高中数学3.1空间向量及其运算3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示课件新人教A版选修2_1

答案：D
探究二 用基底表示向量 [典例 2] 空间四边形 OABC 中，M，N 是△ABC，△OBC 的重心，设O→A＝a，O→B ＝b，O→C＝c，用向量 a，b，c 表示向量O→M，O→N，M→N. [解析] 如图，取 BC 中点 P，则 A，M，P，O，N，分别共线，连接 AP，OP. O→M＝O→A＋A→M＝a＋23A→P＝a＋23×12(A→B＋A→C) ＝a＋31(O→B－O→A)＋13(O→C－O→A) ＝a＋31b－13a＋31c－31a＝13a＋31b＋13c.
＝ xe1＋ye2＋ze3 .把 x，y，z 称作向量 p 的单位正交基底 e1，e2，e3 下的坐标， 记作 p＝(x，y，z) ．
[双基自测]
1．已知 A(3,2，－3)，则点 A 关于 y 轴的对称点的坐标是( )
A．(－3，－2,3)
B．(－3,2，－3)
C．(－3,2,3)
D．(－3，－2，－3)
3．已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面，M，N 分别是 AB，PC 的中点， 并且 PA＝AD＝1，试建立适当的坐标系并写出向量M→N，D→C的坐标．
解析：如图所示，因为 PA＝AD＝AB＝1，且 PA⊥平面 ABCD， AD⊥AB，所以可设D→A＝e1，A→B＝e2，A→P＝e3，以{e1，e2，e3} 为基底建立空间直角坐标系 A-xyz. 因为D→C＝A→B＝e2，
B.34，34，34 D.23，23，23
解析：如图，由已知O→G＝34O→G1 ＝34(O→A＋A→G1) ＝34[O→A＋13(A→B＋A→C)] ＝34O→A＋14[(O→B－O→A)＋(O→C－O→A)] ＝14O→A＋14O→B＋14O→C， 从而 x＝y＝z＝14. 答案：A

个.
(2)已知{e1,e2,e3}是空间的一个基底,且 O A =e1+2e2-e3, O B =-3e1+e2+2e3, O C =e1+e2-e3,试判断{ OA， OB， OC}能否作为空 间的一个基底.
【解题探究】1.题(1)中由x=a+b,y=b+c,z=c+a可想到向量的哪
一种运算法则?可构造哪一种空间图形来表示对应向量,从而说
【要点探究】 知识点1 空间向量基本定理 空间向量基本定理的三个关注点: (1)空间任意向量:用空间三个不共面的向量a,b,c可以线性表 示出空间中任意一个向量,而且表示的结果是惟一的. (2)基底的选取:空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向 量的一个基底.
(3)顺序性:向量的坐标顺序必须与基底中的基向量对应,即若 基底为{e1,e2,e3},p=xe1+ye2+ze3,则p的坐标为(x,y,z).
2.空间直角坐标系: 以单位正交基底e1,e2,e3的公共起点O为原点,以e1,e2,e3的方向 为x轴、y轴、z轴正方向的空间坐标系要注意的五点: ①记法:空间坐标系O-xyz; ②坐标面:经过任意两个轴的平面为坐标面,它们分别为xOy 面,xOz面和yOz面;
③坐标向量:e1,e2,e3叫坐标向量; ④画法:一般使用∠xOy=45°或135°,∠yOz=90°; ⑤点的坐标:p=xe1+ye2+ze3则p=(x,y,z),x,y,z分别叫横坐标、 纵坐标、竖坐标.
【知识拓展】 1.空间向量基本定理的证明 存在性证明的四个步骤(如图) (1)平移：把不共面的向量a，b，c与 向量p平移到公共的起点O上，使O A=a， O B=b， O C=c， O=Pp.

∴ OP (1 t )OA tOB
∵ A 、B 、P 、O 四点在同一个平面内,且 OP xOA yOB
∵ O 为直线 AB 外一点,∴ OA、OB 不共线
∴由平面向量基本定理可知 x 1 t , y t
∴x y1
反过来,如果已知 OP xOA yOB ,且 x y 1 , 那么 A 、B 、P 三点共线吗?
学习共面
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C
pБайду номын сангаас
P
b
AaB
思考1
思考 1:如图,平面 为经过已知点 A 且平行两不共线
的非零向量 a 、b 的平面,如何表示平面 A 上的任一点 P
呢?
⑴∵ AP与a 、b 共面,
C
p
P
b
AaB
∴ 唯一有序实数对(x, y),
使 AP xa yb .
O
∴点 P 在平面 上 ∴ 唯一有序实数对(x, y), 使 AP xa yb ①
l
注:非零向量 a 叫做
A
P
直线 l 的方向向量.
a

第三章 空间向量与立体几何
[解题过程] 假设 O→A ， O→B ， O→C 共面，据向量共面的充 要条件有：O→A＝xO→B＋yO→C
则有：e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3) ＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3， ∴ －3x＋y＝1， x＋y＝2， x－y＝－1. 此方程组无 解，∴O→A，O→B，O→C不共面． ∴{O→A，O→B，O→C}可作为空间的一个基底．
工具
第三章 空间向量与立体几何
[解题过程] ∵O→G＝O→A＋A→G，而A→G＝23A→D，A→D＝O→D －O→A，
又D为BC中点． ∴O→D＝12(O→B＋O→C)， ∴O→G＝O→A＋23A→D＝O→A＋23(O→D－O→A) ＝O→A＋23×12(O→B＋O→C)－23O→A＝13(O→A＋O→B＋O→C) ＝13(a＋b＋c)．
工具
第三章 空间向量与立体几何
2.设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一 个基底，给出下列向量组：
①{a，b，x}；②{a，b，y}；③{x，y，z}；④{a，x，y}； ⑤{x，y，a＋b＋c}．
其中可以作为空间基底的向量组有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
工具
第三章 空间向量与立体几何
如图所示，空间四边形OABC 中，G、H分别是△ABC、△OBC的重心， 设 O→A ＝a， O→B ＝b， O→C ＝c.试用向量a，
b，c表示向量O→G 和G→H .
由题目可获取以下主要信息： ①{a，b，c}是一个基底，②空间四边形OABC中，G、H分 别是△ABC、△OBC的重心． 解答本题可利用重心的性质，再结合图形进而求得结果．