专题24 定点定长构造辅助圆1．如图，已知AB AC AD==，2CBD BDCÐ=Ð，44BACÐ=°，则CADÐ的度数为( )A．68°B．88°C．90°D．112°【解答】解：如图，AB AC AD==Q，\点B、C、D在以点A为圆心，以AB的长为半径的圆上；2CBD BDCÐ=ÐQ，2CAD CBDÐ=Ð，2BAC BDCÐ=Ð，2CAD BAC\Ð=Ð，而44BACÐ=°，88CAD\Ð=°，故选：B．2．如图，在四边形ABCD中，AB AC AD==，50BACÐ=°则BDCÐ的大小是( )A．30°B．75°C．15°D．25°【解答】解：由AB AC AD==，50BACÐ=°，则可添加辅助圆，\有1252BDC BACÐ=Ð=°，故选：D．3．如图，在矩形ABCD 中，已知3AB =，4BC =，点P 是BC 边上一动点（点P 不与B ，C 重合），连接AP ，作点B 关于直线AP 的对称点M ，则线段MC 的最小值为( )A ．2B ．52C ．3D 【解答】解：连接AM ，Q 点B 和M 关于AP 对称，3AB AM \==，M \在以A 圆心，3为半径的圆上，\当A ，M ，C 三点共线时，CM 最短，5AC ==Q ，3AM AB ==，532CM \=-=，故选：A ．4．如图，正方形ABCD 中，E 为AB 中点，FE AB ^，2AF AE =，FC 交BD 于O ，则DOC Ð的度数为( )A ．60°B ．67.5°C ．75°D ．54°【解答】解：如图，连接DF 、BF ．FE AB ^Q ，AE EB =，FA FB \=，2AF AE =Q ，AF AB FB \==，AFB \D 是等边三角形，AF AD AB ==Q ，\点A 是DBF D 的外接圆的圆心，1302FDB FAB \Ð=Ð=°，Q 四边形ABCD 是正方形，AD BC \=，90DAB ABC Ð=Ð=°，45ADB DBC Ð=Ð=°，FAD FBC \Ð=Ð，FAD FBC \D @D ，15ADF FCB \Ð=Ð=°，60DOC OBC OCB \Ð=Ð+Ð=°．解法二：连接BF ．易知15FCB Ð=°，451560DOC OBC FCB Ð=Ð+Ð=°+°=°故选：A ．5．如图，已知等边ABC D 的边长为8，以AB 为直径的圆交BC 于点F ．以C 为圆心，CF 长为半径作图，D 是C e 上一动点，E 为BD 的中点，当AE 最大时，BD 的长为( )A ．B ．C ．2D ．12【解答】解：点D 在C e 上运动时，点E 在以F 为圆心的圆上运动，要使AE 最大，则AE 过F ，连接CD ，ABC D Q 是等边三角形，AB 是直径，EF BC \^，F \是BC 的中点，E Q 为BD 的中点，EF \为BCD D 的中位线，//CD EF \，CD BC \^，8BC =，4CD =，故BD ===，故选：B ．二．填空题（共6小题）6．如图，点A ，B 的坐标分别为(4,0)A ，(0,4)B ，C 为坐标平面内一点，2BC =，点M 为线段AC的中点，连接OM ，OM 的最大值为 1+ ．【解答】解：C Q 为坐标平面内一点，2BC =，\点C 的运动轨迹是在半径为2的B e 上，如图，取4OD OA ==，连接OD ，Q 点M 为线段AC 的中点，OM \是ACD D 的中位线，12OM CD \=，OM \最大值时，CD 取最大值，此时D 、B 、C 三点共线，此时在Rt OBD D 中，BD ==，2CD \=+，OM \的最大值是1+．故答案为：1+．7．如图，四边形ABCD 中，AB AC AD ==，且3CAD BAC Ð=Ð，若42DBC Ð=°，则CAD Ð= 84° ，BDC Ð= ．【解答】解：AB AC AD ==Q ，\点B ，C ，D 在以A 为圆心的圆上，42DBC Ð=°Q ，284CAD DBC \Ð=Ð=°，3CAD BAC Ð=ÐQ ，1283BAC CAD \Ð=Ð=°，12BDC BAC Ð=ÐQ ，128142BDC \Ð=´°=°．故答案为：84°，14°．8．如图所示，AB AC AD ==，18DBC Ð=°，则CAD Ð= 36° ．【解答】解：AB AC AD ==Q ，B \、C 、D 三点在以点A 为圆心，以AB 为半径的圆上．18DBC Ð=°Q ，236CAD DBC \Ð=Ð=°．故答案为：36°．9．如图，四边形ABCD 中，AE 、AF 分别是BC ，CD 的中垂线，80EAF Ð=°，30CBD Ð=°，则ABC Ð= 40° ，ADC Ð= ．【解答】解：连接AC，AEQ、AF分别是BC、CD的中垂线，\==，AB AC ADB\、C、D在以A为圆心，AB为半径的圆上，Q，Ð=°CBD30\Ð=Ð=°，DAC DBC260=，Q，CF DFAF CD^DAF\Ð=°，30\Ð=°，ADC60又803050Q，EACÐ=°-°=°\Ð=Ð=°-°=°．905040ABC ACE故答案为：40°，60°．10．如图，AB AC ADÐ是BDCÐ的k倍，那么DBCÐ的 k 倍．Ð是CAB==，如果DAC【解答】解：AB AC AD==Q，\点B、C、D在以A为圆心的圆上，12BDC CAB \Ð=Ð，12DBC DAC Ð=Ð，DAC k CAB Ð=ÐQ ，222k k DBC CAB BDC k BDC \Ð=Ð=´Ð=Ð，故答案为：k11．如图，矩形ABCD 中，4AB =，8BC =，P 是直线AB 上的一个动点，2AE =，APE D 沿PE翻折形成FPE D ，连接PF 、EF ，则FC 的最小值是 2 ，点F 到线段BC 的最短距离是 ．【解答】解：连接CE ，作EG BC ^于G ，2AE EF ==Q ，\点F 在以E 为圆心，AE 为半径的圆上运动，在Rt CDE D 中，由勾股定理得，CE ===，FC \的最小值为22CE -=，90DAB ABC BGE Ð=Ð=Ð=°Q ，\四边形ABGE 是矩形，4EG AB \==，\点F 到线段BC 的最短距离是2，故答案为：2-，2．三．解答题（共9小题）12．如图，在ABC D 中，AB AC =，过点B 作BD BC ^，BD BC =，连接AD 交BC 于点F ．E 是CD 的中点，连接AE 交BC 于G ．（1）若AB BD =，求ADC Ð的度数；（2）若4BC BF =，且4AB =，求四边形ABDC 的面积．【解答】解：（1）如图1中，AB AC =Q ，BD BC =，AB BD =，AB BC AC \==，ABC \D 是等边三角形，60ABC \Ð=°，BA BC BD ==Q ，A \、C 、D 三点在B e 上，1302ADC ABC \Ð=Ð=°．（2）如图2中，连接BE ．90DBC Ð=°Q ，DE EC =，BE EC DE \==，AB AC =Q ，AE \垂直平分BC ，BG CG \=，设BG CG a ==，则2BC BD a ==，14BF BC =Q ，BF FG \=，//BD AG Q ，BFD GFA \D D ∽，\1BF BD FG AG==，2BD AG a \==，在Rt ABG D 中，222AB AG BG =+Q ，22164a a \=+，2165a \=，21111642222422225ABCD S BC AG BC BD a a a a a \=××+××=´´+´´==四边形．13．如图，AB AC AD ==，2CBD BDC Ð=Ð，40BAC Ð=°，求CAD Ð的度数．【解答】解：AB AC AD ==Q ，B \，C ，D 在以A 为圆心，AB 为半径的圆上，2CAD CBD \Ð=Ð，2BAC BDC Ð=Ð，2CBD BDC Ð=ÐQ ，40BAC Ð=°，280CAD BAC \Ð=Ð=°．14．圆的定义：在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点所组成的图形．（1）已知：如图1，OA OB OC ==，请利用圆规画出过A 、B ．C 三点的圆．若70AOB Ð=°，则ACB Ð= 35° ．如图，Rt ABC D 中，90ABC Ð=°，30BCA Ð=°，2AB =．（2）已知，如图2．点P 为AC 边的中点，将AC 沿BA 方向平移2个单位长度，点A 、P 、C 的对应点分别为点D 、E 、F ，求四边形BDFC 的面积和BEA Ð的大小．（3）如图3，将AC 边沿BC 方向平移a 个单位至DF ，是否存在这样的a ，使得直线DF 上有一点Q ，满足45BQA Ð=°且此时四边形BADF 的面积最大？若存在，求出四边形BADF 面积的最大值及平移距离a ，若不存在，说明理由．【解答】（1）以O 为圆心，OA 为半径作辅助圆，如图，，70AOB Ð=°Q ，35ACB \Ð=°，故答案为35°．（2）连接PB ，PE ，如图，，Rt ABC D 中，90ABC Ð=°，30BCA Ð=°，2AB =．4AC \=，60BAC Ð=°，BC =．P Q 为Rt ABC D 斜边AC 中点，122BP AC \==，线段AC 平移到DF 之后，2AB AD PE ===，2BP AE ==，\四边形ABPE 为菱形，60BAC Ð=°Q ，30BEA \Ð=°，//CF BD Q ，且90ABC Ð=°，\四边形BDFC 为直角梯形，11()622S BD CF BC \=+´=´´=，（3）如图所示，当AC 边沿BC 方向平移2个单位至DF 时，满足45BQA Ð=°且此时四边形BADF 的面积最大，此时直角梯形ABFD 的最大面积为，11()22)2422S BF AQ AB =´+´=´+´=+15．在Rt ABC D 中，90ABC Ð=°，BE AC ^，EG 、EF 分别平分AEB Ð和CEB Ð，求证：BG BF =．【解答】解：连接GF ，取GF 中点O ，连接BO ，EO ，BE AC ^Q ，90AEB BEC \Ð=Ð=°，EG Q 、EF 分别平分AEB Ð和CEB Ð，45GEB FEB \Ð=Ð=°，90GEF \Ð=°，在Rt GBFD中，BO，EO分别是斜边的中线，D和Rt GEF==，BO GO FO\==，EO GO FO\===，BO EO GO FO\、B、F、E四点在以O为圆心，BO为半径的圆上，G\Ð=Ð=°，45BGF BEF\D是等腰直角三角形，GBF\=．GB FB16．如图，在ABCÐ=°，连接BDCBD=，DE垂直平分AC，且30D中，AB AC=；（1）求证：AB ADD是等腰三角形，求ABC（2）设AD交BC于点P，若ABPÐ的度数．【解答】解：（1）证明：作BDCD的外接圆，延长DE交圆于点F，连接CF、AF，如图所示，则有30Ð=Ð=°．DBC DFCDEQ垂直平分AC，\=，AF FC\Ð=Ð=°，30AFE CFE\Ð=°，60AFCAFC\D是等边三角形，\=．AF AC=Q，AB AC\==，AF AC AB\点A为所作圆的圆心，AB AD\=．=，（2）①若PA PB则ABC BAPÐ=Ð．Q，AB AC=\Ð=Ð．ABC ACBQ，260Ð=Ð=°DAC DBC\Ð=Ð+Ð=°+Ð，APB PAC ACB ACB60\Ð=°+Ð．APB ABC60Q，Ð+Ð+Ð=°ABC BAP APB180\Ð+°=°，ABC360180解得：40Ð=°ABC=，②若BA BP同理可得：20ABCÐ=°．=，③AB AP此时P与C重合，则D与E重合，不符合题意，故舍去．综上所述：当ABPD是等腰三角形时，ABCÐ的度数为40°或20°．17．【阅读】辅助线是几何解题中沟通条件与结论的桥梁．在众多类型的辅助线中，辅助圆作为一条曲线型辅助线，显得独特而隐蔽．性质：如图①，若90Ð=Ð=°，则点D在经过A，B，C三点的圆上．ACB ADB【问题解决】运用上述材料中的信息解决以下问题：（1）如图②，已知DA DB DC==．求证：2ADB ACBÐ=Ð．（2）如图③，点A，B位于直线l两侧．用尺规在直线l上作出点C，使得90Ð=°．（要求：ACB要有画图痕迹，不用写画法）（3）如图④，在四边形ABCD中，90^，点F在CA的延长线上，连接DF，CADÐ=°，CB DBÐ=Ð．ADF ABD求证：DF是ACDD外接圆的切线．【解答】解：（1）如图②，由DA DB DC==，可知点A，B，C在以D为圆心，DA为半径的圆上．所以，2Ð=Ð．ADB ACB（2）如图③，点1C ，2C 就是所要求作的点．（3）如图④，取CD 的中点O 为圆心，CD 为直径作圆O ，则O e 是ACD D 的外接圆；由90DAC DBC Ð=Ð=°，可得点B 在ACD D 的外接圆上．ACD ABD \Ð=Ð．ADF ABD Ð=ÐQ ，ACD ADF \Ð=Ð．90ACD ADC Ð+Ð=°Q ，90ADF ADC \Ð+Ð=°．90CDF \Ð=°．即CD DF ^．DF \是ACD D 外接圆的切线．18．在Rt ABC D 中，90A Ð=°，4AC AB ==，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，若等腰Rt ADE D 绕点A 逆时针旋转，得到等腰Rt △11AD E ，设旋转角为(0180)a a <°…，记直线1BD 与1CE 的交点为P ．（1）如图1，当90a =°时，线段1BD 的长等于 线段1CE 的长等于 ；（直接填写结果）（2）如图2，当135a =°时，求证：11BD CE =，且11BD CE ^；（3）求点P 到AB 所在直线的距离的最大值．（直接写出结果）【解答】（1）解：90A Ð=°Q ，4AC AB ==，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，2AE AD \==，Q 等腰Rt ADE D 绕点A 逆时针旋转，得到等腰Rt △11AD E ，设旋转角为(0180)a a <°…，\当90a =°时，12AE =，190E AE Ð=°，1BD \==1E C ==故答案为：，；（2）证明：当135a =°时，如图2，Rt Q △11AD E 是由Rt ADE D 绕点A 逆时针旋转135°得到，11AD AE \=，11135D AB E AC Ð=Ð=°，在△1D AB 和△1E AC 中Q 1111AD AE D AB E AC AB AC =ìïÐ=Ðíï=î，\△1D AB @△1()E AC SAS ，11BD CE \=，且11D BA E CA Ð=Ð，记直线1BD 与AC 交于点F ，BFA CFP \Ð=Ð，90CPF FAB \Ð=Ð=°，11BD CE \^；（3）解：如图3，作PG AB^，交AB 所在直线于点G ，1D Q ，1E 在以A 为圆心，AD 为半径的圆上，当1BD 所在直线与A e 相切时，直线1BD 与1CE 的交点P 到直线AB 的距离最大，此时四边形11AD PE 是正方形，12PD =，则1BD ==故30ABP Ð=°，则2PB =+，故点P 到AB 所在直线的距离的最大值为：1PG =．19．如图，在Rt ABC D 中，90C Ð=°，6AC =，8BC =，点F 在边AC 上，并且2CF =，点E 为BC 边上的动点，将FCE D 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，求点P 到边AB 距离的最小值．【解答】解：如图，延长FP 交AB 于M ，2FP CF ==Q ，\点P 在以F 为圆心，CF 为半径的圆上运动，当FP AB ^时，点P 到AB 的距离最小，A A Ð=ÐQ ，90AMF C Ð=Ð=°，AMF ACB \D D ∽，\AF FM AB BC=，2CF =Q ，6AC =，8BC =，4AF \=，10AB ==，\4108FM =，3.2FM \=，2PF CF ==Q ，1.2PM \=，\点P 到边AB 距离的最小值为1.2．20．如图，ABC D 中，4AC BC ==，90ACB Ð=°，过点C 任作一条直线CD ，将线段BC 沿直线CD 翻折得线段CE ，直线AE 交直线CD 于点F ．（1）小智同学通过思考推得当点E 在AB 上方时，AEB Ð的角度是不变的，请按小智的思路帮助小智完成以下推理过程：AC BC EC ==Q ，A \、B 、E 三点在以C 为圆心以AC 为半径的圆上．AEB \Ð=ACB = °．（2）若2BE =，求CF 的长．（3）线段AE 最大值为 ；若取BC 的中点M ，则线段MF 的最小值为 ．【解答】解：（1）AC BC EC ==Q ，A \、B 、E 三点在以C 为圆心以AC 为半径的圆上，1452AEB ACB \Ð=Ð=°，故答案为：12，45；（2）由折叠可知，CD 垂直平分BE ，BE CD \^，设CD 、BE 交于点G ，则112GE BG BE ===，90FGE \Ð=°，45AEB Ð=°Q ，1FG GE \==，在Rt CEG D 中，由勾股定理得，CG ==1CF CG FG \=-=-；（3）A Q ，B ，E ，三点在以C 为圆心，以AC 为半径的圆上，\当AE 经过圆心C 时，线段AE 的最大值为28AC =，在Rt ABC D 中，4AC BC ==，90ACB Ð=°，AB \==122BM CM BC ===，45ABC BAC Ð=Ð=°，连接BF ，取AB 的中点O ，连接OF ，如图，CD Q 垂直平分BE ，45AEB Ð=°，BF EF \=，45EBF AEB \Ð=Ð=°，90EFB \Ð=°，90AFB \Ð=°，12OF AB OA OB \====，\点F 在以点O 为圆心，AB 为直径的圆上，90ACB Ð=°Q ，\点C 在O e 上，\当OF 经过点M 时，MF 最短，此时OF BC ^，tan 212OM BM ABC \=×Ð=´=，2MF OF OM \=-=-，即线段MF 的最小值为2，故答案为：8；2．。
中考热点:三种构造辅助圆解题的模型一、问题导读“圆”是一个完美的图形，在初中数学中具有丰富内容，其中大部分是与角度相关性质，如在圆周角中能轻易找到，等角和直角并与圆心角联系也比较紧密，通过在图形中构造辅助圆往往能获得意想不到的效果，如果题目中出现了以下条件：三点及三点以上到同一点距离相等，作辅助圆；同一侧有相等的角，或者需要构造出相等的角时，作辅助圆；若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆．在这些情况下，借助圆去解决一些问题都是非常好的一个选择，下面举例说明这三种构造辅助圆解题的模型应用。
二、典例精析类型1 根据共端点等线段模型，根据圆的定义构造圆1.如图，已知OA＝OB＝OC，且∠AOB＝k∠BOC，则∠ACB是∠BAC的（）A．k/2倍 B．k倍 C．2k D．1/k【分析】由OA＝OB＝OC，得到A，B，C在以O为圆心的同一个圆上，则∠AOB＝2∠ACB，∠BOC＝2∠BAC，而∠AOB＝k∠BOC，即可得到∠ACB＝k∠BAC．【解答】∵OA＝OB＝OC，∴A，B，C在以O为圆心的同一个圆上，如图，∴∠AOB＝2∠ACB，∠BOC＝2∠BAC，而∠AOB＝k∠BOC，即2∠ACB＝k2∠BAC，∴∠ACB＝k∠BAC．故选：B．2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E 为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是（）A．1.5 B．1.2 C．2.4 D．以上都不对【分析】先依据勾股定理求得AB的长，然后依据翻折的性质可知PF＝FC，故此点P在以F为圆心，以2为半径的圆上，依据垂线段最短可知当FP⊥AB时，点P到AB的距离最短，然后依据题意画出图形，最后，利用相似三角形的性质求解即可．【解答】如图所示：当PE∥AB．在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴由勾股定理可求得AB＝10，由翻折的性质可知：PF＝FC＝2，∠FPE＝∠C＝90°．∵PE∥AB，∴∠PDB＝90°．由垂线段最短可知此时FD有最小值．又∵FP为定值，∴PD有最小值．又∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ADF，∴△AFD∽△ABC．∴AF/AB=DF/BC，即4/10=DF/8，解得：DF＝3.2．∴PD＝DF﹣FP＝3.2﹣2＝1.2．故选：B．3.如图2所示,在凸四边形ABCD中,AB=BC=BD,∠ABC=80°,则∠ADC的度数为____度【解析】∵AB＝BC＝BD，得到A，C，D在以B为圆心的同一个圆上，∴∠ACD=1/2∠ABD, ∠DAC=1/2∠DBC,∵∠ABC=∠ABD +∠DBC =80°,∴∠ACD+∠DAC=1/2∠ABD+1/2∠DBC=1/2(∠ABD+∠DBC)= 1/2×80°=40°,∴∠ADC＝180°﹣（∠DAC+∠ACD）＝180°﹣40°＝140°．故答案为：140．4. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，若∠BAC＝25°，∠CAD＝75°，则∠BDC＝度，∠DBC＝_____度．【解析】法一：∵AB＝AC＝AD，∴点B，C，D在以A为圆心的圆上，∵∠BAC＝25°，∴∠BDC＝1/2∠BAC＝12.5°，∵∠CAD＝75°，∴∠DBC＝1/2∠CAD＝37.5°．故答案为：12.5，37.5．法二：∵AB＝AC＝AD，∴∠ADB＝∠ABD，∠ACB＝∠ABC，∠ADC＝∠ACD，∵∠BAC＝25°，∠CAD＝75°，∴∠ACB＝（180°﹣25°）÷2＝77.5°，∠DAB＝∠DAC+∠CAB＝100°，∠ADC＝∠ACD＝（180°﹣75°）÷2＝52.5°，∴∠ADB＝（180°﹣100°）÷2＝40°，∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝52.5°﹣40°＝12.5°，∠DCB＝∠DCA+∠ACB＝52.5°+77.5°＝130°，∴∠DBC＝180°﹣∠DCB﹣∠BDC＝180°﹣130°﹣12.5°＝37.5°．∴∠BDC＝12.5°，∠DBC＝37.5°．类型2 直角模型，依据直径所对的圆周角是直角，构造三角形的外接圆解题5. 如图所示，矩形ABCG与矩形CDEF全等，点BCD在一条直线上，∠APE的顶点P在线段BD上移动，使得∠APE为直角的点P的个数是_____个．【分析】∵∠APE的顶点P在线段BD上移动，且∠APE为直角，∴点P也在以AE为直径的⊙O的圆上运动；∴以AE为直径作⊙O，⊙O与BD的交点即为所求．【解答】∵点BCD在一条直线上，∠APE的顶点P在线段BD上移动，∠APE为直角，∴点P在以AE为直径的⊙O的圆上运动，∴点P就是⊙O与BD的交点，由图示知，BD与⊙O有2个交点．故答案为：2．【点评】本题主要考查了圆周角定理：直径所对的圆周角是直角．解答该题时，采用了“数形结合”的数学思想．6. 已知：如图，直尺的宽度为2，A、B两点在直尺的一条边上，AB＝6，C、D两点在直尺的另一条边上．若∠ACB＝∠ADB＝90°，则C、D两点之间的距离为_____．【分析】由∠ACB＝∠ADB＝90°，根据90°的圆周角所对的弦是直径，可得A，B，C，D 在以AB为直径的圆上，C，D即是此圆与直尺的交点，设E为AB中点，可得EC是半径为3，然后作EF⊥CD交CD于F，根据垂径定理可得：CD＝2CF，然后由勾股定理求得CF的长，继而求得答案．【解答】设E为AB中点，∵∠ACB＝∠ADB＝90°，∴A，B，C，D在以AB为直径的圆上，连接DE，CE，则CE＝DE＝1/2AB＝3，作EF⊥CD交CD于F，∴CD＝2CF，∵AB∥CD，∴EF＝2，在Rt△CFE和Rt△DFE中，CF＝√5，∴CD＝2√5．故答案为：2√5．【点评】此题考查了圆周角定理，垂径定理以及勾股定理等知识．此题拿度适中，解题的关键是由∠ACB＝∠ADB＝90°，根据90°的圆周角所对的弦是直径，得到A，B，C，D 在以AB为直径的圆上．7. 已知Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°，P是AB边上的动点（与点A、B不重合），Q是BC边上的动点（与点B、C不重合）（1）如图，当PQ∥AC，且Q为BC的中点时，求线段CP的长；（2）当PQ与AC不平行时，△CPQ可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段CQ的长的取值范围；若不可能，请说明理由．【分析】（1）根据平行线等分线段定理得到点P是斜边的中点，再直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，要求线段CP的长，只需根据勾股定理求得AB的长．（2）若PQ与AC不平行，则要使△CPQ成为直角三角形．只需保证∠CPQ＝90°．根据直径所对的圆周角是直角，则分析以CQ为直径的圆和斜边AB的公共点的情况：一是半圆和AB相切；二是半圆和AB相交．首先求得相切时CQ的值，即可进一步求得相交时CQ 的范围．【解答】（1）在Rt△ABC中∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，∴AB＝13；∵Q是BC的中点，∴CQ＝QB；又∵PQ∥AC，∴AP＝PB，即P是AB的中点，∴Rt△ABC中，CP＝13/2．（2）当AC与PQ不平行时，只有∠CPQ为直角，△CPQ才可能是直角三角形．以CQ为直径作半圆D，①当半圆D与AB相切时，设切点为M，连接DM，则DM⊥AB，且AC＝AM＝5，∴MB＝AB﹣AM＝13﹣5＝8；设CD＝x，则DM＝x，DB＝12﹣x；在Rt△DMB中，DB＝DM+MB，即（12﹣x）＝x+8，解之得x＝10/3，∴CQ＝2x＝20/3；即当CQ＝20/3且点P运动到切点M位置时，△CPQ为直角三角形．②当20/3＜CQ＜12时，半圆D与直线AB有两个交点，当点P运动到这两个交点的位置时，△CPQ为直角三角形③当0＜CQ＜20/3时，半圆D与直线AB相离，即点P在AB边上运动时，均在半圆D外，∠CPQ＜90°，此时△CPQ不可能为直角三角形．∴当20/3≤CQ＜12时，△CPQ可能为直角三角形．8.已知平面直角坐标系中两定点A(-1,0),B(4,0),抛物线y=ax+bx-2过点A,B,顶点为C,点P(m,n)为抛物线上一点,其中n<0.(1)求抛物线的解析式和顶点C的坐标;(2)当∠APB为钝角时,求m的取值范围.【分析】（1）利用待定系数法求出解析式，再利用x＝0得出y的值即可得出C点坐标．（2）因为AB为直径，所以当抛物线上的点P在⊙C的内部时，满足∠APB为钝角，进而得出m的取值范围；]解:(1) （1）∵抛物线y＝ax+bx﹣2（a≠0）过点A，B，∴a-b-2=0, 16a+4b-2=0，解得：a=1/2, b=-3/2，∴抛物线的解析式为：y＝1/2x﹣3/2x﹣2，当x＝0时，y＝﹣2，∴C（0，﹣2）；(2)∵A(-1,0),B(4,0),抛物线与y轴的交点D的坐标为(0,-2),如图，抛物线的对称轴与x轴的交点为M(3/2,0),∵AD=1+2=5,AB=(4+1) =25,BD=4+2=16+4=20,则AD+BD=AB,由勾股定理的逆定理,知△ABD是直角三角形,∠ADB=90°,以M为圆心,以MA为半径作圆,则☉M经过点D,则☉M内抛物线上的所有的点都可以是P点,且使∠APB为钝角,根据抛物线及圆的对称性,☉M与抛物线的另一个交点坐标为(3,-2),则满足条件的m的取值范围为:-1<m<0或3<m<4.类型3 四点共圆模型(1)若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆；(2)动点对定线段所张的角为定值.9. 如图2，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，m），点B的坐标为（0，n），其中m＞n＞0．点P为x轴正半轴上的一个动点，当∠APB达到最大时，直接写出此时点P的坐标________．【解析】当以AB为弦的圆与x轴正半轴相切时，对应的∠APB最大，根据垂径定理和勾股定理即可求解．当以AB为弦的圆与x轴正半轴相切时，作CD⊥y轴，连接CP、CB．∵A的坐标为（0，m），点B的坐标为（0，n），10. 在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、B（﹣6，0），点C是y轴上的一个动点，当∠BCA＝45°时，点C的坐标为_____．【分析】如解答图所示，构造含有90°圆心角的⊙P，则⊙P与y轴的交点即为所求的点C．注意点C有两个．【解答】设线段BA的中点为E，∵点A（4，0）、B（﹣6，0），∴AB＝10，E（﹣1，0）．（1）如答图1所示，过点E在第二象限作EP⊥BA，且EP＝1/2AB＝5，则易知△PBA为等腰直角三角形，∠BPA＝90°，PA＝PB＝5√2；以点P为圆心，PA（或PB）长为半径作⊙P，与y轴的正半轴交于点C，∵∠BCA为⊙P的圆周角，∴∠BCA＝1/2∠BPA＝45°，即则点C即为所求．过点P作PF⊥y轴于点F，则OF＝PE＝5，PF＝1，在Rt△PFC中，PF＝1，PC＝5√2，由勾股定理得：CF＝7，∴OC＝OF+CF＝5+7＝12，∴点C坐标为（0，12）；（2）如答图2所示，在第3象限可以参照（1）作同样操作，同理求得y轴负半轴上的点C坐标为（0，﹣12）．综上所述，点C坐标为（0，12）或（0，﹣12）．故答案为：（0，12）或（0，﹣12）．【点评】本题难度较大．由45°的圆周角联想到90°的圆心角是解题的突破口，也是本题的难点所在．11. 已知△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝2，D是边AB上一中点，将△CAD绕C逆时针向旋α得到△CEF，其点E是点A的对应点，点F是点D的对应点．DF与AE交于点M；当α从90°变化到180°时，点M运动的路径长为______．【分析】先证明A、D、M、C四点共圆，得到∠CMF＝∠CAD＝45°，即可推出点M在以AC 为直径的⊙O上，运动路径是弧CD，利用弧长公式即可解决问题．【解答】∵CA＝CE，CD＝CF，∴∠CAE＝∠CEA，∠CDF＝∠CFD∵∠ACD＝∠ECF，∴∠ACE＝∠DCF，∵2∠CAE+∠ACE＝180°，2∠CDF+∠DCF＝180°，∴∠CAE＝∠CDF，∴A、D、M、C四点共圆，∴∠CMF＝∠CAD＝45°，∴∠CMD＝180°﹣∠CMF＝135°．（补充：不用四点共圆的方法：由△OAC∽△ODM，推出△AOD∽△COM，推出∠OCM＝∠OAD，即可证明∠CMF＝∠CDM+∠DCM＝∠CAO+∠OAD＝∠CAD＝45°）∵O是AC中点，连接OD、CM．∵AD＝DB，CA＝CB，∴CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∵A、D、M、C四点共圆，∴当α从90°变化到180°时，点M在以AC为直径的⊙O上，运动路径是弧CD，【点评】本题考查几何变换综合题、等腰直角三角形的性质、平行线的判定和性质、弧长公式、四点共圆等知识，解题的关键是发现A、D、M、C四点共圆，最后一个问题的关键，正确探究出点M的运动路径，记住弧长公式，属于中考压轴题．三、总结提升圆是我们初中阶段学习的唯一一个曲线图形，除了它本身的基本性质和计算常被考察到以外，还可以用作辅助线。
构造辅助圆，交点立显现在解一些几何问题时，常会遇到一些用常规方法很难解决的问题。
这时，如果构造适当的图形来给以辅助，往往能促使问题转化，使问题中原来隐晦不清的关系和性质在新构造的环境中清晰地展现出来，从而简捷地解决问题，这种解题方法称为构造法。
对于在已知条件的线上找点与已知点构成一定的角的问题，如果能根据题目的题设和结论，构造出符合题意特征的辅助圆，即把题目中的固定角转化为圆的圆周角问题，就能使问题得以顺利解决，这种方法利用数形结合，使代数与几何等知识相互渗透，综合应用，它不但能较好的达到解题的目的，还有利于培养学生分析问题的能力。
请看下面的两个例题：例1如图，B是线段AC的中点，过点C的直线l与AC成60°的角，在直线l上取一点P，使得∠APB=30°，则满足条件的点P的个数是（A）3个（B）2个（C）1个（D）不存在分析：要在直线l上找点P使∠APB=30°，可以构造以AB为边作等边三角形ABO，则∠AOB=60°，然后以O为圆心，AB为半径，作圆O，如图，∵△ABO为等边三角形∴OB∥l，∴点O到l的距离d<r,所以点O与直线l有两个交点，P1、P2。
解：此题如果以AB为边作等边△ABO,再以点O为圆心，AB为半径作圆交直线l与点P1、P2，∵∠AOB=60°∴∠AP1B=30°，∠AP2B=30°所以满足条件的点P的个数是两个，分别为P1、P2。
例2如图，矩形ABCG（）与矩形CDEF全等，点B、C、D在同一条直线上，的顶点P在线段BD上移动，使为直角的点P的个数是【C 】A．0 B．1 C．2 D．3分析：要使∠APE=90°，则需要以AE为直径作圆，如果此圆与线段BD相交，有几个交点，则使∠APE为直角的点P的个数就有几个，通过作图及圆心到直线的距离可知，以AE为直径的圆与BD只有两个交点，所以使∠APE为直角的点P的个数是两个。
