一元二次方程根的判别式

一元二次方程根的判别式C

根据数学的基本原理，一元二次方程的根可以通过求解方程的判别式来确定。判别式是方程的重要性质之一，用于判断方程有几个根以及根的类型。

接下来，我们将详细讨论判别式$C$的几种情况以及它们与方程根的关系。

1.若$C>0$，则方程有两个不相等的实根。

当判别式大于零时，说明平方项系数与常数项的平方和大于二次项系数的平方的四倍。这意味着函数的图像与$x$轴有两个交点，因此方程有两个不相等的实根。

2.若$C=0$，则方程有两个相等的实根，也称为重根。

当判别式等于零时，说明平方项系数与常数项的平方和等于二次项系数的平方的四倍。这意味着函数的图像与$x$轴有一个交点，因此方程有两个相等的实根，即重根。

3.若$C<0$，则方程没有实根，而是有两个共轭复数根。

当判别式小于零时，说明平方项系数与常数项的平方和小于二次项系数的平方的四倍。这意味着函数的图像与$x$轴没有交点，因此方程没有实根，而是有两个共轭复数根。

有了判别式，我们可以使用以下公式来求解一元二次方程的根：

若 $C > 0$，方程的两个根为 $x_1 = \frac{-b +

\sqrt{C}}{2a}$ 和 $x_2 = \frac{-b - \sqrt{C}}{2a}$。 若 $C = 0$，方程的两个根为 $x = \frac{-b}{2a}$。

若 $C < 0$，方程的两个根为 $x_1 = \frac{-b}{2a} +

\frac{\sqrt{-C}}{2a}i$ 和 $x_2 = \frac{-b}{2a} - \frac{\sqrt{-C}}{2a}i$，其中 $i$ 是虚数单位。

除了求解方程根的关系，判别式还可以有其他的应用。

首先，判别式可以用来判断一元二次方程的解的个数。当判别式大于零时，方程有两个实根；当判别式等于零时，方程有一个实根；当判别式小于零时，方程没有实根。

其次，判别式还可以用来判断一元二次方程的根的性质。当判别式大于零时，方程的根是不相等的实数；当判别式等于零时，方程的根是相等的实数；当判别式小于零时，方程的根是共轭复数。

一元二次方程的delta

一元二次方程的Δ（delta）代表判别式，用来判断方程的根的性质。一元二次方程的一般形式为ax² + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。

判别式Δ的计算公式为Δ = b² - 4ac。根据Δ的值，可以得出以下结论：

1. 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根。这意味着方程在坐标系中与x轴有两个交点，图像是一个开口向上或向下的抛物线。

2. 当Δ = 0时，方程有两个相等的实根。这意味着方程在坐标系中与x轴有一个交点，图像是一个与x轴相切的抛物线。

3. 当Δ < 0时，方程没有实根，而是有两个共轭复根。这意味着方程在坐标系中与x轴没有交点，图像位于x轴上方或下方，不与其相交。

通过计算Δ，我们可以确定方程的根的性质，进而解决相关问题。

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7一、一元二次方程根的判别式的定义：

运用配方法解一元二次方程过程中得到2

2

24

()

24bbac

x

aa



，显然只有当

2

40bac

时，才能直接开平方得：2

24

24bbac

x

aa



.

也就是说,一元二次方程2

0(0)axbxca

只有当系数a

、b

、c

满足条件

2

40bac

时才有实数根.这里2

4bac

叫做一元二次方程根的判别式.

二、判别式与根的关系：

在实数范围内，一元二次方程2

0(0)axbxca

的根由其系数a

、b

、c

确定，

它的根的情况（是否有实数根）由2

4bac

确定.

（1）当2

40bac

时,方程有两个不相等的实数根.

（2）当2

40bac

时,方程有两个相等的实数根.

（3）当2

40bac

时,方程没有实数根.

说明:（1）用判别式去判定方程的根时,要先求出判别式的值:上述判定方法也可以反过来使

用,当方程有两个不相等的实数根时,0

;有两个相等的实数根时,0

;没有

实数根时,0

.

（2）在解一元二次方程时,一般情况下,首先要运用根的判别式2

4bac

判定方程

的根的情况(有两个不相等的实数根,有两个相等的实数根,无实数根).当

2

40bac

时,方程有两个相等的实数根(二重根),不能说方程只有一个根.一元二次方程根的判别式

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7一、不解一元二次方程，判断根的情况

【例1】不解方程，判断下列方程的根的情况：

(1)2

2340xx

(2)

2

00axbxa【例2】如果一直角三角形的三边长分别为a

、b

、c

,,那么,关于x

的方程

22

(1)2(1)0axcxbx

的根的情况是()

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.没有实数根D.无法确定

二、根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围

【例3】（1）若一元二次方程022

mxx

有实数解，则m的取值范围是（）A.1-m

B.1m

C.4m

D.

21

一元二次方程根的判别式的六种常见应用

所以kx2＋2x＋1＝0是一个关于x的一元二次方程。

利用根的判别式，Δ＝(2)2－4(k)(1)＝4－4k.

当Δ<0时，方程没有实数根；

当Δ=0时，方程有一个实数根；

当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。

所以，答案为C．有两个不相等的实数根。

应用5：利用根的判别式解函数的最值问题

6．已知函数f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的最小值．

解：f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2＞2.

由于平方项非负，所以当且仅当x＝1时，(x－1)2＝0，f(x)取得最小值3.

所以，f(x)的最小值为3.

一元二次方程根的判别式有着广泛的应用。下面介绍其中的六种常见应用。

应用1：利用根的判别式判断一元二次方程根的情况。例如，已知方程x2－2x－m＝0没有实数根，其中m是实数，试判断方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0是否有实数根。解法如下：由于x2－2x－m＝0没有实数根，因此判别式Δ1=（－2）2－4·（－m）＝4＋4m4，因此方程有两个不相等的实数根。

应用2：利用根的判别式求字母的值或取值范围。例如，已知关于x的方程x2＋2mx＋m2－1＝0，要求不解方程，判别方程根的情况，以及若方程有一个根为3，求m的值。解法如下：对于方程x2＋2mx＋m2－1＝0，判别式Δ=（2m）2－4·（m2－1）＝4＋4=8＞0，因此方程有两个不相等的实数根。又因为方程有一个根为3，代入方程可得2m2－7m＋5＝0，解得m＝1或m＝5/2.但由于方程的两个根不相等，因此m≠2，因此m＝1.

应用3：利用根的判别式求代数式的值。例如，已知关于x的方程mx2－（m＋2）x＋2＝0有两个相等的实数根，求m的值。解法如下：对于方程mx2－（m＋2）x＋2＝0，判别式Δ＝（m＋2）2－4m·2＝（m－2）2≥0，因此不论m为何值，方程总有实数根。又因为方程有两个相等的实数根，因此Δ＝0，解得m＝1.