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高一数学必修1函数与方程

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函数与方程

一、 方程的根与函数的零点

1. 函数零点：对于函数))((Dxxfy，把使________成立的实数x叫做函数))((Dxxfy的_________

2. 函数零点的意义：：函数)(xfy的零点就是方程________，亦即函数)(xfy的图象与___________.

3. 零点存在性定理：如果函数)(xfy在区间],[ba上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_____________，那么函数)(xfy在区间),(ba内有零点,既存在),(bac，使得____________，这个c也就是方程的根.

二、方程零点的求法

1.代数法：令0)(xf，求出)(xf的实数根；

2.几何法（交点法）：)(xf变为)()()(21xfxfxf，令0)(xf，则)()(21xfxf，

分别画出)(1xf，)(2xf的图像，求出交点.

3.二分法：

概念: 对于在区间a[，]b上连续不断，且满足)(af·)(bf0的函数)(xfy，通过

不断地把函数)(xf的零点所在的区间________，使区间的两个端点逐步逼近零点，

进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

方法、步骤：（1）确定区间a[，]b，验证)(af·)(bf0，给定精度；

（2）求区间a(，)b的中点1x；

（3）计算)(1xf：①若)(1xf=0，则1x就是函数的零点；

②若)(af·)(1xf<0，则令b=1x（此时零点),(10xax）；

③若)(1xf·)(bf<0，则令a=1x（此时零点),(10bxx）；

（4）判断是否达到精度，即若||ba，则得到零点零点值a

（或b）；否则重复步骤2~4.

一：函数零点的判断

1.函数f(x)= – x3 – 3x + 5的零点所在的大致区间为（ ）

A.( – 2 ，0) B. (1，2) C. (0，1)

D. (0，0.5)

2.设函数1()ln(0),3fxxxx则()yfx（ ）

A在区间1(,1),(1,)ee内均有零点 B..在区间1(,1)e内无零点，在区间(1,)e内有零点

C在区间1(,1)e内有零点，在区间(1,)e内无零点 D.在区间1(,1),(1,)ee内均无零点

3. 方程3lgxx的解所在的区间是（ ）

A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3)

D．(3，+∞)

4.若0x是方程131()2xx的解，则0x属于区间

（ ）

A.(23,1) B.(12,23) C.(13,12) D.(0,13)

5、)(xfy在区间[a,b]上的图象为连续不断的一条曲线，下列说法正确的是（ ）

A．若0)()(bfaf，不存在实数),(bac使得0)(cf

B．若0)()(bfaf，存在且只存在一个实数),(bac使得0)(cf

C．若0)()(bfaf，有可能存在实数),(bac使得0)(cf

D．若0)()(bfaf，有可能不存在实数),(bac使得0)(cf

6.已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下对应值表：

x 1 2 3 4 5 6 7

f(x) 23 9 –7 11 –5 –12 –26

那么函数在区间[1，6]上的零点至少有（ ）个

A.5个 B.4个 C.3个 D.2个

二：二分法

7、 通过下列函数的图象，判断不能用“二分法”求其零点的是（ ）

A．○1○2○3 B．○2○3○4 C．○1○2○4

D．○1○3○4

8．设()338xfxx,用二分法求方程3380xx在(1,2)x内近似解的过程中得(1)0,(1.5)0,(1.25)0fff，则方程的根落在区间（ ）

A．(1,1.25) B．(1.25,1.5) C．(1.5,2) D．不能确定

10．用“二分法”求方程0523xx在区间[2，3]内的实根，取区间中点为5.20x，那么下一个有根的区间是 ； 三：函数零点的求解及零点的应用

1.函数f(x)=x(x2-16)的零点为( )

Ａ. (0,0),(4,0) Ｂ.0,4 Ｃ. (–4,0),(0,0),(4,0) Ｄ.–4,0,4

2. 函数22()(2)(32)fxxxx的零点个数为（ ）.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

3．函数2230()2ln0xxxfxxx，，，的零点个数为 （ ）．

A．0 B．1 C．2 D．3

4、若函数)0(xfabbax有一个零点是2，则函数axbx2xg的零点是——————

5、若函数2()fxxaxb的两个零点是2和3，求2log25ab的值。

6、已知1x是方程3lgxx的解，2x是310xx 的解，求21xx（ ）

A．23 B．32 C．3 D．31

7、若函数21yxmx有两个零点，则实数m的取值范围是（ ）

A. (-1,1) B. (-2,2) C. (-∞，-2) ∪（2，+∞） D.（-∞，-1）∪（1，+∞）

8、若方程2210axx在（0，1）内恰有一个解，则a的取值范围是（ ）

（A）a < – 1 （B）a > 1 （C）– 1 < a < 1 （D）0 < a

< 12.

9、方程cosxx在,内（ ）

A.没有根 B.有且仅有一个根 C.有且仅有两个根 D.有无穷多个根

10、已知函数()yfx的周期为2，当[1,1]x时2()fxx，那么函数()yfx的图象与函数|lg|yx的图象的交点共有（ ）

A．10个 B．9个 C．8个 D．1个

11、函数1()()cos[0,5]2xfxxx在上的零点个数为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

12、已知函数88,1()0,1xxfxx，2()loggxx，则()fx与()gx两函数图象的交点个数为（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1

13、（2012年高考（北京文））函数121()()2xfxx的零点个数为 （ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

14、（2012年高考（天津理））函数3()=2+2xfxx在区间(0,1)内的零点个数 （ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

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函数的应用(知识梳理)-高一数学单元复习(人教A版必修1)

函数的应用(知识梳理)-高一数学单元复习(人教A版必修1)

1 专题02函数的应用(知识梳理)

第一节

函数与方程

1．函数的零点

(1)函数零点的定义

对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．

(2)几个等价关系

方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．

(3)函数零点的判定(零点存在性定理)

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．

2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系

Δ>0 Δ＝0 Δ<0

图象

与x轴的交点 (x1,0)，(x2,0) (x1,0) 无交点

零点个数 2 1 0

[小题体验]

1．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是( )

A．(－2，－1) B．(－1,0)

C．(0,1) D．(1,2)

答案：B

2．(教材习题改编)函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点个数是______．

答案：1

3．函数f(x)＝kx＋1在[1,2]上有零点，则k的取值范围是________．

答案：－1，－12

1．函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)＝0的根，也是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横 2 坐标．

2．函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象．

[小题纠偏]

1．(2018·诸暨模拟)函数f(x)按照下述方法定义：当x≤2时，f(x)＝－x2＋2x；当x>2时，f(x)＝12(x－2)2，则方程f(x)＝12的所有实数根之和是( )

A．2 B．3

C．5 D．8

解析：选C 画出函数f(x)的图象，如图所示：

结合图象x<2时，两根之和是2，

高一数学必修一第5章-知识点总

高一数学必修一第5章-知识点总

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结

第一节 直线的方程与图像

1. 直线的一般方程

直线的一般方程为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，并且A与B不同时为0。

2. 直线的斜率与截距

直线的斜率用k表示，斜率与直线上任意两点的坐标有关。直线的截距用b表示，截距与直线与y轴的交点有关。

3. 直线的点斜式方程

直线的点斜式方程为y - y₁ = k(x - x₁)，其中k为斜率，(x₁,

y₁)为直线上一点的坐标。

第二节 函数的概念与性质

1. 函数的定义 函数是一个或多个自变量与因变量之间的对应关系，常用f(x)表示。

2. 定义域和值域

函数的定义域是自变量的取值范围，值域是函数所有可能的取值范围。

3. 函数的图像

函数的图像是函数在坐标系中的表示，用于观察函数的性质和特点。

4. 奇偶函数

奇函数满足f(-x) = -f(x)，偶函数满足f(-x) = f(x)。可以通过函数的定义来判断函数的奇偶性。

第三节 一次函数与斜率

1. 函数的表达式

一次函数的表达式为f(x) = kx + b，其中k为斜率，b为截距。

2. 斜率的计算

两点之间的斜率可以通过Δy/Δx来计算，其中Δy为纵坐标的变化量，Δx为横坐标的变化量。

3. 直线的平行与垂直关系

如果两条直线的斜率相等且截距不相等，则这两条直线平行；如果两条直线的斜率的乘积为-1，则这两条直线垂直。

第四节 二次函数的图像与性质

1. 二次函数的一般式

二次函数的一般式为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数且a不等于0。

2. 二次函数的图像特点

二次函数的图像为抛物线，开口方向取决于a的正负，开口向上为a大于0，开口向下为a小于0。

3. 二次函数的顶点 二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点，顶点的坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。

高中数学教案 必修1 第十讲：函数与方程

高中数学教案 必修1 第十讲：函数与方程

- 1 - 博途教育学科教师辅导讲义(一）

学员姓名: 年 级：高 一 日期：

辅导科目：数 学 学科教师：刘云丰 时间：

课 题 第十讲：函数与方程

授课日期

教学目标 1、能够结合二次函数的图像判断一元二次方程根的存在性及根的个数；

2、理解函数的零点与方程的联系.

教学内容

函数与方程

〖教学重点与难点〗

◆教学重点：理解函数的零点与方程根的联系，使学生遇到一元二次方程根的问题时能顺利联想函数的思想和方法；

◆教学难点：函数零点存在的条件。

〖教学过程〗

一、函数的零点

探究一元二次方程与相应二次函数的关系。

出示表格，填写表格，并分析填出的表格，从二次方程的根和二次函数的图像与x轴的交点的坐标，探究一元二次方程与相应二次函数的关系。

一元二次方程 方程的根 二次函数 图像与X轴的交点

x2-2x-3=0 x1=-1，x2=3 y=x2-2x-3 （-1，0），（3，0）

x2-2x+1=0 x1= x2=1 y=x2-2x+1 （1，0）

x2-2x+3=0 无实数根 y=x2-2x+3 无交点

- 2 - （图1-1）函数y=x2-2x-3的图像

（图1-2）函数y=x2-2x+1的图像

（图1-3）函数y=x2-2x+3的图像

归纳：

1.如果一元二次方程没有实数根，相应的二次函数图像与x轴没有交点；

2.如果一元二次方程有实数根，相应的二次函数图像与x轴有交点。

反之，二次函数图像与x轴没有交点，相应的一元二次方程没有实数根；二次函数图像与x轴有交点，则交点的横坐标就是相应一元二次方程的实数根。

高一数学必修一全套教案完美版

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一、教案概述

本教案为高一数学必修一全套教案完美版，共包含全套教案的概述部分。

二、教学目标

1. 通过本教案的研究，学生将掌握必修一的数学知识和技能。

2. 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

3. 培养学生的数学研究兴趣，提高研究动力。

三、教学内容

1. 第一章：函数与方程

该章节主要介绍函数与方程的基本概念和性质，包括函数的定义与表示、方程的解、函数的图像等。

2. 第二章：三角函数

该章节主要介绍三角函数的概念和基本性质，包括正弦、余弦、正切等函数的定义与图像。

3. 第三章：数列与数学归纳法

该章节主要介绍数列的概念、等差数列和等比数列的性质，以及数学归纳法的应用。

4. 第四章：平面向量

该章节主要介绍平面向量的基本概念和运算法则，包括向量的表示、向量的加法和数量乘法等。

5. 第五章：解析几何

该章节主要介绍平面直角坐标系、平面上点、直线和圆的方程，以及它们之间的关系。

四、教学方法

本教案采用多种教学方法相结合的方式，包括讲授、示范、练等，使学生能够全面理解和掌握数学知识。

五、教学评价

教师将通过课堂练、作业布置等方式对学生进行教学评价，以了解学生的研究情况和掌握程度，并及时给予指导和反馈。

六、教学资源

本教案的教学资源包括教材、课件、题集等，以便帮助学生更好地研究和理解数学知识。

以上为高一数学必修一全套教案完美版的内容概述，希望能够对教学工作有所帮助。具体的教案详细内容请参考相应教材和辅助教材。