵； ()b 初等矩阵的乘积还是初等矩阵；()c 可逆阵经过初等变换后仍为可逆阵； ()d 任何矩阵都可以表示有有限个初等阵的乘积.三. 用行初等变换法求下列矩阵的逆矩阵：1．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡14-52-431-21=A2．⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡11-0000011-000011-00001= A四. 从矩阵方程B AX =中解出X ，其中1.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1513-3421-2-=A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡311=B2.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡41-31-351-24=A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡4611-31=B河北工业大学线性代数作业（7）学院班级姓名学号一. 填空题 1. 方程组⎩⎨⎧=3++3+3=2++2+22121b x x x ax x x n n 有解的条件为___________.2．二维向量α[]T21=a a ,，β[]T21=b b ,线性相关的充要条件为 .3．若向量组1a ,2a ,a 3线性相关，且123⎡⎤=⎣⎦A aa a ，则R )(A .4．若向量组321a a a ,,线性无关，当常数m l ,满足_______时，向量组 l 1a ，-3a m 2a ，31-a a 线性无关.二. 选择题1.若向量b 可以由向量组m21a ,,a ,a 线性表示，则下列结论正确的是（ ）.()a 存在常数m k k k ,,, 21，使b =1k 1a +2k 2a ++ m k m a ；()b 存在不全为零的常数m k k k ,,, 21，使b =1k 1a +2k 2a ++ m k m a ；()c 存在唯一的常数m k k k ,,, 21，使b =1k 1a +2k 2a ++ m k m a ； ()d 存在唯一不全为零的常数m k k k ,,21，使b =1k 1a +2k 2a ++ m k m a .2．设b ,a ,,a ,a n21是m 维向量，则关于方程组1k 1a +2k 2a ++ n n a k =b 的说法正确的是（ ）.()a 若方程组无解，则向量组b ,a ,,a ,a n 21 线性无关； ()b 若方程组有解，则向量组b ,a ,,a ,a n 21 线性相关； ()c 若n 21a ,,a ,a 线性相关，则方程组一定有解；()d 若n 21a ,,a ,a 线性无关，则方程组一定无解.3. 若向量组1a [],,,Τ001=T a ],,[0112=,=3a T cb a ],,[线性无关，则要求（ ）.()a c b a ==； ()b 0==c b ； ()c 0=c ； ()d 0≠c .三．已知321a a a ,,线性相关，432a a a ,,线性无关，试问： （1）1a 能否由32a a ,线性表示？（2）4a 能否由321a a a ,,线性表示？（3）当上面的表示式成立时，其表示式是否唯一？四．证明:若向量组321a ,a ,a 线性无关，则向量组,,212321122a a b a a a b +=-+=32134+3+2=a a a b也线性无关.河北工业大学线性代数作业（8）学院班级 姓名 学号一. 填空题1．设向量组r21a ,,a ,a 线性无关，则R {}=21r a a a ,,, .2．设a 为任一n 维向量，n21e ,,e ,e 为n 维单位向量，则向量组,,,21e e a ne , 线性____关.3.由一个方程0=+++21n x x x 构成的方程组的系数矩阵的秩r ____=，该方程组通解为.二.选择题1．向量组1M 和2M 的秩相等，则（ ）.()a 1M 与2M 等价； ()b 1M 与2M 所含向量个数相等；()c 1M 与2M 所含向量个数不等； ()d 以上结论都不对.2．设A 为n m ⨯矩阵，且R =)(A n m <，则（ ）.()a A 的行、列向量组均线性无关； ()b A 的行、列向量组均线性相关；()c A 的行向量组线性相关，列向量组线性无关； ()d A 的行向量组线性无关，列向量组线性相关.三. 设[][]T a a a a ],,,[,],,,[,,,,,,,,03121100101010014321=-===T TT.（1）将4a 用321a ,a ,a 线性表示.（2）由定义判定321a ,a ,a 是向量组321a ,a ,a ,4a 的一个最大线性无关向量组.（3）指出向量组321a ,a ,a ,4a 的秩和矩阵=A [321a ,a ,a ,4a ]的秩.四.设向量组为[],,,,T=31211a [],,,,T---=65142a []Ta 74313---=,,,，[]T-=01124,,,a .求该向量组的秩，并具体找出一个最大线性无关组.再把不属于最大线性无关组的向量用最大线性无关组的向量表示出来.河北工业大学线性代数作业（9）学院班级 姓名 学号一．填空题1．在基[][][]TTT===213132321321,,,,,,,,a a a 下，坐标为210,,的向量为________.2．在n R 中取r 个线性无关的向量r a a a ,,, 21，r<n ，由r21a ,,a ,a 生成的子空间记为S ，则=S dim ，S 的一个基为___________.3. n 阶矩阵Α的秩为r ，则其解空间的维数是 .二．选择题1．设向量组ma a a ,,, 21线性相关，V 为由m21a ,,a ,a 生成的向量空间，则V dim （ ）.()a m =； ()b m <； ()c m ≤； ()d 无法确定.2. 向量空间W w {=[]},,,,a d cb a dc b a ==++=T0的维数为（ ）.()a 1 ()b 2； ()c 3； ()d 4.3．若齐次方程组0=x A 有非零解，则其基础解系是（ ）.()a 唯一的，其中的向量线性相关；()b 唯一的，其中的向量线性无关； ()c 不唯一，其中的向量线性相关；()d 不唯一，其中的向量线性无关.4．设有4⨯3矩阵A ，A 表示非齐次方程组b AX =的增广矩阵，则b AX =有解的充分条件为（ ）.()a R ()2≤A ； ()b R ()3≤A ； ()c R ()3=A ； ()d R ()3=A .6．设有5⨯5矩阵A ，A 表示非齐次方程组b AX =的增广矩阵，则b AX =有无穷多组解的充分条件是（ ）.()a ()5<A r ； ()b ()5=r ； ()c ()()5==A A r r ； ()d ()()4≤=A A r r .三．证明[],,,,T=00011a [],,,,T=00112a [][]TT==1111011143,,,,,,,a a 是4R 的一组基，并求向量[]T=4721,,,b 在这组基下的坐标.四 试求下列齐次方程组的基础解系，并说明解空间的维数1．⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=++-01117840246303542432143214321x x x x x x x x x x x x五． 求解下列非齐次方程组.⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=-+--=+352231232132131x x x x x x x x河北工业大学线性代数作业（10）学院班级 姓名 学号一．填空题 1．向量[]T11-1-1=,,,a 的规范化向量为=a e _____________.二．选择题1．设A ，B 为正交矩阵，则下列说法错误的是（ ）.()a 则1-A 和T A 也为正交矩阵，且有T -=A A 1；()b A 的每一行(列)向量都是单位向量，且其中的任意两个行(列)向量正交；()c AB 也为正交矩阵；()d B A +也是正交矩阵.三. 证明x V {=},,,),,(R x x x x x x x x x T ∈=++=3213213210构成3R 的一个子空间,并给出一组基.四．设[][][]TTT=-=-=103211112201,,,,,,,,,,,c b a ，1．求a 、b ，a 与b 的夹角；2．计算c b a b a ),(--23；3．证明c 与b ,a 都正交.五．}|{0==Ax x W 称为矩阵A 的零空间。

线性代数课后习题答案全）习题详解前言因能力有限，资源有限，现粗略整理了《工程数学线性代数》课后习题，希望对您的了解和学习线性代数有参考价值。

第一章行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：（1）381141102---；（2）b a c a c b c b a ; （3）222111c b a c b a ；（4）y x y x x y x yyx y x +++. 解（1）=---381141102811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-?)1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??-=416824-++-=4-（2）=ba c a cb cb a ccc aaa bbb cba bac acb ---++3333c b a abc ---=（3）=222111c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++))()((a c c b b a ---=（4）yx y x x y x y yx y x +++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：（1）1 2 3 4；（2）4 1 3 2；（3）3 4 2 1；（4）2 4 1 3；（5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ；（6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2.解（1）逆序数为0（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为2)1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个……………… …)12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个（6）逆序数为)1(-n n3 2 1个 5 2，54 2个……………… …)12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个4 2 1个 6 2，6 4 2个……………… …)2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项.解由定义知，四阶行列式的一般项为43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p 已固定，4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为10100=+++或22000=+++∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求.4.计算下列各行列式：（1）7110025*********4；（2）-265232112131412；（3）---ef cf bf de cd bd ae ac ab ；（4）---d c b a100110011001解(1)7110025102021421434327c c c c --0100142310202110214---=34)1(143102211014+-?---=143102211014-- 321132c c c c ++1417172001099-=0(2)2605232112131412-24c c -2605032122130412-24r r -0412032122130412- 14r r -0000032122130412-=0(3)ef cf bf de cd bd ae ac ab ---=e c b e c b e c b adf ---=1 11111111---adfbce =abcdef 4(4)d c b a 100110011001---21ar r +dc b a ab 100110011010---+=12)1)(1(+--dc a ab 10111--+23dc c +010111-+-+cd c ada ab =23)1)(1(+--cdadab +-+111=1++++ad cd ab abcd5.证明: (1)1112222b b a a b ab a +=3)(b a -; (2)bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++=y x z x z y z y x b a )(3 3+;(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ;(4)444422221111d c b a d c b a d c b a ))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-?;(5)1221100000100001a x a a a a x x x n n n +-----n n n n a x a x a x ++++=--111 . 证明(1)00122222221312a b a b a a b a ab a c c c c ------=左边a b a b a b a ab 22) 1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--= 右边=-=3)(b a(2)bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开按第一列左边bzay by ax x by ax bx az z bxaz bz ay y b +++++++ ++++++002y by ax z x bx az y z bz ay x a 分别再分bz ay y x by ax x z bx az z y b +++zy x y x z xz y b y x z x z y z y x a 33+分别再分右边=-+=233)1(yx z x z y zy x b y x z x z y z y x a(3) 2222222222222222)3()2()12()3()2()12()3()2()12()3()2()12(+++++++++++++++ +=d d d d d c c c c c b b b b b a a a a a 左边964412964412964412964412241312++++++++++++---d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c c c 964496449644964422222++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a 分成二项按第二列964419644196441964412222+++++++++d d d c c c b b b a a a949494949464222224232423d d c c b b a a c c c c c c c c ----第二项第一项06416416416412222=+dd d c c c bb b a a a (4) 444444422222220001ad a c a b a ad a c a b a a d a c a b a ---------=左边=)()()(222222222222222a d d a c c a b b a d a c a b ad a c a b --------- =)11))()((222a d d a c c a b b a d a c ab a d ac a b ++++++--- =?---))()((ad a c a b )()()()()(00122222a b b a d d a b b a c c a b b bd b c a b +-++-++--+ =?-----))()()()((b d b c a d a c a b )()()()(112222b d a b bd d b c a b bc c ++++++++=))()()()((d b c b d a c a b a -----))((d c b a d c +++-(5) 用数学归纳法证明.,1,2212122命题成立时当a x a x a x a x D n ++=+-==假设对于)1(-n 阶行列式命题成立，即,122111-----++++=n n n n n a x a x a x D:1列展开按第则n D1110010001)1(11----+=+-x xa xD D n n n n 右边=+=-n n a xD 1 所以，对于n 阶行列式命题成立.6.设n 阶行列式)det(ij a D =,把D 上下翻转、或逆时针旋转 90、或依副对角线翻转，依次得n nn n a a a a D 11111 =， 11112n nn n a a a a D = ，11113a a a a D n nnn =，证明D D D D D n n =-==-32)1(21,)1(.证明 )det(ij a D =nnnn nn n nn n a a a a a a a a a a D 2211111111111)1(--==∴ =--=--nnn n nnn n a a a a a a a a 331122111121)1()1( nnn n n n a a a a 111121)1()1()1(---=--D D n n n n 2)1()1()2(21)1()1(--+-+++-=-= 同理可证nnn n n n a a a a D 11112)1(2)1(--=D D n n Tn n 2)1(2)1()1()1(---=-= D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(7.计算下列各行列式（阶行列式为k D k ）：(1)aaD n 11=,其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0；(2)xa a ax aa a x D n =; (3) 1111)()1()()1(1111n a a a n a a a n a a a D n n n nn n n ------=---+; 提示：利用范德蒙德行列式的结果． (4) n nn nn d c d c b a b a D000011112=; (5)j i a a D ij ij n -==其中),det(;(6)nn a a a D +++=11111111121 ,021≠n a a a 其中.解(1) aa a a a D n 000100000000 00001000 =按最后一行展开)1()1(1000000000010000)1(-?-+-n n n aa a)1)(1(2)1(--?-+n n n a a a(再按第一行展开)n n n nn a a a+-?-=--+)2)(2(1)1()1(2--=n n a a )1(22-=-a a n(2)将第一行乘)1(-分别加到其余各行，得ax x a ax x a a x x a aa a x D n ------=0000000 再将各列都加到第一列上，得ax ax a x aaa a n x D n ----+=000000000)1( )(])1([1a x a n x n --+=- (3) 从第1+n 行开始，第1+n 行经过n 次相邻对换，换到第1行，第n 行经)1(-n 次对换换到第2行…，经2)1(1)1(+=++-+n n n n 次行交换，得 nnn n n n n n n n a a a n a a a n a a aD )()1()()1(1111)1(1112)1(1-------=---++此行列式为范德蒙德行列式∏≥>≥++++--+--=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏∏≥>≥+++-++≥>≥++-?-?-=---=111)1(2)1(112)1()][()1()1()]([)1(j i n n n n n j i n n n j i j i∏≥>≥+-=11)(j i n j i(4) nnn d c d c b a b a D 011112=nn n n n nd d c d c b a b a a 0000000011111111----展开按第一行0000)1(1111111112c d c d c b a b a b nn n n n nn ----+-+2222 ---n n n n n n D c b D d a 都按最后一行展开由此得递推公式：222)(--=n n n n n n D c b d a D即∏=-=ni i i iin D c b d22)(而 111111112c b d a d c b a D -==得∏=-=ni i i i i n c b d a D 12)((5)j i a ij -=432140123310122210113210)det( --------==n n n n n n n n a D ij n ,3221r r r r --0 432111111111111111111111 --------------n n n n ,,141312c c c c c c +++152423210222102210002100001---------------n n n n n =212)1()1(----n n n (6)nn a a D a +++=11111111121 ,,433221c c c c c c ---n n n n a a a a a a a a a a +-------100 00100010000100010001000011433221展开（由下往上）按最后一列))(1(121-+n n a a a a nn n a a a a a a a a a --------000 00000000000000000000000022433221 nn n a a a a a a a a ----+--000000000000000001133221 ++ nn n a a a a a a a a -------000000000000000001143322n n n n n n a a a a a a a a a a a a 322321121))(1(++++=--- )11)((121∑=+=ni in a a a a8.用克莱姆法则解下列方程组：=+++-=----=+-+=+++;01123,2532,242,5)1(4321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x=+=++=++=++=+.15,065,065,065,165)2(545434323212 1x x x x x x x x x x x x x上一页下一页。

《线性代数》作业及参考答案一．单项选择题1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同15.设有矩阵Ａｍ×ｎ，Ｂｍ×ｓ，Ｃｓ×ｍ，则下列运算有意义的是（）。

第一章 行列式4.计算下列各行列式：（1）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢7110025*********4； （2）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢-265232112131412； （3）⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎣⎢---ef cf bf de cd bd ae ac ab ； （4）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢---d c b a100110011001解(1)7110025102021421434327c c c c --0100142310202110214---=34)1(143102211014+-⨯---=143102211014-- 321132c c c c ++1417172001099-=0(2)2605232112131412-24c c -2605032122130412-24r r -0412032122130412- 14r r -0000032122130412-=0(3)ef cf bf de cd bd ae ac ab ---=ec b e c b ec b adf ---=111111111---adfbce =abcdef 4(4)d c b a 100110011001---21ar r +dc b a ab 100110011010---+=12)1)(1(+--dc a ab 10111--+23dc c +010111-+-+cd c ada ab =23)1)(1(+--cdadab +-+111=1++++ad cd ab abcd5.证明: (1)1112222b b a a b ab a +=3)(b a -; (2)bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++=y x z x z y z y x b a )(33+;(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ;(4)444422221111d c b a d c b a d c b a ))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-⋅;(5)1221100000100001a x a a a a x x x n n n +-----n n n n a x a x a x ++++=--111 . 证明(1)00122222221312a b a b a a b a ab a c c c c ------=左边a b a b a b a ab 22)1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--=右边=-=3)(b a(2)bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开按第一列左边bzay by ax x by ax bx az z bxaz bz ay y b +++++++ ++++++002y by ax z x bx az y z bz ay x a 分别再分bzay y x by ax x z bxaz z y b +++z y x y x z x z y b y x z x z y z y x a 33+分别再分右边=-+=233)1(yx z x z y zy x b y x z x z y z y x a(3) 2222222222222222)3()2()12()3()2()12()3()2()12()3()2()12(++++++++++++++++=d d d d d c c c c c b b b b b a a a a a 左边9644129644129644129644122222141312++++++++++++---d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c c c 964496449644964422222++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a 分成二项按第二列964419644196441964412222+++++++++d d d c c c b b b a a a 949494949464222224232423d d c c b b a a c c c c c c c c ----第二项第一项06416416416412222=+ddd c c c bb b a a a (4) 444444422222220001ad a c a b a ad a c a b a ad a c a b a ---------=左边=)()()(222222222222222a d d a c c a b b a d a c a b ad a c a b --------- =)()()(111))()((222a d d a c c a b b a d a c ab a d ac a b ++++++--- =⨯---))()((ad a c a b )()()()()(00122222a b b a d d a b b a c c a b b bd b c a b +-++-++--+ =⨯-----))()()()((b d b c a d a c a b )()()()(112222b d a b bd d b c a b bc c ++++++++=))()()()((d b c b d a c a b a -----))((d c b a d c +++-(5) 用数学归纳法证明.,1,2212122命题成立时当a x a x a x a x D n ++=+-==假设对于)1(-n 阶行列式命题成立，即 ,122111-----++++=n n n n n a x a x a x D:1列展开按第则n D1110010001)1(11----+=+-x xa xD D n n n n 右边=+=-n n a xD 1 所以，对于n 阶行列式命题成立.6.设n 阶行列式)det(ij a D =,把D 上下翻转、或逆时针旋转 90、或依副对角线翻转，依次得n nn n a a a a D 11111 =， 11112n nn n a a a a D = ，11113a a a a D n nnn =，证明D D D D D n n =-==-32)1(21,)1(.证明 )det(ij a D =nnn n nn n nn n a a a a a a a a a a D 2211111111111)1(--==∴ =--=--nnn n nnn n a a a a a a a a 331122111121)1()1( nnn n n n a a a a 111121)1()1()1(---=--D D n n n n 2)1()1()2(21)1()1(--+-+++-=-=同理可证nnn n n n a a a a D 11112)1(2)1(--=D D n n T n n 2)1(2)1()1()1(---=-= D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(7.计算下列各行列式（阶行列式为k D k ）：(1)a aD n 11=,其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0；(2)xaaax aa a x D n=; (3) 1111)()1()()1(1111n a a a n a a a n a a a D n n n n n n n ------=---+; 提示：利用范德蒙德行列式的结果． (4) nnnnn d c d c b a b a D000011112=; (5)j i a a D ij ij n -==其中),det(;(6)nn a a a D +++=11111111121 ,021≠n a a a 其中.解(1) aa a a a D n 00010000000000001000 =按最后一行展开)1()1(100000000000010000)1(-⨯-+-n n n aa a)1)(1(2)1(--⋅-+n n na aa(再按第一行展开)n n n nn a a a+-⋅-=--+)2)(2(1)1()1(2--=n n a a )1(22-=-a a n(2)将第一行乘)1(-分别加到其余各行，得ax x a ax x a a x x a aa a x D n ------=0000000 再将各列都加到第一列上，得ax ax a x aaa a n x D n ----+=000000000)1( )(])1([1a x a n x n --+=- (3) 从第1+n 行开始，第1+n 行经过n 次相邻对换，换到第1行，第n 行经)1(-n 次对换换到第2行…，经2)1(1)1(+=++-+n n n n 次行交换，得 nn n n n n n n n n a a a n a a a n a a aD )()1()()1(1111)1(1112)1(1-------=---++此行列式为范德蒙德行列式∏≥>≥++++--+--=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏∏≥>≥+++-++≥>≥++-•-•-=---=111)1(2)1(112)1()][()1()1()]([)1(j i n n n n n j i n n n j i j i∏≥>≥+-=11)(j i n j i(4) nn nnn d c d c b a b a D 011112=nn n n n nd d c d c b a b a a 0000000011111111----展开按第一行0000)1(1111111112c d c d c b a b a b nn n n n nn ----+-+2222 ---n n n n n n D c b D d a 都按最后一行展开由此得递推公式：222)(--=n n n n n n D c b d a D即 ∏=-=ni i i iin D c b da D 222)(而 111111112c b d a d c b a D -==得 ∏=-=ni i i i i n c b d a D 12)((5)j i a ij -=432140123310122210113210)det( --------==n n n n n n n n a D ij n ,3221r r r r --0432111111111111111111111 --------------n n n n,,141312c c c c c c +++152423210222102210002100001---------------n n n n n =212)1()1(----n n n(6)nn a a D a +++=11111111121,,433221c c c c c c ---n n n n a a a a a a a a a a +-------10000100010000100010001000011433221 展开（由下往上）按最后一列))(1(121-+n n a a a a nn n a a a a a a a a a --------00000000000000000000000000022433221 nn n a a a a a a a a ----+--000000000000000001133221 ++ nn n a a a a a a a a -------000000000000000001143322n n n n n n a a a a a a a a a a a a 322321121))(1(++++=---)11)((121∑=+=ni in a a a a8.用克莱姆法则解下列方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++;01123,2532,242,5)1(4321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=++=++=++=+.15,065,065,065,165)2(5454343232121x x x x x x x x x x x x x解 (1)11213513241211111----=D 8120735032101111------=145008130032101111---=1421420005410032101111-=---= 112105132412211151------=D 11210513290501115----=1121023313090509151------=2331309050112109151------=1202300461000112109151-----=14200038100112109151----=142-=112035122412111512-----=D 811507312032701151-------=3139011230023101151-=2842840001910023101151-=----=426110135232422115113-=----=D ; 14202132132212151114=-----=D1,3,2,144332211-========∴DDx D D x D D x D D x (2) 510006510006510006510065=D 展开按最后一行61000510065100655-'D D D ''-'=65 D D D ''-'''-''=6)65(5D D '''-''=3019D D ''''-'''=1146566551141965=⨯-⨯=(,11的余子式中为行列式a D D ',11的余子式中为a D D ''''类推D D ''''''',) 51001651000651000650000611=D 展开按第一列6510065100650006+'D 46+'=D 460319+''''-'''=D 1507=51010651000650000601000152=D 展开按第二列5100651006500061-6510065000610005-365510651065⨯-= 1145108065-=--=51100650000601000051001653=D 展开按第三列51006500061000516500061000510065+6100510656510650061+= 703114619=⨯+=51000601000051000651010654=D 展开按第四列61000510065100655000610005100651--51065106565--=395-= 110051000651000651100655=D 展开按最后一列D '+10005100651006512122111=+= 665212;665395;665703;6651145;665150744321=-==-==∴x x x x x ． 9.齐次线性方程组取何值时问,,μλ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？解 μλμμμλ-==12111113D ， 齐次线性方程组有非零解，则03=D即 0=-μλμ 得 10==λμ或不难验证，当,10时或==λμ该齐次线性方程组确有非零解.10.齐次线性方程组取何值时问,λ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ 有非零解？解λλλ----=111132421D λλλλ--+--=101112431)3)(1(2)1(4)3()1(3λλλλλ-------+-=3)1(2)1(23-+-+-=λλλ 齐次线性方程组有非零解，则0=D得 32,0===λλλ或不难验证，当32,0===λλλ或时，该齐次线性方程组确有非零解.第二章 矩阵及其运算1. 已知线性变换:⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=3213321232113235322y y y x y y y x y y y x ,求从变量x 1, x 2, x 3到变量y 1, y 2, y 3的线性变换.解 由已知:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x , 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211221323513122x x x y y y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321423736947y y y , ⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=321332123211423736947x x x y x x x y x x x y .2. 已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x , ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y , 求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换.解 由已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z , 所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x .3. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=150421321B , 求3AB -2A 及A T B . 解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB ⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T . 4. 计算下列乘积:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134; 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=49635. (2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(; 解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(=(1⨯3+2⨯2+3⨯1)=(10).(3))21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛; 解 )21(312-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=632142. (4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412 ; 解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎭⎫ ⎝⎛---=6520876. (5)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ; 解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x =(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3 a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3 a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.5. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101B , 问: (1)AB =BA 吗?解 AB ≠BA .因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8321BA , 所以AB ≠BA .(2)(A +B)2=A 2+2AB +B 2吗?解 (A +B)2≠A 2+2AB +B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52225222)(2B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2914148, 但 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++43011288611483222B AB A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=27151610, 所以(A +B)2≠A 2+2AB +B 2.(3)(A +B)(A -B)=A 2-B 2吗?解 (A +B)(A -B)≠A 2-B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1020B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+906010205222))((B A B A , 而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-718243011148322B A , 故(A +B)(A -B)≠A 2-B 2.6. 举反列说明下列命题是错误的:(1)若A 2=0, 则A =0;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010A , 则A 2=0, 但A ≠0. (2)若A 2=A , 则A =0或A =E ;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011A , 则A 2=A , 但A ≠0且A ≠E . (3)若AX =AY , 且A ≠0, 则X =Y .解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111X , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011Y , 则AX =AY , 且A ≠0, 但X ≠Y .7. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λA , 求A 2, A 3, ⋅ ⋅ ⋅, A k . 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011011012λλλA , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==1301101120123λλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k . 8. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ001001A , 求A k . 解 首先观察⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222002012λλλλλ, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=43423434004064λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=545345450050105λλλλλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎝⎛=k A k k k k k k k k k k λλλλλλ0002)1(121----⎪⎪⎪⎭⎫ . 用数学归纳法证明:当k =2时, 显然成立.假设k 时成立，则k +1时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ, 由数学归纳法原理知:⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121. 9. 设A , B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T AB 也是对称矩阵. 证明 因为A T =A , 所以(B T AB)T =B T (B T A)T =B T A T B =B T AB ,从而B T AB 是对称矩阵.10. 设A , B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB =BA . 证明 充分性: 因为A T =A , B T =B , 且AB =BA , 所以(AB)T =(BA)T =A T B T =AB ,即AB 是对称矩阵.必要性: 因为A T =A , B T =B , 且(AB)T =AB , 所以AB =(AB)T =B T A T =BA .11. 求下列矩阵的逆矩阵:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛5221; 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=5221A . |A|=1, 故A -1存在. 因为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225*22122111A A A A A , 故*||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1225. (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-θθθθcos sin sin cos ; 解⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos A . |A|=1≠0, 故A -1存在. 因为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=θθθθcos sin sin cos *22122111A A A A A , 所以*||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos . (3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---145243121; 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=145243121A . |A|=2≠0, 故A -1存在. 因为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A , 所以 *||11A A A =-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=1716213213012.(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 0021(a 1a 2⋅ ⋅ ⋅a n≠0) .解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a A 0021, 由对角矩阵的性质知⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n a a a A 10011211 . 12. 解下列矩阵方程:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛12643152X ; 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-126431521X ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12642153⎪⎭⎫ ⎝⎛-=80232. (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--234311*********X ; 解 1111012112234311-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=03323210123431131 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=32538122. (3)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-101311022141X ;解 11110210132141--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210110131142121 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=21010366121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=04111. (4)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X . 解 11010100001021102341100001010--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001021102341100001010⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=201431012. 13. 利用逆矩阵解下列线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3532522132321321321x x x x x x x x x ;解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x , 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x , 从而有 ⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x .(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--05231322321321321x x x x x x x x x .解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----012523312111321x x x ,故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3050125233121111321x x x , 故有 ⎪⎩⎪⎨⎧===305321x x x .14. 设A k =O (k 为正整数), 证明(E -A)-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1. 证明 因为A k =O , 所以E -A k =E . 又因为 E -A k =(E -A)(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1),所以 (E -A)(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)=E , 由定理2推论知(E -A)可逆, 且(E -A)-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.证明 一方面, 有E =(E -A)-1(E -A). 另一方面, 由A k =O , 有E =(E -A)+(A -A 2)+A 2-⋅ ⋅ ⋅-A k -1+(A k -1-A k ) =(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A),故 (E -A)-1(E -A)=(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A), 两端同时右乘(E -A)-1, 就有(E -A)-1(E -A)=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.15. 设方阵A 满足A 2-A -2E =O , 证明A 及A +2E 都可逆, 并求A -1及(A +2E)-1.证明 由A 2-A -2E =O 得 A 2-A =2E , 即A(A -E)=2E ,或E E A A =-⋅)(21,由定理2推论知A 可逆, 且)(211E A A -=-.由A 2-A -2E =O 得A 2-A -6E =-4E , 即(A +2E)(A -3E)=-4E ,或E A E E A =-⋅+)3(41)2(由定理2推论知(A +2E)可逆, 且)3(41)2(1A E E A -=+-.证明 由A 2-A -2E =O 得A 2-A =2E , 两端同时取行列式得 |A 2-A|=2,即 |A||A -E|=2, 故 |A|≠0,所以A 可逆, 而A +2E =A 2, |A +2E|=|A 2|=|A|2≠0, 故A +2E 也可逆. 由 A 2-A -2E =O ⇒A(A -E)=2E⇒A -1A(A -E)=2A -1E ⇒)(211E A A -=-,又由 A 2-A -2E =O ⇒(A +2E)A -3(A +2E)=-4E⇒ (A +2E)(A -3E)=-4 E ,所以 (A +2E)-1(A +2E)(A -3E)=-4(A +2 E)-1,)3(41)2(1A E E A -=+-.16. 设A 为3阶矩阵,21||=A , 求|(2A)-1-5A*|.解 因为*||11A A A =-, 所以|||521||*5)2(|111----=-A A A A A |2521|11---=A A=|-2A -1|=(-2)3|A -1|=-8|A|-1=-8⨯2=-16. 17. 设矩阵A 可逆, 证明其伴随阵A*也可逆, 且(A*)-1=(A -1)*.证明 由*||11A A A =-, 得A*=|A|A -1, 所以当A 可逆时, 有|A*|=|A|n |A -1|=|A|n -1≠0,从而A*也可逆.因为A*=|A|A -1, 所以 (A*)-1=|A|-1A .又*)(||)*(||1111---==A A A A A , 所以(A*)-1=|A|-1A =|A|-1|A|(A -1)*=(A -1)*. 18. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A*, 证明: (1)若|A|=0, 则|A*|=0; (2)|A*|=|A|n -1. 证明(1)用反证法证明. 假设|A*|≠0, 则有A*(A*)-1=E , 由此得 A =A A*(A*)-1=|A|E(A*)-1=O ,所以A*=O , 这与|A*|≠0矛盾，故当|A|=0时, 有|A*|=0.(2)由于*||11A A A =-, 则AA*=|A|E , 取行列式得到|A||A*|=|A|n . 若|A|≠0, 则|A*|=|A|n -1;若|A|=0, 由(1)知|A*|=0, 此时命题也成立. 因此|A*|=|A|n -1.19. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=321011330A , AB =A +2B , 求B .解 由AB =A +2E 可得(A -2E)B =A , 故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=--321011330121011332)2(11A E A B ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=011321330.20. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101020101A , 且AB +E =A 2+B , 求B .解 由AB +E =A 2+B 得 (A -E)B =A 2-E ,即 (A -E)B =(A -E)(A +E).因为01001010100||≠-==-E A , 所以(A -E)可逆, 从而⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=201030102E A B .21. 设A =diag(1, -2, 1), A*BA =2BA -8E , 求B . 解 由A*BA =2BA -8E 得 (A*-2E)BA =-8E , B =-8(A*-2E)-1A -1 =-8[A(A*-2E)]-1 =-8(AA*-2A)-1 =-8(|A|E -2A)-1 =-8(-2E -2A)-1 =4(E +A)-1=4[diag(2, -1, 2)]-1)21 ,1 ,21(diag 4-==2diag(1, -2, 1).22. 已知矩阵A 的伴随阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=8030010100100001*A , 且ABA -1=BA -1+3E , 求B .解 由|A*|=|A|3=8, 得|A|=2. 由ABA -1=BA -1+3E 得 AB =B +3A ,B =3(A -E)-1A =3[A(E -A -1)]-1A11*)2(6*)21(3---=-=A E A E⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-1030060600600006603001010010000161. 23. 设P -1AP =Λ, 其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ2001, 求A 11.解 由P -1AP =Λ, 得A =P ΛP -1, 所以A 11= A=P Λ11P -1.|P|=3,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1141*P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1141311P ,而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-=Λ11111120 012001,故⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=68468327322731.24. 设AP =P Λ, 其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111201111P , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ511, 求ϕ(A)=A 8(5E -6A +A 2).解 ϕ(Λ)=Λ8(5E -6Λ+Λ2)=diag(1,1,58)[diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)] =diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0). ϕ(A)=P ϕ(Λ)P -1*)(||1P P P Λ=ϕ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1213032220000000011112011112⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111111114.25. 设矩阵A 、B 及A +B 都可逆, 证明A -1+B -1也可逆, 并求其逆阵. 证明 因为A -1(A +B)B -1=B -1+A -1=A -1+B -1,而A -1(A +B)B -1是三个可逆矩阵的乘积, 所以A -1(A +B)B -1可逆, 即A -1+B -1可逆.(A -1+B -1)-1=[A -1(A +B)B -1]-1=B(A +B)-1A .26. 计算⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121. 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=10211A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=30122A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12131B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=30322B ,则⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ,而⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+4225303212131021211B B A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=90343032301222B A ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=9000340042102521, 即 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=9000340042102521. 27. 取⎪⎭⎫ ⎝⎛==-==1001D C B A , 验证|||||||| D C B A D C B A ≠.解4100120021100101002000021010010110100101==--=--=D C B A , 而01111|||||||| ==D C B A , 故|||||||| D C B A D C B A ≠. 28. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22023443O O A , 求|A 8|及A 4. 解 令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34431A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=22022A ,则⎪⎭⎫⎝⎛=21A O O A A ,故8218⎪⎭⎫ ⎝⎛=A O O A A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8281A O O A ,1682818281810||||||||||===A A A A A .⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=464444241422025005O O A O O A A . 29. 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆, 求(1)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ;解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211C C C C O B A O , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ⎪⎭⎫ ⎝⎛4321C C C C ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=s n E O O E BC BC AC AC 2143. 由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧====s n E BC O BC O AC E AC 2143⇒⎪⎩⎪⎨⎧====--121413B C O C O C A C ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛---O A B O O B A O 111. (2)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛B C O A .解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211D D D D B C O A , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛s n E O O E BD CD BD CD AD AD D D D D B C O A 4231214321. 由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==s n E BD CD O BD CD O AD E AD 423121⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-===----14113211B D CA B D O D A D ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11111B CA B O A BC O A . 30. 求下列矩阵的逆阵:(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2500380000120025; 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2538B , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--5221122511A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--8532253811B .于是 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----850032000052002125003800001200251111B A B A .(2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4121031200210001. 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=4103B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2112C , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------1111114121031200210001B CA B O A BC O A⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=411212458103161210021210001.第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1．把下列矩阵化为行最简形矩阵：(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; (2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320; (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311; (4)⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132.解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313*********2)3()2(~r r r r -+-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---020*********)2()1(32~-÷-÷r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--01003100120123~r r -⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201 33~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100031001201323~r r +⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1000010012013121)2(~r r r r +-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100001000001(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1740343013201312)2()3(2~r r r r -+-+⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---31003100132021233~r r r r ++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031001002021~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031005010 (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311 141312323~rr r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311)5()3()4(432~-÷-÷-÷r r r ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----22100221002210034311 2423213~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000000002210032011(4) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132 242321232~rr r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110141312782~rr r r r r --+⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--410004100020201111134221)1(~r r r r r --⨯↔⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----0000041000111102020132~rr +⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000004100030110202012.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A ，求A 。

线性代数习题参考答案(总96页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除第一章行列式§1 行列式的概念1．填空(1) 排列6427531的逆序数为，该排列为排列。

(2) i = ，j = 时，排列1274i56j9为偶排列。

(3) n阶行列式由项的代数和组成，其中每一项为行列式中位于不同行不同列的n个元素的乘积，若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列，那么列标构成一个n元排列。

若该排列为奇排列，则该项的符号为号；若为偶排列，该项的符号为号。

(4) 在6阶行列式中，含152332445166a a a a a a的项的符号为，含324314516625a a a a a a的项的符号为。

2．用行列式的定义计算下列行列式的值(1)112223323300 0aa aa a解：该行列式的3!项展开式中，有项不为零，它们分别为，所以行列式的值为。

(2)12,121,21,11, 12,100000nn nn n n n n n n n n nnaa aa a aa a a a------解：该行列式展开式中唯一不可能为0的项是，而它的逆序数是，故行列式值为。

3．证明：在全部n 元排列中，奇排列数与偶排列数相等。

证明：n 元排列共有!n 个，设其中奇排列数有1n 个，偶排列数为2n 个。

对于任意奇排列，交换其任意两个元的位置，就变成偶排列，故一个奇排列与许多偶排列对应，所以有1n 2n ，同理得2n 1n ，所以1n2n 。

4．若一个n 阶行列式中等于0的元素个数比n n -2多，则此行列式为0，为什么 5．n 阶行列式中，若负项的个数为偶数，则n 至少为多少（提示：利用3题的结果） 6．利用对角线法则计算下列三阶行列式（1）21141183---（2）222111ab c a b c§2 行列式的性质1．利用行列式的性质计算系列行列式。

（精选）线性代数课后作业及参考答案《线性代数》作业及参考答案一．单项选择题1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003，则A-1等于（）A.130012001B.100120013C. 1 3 00 010 00 1 2D. 1 2 00 10013.设矩阵A=312101214---，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解2η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<n< bdsfid="226" p=""></n<>B.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同15.设有矩阵Ａｍ×ｎ，Ｂｍ×ｓ，Ｃｓ×ｍ，则下列运算有意义的是（）。

xx .. ..第一章 行列式4.计算下列各行列式：（1）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢7110025*********4； （2）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢-265232112131412； （3）⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎣⎢---ef cf bf de cd bd ae ac ab ； （4）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢---d c b a100110011001解(1)7110025102021421434327c c c c --0100142310202110214---=34)1(143102211014+-⨯---=143102211014-- 321132c c c c ++1417172001099-=0(2)2605232112131412-24c c -2605032122130412-24r r -0412032122130412- 14r r -0000032122130412-=0(3)ef cf bf de cd bd ae ac ab ---=e c b e c b e c b adf ---=111111111---adfbce =abcdef 4xx .. .. (4)d c b a 100110011001---21ar r +dc b a ab 100110011010---+=12)1)(1(+--dc a ab 10111--+ 23dc c +010111-+-+cd c ada ab =23)1)(1(+--cdadab +-+111=1++++ad cd ab abcd5.证明: (1)1112222b b a a b ab a +=3)(b a -; (2)bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++=y x z x z y z y x b a )(33+;(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ;(4)444422221111d c b a d c b a d c b a ))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-⋅;(5)1221100000100001a x a a a a x x x n n n +-----n n n n a x a x a x ++++=--111 . 证明(1)00122222221312a b a b a a b a ab a c c c c ------=左边a b a b a b a ab 22)1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--=右边=-=3)(b axx .. ..(2)bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开按第一列左边bzay by ax x by ax bx az z bxaz bz ay y b +++++++ ++++++002y by ax z x bx az y z bz ay x a 分别再分bz ay y x by ax x z bx az z y b +++zy x y x z xz y b y x z x z y z y x a 33+分别再分右边=-+=233)1(yx z x z y zy x b y x z x z y z y x a(3) 2222222222222222)3()2()12()3()2()12()3()2()12()3()2()12(++++++++++++++++=d d d d d c c c c c b b b b b a a a a a 左边9644129644129644129644122222141312++++++++++++---d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c c c 964496449644964422222++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a 分成二项按第二列964419644196441964412222+++++++++d d d c c c b b b a a a949494949464222224232423d d c c b b a a c c c c c c c c ----第二项第一项06416416416412222=+ddd c c c bb b a a a (4) 444444422222220001ad a c a b a ad a c a b a ad a c a b a ---------=左边=)()()(222222222222222a d d a c c a b b a d a c a b ad a c a b --------- =)()()(111))()((222a d d a c c a b b a d a c ab a d ac a b ++++++--- =⨯---))()((ad a c a b )()()()()(00122222a b b a d d a b b a c c a b b bd b c a b +-++-++--+ =⨯-----))()()()((b d b c a d a c a b )()()()(112222b d a b bd d b c a b bc c ++++++++xx .. ..=))()()()((d b c b d a c a b a -----))((d c b a d c +++-(5) 用数学归纳法证明.,1,2212122命题成立时当a x a x a x a x D n ++=+-==假设对于)1(-n 阶行列式命题成立，即 ,122111-----++++=n n n n n a x a x a x D:1列展开按第则n D1110010001)1(11----+=+-x xa xD D n n n n 右边=+=-n n a xD 1 所以，对于n 阶行列式命题成立.6.设n 阶行列式)det(ij a D =,把D 上下翻转、或逆时针旋转 90、或依副对角线翻转，依次得n nn n a a a a D 11111 =， 11112n nn n a a a a D = ，11113a a a a D n nnn =，证明D D D D D n n =-==-32)1(21,)1(.证明 )det(ij a D =nnnn nn n nn n a a a a a a a a a a D 2211111111111)1(--==∴ =--=--nnn n nnn n a a a a a a a a 331122111121)1()1( nnn n n n a a a a 111121)1()1()1(---=--D D n n n n 2)1()1()2(21)1()1(--+-+++-=-=xx .. ..同理可证nnn n n n a a a a D 11112)1(2)1(--=D D n n T n n 2)1(2)1()1()1(---=-= D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(7.计算下列各行列式（阶行列式为k D k ）：(1)a aD n 11=,其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0；(2)xaaax aa a x D n=; (3) 1111)()1()()1(1111n a a a n a a a n a a a D n n n n nn n ------=---+; 提示：利用范德蒙德行列式的结果． (4) nnnnn d c d c b a b a D000011112=; (5)j i a a D ij ij n -==其中),det(;(6)nn a a a D +++=11111111121 ,021≠n a a a 其中.解xx .. ..(1) aa a a a D n 00010000000000001000 =按最后一行展开)1()1(100000000000010000)1(-⨯-+-n n n aa a)1)(1(2)1(--⋅-+n n na aa(再按第一行展开)n n n nn a a a+-⋅-=--+)2)(2(1)1()1(2--=n n a a )1(22-=-a a n(2)将第一行乘)1(-分别加到其余各行，得ax x a ax x a a x x a aa a x D n ------=0000000 再将各列都加到第一列上，得ax ax a x aaa a n x D n ----+=000000000)1( )(])1([1a x a n x n --+=- (3) 从第1+n 行开始，第1+n 行经过n 次相邻对换，换到第1行，第n 行经)1(-n 次对换换到第2行…，经2)1(1)1(+=++-+n n n n 次行交换，得xx .. ..nn n n n n n n n n a a a n a a a n a a aD )()1()()1(1111)1(1112)1(1-------=---++此行列式为范德蒙德行列式∏≥>≥++++--+--=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏∏≥>≥+++-++≥>≥++-•-•-=---=111)1(2)1(112)1()][()1()1()]([)1(j i n n n n n j i n n n j i j i∏≥>≥+-=11)(j i n j i(4) nn nnn d c d c b a b a D 011112=nn n n n nd d c d c b a b a a 0000000011111111----展开按第一行0000)1(1111111112c d c d c b a b a b nn n n n nn ----+-+2222 ---n n n n n n D c b D d a 都按最后一行展开由此得递推公式：222)(--=n n n n n n D c b d a Dxx .. ..即 ∏=-=ni i i iin D c b da D 222)(而 111111112c b d a d c b a D -==得 ∏=-=ni i i i i n c b d a D 12)((5)j i a ij -=0432********0122210113210)det( --------==n n n n n n n n a D ij n ,3221r r r r --0432111111111111111111111 --------------n n n n,,141312c c c c c c +++152423210222102210002100001---------------n n n n n =212)1()1(----n n n(6)nn a a D a +++=11111111121,,433221c c c c c c ---n n n n a a a a a a a a a a +-------10000100010000100010001000011433221 展开（由下往上）按最后一列))(1(121-+n n a a a a nn n a a a a a a a a a --------00000000000000000000000000022433221xx .. ..nn n a a a a a a a a ----+--000000000000000001133221 ++ nn n a a a a a a a a -------000000000000000001143322n n n n n n a a a a a a a a a a a a 322321121))(1(++++=---)11)((121∑=+=ni in a a a a8.用克莱姆法则解下列方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++;01123,2532,242,5)1(4321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=++=++=++=+.15,065,065,065,165)2(5454343232121x x x x x x x x x x x x x 解 (1)11213513241211111----=D 8120735032101111------=145008130032101111---=1421420005410032101111-=---= 112105132412211151------=D 11210513290501115----=1121023313090509151------=2331309050112109151------=1202300461000112109151-----=14200038100112109151----=142-=xx .. ..112035122412111512-----=D 811507312032701151-------=31390011230023101151-=2842840001910023101151-=----=426110135232422115113-=----=D ; 14202132132212151114=-----=D1,3,2,144332211-========∴DDx D D x D D x D D x (2) 510006510006510006510065=D 展开按最后一行61000510065100655-'D D D ''-'=65 D D D ''-'''-''=6)65(5D D '''-''=3019D D ''''-'''=1146566551141965=⨯-⨯=(,11的余子式中为行列式a D D ',11的余子式中为a D D ''''类推D D ''''''',) 51001651000651000650000611=D 展开按第一列6510065100650006+'D 46+'=D 460319+''''-'''=D 1507= 5101065100065000601000152=D 展开按第二列5100651006500061-6510065000610005-365510651065⨯-= 1145108065-=--=xx .. ..51100650000601000051001653=D 展开按第三列51006500061000516500061000510065+6100510656510650061+= 703114619=⨯+=51000601000051000651010654=D 展开按第四列61000510065100655000610005100651--51065106565--=395-= 110051000651000651100655=D 展开按最后一列D '+10005100651006512122111=+= 665212;665395;665703;6651145;665150744321=-==-==∴x x x x x ． 9.齐次线性方程组取何值时问,,μλ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？解 μλμμμλ-==12111113D ， 齐次线性方程组有非零解，则03=D即 0=-μλμ 得 10==λμ或不难验证，当,10时或==λμ该齐次线性方程组确有非零解.xx .. ..10.齐次线性方程组取何值时问,λ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ 有非零解？解λλλ----=111132421D λλλλ--+--=101112431)3)(1(2)1(4)3()1(3λλλλλ-------+-=3)1(2)1(23-+-+-=λλλ齐次线性方程组有非零解，则0=D 得 32,0===λλλ或不难验证，当32,0===λλλ或时，该齐次线性方程组确有非零解.xx .. ..第二章 矩阵及其运算1. 已知线性变换:⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=3213321232113235322y y y x y y y x y y y x , 求从变量x 1, x 2, x 3到变量y 1, y 2, y 3的线性变换.解 由已知:⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x ,故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211221323513122x x x y y y ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321423736947y y y , ⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=321332123211423736947x x x y x x x y x x x y .2. 已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x , ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y ,求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换.xx .. ..解 由已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z ,所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x .3. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=150421321B , 求3AB -2A 及A T B .解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T.4. 计算下列乘积:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134;解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎭⎫⎝⎛=49635.xx .. ..(2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(;解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(=(1⨯3+2⨯2+3⨯1)=(10).(3))21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛;解 )21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=632142. (4)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412 ; 解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎭⎫ ⎝⎛---=6520876.(5)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ;解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x=(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3 a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3 a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x xxx .. ..322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.5. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101B , 问:(1)AB =BA 吗? 解 AB ≠BA .因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8321BA , 所以AB ≠BA .(2)(A +B)2=A 2+2AB +B 2吗? 解 (A +B)2≠A 2+2AB +B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52225222)(2B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2914148,但⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++43011288611483222B AB A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=27151610,所以(A +B)2≠A 2+2AB +B 2.(3)(A +B)(A -B)=A 2-B 2吗? 解 (A +B)(A -B)≠A 2-B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1020B A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+906010205222))((B A B A ,而⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-718243011148322B A ,故(A +B)(A -B)≠A 2-B 2.xx .. ..6. 举反列说明下列命题是错误的: (1)若A 2=0, 则A =0;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010A , 则A 2=0, 但A ≠0. (2)若A 2=A , 则A =0或A =E ;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011A , 则A 2=A , 但A ≠0且A ≠E . (3)若AX =AY , 且A ≠0, 则X =Y . 解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111X , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011Y ,则AX =AY , 且A ≠0, 但X ≠Y .7. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λA , 求A 2, A 3, ⋅ ⋅ ⋅, A k .解⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011011012λλλA ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==1301101120123λλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k . 8. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ001001A , 求A k .解 首先观察xx .. ..⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222002012λλλλλ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=43423434004064λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=545345450050105λλλλλλA A A ,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎝⎛=kA k k kk k k k k k k λλλλλλ0002)1(121----⎪⎪⎪⎭⎫ . 用数学归纳法证明: 当k =2时, 显然成立. 假设k 时成立，则k +1时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ, 由数学归纳法原理知:xx .. ..⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121.9. 设A , B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T AB 也是对称矩阵. 证明 因为A T =A , 所以(B T AB)T =B T (B T A)T =B T A T B =B T AB ,从而B T AB 是对称矩阵.10. 设A , B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB =BA . 证明 充分性: 因为A T =A , B T =B , 且AB =BA , 所以 (AB)T =(BA)T =A T B T =AB ,即AB 是对称矩阵.必要性: 因为A T =A , B T =B , 且(AB)T =AB , 所以 AB =(AB)T =B T A T =BA . 11. 求下列矩阵的逆矩阵:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛5221; 解⎪⎭⎫ ⎝⎛=5221A . |A|=1, 故A -1存在. 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225*22122111A A A A A ,故*||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1225.(2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-θθθθcos sin sin cos ;xx .. ..解⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos A . |A|=1≠0, 故A -1存在. 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=θθθθcos sin sin cos *22122111A A A A A ,所以*||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos .(3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---145243121;解⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=145243121A . |A|=2≠0, 故A -1存在. 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A ,所以*||11A A A =-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=1716213213012.(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 0021(a 1a 2⋅ ⋅ ⋅a n≠0) .解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a A 0021, 由对角矩阵的性质知xx .. ..⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n a a a A 10011211 . 12. 解下列矩阵方程:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛12643152X ; 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-126431521X ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12642153⎪⎭⎫ ⎝⎛-=80232. (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--234311*********X ; 解 1111012112234311-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=03323210123431131 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=32538122. (3)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-101311022141X ; 解 11110210132141--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210110131142121xx .. ..⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=21010366121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=04111. (4)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X . 解 11010100001021102341100001010--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001021102341100001010⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=201431012. 13. 利用逆矩阵解下列线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3532522132321321321x x x x x x x x x ;解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x , 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x , 从而有 ⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x .(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--05231322321321321x x x x x x x x x .解 方程组可表示为xx .. ..⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----012523312111321x x x , 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3050125233121111321x x x , 故有 ⎪⎩⎪⎨⎧===305321x x x .14. 设A k =O (k 为正整数), 证明(E -A)-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.证明 因为A k =O , 所以E -A k =E . 又因为E -A k =(E -A)(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1), 所以 (E -A)(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)=E ,由定理2推论知(E -A)可逆, 且(E -A)-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.证明 一方面, 有E =(E -A)-1(E -A).另一方面, 由A k =O , 有E =(E -A)+(A -A 2)+A 2-⋅ ⋅ ⋅-A k -1+(A k -1-A k )=(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A),故 (E -A)-1(E -A)=(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A),两端同时右乘(E -A)-1, 就有(E -A)-1(E -A)=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.15. 设方阵A 满足A 2-A -2E =O , 证明A 及A +2E 都可逆, 并求A -1及(A +2E)-1. 证明 由A 2-A -2E =O 得A 2-A =2E , 即A(A -E)=2E ,xx .. ..或 E E A A =-⋅)(21, 由定理2推论知A 可逆, 且)(211E A A -=-. 由A 2-A -2E =O 得A 2-A -6E =-4E , 即(A +2E)(A -3E)=-4E ,或 E A E E A =-⋅+)3(41)2( 由定理2推论知(A +2E)可逆, 且)3(41)2(1A E E A -=+-.证明 由A 2-A -2E =O 得A 2-A =2E , 两端同时取行列式得|A 2-A|=2,即 |A||A -E|=2,故 |A|≠0,所以A 可逆, 而A +2E =A 2, |A +2E|=|A 2|=|A|2≠0, 故A +2E 也可逆.由 A 2-A -2E =O ⇒A(A -E)=2E⇒A -1A(A -E)=2A -1E ⇒)(211E A A -=-, 又由 A 2-A -2E =O ⇒(A +2E)A -3(A +2E)=-4E⇒ (A +2E)(A -3E)=-4 E ,所以 (A +2E)-1(A +2E)(A -3E)=-4(A +2 E)-1,)3(41)2(1A E E A -=+-. 16. 设A 为3阶矩阵,21||=A , 求|(2A)-1-5A*|.xx .. ..解 因为*||11A A A =-, 所以 |||521||*5)2(|111----=-A A A A A |2521|11---=A A =|-2A -1|=(-2)3|A -1|=-8|A|-1=-8⨯2=-16.17. 设矩阵A 可逆, 证明其伴随阵A*也可逆, 且(A*)-1=(A -1)*.证明 由*||11A A A =-, 得A*=|A|A -1, 所以当A 可逆时, 有 |A*|=|A|n |A -1|=|A|n -1≠0,从而A*也可逆.因为A*=|A|A -1, 所以(A*)-1=|A|-1A . 又*)(||)*(||1111---==A A A A A , 所以 (A*)-1=|A|-1A =|A|-1|A|(A -1)*=(A -1)*.18. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A*, 证明:(1)若|A|=0, 则|A*|=0;(2)|A*|=|A|n -1.证明(1)用反证法证明. 假设|A*|≠0, 则有A*(A*)-1=E , 由此得A =A A*(A*)-1=|A|E(A*)-1=O ,所以A*=O , 这与|A*|≠0矛盾，故当|A|=0时, 有|A*|=0.(2)由于*||11A A A =-, 则AA*=|A|E , 取行列式得到 |A||A*|=|A|n .若|A|≠0, 则|A*|=|A|n -1;xx .. ..若|A|=0, 由(1)知|A*|=0, 此时命题也成立.因此|A*|=|A|n -1.19. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=321011330A , AB =A +2B , 求B . 解 由AB =A +2E 可得(A -2E)B =A , 故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=--321011330121011332)2(11A E A B ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=011321330. 20. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101020101A , 且AB +E =A 2+B , 求B . 解 由AB +E =A 2+B 得(A -E)B =A 2-E ,即 (A -E)B =(A -E)(A +E).因为01001010100||≠-==-E A , 所以(A -E)可逆, 从而⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=201030102E A B . 21. 设A =diag(1, -2, 1), A*BA =2BA -8E , 求B .解 由A*BA =2BA -8E 得(A*-2E)BA =-8E ,B =-8(A*-2E)-1A -1=-8[A(A*-2E)]-1=-8(AA*-2A)-1xx .. ..=-8(|A|E -2A)-1=-8(-2E -2A)-1=4(E +A)-1=4[diag(2, -1, 2)]-1)21 ,1 ,21(diag 4-= =2diag(1, -2, 1).22. 已知矩阵A 的伴随阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=8030010100100001*A , 且ABA -1=BA -1+3E , 求B .解 由|A*|=|A|3=8, 得|A|=2.由ABA -1=BA -1+3E 得AB =B +3A ,B =3(A -E)-1A =3[A(E -A -1)]-1A 11*)2(6*)21(3---=-=A E A E ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1030060600600006603001010010000161. 23. 设P -1AP =Λ, 其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ2001, 求A 11. 解 由P -1AP =Λ, 得A =P ΛP -1, 所以A 11= A=P Λ11P -1.|P|=3, ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1141*P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1141311P ,xx .. ..而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ11111120 012001, 故 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=68468327322731. 24. 设AP =P Λ, 其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111201111P , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ511, 求ϕ(A)=A 8(5E -6A +A 2).解 ϕ(Λ)=Λ8(5E -6Λ+Λ2)=diag(1,1,58)[diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)]=diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0).ϕ(A)=P ϕ(Λ)P -1*)(||1P P P Λ=ϕ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1213032220000000011112011112 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111111114. 25. 设矩阵A 、B 及A +B 都可逆, 证明A -1+B -1也可逆, 并求其逆阵. 证明 因为A -1(A +B)B -1=B -1+A -1=A -1+B -1,而A -1(A +B)B -1是三个可逆矩阵的乘积, 所以A -1(A +B)B -1可逆, 即A -1+B -1可逆. (A -1+B -1)-1=[A -1(A +B)B -1]-1=B(A +B)-1A .xx .. ..26. 计算⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛30003200121013013000120010100121. 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=10211A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=30122A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12131B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=30322B , 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A , 而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+4225303212131021211B B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=90343032301222B A , 所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=9000340042102521, 即 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛30003200121013013000120010100121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=9000340042102521. 27. 取⎪⎭⎫ ⎝⎛==-==1001D C B A , 验证|||||||| D C B A D C B A ≠. 解 41001200210100101002000021010010110100101==--=--=D C B A , 而 01111|||||||| ==D C B A , 故|||||||| D C B A D C B A ≠.xx .. ..28. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22023443O O A , 求|A 8|及A 4. 解 令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34431A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=22022A , 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21A O O A A , 故 8218⎪⎭⎫ ⎝⎛=A O O A A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8281A O O A ,1682818281810||||||||||===A A A A A . ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=464444241422025005O O A O O A A . 29. 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆, 求(1)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ;解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211C C C C O B A O , 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ⎪⎭⎫ ⎝⎛4321C C C C ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=s n E O O E BC BC AC AC 2143. 由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧====s n E BC O BC O AC E AC 2143⇒⎪⎩⎪⎨⎧====--121413B C O C O C A C , 所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛---O A B O O B A O 111.xx .. ..(2)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛B C O A .解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211D D D D B C O A , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛s n E O O E BD CD BD CD AD AD D D D D B C O A 4231214321. 由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==s n E BD CD O BD CD O AD E AD 423121⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-===----14113211B D CA B D O D A D ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11111B CA B O A BC O A . 30. 求下列矩阵的逆阵:(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2500380000120025; 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2538B , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--5221122511A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--8532253811B .于是 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----850032000052002125003800001200251111B A B A .(2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4121031200210001.xx .. ..解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=4103B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2112C , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------1111114121031200210001B CA B O A BC O A⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=411212458103161210021210001.第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1．把下列矩阵化为行最简形矩阵：(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; (2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320; (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311; (4)⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132.解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313*********2)3()2(~r r r r -+-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---020*********)2()1(32~-÷-÷r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--01003100120123~r r -⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201xx .. ..33~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100031001201323~r r +⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1000010012013121)2(~r r r r +-+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001000001(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1740343013201312)2()3(2~r r r r -+-+⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---31003100132021233~r r r r ++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031001002021~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031005010 (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311 141312323~rr r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311)5()3()4(432~-÷-÷-÷r r r ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----22100221002210034311 2423213~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000000002210032011(4) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132 242321232~rr r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110141312782~rr r r r r --+⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--410004100020201111134221)1(~r r r r r --⨯↔⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----0000041000111102020132~rr +⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000004100030110202012.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A ，求A 。

第一章 行列式 1.1 二阶、三阶行列式 一、计算下列行列式 1、22cos sin cos sin 1sin cos αααααα-=+=2、2220a abab ab b b=-= 3、4019219441105110=⋅=二、解方程1、010143=-x x x解：计算行列式得2430x x -+=，因此1,3x x ==2、100130123x x -= 解：计算行列式得3(1)023x x -=，得(1)(36)0x x --=，因此1,2x x ==1.2 n 阶行列式定义及性质 一、计算下列行列式1、2572572025057071012570349349=⋅= 2、1031002041031204314199200395100199239510012520003013006003013600130=⋅=⋅--=3、11110034212234820111120--===--4、1234540522295816106=-⋅=-⋅=---5、1234220030304004将第2、3、4列乘以-1加到第一列得82340200823419200300004-==-⋅⋅⋅=- 6、5111151111511115 将第2、3、4行全部加到第1行 888811111511151181151115111151115==⋅ 将第1行乘以-1加到第2、3、4行11110400851200400004=⋅= 二、计算下列行列式1、111111111-abac ae bd-cd de abcdef bfcf-ef -=-- 第1行加到第2、3行11102002(1)420020abcdef abcdef abcdef -==⋅-=2、00000000x y x y x y y x按第1列展开4400000000x y y x xy y x y x y x xy=⋅-=- 3、xy y x y x y x 00000000 按第4行展开4400000000x yxy xy x x y y x yxy=-⋅+=- 4、4433221100000000a b a b b a b a 按第1行展开22221331331423231423234400()()a b a b a b a b b a a a a a b b b b a a b b a b =⋅-=---14142323()()a a bb a a b b =--5、2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b ba a a a 第1列乘以-1加到第2、3、4列 2222212325212325212325212325a a a ab b b b cc c cd d d d ++++++=++++++ 第2列乘以-1加到第3、4列 222221222122021222122a ab bc cd d ++==++计算下列n 阶行列式：1、aba b a b a 00000000 按第1列展开 11000000(1)(1)0000n n n na b b a a b aba b ab++=+-=+-2、0111101111011110 将第2、3、…、n 行全部加到第1行1111111110111011(1)11011101111111n n n n n ----==-第1行乘以-1加到以下各行111110100(1)(1)(1)00100001n n n --=-=---- 3、1212121333122211111---n n n n n n范德蒙行列式 [][](1)(2)21(2)(3)2121n n n n =--⋅⋅--⋅⋅⋅⋅23223(2)(1)n n n n --=⋅⋅--4、已知62211765144334321-=，计算4241A A + 和 44434241A A A A +++.解：4142123411341343133443044110444041215671467414676111001000A A +===-==-=将上式设为1D414243441234334415671111A A A A +++=，此式设为2D ，可直接计算此行列式结果为3，也可按以下方法来做： 题目中的原行列式设为D 由行列式的性质得：121234123412342343344334433443442156715671567567112211002222111D D D +=+===则：2111()(612)322D D D =+=-+=三、解下列方程1、04321432143214321=++++x x x x 解：第1行乘以-1加到2、3、4行，得12340000000x x xx x x x+-=--将1、2、3列加到第4列得123100000000000x x x x+=将第2、3行交换，1、4行交换后得上三角形行列式，因此3(10)0x x +=，因此0x =，10x =-2、094321112=x x 解：此行列式是范德蒙行列式，得(32)(2)(3)0x x ---=因此2x =，3x =3、2323231111111111111123212512480114151141502512111x x x x x x x x x -++=解：由行列式的加法则232311111111124812480114150251211x x x x x x +=， 再相加23111112480139271x x x =，此行列式为范德蒙行列式 得(21)(31)(32)(1)(2)(3)0x x x ------= 因此1,2,3x x x ===1.4 克莱姆法则 一、解线性方程组1、1232493x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解：111123(21)(31)(32)2149D ==---=11112231349D ==-，21111234139D ==，31111221143D ==-解得11,2,22x y z =-==- 2、⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-=+-013222321321321x x x x x x x x x解：1212135111D -=-=--- 12211135011D --=-=--，21212131011D -=-=---，3122211511D --==-- 解得1231,2,1x x x ===二、求一个二次多项式),(x f 使得.2)1(,3)1(,2)0(=-==f f f解：设2012()f x a a x a x =++，0012012(0)2(1)3(1)2f a f a a a f a a a ==⎧⎪==++⎨⎪-==-+⎩，解得01221212a a a ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩ 三、已知线性方程组000x y z x y z x y z λλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩只有零解，求λ的取值范围． 解：系数行列式为32111132(1)(2)011λλλλλλλ=-+=-+≠，因此1,2λλ≠≠-四、设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=++0200z y x z y x z y x λλ有非零解，则λ应取何值？若线性方程组的右端变为2，3，2，则λ为何值时，新的线性方程组有唯一解？ 解：系数行列式为2111112(2)(1)12λλλλλλ-=--=-+ 则当1,2λλ=-=时方程组有非零解；若线性方程组的右端变为2，3，2，则当1,2λλ≠-≠时方程组有唯一解．第二章 矩阵2.1 矩阵定义及其运算 一、填空题1、设A 为三阶方阵，且4=A ，则21()2A =14. 说明：22231111()2444A A A === 2、))((22B A B A B A -+=-的充分必要条件是AB BA =.二、选择题1、设B A ,都是n 阶矩阵，则2222)(B AB A B A ++=+的充分必要条件是（ C ）.(A)A I = (B) 0=B (C) AB=BA (D)B A =2、设B A ,都是n 阶矩阵，则（ C ）. (A)B A B A +=+ (B) BA AB = (C)BA AB = (D) B A B A -=-3、设C B A ,,为n 阶矩阵，若CA AC BA AB ==,，则ABC 等于（ C ）.(A) ACB (B) CBA (C) BCA (D)CAB说明：由题意知矩阵B 与C 不能交换，因此只有（C ）正确．4、设B A ,都是n 阶对称矩阵，则下面四个结论中不正确的是（ B ）.(A) A B +也是对称矩阵 (B) AB 也是对称矩阵(C)mmB A +(m 为正整数) 也是对称矩阵 (D)TTAB BA +也是对称矩阵理由：()TTTAB B A BA AB ==≠，因此（B ）错误．三、设⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2112A ,I 为二阶单位阵，B 满足I B BA 2+=, 求B .解：由I B BA 2+=得2BA B I -=，即()2B A I I -=，两边取行列式得22B A I ⋅-=，而11211A I -==-，因此2B =． 四、1、已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=320131A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=111202B ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=311221C ，求;C B A +-C B A 23++-．结果为2591121114136-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦2、已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1231A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2103B ，求222)(,,AB BA AB B A -+．结果为160511⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 3303-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ 66242034⎡⎤⎢⎥⎣⎦3、已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=143125A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=102023B ，求B A 52-，T AB ，T BA ．结果为251421687-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ 19917--⎡⎤⎢⎥--⎣⎦ 19197--⎡⎤⎢⎥--⎣⎦4、计算()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1111,3,2A ，()1,3,2111-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=B结果为0 231231231-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦5、计算()112,3,11k⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭0k ;I =2311231231k ;-⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦10k ;>五、设),(21I B A +=证明：2A =A 当且仅当2B I =． 证：必要性，已知2A =A ，即211()()42B I B I +=+，则2222B B I B I ++=+，得2B I =． 充分性，已知2B I=，则22211111111()()44244242A B I B B I I B I B I A =+=++=++=+=，因此2A =A ．2.2 逆矩阵 一、填空题1、设A 为三阶方阵，且2=A ，则12A -= 4 ，A *=4 ，1()A *-=14． 说明：113224A A--==，3114A A A A A -*-===，11*1()4A A-*-== 2、设A 为33⨯矩阵，B 为33⨯矩阵，||1,||2,A B ==-则B A = -8 ． 说明：38B A BA ==-3、设A 为n n ⨯矩阵，则||0A ≠是A 可逆的 充分必要 条件．4、已知A A =2，且A 可逆，则A =I ． 说明：等式两边同时左乘1A -5、A 为三阶方阵，其伴随阵为*A ，已知21=A ，则1*(3)2A A --=1627-． 说明：1*1111112(3)2(3)233A A A A A A A A -------=-=-=-=二、选择题1、若由AC AB =必能推出,C B =其中C B A ,,为同阶方阵，则A 应满足条件（ B ）（A ）0≠A （B ）0≠A （C ）0=A （D ）0=A2、设B A ,均为n 阶方阵，则必有（ C ） （A ）B A B A +=+ （B ）BA AB = （C ）BA AB = （D ）111)(---+=+B A B A三、计算题1、判断下列矩阵是否可逆，若可逆，求其逆矩阵.（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321A ，可逆，1213122A --⎛⎫⎪= ⎪-⎝⎭（2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=111211120B ，可逆，113511112022A ----⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭2、解矩阵方程：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡311221434321X 解：12112313422--⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，134241121310--⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 21212412711311313219101022X -⎛⎫---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭3、利用逆矩阵，解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=++.2,122,12132321x x x x x x x解：系数矩阵为111022110A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，则111021112111A -⎛⎫- ⎪⎪ ⎪=-- ⎪⎪- ⎪ ⎪⎝⎭， 则1231110221131112221112x x x ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭四、设方阵A 满足方程0422=+-I A A ．证明：I A +和I A 3-都可逆，并求他们的逆矩阵． 证：22()(3)232477A I A I A A I A A I I I+-=--=-+-=-因此，IA +和IA 3-都可逆，且11()(3)7A I A I -+=--，11(3)()7A I A I --=-+2.3 初等变换与初等矩阵 一、填空题20092008010100001111212111001010100⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡＝111221111--⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦． 说明：由于2001010100I ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，2100001010I ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 因此20082009001111100111010212001212100111010111----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣二、选择题：1、设A 为n 阶可逆矩阵，则（ B ） （A ）若CB AB =，则C A =； （B ）A 总可以经过初等变换化为I ；（C ）()I A .对施行若干次初等变换，当A 变为I 时，I相应地变为1-A ； （D ）以上都不对． 说明：（B ）为定理，正确；（A ）少条件，若加上矩阵B 可逆，才能正确； （C ）将“初等变换”改为“初等行变换”才正确；2、设111213212223313233a a a A a a a a a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++=133312321131131211232221a a a a a a a a a a a a B ，1010100001P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1010100012P 则必有（ C ）（A ）B P AP =21 （B ）B P AP =12 （C ）B A P P =21 （D ）B A P P =12利用初等变换求矩阵的逆矩阵1、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--122212221，逆矩阵为：12212129221⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦2、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--121011322，逆矩阵为：143153164--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ 3、⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1234012300120001，逆矩阵为：100021*********1⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦4、⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000000000000121n n aa a a ，其中，.,,3,2,1,0n i a i =≠1210001000000010000000100001n na a a a -⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭将最后1行调整到第1行121000000100010000001000010nn a a a a -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭11112111000000010000000100000010n n a a a a -----⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭三、已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=300002010A ，求()1*A -解：由于*AA A I =，则()1*AAA-=，由6A =-，因此()1*010********A AA -⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭． 四、已知B A AB +=2，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=202040202B ，求矩阵1)(--I A ．解法1：由B A AB +=2得：2AB B A -=，即()2A I B A -=，此式两边同时左乘1)(--I A ，再右乘1A-，得111()2A I BA ---=（1） 再由B A AB +=2得：2AB A B-=，即(2)B I A B -=，两边同时右乘1A -，得1(2)B I BA --=，此式与（1）式结合得：10011()(2)0102100A I B I -⎛⎫⎪-=-= ⎪ ⎪⎝⎭解法2：将B A AB +=2变形得20AB B A --=，可得()20A I B A --=，两边加2I 得：()222A I B A I I --+=，即()2()2A I B A I I ---=，则1()(2)2A IB I I --=，因此10011()(2)0102100A I B I -⎛⎫⎪-=-= ⎪ ⎪⎝⎭．五、已知A BA B =-2，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=122101011A ，求矩阵B ．解：由A BA B =-2得：2AB B A +=，即(2)A I B A += 因此1(2)B A I A -=+，由1102121223A I -⎛⎫⎪+=- ⎪⎪⎝⎭，则1431(2)531641A I ---⎛⎫ ⎪+=-- ⎪⎪-⎝⎭，1962(2)10721283B A I A --⎛⎫ ⎪=+=- ⎪ ⎪--⎝⎭六、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=100001010A AP P B 1-=，P 为三阶可逆矩阵,求220082A B -．解：2010010100100100010001001001A ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪==- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则4A I =200812008111120081()()()()BP AP P AP P AP P AP P AP P IP I------=====因此，2008213221311B A I -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭2.5 矩阵的秩 一、填空题1、 在秩是r 的矩阵中，所有的1r ≥+阶子式都 为0 ．2、设A 是54⨯矩阵，()3R A =，10002300456078910B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则()R AB = 3 ．说明：可逆矩阵与其它矩阵相乘，不改变其它矩阵的秩． 3、从矩阵A 中划去一行得到矩阵B ，则(),()R A R B 的秩的关系为()()R B R A ≤．4、设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=k k k kA 111111111111, 秩3)(=A ，则=k -3 ． 说明：111111111111k k A k k=将2、3、4行加到第一行，再从第一行提出公因子3k +1111111(3)111111k k k k=+ 将第1行乘以-1加到以下各行31111010(3)(3)(1)001001k k k k k k -=+=+---，因此当1k =或3k =-时，()4R A <，但1k =时显然()1R A =，因此3k =-． 5、设⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=5202401131102121321k A , 秩3)(=A ，则=k 1 ．说明：1231123112321205600010113011301111040333000202504430k k k A ⎡⎤⎡⎤⎡⎢⎥⎢⎥⎢----⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢=→→⎢⎥⎢⎥⎢---⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢--⎣⎦⎣⎦⎣二、求下列矩阵的秩 1、100110011001312501280128113501360012A ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，()3R A =2、310211211121112111213102046504651344134404350000A ------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--→→-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ()2R A = 3、615021364013640136406150201941242235182351809798403504035001227110A ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦⎣⎦10643106430241241902412419087990015787670027111200271112--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦，()4R A =三、设1111222k A k kk-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，1）求A ；2）求秩)(A （要讨论）． 解：211111111110112222220022k k k A k kk k kkkkk ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-→-→-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦则222(1)(1)2(1)(1)A k k k k =--=+- 当1k ≠±时，()3R A =； 当1k =-时，()2R A =； 当1k =时，()1R A =．四、讨论矩阵的秩2312323211121A λλλμ-⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦． 解：2233123212323211088531210442A λλλλλμλμλλ--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--→-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---++⎣⎦⎣⎦232123208853000212λλλμλλλ-⎡⎤⎢⎥→-+⎢⎥⎢⎥---⎣⎦ 当12μ=且0λ=、1λ=、12λ=-时，()2R A =；其它情况，()3R A =．第三章 向量3.1 向量的概念及其运算 1、已知()()12=110,11TTαα=，-，0，，,()30,Tα=3，，-2求12αα-，23+3TT αα 及12332ααα+-.结果：121⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭[]915-014⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦2、已知1(3,5,7,9)α=,2(1,5,2,0)α=-,α满足1223ααα+=，求α.结果：754633⎛⎫---- ⎪⎝⎭3、设1232()3()5()αααααα-++=-，其中1(2,1,3,0)α=-，2(1,0,2,1)α=-，3(0,2,1,1)α=-，求α． 结果：741716363⎛⎫-⎪⎝⎭4、写出向量1234(1,1,0,4),(3,2,2,1),(0,4,5,1),(2,0,4,3)αααα=-=-=-=-的线性组合，其中：（1）12341,0,4,2k k k k ====- （2）12341,3,0,2k k k k =-===- 结果：1）()315122- 2）()145147--5、已知向量组1(8,3,1),(1,2,3,)T T βα=-=-，23(3,1,0),(1,1,1)T T αα=-=--问：向量β是否可以由向量123,,ααα线性表示？若可以，写出其表达式；解：设112233k k k αααβ++=即123131821133011k k k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭可得方程组：12312313382331k k k k k k k k -++=⎧⎪--=⎨⎪-=-⎩，用克拉默法则可得：1312111301D -=--=--，183131119101D =--=--，218123115311D -=-=--- 313821356301D -=-=- 123191556k k k =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩ 则向量β可以由向量123,,ααα线性表示，123191556αααβ-+-=．3.2 线性相关与线性无关1、判断向量组的线性相关性，并说明原因.1）2104,30010αβγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，线性相关．包含零向量的向量组都是线性相关的．2）214,031αβ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭线性无关．两个向量线性无关的充要条件是对应分量不成比例．3）2111,1,1112αβγ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭21111190112--=-≠-，因此向量组线性无关．4）2134,4,0312αβγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性相关．αβγ+=5）10221,1,1,10133αβγη-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性相关．向量个数大于向量维数，必线性相关． 2、填空题 1） 设向量组12(1,2,1),(1,0,2),TTαα==3(1,8,)Tk α=--线性相关，则k = 2说明：12110242018k k=-=--，则2k = 2） 设向量组12(,0,),(,,0),a c b c αα==3(0,,)a b α=线性无关，则,,a b c 必满足关系式0abc ≠说明：00200a cbc abc a b=≠ 3） 若n 维单位向量组12,,,n εεε可由向量组12,,,r ααα线性表示，则r ≥n说明：书72页推论1 3、选择题 1）向量组12,,,n ααα线性无关的充要条件是（C ）()A 向量组12,,,n ααα中必有两个向量的分量对应不成比例()B 向量组12,,,n ααα中不含零向量()C 向量组12,,,n ααα中任意一个向量都不能由其余的1n -个向量线性表示()D 存在全为零的数12,,,n k k k ，使得1122,n n k k k αααθ+++=2）设()11221,0,0,,(1,2,0,),αλαλ==3344(1,2,3,),(2,1,5,)αλαλ=-=-其中1234,,,λλλλ是任意实数，则（C ）()A 向量组123,,ααα总线性相关 ()B 向量组1234,,,αααα总线性相关 ()C 向量组123,,ααα总线性无关 ()D 向量组1234,,,αααα总线性无关4、已知向量组123,,ααα线性无关，证明： (1)112123,αααααα+++，线性无关证明：设112123123()()0k k k αααααα+++++= 即123123233()()0k k k k k k ααα+++++=，由123,,ααα线性无关得123233000k k k k k k ++=⎧⎪+=⎨⎪=⎩，即12300k k k =⎧⎪=⎨⎪=⎩，因此112123,αααααα+++，线性无关．(2)122331,αααααα---，线性相关证法1：设112223331()()()0k k k αααααα-+-+-=即131212323()()()0k k k k k k ααα-+-+-=，由123,,ααα线性无关得132132000k k k k k k -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，当1230k k k ==≠时方程组成立，因此122331,αααααα---，线性相关．证法2：由122331()()()0αααααα-+-+-=，得122331,αααααα---，线性相关．5、已知1(1,2,3),T α=2(1,1,4),T α=-3(3,3,2)T α=-，(4,5,5)T β=，问：向量β能否由向量组123,,ααα唯一线性表示？解：设123113421353425k k k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即方程组123123123342353425k k k k k k k k k -+=⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩ 系数行列式12D =-，136D =-，212D =，30D =因此β可由向量组123,,ααα唯一线性表示，123βαα=-．3.3 向量组的秩 1、填空题（1）若1234(,,,)4R αααα=，则向量组123,,ααα是线性 无关说明：由1234(,,,)4R αααα=知1234,,,αααα线性无关，线性无关的向量组减少向量个数还是线性无关． （2）设向量组()I 的秩为1r ，向量组()II 的秩为2r ，且()()I II ≅，则1r 与2r 的关系为12r r = 2、选择题（1）若向量组12,,,r ααα是向量组12,,,,,r n αααα的极大线性无关组，则论断不正确．．．的是（ B ）()A n α可由12,,,r ααα线性表示 ()B 1α可由12,,,r r n ααα++线性表示()C 1α可由12,,,r ααα线性表示()D n α可由12,,,r r n ααα++线性表示（2）设n 维向量组12,,,s ααα的秩()r s <，则（ B ）()A 向量组12,,,s ααα线性无关 ()B 向量组12,,,s ααα线性相关()C 存在一个向量()1i i r α≤≤可以由其余向量线性表示()D 任一向量都不能由其余向量线性表示（3）若12,,,r i i i ααα和12,,,t j j j ααα都是向量组12,,,n ααα的极大线性无关组，则（C ）()A r n = ()B t n = ()C r t = ()D r t ≠3、求下列向量组的秩（必须有解题过程） （1）123(1,1,0),(0,2,0),(0,0,3)ααα===解：由110206003=，得向量组的秩为3． （2）12(1,1,1),(,1,1),T T a αα==23(1,,)T a a α= （要讨论） 解：222111111110110111101100a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→--→-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭当0a ≠，1a ≠时秩为3； 当0a =时秩为2； 当1a =时秩为1；4、利用矩阵的初等变换求下列向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用此极大线性无关组线性表示． （1）12(1,2,1,3),(4,1,5,6),αα==---3(1,3,4,7)α=---解：1411014114152130950101915409500000367018100000⎛⎛⎫ ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎪ ⎪→→→ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪⎪ ⎪ ⎪---- ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝12,αα为极大线性无关组，且31211599ααα=-+． （2）12(1,1,2,4),(0,3,1,2)αα=-=,34(3,0,7,14),(1,2,2,0)αα==-,5(2,1,5,10)α=解：103121031210313021033130112172501101000421401002242000⎛⎫⎛⎫⎛ ⎪⎪--- ⎪ ⎪ →→ ⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝10302011010001000000⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭124,,ααα为极大线性无关组，3123ααα=+，5122ααα=+5、已知向量组1234(1,2,1,3),(2,3,0,1),(3,5,1,1),(2,4,4,),T T T T k αααα=-===-的秩为3， 1）求k2）求向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用此极大线性无关组线性表示． 解：（1）12321232123223540110011010140242001131105860036k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭123201100011009k ⎛⎫⎪⎪→ ⎪- ⎪-⎝⎭，9k =（2）123210121003011001100101001100110011000000000000⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭123,,ααα为极大线性无关组，41233αααα=+-．6、设n 维单位向量12,,,n εεε可由n 维向量组12,,,n ααα线性表出，证明向量组12,,,n ααα线性无关．证明：由n 维单位向量12,,,n εεε可由n 维向量组12,,,n ααα线性表出，且n 维单位向量12,,,n ααα可由n 维向量组12,,,n εεε线性表出，因此这两个向量组等价，由12,,,n εεε的秩为n ，因此12,,,n ααα的秩为n ，因此12,,,n ααα线性无关．7、设()123,,3R ααα=，11223βαα=+，2234βαα=+，3135βαα=+，证明：123,,βββ线性无关． 证明：设1122330k k k βββ++=，即112223313(23)(4)(5)0k k k αααααα+++++=则131122233(2)(3)(45)0k k k k k k ααα+++++=由()123,,3R ααα=得：1312232030450k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，系数行列式201310220045=≠因此123,,βββ线性无关．8、设123(),,;I ααα1234(),,,II αααα1235(),,,III αααα，若各向量组的秩分别为： ()()3R I R II ==，()4R III =，证明：向量组12354,,,ααααα-的秩为4．证明：反证法，假设向量组12354,,,ααααα-的秩小于4， 由()3R I =知，123,,ααα线性无关，根据书69页定理5知：54αα-可由123,,ααα线性表示， 设为54112233k k k ααααα-=++，即51122334k k k ααααα=+++ （1）再由()3R II =，得1234,,,αααα线性相关，再由刚才定理知：4α可由123,,ααα线性表示，设为4112233αλαλαλα=++，代入（1）得：51122331122331112()(k k k k k ααααλαλαλαλα=+++++=++因此5α可由123,,ααα线性表示，则1235(),,,III αααα线性相关，与()4R III =矛盾．因此向量组12354,,,ααααα-的秩为4．3.4 向量空间 1、设111{(,,)|0}T n i n V x x x R x x =∀++=∈且211{(,,)|1}T n i n V x x x R x x =∀++∈且=问12V V ，是不是向量空间，为什么？解：1V 是向量空间，2V 不是向量空间．（大家自己证明） 2、向量(2,1,0)-在基)0,1,1(，(1,0,1)，)1,1,0(下的坐标是133,,222⎛⎫-- ⎪⎝⎭．说明：设方程123110*********k k k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解之即可．3、略4、试证：由12(0,1,1),(1,0,1),αα==3(1,1,0)α=生成的向量空间就是3R ，并求3R 的一组标准正交基．证：由0111010110≠，则12(0,1,1),(1,0,1),αα==3(1,1,0)α=线性无关，3R β∀∈，则123,,,αααβ为四个三维向量，必线性相关，且β可由123,,ααα线性表示，因此，123,,ααα所生成的向量空间为3R ． 由施密特正交化法：11011βα⎛⎫ ⎪== ⎪⎪⎝⎭，1222111110(,)1101(,)221112βαβαβββ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭13233312112221310(,)(,)111211(,)(,)2323011223βαβαβαββββββ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪=--=---=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭单位化得：10γ⎛⎫⎪ ⎪=，2γ⎛⎫ ⎪ ⎪ = ⎪ ⎪⎝⎭，2γ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎝，为3R 空间的一个标准正交基．第四章 线性方程组 1、填空题1）线性方程组b AX =无解，且()3R A =， 则()(,)R A b 应满足 ＝4 ；线性方程组b AX =有解，且()3R A =，则()(,)R A b 应满足 ＝32）设A 是方阵，线性方程组X AX =有非零解的充要条件是0A I -=．说明：由X AX =，得()0A I X -=3）设n 元线性方程组θ=AX 有解，若()2R A n =-，则θ=AX 的解空间维数为 2 ． 说明：解空间的维数+()R A 结果为n ．4）设b AX =为四元非齐次线性方程组，()3R A =，123,,ααα是b AX =的三个非零解向量，()121,2,0,4,Tαα+=()321,0,0,1Tαα-=，则b AX =的通解为1(1,0,0,1)(,1,0,2)2TT k +．说明：由4-3＝1知该方程组对应的齐次线性方程组0AX =的基础解系中应包括一个向量，而()321,0,0,1Tαα-=是0AX =的一个解，因此齐次线性方程组的通解为32()k αα-，再由1A b α=，2A b α=，以上二式相加除以2知，122αα+是b AX =的一个特解，因此bAX =的通解为1232()2k αααα+-+1(1,0,0,1)(,1,0,2)2T T k =+5）若η既是非齐次线性方程组b AX =的解，又是3202X λ⎛⎫= ⎪⎝⎭的解，则λ=43． 说明：由η是非齐次线性方程组b AX =的解，可知η为非零向量，因此3202X λ⎛⎫=⎪⎝⎭有非零解，则其系数行列式必为0，推出λ=43． 2、选择题1）若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++0200321321321x x x x kx x x x kx 仅有零解，则（C ）()A 14-==k k 或 ()B 14=-=k k 或()C 14-≠≠k k 且 ()D 14≠-≠k k 且2）线性方程组m n A X b ⨯=有唯一解的条件是（B ）()A m n =()B ()(,)R A R A b n ==()C AX θ=只有零解 ()D ()A 、()B 、()C 都不对3）若方程组AX θ=中，方程的个数少于未知量的个数，则（B ）()A AX θ= 一定无解 ()B AX θ=必有非零解 ()C AX θ=仅有零解 ()D AX θ=的解不能确定3、求下列齐次线性方程组的基础解系 1）123123030x x x x x x ++=⎧⎨-+=⎩解：111111111113022011⎛⎫⎛⎫⎛⎫→→ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭方程组化为：123230x x x x x ++=⎧⎨-=⎩，设31x =，解得21x =，12x =-，基础解系为：211-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭2）12341234234030x x x x x x x x +-+=⎧⎨++-=⎩解：1234123413110145--⎛⎫⎛⎫→⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 方程组化为12342342340450x x x x x x x +-+=⎧⎨+-=⎩令341,0x x ==，解得：1211,4x x ==-，令340,1x x ==，解得：1214,5x x =-=，基础解系为：11410⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，14501-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭4、求方程组1234123423451x x x x x x x x +++=⎧⎨-++=⎩ 的特解．解：12345123451111103234⎛⎫⎛⎫→ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭方程组化为123423423453234x x x x x x x +++=⎧⎨---=-⎩，令240x x ==，得312,1x x ==-，因此方程组的一个特解为：1020-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭． 5、求下列线性方程组的通解1）1231231232026162x x x x x x x x x +-=⎧⎪+-=-⎨⎪--=-⎩解：112011201120216101210121116202420000---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--→---→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭方程组化为：123232021x x x x x +-=⎧⎨+=⎩，设3x k =，得212x k =-，121241x k k k =-+=-，通解为：141201k -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2）123412341234243231424x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪-++=⎨⎪-+-=⎩解：1214312143122311107375063412140961780--⎛⎫⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ -→---→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ------⎝⎭⎝⎭⎝121430737500155611-⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪--⎝⎭方程组化为：1234234342437375155611x x x x x x x x x +-+=⎧⎪-+=⎨⎪-=-⎩选4x 为自由未知量并令14=x ，(注意此处特解的取法)解得0,1,3123===x x x ，于是该方程组的一个特解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1310η其导出组的同解方程组为⎪⎩⎪⎨⎧=-=-+-=+-+056150737042434324321x x x x x x x x x ， 选4x 为自由未知量并令14=x ，解得1522,53,1556123-===x x x ，于是导出组的一个基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=11556531522δ方程组通解为：221503153561151k ⎛⎫- ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭（3）四元线性方程组122410x x x x +=⎧⎨-=⎩解：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=010*******B由 42)()(<==B R A R 知原方程组有无穷多组解．先求原方程组一个特解，选43,x x 为自由未知量并令0,043==x x ，得1,012==x x ，于是该方程组的一个特解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0001η在其导出组中选43,x x 为自由未知量并令,0143⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x 得，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0021x x 令 ,1043⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛x x 得⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1121x x ，于是导出组的一个基础解系为,01001⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=δ,10112⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=δ故原方程组的通解为ηδδ++=2211k k x ，其中21,k k 为任意常数． 6、综合题（1） 已知三元非齐次线性方程组AX b =有特解T )2,0,1(1=η，T )1,2,1(2--=η，T )0,0,1(3=η，()1R A =，求方程组AX b =的通解.解：因为b AX =为三元方程组而1)(=A R ，所以0=AX 的基础解系中含有两个解向量，由解的性质，()()200,1223121=--=-ηηηη均是0=AX 的解，显然它们线性无关，可以构成0=AX 的一个基础解系． 由解的结构知bAX =的通解为()()1312211ηηηηη+-+-=k k x ，其中21,k k 为任意常数 即12201200322x k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．（2）λ取何值时，齐次线性方程组2123123123000x x x x x x x x x λλλλ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解？并求出一般解．解：因为所给方程组是含三个方程三个未知量的齐次方程组，故可以利用克拉默法则，当系数行列式为0时方程组有非零解．由0111112=λλλλ可得1=λ，所以当1=λ时原方程组有非零解．当1=λ时，原方程组变为0321=++x x x ，选32,x x 为自由未知量并令并令,0132⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛x x 得，11-=x ， ,1032⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x 得11-=x 于是方程组的一个基础解系为,0111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=δ,1012⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=δ通解为 2211δδk k x +=，其中21,k k 为任意常数． （3）λ取何值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=--+-=---0)3(14202)8(023)2(321321321x x x x x x x x x λλλ 有非零解？并求出其通解．解：因为所给方程组是含三个方程三个未知量的齐次方程组，故可以利用克拉默法则，当系数行列式为0时方程组有非零解．由()()01331422812322=--=+------λλλλλ 可得1=λ或3=λ时原方程组有非零解． 当1=λ时，原方程组系数矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------0000402314142271231，选3x 为自由未知量，取13=x ，得，,0221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x 方程组的一个基础解系为,102⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=δ通解为 201x k -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中k 为任意常数．当3=λ时，原方程组系数矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----0001202312404802316142251231，选3x 为自由未知量，取23=x ，得，,1121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛x x 方程组的一个基础解系为,211⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=δ通解为 112x k ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，其中k 为任意常数．（4）讨论当k取何值时方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++-=+++23213213212)3(k kx x x k x kx x x x k kx 无解？有唯一解？有无穷多解？在有无穷多解的情况下求出其通解． 解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=322222130110111111213k k k k kk kkk kk k k k B()()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----+--→2131413100)2(1301122322k k k k k k kk 当 )()(B R A R ≠，即()()()()⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--021310413122k k k k ，2-=k 时，原方程组无解．当 3)()(==B R A R ，即()()041312≠--k k ，2,2,1-≠k 时，原方程组有唯一解．当32)()(<==B R A R ，即()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=--=--021310413122k k k k ，1=k 或者2=k 时，原方程组有无穷多解．当1=k 时，原方程组中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=000030301111B ，选3x 为自由未知量，在对应的⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000000300111'B 中令13=x 得 ,0121⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x 导出组的一个基础解系,101⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=δ 在⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=000030301111B 中令13=x 得,1121⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x 一个特解,111⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=η 于是方程组的通解为 ηδ+=k x ，其中k 为任意常数．当2=k 时，原方程组中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=0000103304211B ，选3x 为自由未知量，在对应的⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=000003300211'B 中令13=x 得 ,1321⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x 导出组的一个基础解系,113⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=δ在⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=0000103304211B 中令03=x 得,31032221⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x 一个特解,0310322⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=η 于是方程组的通解为 ηδ+=k x ，其中k 为任意常数．（5）已知线性方程组1231231234339ax x x x bx x x bx x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩问方程组何时无解？何时有唯一解？何时有无穷多解？在有无穷多解的情况下求出其通解． 解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a ab b b a a ab b b b b a B 341103003113411060203119131311411⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→b b ab a b a b b430041103114110300311当 )()(B R A R ≠，即⎩⎨⎧≠-=-0430b b ab ，0=b 或43,1≠=b a 时，原方程组无解．当 3)()(==B R A R ，即0≠-b ab ，0,1≠≠b a 时，原方程组有唯一解．当 32)()(<==B R A R ，即⎩⎨⎧=-=-0430b b ab ，1=a 且43=b 时，原方程组有无穷多解． 当1=a 且43=b 时，原方程组中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0000401031431B ，选3x 为自由未知量，在对应的⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0000001001431'B 中令13=x 得,0121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x 导出组的一个基础解系,101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=δ在⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0000401031431B 中令03=x 得 ,4021⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x 一个特解,040⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=η 于是方程组的通解为 ηδ+=k x ，其中k 为任意常数． （6）若123,,x x x 是方程组Ax =θ的基础解系，证明：1323122,2,2x x x x x x +++也是该方程组Ax =θ的基础解系．证明：由于()000223131=+=+=+Ax Ax x x A ，同理可以验证21322,2x x x x ++也是0=Ax 的解，由题设知0=Ax 的一个基础解系中含3个解向量，下面只需证明,231x x +21322,2x x x x ++是线性无关的．设()()()0222213322311=+++++x x k x x k x x k 整理得()()()0222321232131=+++++x k k x k k x k k由于123,,x x x 线性无关，故有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+022020213231k k k k k k又系数行列式03011210101≠-==D ，故0321===k k k从而,231x x +21322,2x x x x ++线性无关，是方程组0=Ax 的一个基础解系．（7）设方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++3432124321143217438234bx x x x b x x x x b x x x x 证明：此方程组对任意实数321,,b b b 都有解，并且求它的一切解． 证明：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3132332144210342101111111171438234b b b b b b b b B⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+---→32132378400342101111b b b b b b 由于 43)()(<==B R A R ，故对任意实数321,,b b b 原方程组都有解．对⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+---→32132378400342101111b b b b b b B ，选4x 为自由未知量，在对应的⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→084000421001111'B 中令14=x 得 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛203321x x x ，导出组的一个基础解系为,1203⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=δ在⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+---→32132378400342101111b b b b b b B 中令04=x 得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛472453213123321321b b b b b b b b b x x x ，原方程组的一个特解,0472453213123321⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+--=b b b b b b b b b η 于是方程组的通解为 ηδ+=k x ，其中k 为任意常数．（8）设12ηη与是m n A X b ⨯=（0b ≠）的两个不同的解，AX ξθ=是的一个非零解，证明：若()1R A n =-，则向量组12,,ξηη线性相关．证明：因为1)(-=n A R ，所以0=AX 的基础解系中只含有一个解向量．由解的性质，21ηη-是0=AX 的非零解，又题设中ξ是0=AX 的非零解，显然它们线性相关，即存在不全为零的数21,k k 满足()02211=+-ξηηk k ，整理得022111=+-ξηηk k k ， 从而向量组12,,ξηη线性相关．。

线性代数作业1 单项选择题第1题答案：C第2题答案：A第3题答案：C第4题若A为方阵，则A+A T为___。

A、对称矩阵B、反对称矩阵答案：A第5题若A为方阵，则A-A T为___。

A、对称矩阵B、反对称矩阵答案：B第6题若A为m×n方阵，则AA T为___。

A、对称矩阵B、反对称矩阵答案：A第7题若A为m×n方阵，则A T A为___。

A、对称矩阵B、反对称矩阵答案：A第8题设方阵A经若干次初等变换变成方阵B，则必成立___。

A、det(A)=det(B)B、det(A)≠det(B)C、若det(A)>0，则det(B)>0D、若det(A)=0，则det(B)=0答案：D第9题答案：C 第10题答案：A 第11题答案：D第12题 det(A+B)___det(A)+det(B)。

A、相等B、不相等答案：B第13题设n阶方阵A、B、C满足ABC=E，则___。

A、ACB=EB、BAC=EC、CAB=ED、CBA=E答案：C第14题答案：B第15题设n阶方阵A满足A2-A-2E=0，则必有___。

A、A=2EB、A=-EC、当A≠-E时，A-2E必可逆D、A-E可逆答案：D第16题答案：A第17题设A、B、C均为n阶方阵，且AB=E，BC=2E，则(A-C)2B=___。

A、C/2B、A/2C、2AD、2C答案：A第18题答案：A第19题答案：A 第20题答案：B。