高考数学(理科)人教版二轮复习课件：专题四 导数及其应用第1讲导数的几何意义、利用导数研究函数的性质

目录

4.1 导数的概念及运算..................................................................................................................... 1

4.2 导数的几何意义 ....................................................................................................................... 14

4.1 导数的概念及运算

【知识点一】

一、导数的基本概念

1．函数的平均变化率：

2．函数的瞬时变化率、函数的导数：

3．设函数的图象如图所示．为过点与的一条割线．由此割线的斜率是，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点沿曲线趋近于点时，割线绕点转动，它的最终位置为直线，这条直线叫做此曲线过点的切线，即切线的斜率．

由导数意义可知，曲线过点的切线的斜率等于． ()yfxAB00(,())Axfx00(,())Bxxfxx00()()fxxfxyxxBAABAADADA000()()limxfxxfxxAD()yfx00(,())xfx0()fx二：导数公式

，为正整数

(0,)Q ，为有理数

注：，称为的自然对数，其底为，是一个和一样重要的无理数．

注意． ()yfx()yfxyc0ynyx()nN1nynxnyx1yxxya(0,1)aalnxyaalogayx(0,1,0)aax1lnyxasinyxcosyxcosyxsinyxlnlogeaaaeeπ2.7182818284e()xxee【典型例题】

考点一： 导数的基本概念

第一节：导数的概念与几何意义

课时1.导数的概念

一．知识梳理

1.平均变化率

一般地，函数fx在区间12,xx上的平均变化率为：2121()()fxfxxx,如果函数的自变量的“增量”为x，且21xxx，相应的函数值的“增量”为y，21()()yfxfx，则函数()fx从1x到2x的平均变化率为2121()()fxfxyxxx

函数的平均变化率可正可负，平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势．即递增或递减幅度的大小．

2. 导数的概念（瞬时变化率）

（1）函数()fx在0xx处瞬时变化率是0000limlimxxfxxfxyxx，我们称它为函数yfx在0xx处的导数，记作0fx或0|xxy，00000limlimxxfxxfxyfxxx＝

导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率．

（2）求导数值的一般步骤：

①求函数的增量：00()()yfxxfx；

②求平均变化率：00()()fxxfxyxx；

③求极限，得导数：00000()()'()limlimxxfxxfxyfxxx．

二．典例分析

例1．函数31fxx在区间1,2上的平均变化率为（ ）

A．3 B．2 C．2 D．3

【解析】由题，函数31fxx在区间1,2上的平均变化率为332111213213ff，故选：D

例2．某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数21sttt表示，则该物体在1ts时的瞬时速度为（ ） A．0m/s B．1m/s C．2m/s D．3m/s

55 第9讲 导数定义及其几何意义

【知识导图】

知识点1 导数及导数运算

1．导数与导函数的概念

(1)一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是lim

Δx→0 Δy

Δx＝limΔx→0 00()()fxxfx

x+−

，我们称它为函数y

＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|

0xx＝，即f′(x0)＝lim

Δx→0 Δy

Δx＝limΔx→0 00()()fxxfx

x+−

.

(2)如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数

称为函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的导函数．记作f′(x)或y′.

2．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数

f(x

)＝c(c为常数) f′(x)＝0

f(x)＝xα(α∈Q*) f′(x)＝αxα－1

f(x)＝sin x f′(x)＝cos x

f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x

f(x)＝ex f′(x)＝ex

f(x)＝ax(a>0，a≠1) f′(x)＝axln a

f(x)＝ln x f′(x)＝1

x

f(x)＝logax(a>0，a≠1) f′(x)＝1

xln a

3.导数的运算法则

若f′(x)，g′(x)存在，则有

56 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；

(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

(3)

f(x)

g(x)′＝f′(x)g(x)－f(x)g′(x)

[g(x)]2(g(x)≠0)．

例题1.1 求下列函数的导数：

(1)y＝ln x＋1x；(2)f(x)＝sin x2

1－2cos2x4；(3)y＝3xex－2x＋e.

答案 (1) y′＝1x－1

x2，(2) f′(x)＝－12cos x，(3) y′＝(ln 3＋1)·(3e)x－2xln 2

解析 (1)y′＝

- 1 - 高考数学之导数几何意义

一.知识点睛

导数的几何意义：函数y=f（x）在点x=x0 处的导数f’（x0）的几何意义是曲线在点x=x0 处切线的斜率。

二.方法点拨

1.求切线

①若点是切点 ：(1)切点横坐标x0 代入曲线方程求出 y0 (2)求出导数f′(x)，把x0代入导数求得函数y＝f(x)在点x=x0处的导数f′(x0)(3)根据直线点斜式方程，得切线方程：y－y0＝f′(x0)(x－x0)．

②点（x0，y0）不是切点求切线：（1）设曲线上的切点为(x1，y1)； (2)根据切点写出切线方程y－y1＝f′(x1)(x－x1) (3)利用点（x0，y0）在切线上求出（x1，y1）； (4)把（x1，y1）代入切线方程求得切线。

2.求参数，需要根据切线斜率，切线方程，切点的关系列方程：①切线斜率k=f′(x0) ②切点在曲线上③切点在切线上

三．常考题型

(1)求切线 (2)求切点 (3)求参数 ⑷求曲线上的点到直线的最大距离或最小距离 (5)利用切线放缩法证不等式

四．跟踪练习

1.（2016全国卷Ⅲ）已知f(x)为偶函数，当x＜0时，f(x)=f（-x）+3x，则曲线y=f（x）在点（1，-3）处的切线方程是 - 2 - 2.（2014新课标全国Ⅱ）设曲线y=ax-ln（x+1）在点（0,0）处的切线方程为y=2x，则a= A. 0 B.1

C.2 D.3

3.（2016全国卷Ⅱ）若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+1）的切线，则b=

4.（2014江西）若曲线y=e-x 上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P的坐标是

5.（2014江苏）在平面直角坐标系中，若曲线y=ax2+xb（a，b为常数）过点P（2，-5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b=