2015-4-22 2.5指数与指数函数(2)换元及综合性质(奇偶,单调)

一对一授课教案

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教学主题 指数对数函数、函数的奇偶性、函数的单调性

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一、指数与对数函数:

1、指数的运算法则：

指数函数 01

图象 on

\ 4 3

: V 1

-2 -j ]]2 3 4

I

-a

a -<1 □ 1 2 1 <

§

表认式

x y a

定义域 R

值域 (0,)

过定点 (0,1)

(1) s r s

a a a ； r s

(2) a rs a ；

(4) m

n n m

a wa ； m

(5)a n 1

r r r

(3) ab a b ；

n n (6) Va

\ a

2.指数函数的图像与性质： a, n奇

| a |, n 偶 n m

4、对数函数的图像与性质

对数函数 01

图象

L

4

3

T -3 -2 -I □七 W 3

<

己7

-1 % -4. - 3 ¥ -1

■3

■4

表认式 x

y logax

定义域 (0,)

值域 R

过定点 (1, 0)

单调性 单调递减 单调递增

log a a 1 ； logal 0 ; ln e 1 ； lnl 0 ； lg10 1 ； lg1 0(1) 互化: ab N b loga

(2) 恒等: alog a N N

(3) 换底： log a b log c

log c a

1

log b a 推论 2 log a b ? log b c log a c

(4) log MN log a M log log a log a M log a N

(5)log n log a M 推论3 log am bn n . — log m b (m 0) 3、对数函数的运算法则

b 推论i log a

10. 若log m9

(A) m>n>1 (B) n>m>1 (C) 0

第三章 基本初等函数（I）

3.1 指数与指数函数

1.󰀁实数指数幂及其运算

（1）整数指数

在初中，我们研究了正整数指数幂：一个数a的n次幂等于n个a的连乘积，即

nnaaaa个…。

正整数指数幂的运算法则有4条：①am·an=am+n；②am÷an=am-n（a≠0，m＞n）；③(am)n=amn；

④(ab)n=an·bn。

为了保证这些法则可以从定义直接推出，我们限定m、n都是正整数，且法则②中限定m＞n。

为了取消m＞n的限制，我们定义了零指数幂和负数指数幂：a0=1（a≠0）；a-n=1na（n

∈N*，a≠0）。

在引入了负整数指数幂后，法则②可归入法则①。同时，指数的范围也从正整数扩大

1到了整数。 注意：由于零指数和负整数指数幂都要求底数不等于零，因而，对于整数指数幂而言，

也要求底数不等于零，主要是为了对性质的合理推广。

（2）分数指数幂①根式

n次方根的定义：n次方根的定义是平方根、立方根定义的推广，根式记号是平方根、

立方根记号的推广。对比平方根、立方根概念，不难知道：a.在实数范围内，正数的奇次方根是一个负数，零的奇次方根是零，设a∈R，n是大于1的奇数，则a的n次方根是na；

b.在实数范围内，正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，零的偶次方根是零，

负数的偶次方根没有意义，设a≥0，n是大于1的偶数，则a的n次方根是±na。开方与乘方：求a的n次方根的运算称为开方运算，开方运算与乘方运算是互逆的运算，不要与乘方运算相混。对于根式记号na，要注意以下几点：a.n∈N且n＞1；b.当n

为大于1的奇数时，na对任意a∈R都有意义，它表示a在实数范围内唯一的一个n次方

根，(na)n=a；c.当n为大于1的偶数时，na只有当a≥0时有意义，当a＜0时无意义，

na（a≥0）表示a在实数范围内的一个n次方根，另一个是-na，(±na)n=a；d.式子

nna对任意a∈R都有意义，当n为奇数时，nna=a，当n为偶数时，nna=|a|=(0)(0)aaaa＜。

1 指数与指数函数

一、知识概述

学习了指数与指数函数，讲到了根式的概念，n次方根的基本性质.然后又学习了指数幂，规定了分数指数幂的意义以及基本运算性质，并且要简单了解无理指数幂. 在指数函数性质的学习中，要区分当底数在（0，1）和两种不同的情况时其函数值的变化，还利用了信息技术作出函数图象，并利用图象归纳函数基本性质.

二、重难点知识归纳

1．幂的概念的推广，对于指数式来说，当指数x取各种不同的有理数时，式子的定义如下（m，n∈N，n>1）；

（1）正整数指数幂

（2）零指数幂：（a≠0）；

（3）负整数指数幂：

（4）分数指数幂：

（5）无理指数幂：

2．实数的指数幂的运算性质（其中a>0，b>0，m、n为实数）；

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

3．根式

(1)定义若（，n>1），则称x为a的n次方根(n throot)．

当n=2，n=3时，上述定义就是我们在初中学过的平方根、立方根．

若n为奇数，用符号表示a的n次方根，这时．

若n为偶数，则要求a≥0，用符号表示a的n次方根． 2 (2)性质

①

②

③（n为大于1的奇数）

④（n是不等于零的偶数）

4.指数函数定义

一般地，函数叫做指数函数(exponential function)，其中x是自变量．函数的定义域是R，指数函数的值域是．

5．指数函数的图象和性质

一般地，指数函数在底数a>1及0

a>1 0

图象

性质 （1）定义域：R

（2）值域：（0，+∞）

（3）过点（0，1），即x=0时,y=1

（4）在R上是增函数 （4）在R上是减函数

6.利用函数单调性比较两实数大小，首先要通过观察分析，构造出适当的函数来，对于幂形数，若同指数不同底数，则考虑幂函数，若同底数不同指数，则考虑指数函数；其次比较大小时不仅要注意函数的单调性，还要注意幂形数比大小的两数是否都在同一函数的同一单调区间内，否则无法比较大小．

第六篇 指数与指数函数

考纲传真

1.考查指数函数的求值、指数函数的图象和性质

2.讨论与指数函数有关的复合函数的性质

3.将指数函数与对数函数、抽象函数相结合，综合考查指数函数知识的应用

复习建议

1.重视指数的运算，熟练的运算能力是高考得分的保证

2.掌握两种情况下指数函数的图象和性质，在解题中要善于分析，灵活使用

3.对有关的复合函数要搞清函数的结构

考点梳理

1．指数幂的概念

(1)根式

如果一个数的n次方等于a(n>1且n∈N*)，那么这个数叫做a的n次方根．也就是，若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n>1且n∈N*.式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．

(2)根式的性质

①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号na表示．

②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号－na表示．正负两个n次方根可以合写成±na (a>0)．

③(na)n＝a.

④当n为偶数时，nan＝|a|＝ a， a≥0，－a，a<0.

⑤当n为奇数时，nan＝a.

⑥负数没有偶次方根．

⑦零的任何次方根都是零．

2．有理指数幂

(1)分数指数幂的表示

①正数的正分数指数幂：mna＝nam (a>0，m，n∈N*，n>1)．

②正数的负分数指数幂：mna＝nma1＝1nam (a>0，m，n∈N*，n>1)．

③0的正分数指数幂是0，0的负分数指数幂无意义．

(2)有理指数幂的运算性质

①aras＝ar＋s (a>0，r，s∈Q)．

②(ar)s＝ars (a>0，r，s∈Q)．

③(ab)r＝arbr (a>0，b>0，r∈Q)．

3．指数函数的图象与性质

一般地，函数0,xyaa且1a叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.

指数函数有关的主要知识如下表： 0,xyaa且1a a>1 0