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中考复习专题之构造辅助圆.ppt

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人教版九年级数学上册《构造辅助圆解决几何问题》PPT

人教版九年级数学上册《构造辅助圆解决几何问题》PPT

E
D F
解：∵∠ABC =90°，
BE平分∠ABC，
B
C
∴∠ABE =45°.
∴∠ACE=∠ABE =45°.
三、利用“四点共圆”构造辅助圆
例3 如图，四边形ABCD为矩形,BE平分∠ABC, 交AD于点F,∠AEC =90°.
(1)A、B、C、E四点共圆吗？
(2)求∠ACE的度数；
(3)求证：BE⊥ED .
A
E
D F
证明：连接BD.
∵四边形ABCD是矩形，
∴A、B、C、D四点共圆，
B
C
并且BD是直径.
又∵A、B、C、E四点共圆，
∴A、B、C、D、E五点共圆.
∴∠BED为直角，即BE⊥ED.
三例、3 利如用图“，四四点边共形圆A”BC构D造为辅矩助形圆,BE平分∠ABC, 交AD于点F,∠AEC =90°.
纵观例题及其变式，其共同之处都存在着同一个结 构，如图所示，即共端点的三条等线段，它让我们联想到 “所有到定点的距离等于定长的点都在以定点为圆心、定 长为半径的同一个圆上”
建立模型：遇等线（共端点），作辅圆
拓展训练
1. 在平面直角坐标系xoy中，已知点A（-2,0），B(0,3)， 在坐标轴上找一点P，使得△ABP是等腰三角形，则这样的点共 有 ８ 个．
一、利用圆的定义来构造辅助圆
变式：（2019江西九江模拟） 如图，已知AB＝AC＝AD， ∠CBD＝2∠BDC68° B.88° C.90° D.112°
解题策略： 利用圆的定义构造圆 （圆可以看成是所有到定点的距离等于定长的点的集合）
一、利用圆的定义来构造辅助圆
通过构造辅助圆，巧妙地将线段的最值问
题转化为圆外一点与圆上的点的最大距离与最

中考数学复习专题解读——《辅助圆》问题(共19张PPT)

中考数学复习专题解读——《辅助圆》问题(共19张PPT)
A. 40° B. 35° C. 60° D. 30°
3.如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，若 ∠CAD=76°，则∠CBD= 度。
4.如图，在△ABC中，∠C为钝角，点E，H分别 是边AB上的点，点K和M分别是边AC和BC上的 点，且AH=AC，EB=BC，AE=AK，BH=BM。
判定3：共底边的两个三角形顶角相等，且 在底边的同侧，则四个顶点共圆。
判定4：对于凸四边形ABCD，若对角互补 或一个外角等于其邻补角的内对角，则A、 B、C、D四点共圆。
判定5：对于凸四边形ABCD其对角线AC、 BD交于点P，若PA·PC=PB·PD，则A、B、C、 D四点共圆。（相交弦定理的逆定理）
例1.已知：四边形ABCD中, ∠ ABC=∠ ADC=90°, E、F分别是AC、BD的中点.求证：EF⊥BD.
例1.已知：四边形ABCD中, ∠ ABC=∠ ADC=90°, E、 F分别是AC、BD的中点.求证：EF⊥BD.
本题考察知识点比较隐蔽，没有添 加辅助线对于学生来讲是一个难点 ，变式性比较强，图形可变，条件 也可以变，施展的平台可以借助于 四点共圆来实现更多的变式。
（1）求证：E、H、M、K四点共圆； （2）若KE=EH，CE=3，求线段KM的长。
F分别是AC、BD的中点. 求证：∠ABD=∠ACD
练习反馈
1. 锐角△ABC的三条高AD、BE、CF交于H， 在A、B、C、D、E、F、H七个点中。能组 成四点共圆的组数是（ ）
A. 4组 B. 5组 C. 6组 D. 7组
2如图，A，B，C，D是圆上四点，AD，BC 的延长线交于点P，弧AB、弧CD分别为 100°、40°，则∠P的度数为（ ）
解析：证明：连接BE、DE ∠ ∠ ABC=∠ ADC=90°，

中考复习专题之构造辅助圆ppt课件

中考复习专题之构造辅助圆ppt课件
• 依据：不在同一直线上的三点确定一个圆
或：同弧所对的圆周角相等且等于 这条弧所对的圆心角的一半 •小结3： 当遇有 动点对定线段所张的角为定值时， 通常 把张角转化为圆周角 构造辅助圆.
5/2/2020
12
三.巩固练习
1.（2011湖北鄂州中考）如下图OA=OB=OC且 ∠ACB=30°，则∠AOB的大小是（ ）
B（﹣6，0），点C是y轴上的一个动点，当
∠BCA=45°时，点C的坐标为
．
定张角
定线段
5/2/2020
9
探究3.在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、
B（﹣6，0），点C是y轴上的一个动点，当
∠BCA=45°时，点C的坐标为
．
变式1：如果把∠BCA=45°改成∠BCA=30°， 还会做吗？
5/2/2020
5/2/2020
5
可构造圆的条件1
• 什么条件让你想到可以构造圆，可以构造 圆的依据是什么？
• 条件1： 同一个端点出发的几条等长线段 • 依据： 圆的定义
•小结1： 当遇有 同一个端点出发的等长线段 时，
通常以 这个端点 为圆心，等线段长为半径，
构造辅助圆.
5/2/2020
6
探究2.如图，矩形ABCG的与矩形CDEF全等， 并且AB=1，BC=3，点B、C、D在同一条直 线上，∠APE 的顶点P在线段BD上移动，使 ∠APE 为直角的点P的个数是 （ ）
A.40°
B.50° C.60° D.70°
5/2/2020
D A
C
30°
B
13
2. （2012青海中考） 如图，四边形Ａ ＢＣＤ是正方形，点Ｅ是边ＢＣ的中点， ∠ＡＥＦ=90，EF交正方形外角的平分线Ｃ Ｆ于 Ｆ。求证：ＡＥ=EＦ。（人教版八年 级下册第69页）

中考数学备考课件：辅助圆问题 (共19张PPT)

中考数学备考课件：辅助圆问题 (共19张PPT)

BM C
∴△ABM≌△BCN(SAS)
∴ BAM CBN
∵ ABP CBN 90o ∴ ABP BAM 90o ∴ APB 90o ∴点 P 在以 AB 为直径的圆上
运动,设圆心为 O,连接 OC 交⊙O 于 P,此时 PC 最小 ∵ AB 4 ∴ OP OB 2
A
D
O
N
P B MC
解:∵ AB AC AD 2
E
∴点 B,C,D 在以点 A 为圆心, 半径为 2 的圆上延长 BA 交 D ⊙A 于 E,连接 DE
∵AB∥CD ∴ EBD BDC
A
B
C
∵ DE DE , BC BC ∴ EAD 2EBD ,
BAC 2BDC
∴ EAD BAC
E
A
B
∴ ED BC 1
小值为 BC sin B 3 3
∴DE 长的最小值为
3 2
PC
3 2
3
3
9 2
.
类型二 定点 定长模型 方法与技巧 常见图形中共顶点的多条线段相等,可考虑利用到 定点的距离等于定长推导共圆,再利用圆有关性质 解决问题.
3.如图,在四边形 ABCD 中, AB AC AD 2 , BC 1,AB∥CD.求 BD 的长.
由勾股定理,得 OC OB2 BC2 2 5
∴ PC OC OP 2 5 2
∴PC 长的最小值为 2 5 2 .
2.如图,在 Rt△ ABC 中, ACB 90o , AB 5,
cos
B
4 5
,⊙A
与边
BC
交于点
C,过
A
作
DE∥BC,
交⊙A 于点 D,E,点 F 在 DC 上,连接 EF,过 A 作

2024年九年级数学中考一轮复习考点突破课件：构造辅助圆

2024年九年级数学中考一轮复习考点突破课件：构造辅助圆

B. 3
C.
4
3
3
D. 2
第1题
1
2
3
4
5
6
2. 如图，A是直线y＝－x上的动点，B是x轴上的动点.若AB＝2，则
△AOB面积的最大值为（ B ）
A. 2
B. 2＋1
C. 2－1
D. 2 2
第2题
1
2
3
4
5
6
3. 如图，在△ABC中，AB＝5，∠ACB＝90°，∠CPB＝∠A，tan∠CPB
3
＝ ，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，则CQ长的最大值
A，B，C，D在同一个圆上，此时AC为四边形ABCD的外接圆的直径.
2. 如图②，在四边形ABCD中，∠ACD＝∠ABD＝90°，则点A，B，C，
D在同一个圆上，此时AD为四边形ABCD的外接圆的直径.
3. 如图③，AB为△ABC和△ABD的公共边，点C，D在AB的同侧，且
∠C＝∠D，则点A，B，C，D在同一个圆上.
E，交半圆O于点F，则线段B'F的长即为EB＋EF长的最小
值.∵ 易得∠C'＝90°，B'C'＝C'D＝CD＝6，∴ OD＝OF＝

CD＝3.∴ OC'＝9.∴ B'O＝ ′′ ＋′ ＝ ＋ ＝

3 .
∵ OF＝3，∴ B'F＝3 －3.∴ EB＋EF长的最小值为
3 －3
4

为 .
第3题
1
2
3
4
5
6
4. 如图，在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相
同的速度分别向点C，B运动，连接AE，DF相交于点P，由于点E，F的

巧作辅助圆解决问题PPT.docx

巧作辅助圆解决问题PPT.docx

三、张角的度数为非90°的定值
例3如图5，已知半圆O的直径AB＝8，C为弧AB的中 点，P为弧BC上一动点，连接AP、CP，过点C作 CD⊥CP交AP于点D，则当点P从点B运动到点C时， 点D的运动路径长为 .
点评:张角的度数为非90°定值的问题有一定难度，而且 题型多样，涉及证明、计算、探究、画图等各种类型。
解决动态几何问题，应把握运动变化的全过程，动中觅 静，寻求其中的不变量、不变关系或特殊关系，从而发 现动点的运动路径或点与点、线与线、角与角之间的内 在联系，最终解决问题，本文所谈的构造辅助圆问题， 虽然不全是动态几何问题，但都要抓住动点到定点的距 离不变这一不变量，或几个点到同一个点的距离相等这 一特殊关系，或张角为直角或张角度数为非90°的定值 这一不变关系，以及同一线段所对的张角相等这一不变 关系，发现动点的运动路径为一个圆或一个圆弧，通过 构造辅助圆来解决问题。
例2如图3，在等腰R△ABC中，∠BAC=90º，AB=AC，BC=22，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点
A、22-2 B、5-2
C、5-1
D、3-1
二、张角为直角
点评:本题中90°张角的顶点在动，但它所在 直角三角形的斜边不动，我们只要抓住“张角 为直角”这一特征，构造辅助圆，问题便能迎 刃而解。
在近几年中考试卷中，常出现这样一类
题目，从表面上看是一个三角形或四边形问 题，用三角形或四边形的知识来解决非常困 难，甚至根本无法解决，但我们可以从已知 条件中发现蛛丝马迹，也就是发现图形中的 隐含特征，从而通过构造辅助圆，借助圆的 知识来解决问题这样的问题一般具有以下特 征:
一、到定点的距离等于定长
ห้องสมุดไป่ตู้
点评:随着直线DE位置的变化，点M的位置也 在变化，但它一定在以点D为圆心，DA的长

初三全品数学中考复习方案PPT-提分微课04构造辅助圆

初三全品数学中考复习方案PPT-提分微课04构造辅助圆
最小值是 1.2 .
图W4-3
4.如图W4-4,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,AB=6,点D是AB上一动点,将
△BCD沿CD所在直线折叠,使点B落在点P处,连接AP,则线段AP的最小值为
.
图W4-4
[答案]3 3-3
[解析]易知点 P 在以点 C 为圆心,以 CB 的长为半径的圆上,
且OA=OB=OD.
求证:(2)四边形OBCD是菱形.
图W4-5
证明:(2)如图,连接 OC.
∵OB=OD,CB=CD,OC=OC,∴△OBC≌△ODC.
∴∠BOC=∠DOC,∠BCO=∠DCO.
∵∠BOD=∠BOC+∠DOC,∠BCD=∠BCO+∠DCO,
1
1
∴∠BOC=2∠BOD,∠BCO=2∠BCD.
.
图W4-8
[答案] 5-1
[解析]由△ABE≌△DCF,得∠ABE=∠DCF,根据正方形的轴对称性,可得∠DCF=
∠DAG,∴∠ABE=∠DAG,∴∠AHB=90°,故点 H 在以 AB 为直径的圆弧上.取 AB
中点 O,以 O 为圆心,OA 长为半径作半圆,连接 OD 交半圆 O 于点 H,此时 DH 最小,
[答案] 45°
[解析]由题意可得C,B,A,F四点在同一个圆上.
∴∠BFC=∠BAC.∵直线a∥CD,∴∠BAC=∠ACD.
又∵△ACD是等腰直角三角形,∴∠ACD=45°.
∴∠BFC=45°.∵∠CBF=90°,∴∠BCF=45°.
图W4-6
8. [2016·宁波考纲]如图W4-7,在等腰直角三角形ABC中,AB=BC=2,点P为等腰
向旋转,得到△MNC.点P,Q分别是线段AC,MN的中点,在△ABC绕点C按顺时针方

福建省浦城县永兴中学2019届中考数学复习课件：构造辅助圆(共19张PPT)

福建省浦城县永兴中学2019届中考数学复习课件：构造辅助圆(共19张PPT)

4/9/2019
四.课堂小结
条件1
构造圆的条件：
条件2
•o
O
定张角 条件 3 …… 定线段 条件…
图中无圆，心中有圆
• 今天研究的这三类问题，从表面上看似乎 与圆无关，但如果我们能深入挖掘题目中 的隐含条件，善于联想所学定理，巧妙地 构造符合题意特征的辅助圆，再利用圆的 有关性质来解决问题，往往能起到化隐为 显、化难为易的解题效果！
中考专题复习之
构造辅助圆
4/9/2019
一.复习旧知
圆的“集合”定义是什么？
圆是所有到定点 的距离等于定长 的点的集合
• o
A
圆周角定理？
D
同弧所对的圆周角相等，
且等于这条弧所对圆心 角的一半
O
B
C
C
直径所对的圆周角是直角，
A
O
B
90°的圆周角所对的弦 是直径
二.探索新知
探究1.如图所示，在四边形ABCD中， AB=AC=AD，∠BAC=20°∠CAD=80°，则 ∠BDC=______度，∠DBC=______度
4/9/2019
可构造圆的条件1
• 什么条件让你想到可以构造圆，可以构造 圆的依据是什么？ • 条件1： 同一个端点出发的几条等长线段 • 依据： 圆的定义 •小结1： 当遇有 同一个端点出发的等长线段 时， 这个端点 通常以 为圆心， 等线段长 为半径， 构造辅助圆.
4/9/2019
探究2.如图，矩形ABCG的与矩形CDEF全等， 并且AB=1，BC=3，点B、C、D在同一条直 线上，∠APE 的顶点P在线段BD上移动，使 ∠APE 为直角的点P的个数是 （ ） A．0 B．1 C．2 D．3
A D F B E C G

人教版九年级下册 第二十九章 利用辅助圆解决动点问题 课件(共15张PPT)

人教版九年级下册 第二十九章 利用辅助圆解决动点问题 课件(共15张PPT)

模型一 定点定长作圆
平面内，点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，则点B的轨迹在以点A为 圆心，AB长为半径的圆上(如图①). 依据的是圆的定义：圆是所有到定点的距离等 于定长的点的集合.
图①
图②
推广：如图②，点E为定点，点F为线段BD上的动点(不含点B)，将△BEF沿EF折叠
得到△B′EF，则点B′的运动轨迹为以点E为圆心，以线段BE为半径的一段圆弧.
2. 如图，⊙O与直线l相离，点P是⊙O上的一个动点，设圆心
O到直线l的距离为d，⊙O的半径为r，则点P到直线l的最小
距离是
(如图③)，点P到直线l的最大距离是
(如图④).
例4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC ＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC 上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在 点P处，则点P到边AB距离的最小值是( ）
例1、如图，边长为2的正方形ABCD中，点E是AB 上一点，将正方形沿CE折叠，点B落在正方形内一 点B′处，若△AB′D是等腰三角形，则BE的长为 .
3
到底在哪里 究竟有几个 该怎样求解
模型二 直角对直径 1. 半圆(直径)所对的圆周角是90°. 如图①，△ABC中，∠C＝90°， AB为⊙O的直径；
例3、已知点O及其外一点C，OC＝5，点A、B分别是平面内的动点，
且OA＝4，BC＝3，在平面内画出点A、B的运动轨迹如图所示，则OB
长的最大值为
，OB长的最小值为
，AC长的最大值
为
，AC长的最小值为
，AB长的最大值为
，AB长
的最小值为
.
针对练习
如图，在△ABC中，AB⊥BC，
AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动
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中考专题复习之
构造辅助圆
4/29/2020
一.复习旧知
圆的“集合”定义是什么？
圆是所有到定点
•o
的距离等于定长
的点的集合
A O
B
圆周角定理？
D 同弧所对的圆周角相等，
且等于这条弧所对圆心 角的一半
C
C
直径所对的圆周角是直角，
A
B 90°的圆周角所对的弦
O
是直径
二.探索新知
探究1.如图所示，在四边形ABCD中， AB=AC=AD，∠BAC=20°∠CAD=80°，则 ∠BDC=______度，∠DBC=______度
4/29/2020
可构造圆的条件2
• 什么条件让你想到可以构造圆，可以构造 圆的依据是什么？
• 条件2：
直角
• 依据： 90°的圆周角所对的弦是直径.
•小结2：当遇有
直角
时，
通常以 斜边为直径 ，构造辅助圆.
4/29/2020
探究3.在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、
B（﹣6，0），点C是y轴上的一个动点，当
或：同弧所对的圆周角相等且等于 这条弧所对的圆心角的一半 •小结3： 当遇有 动点对定线段所张的角为定值时， 通常 把张角转化为圆周角 构造辅助圆.
4/29/2020
三.巩固练习
1.（2011湖北鄂州中考）如下图OA=OB=OC且 ∠ACB=30°，则∠AOB的大小是（ ）
A.40°
B.50° C.60° D.70°
4/29/2020
∠BCA=45°时，点C的坐标为
．
定张角
定线段
4/29/2020
探究3.在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、
B（﹣6，0），点C是y轴上的一个动点，当
∠BCA=45°时，点C的坐标为
．
变式1：如果把∠BCA=45°改成∠BCA=30°， 还会做吗？
4/29/2020
探究3.在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、
4/29/2020
可构造圆的条件1
• 什么条件让你想到可以构造圆，可以构造 圆的依据是什么？
• 条件1： 同一个端点出发的几条等长线段 • 依据： 圆的定义
•小结1： 当遇有 同一个端点出发的等长线段 时， 通常以 这个端点 为圆心，等线段长为半径， 构造辅助圆.
4/29/2020
探究2.如图，矩形ABCG的与矩形CDEF全等， 并且AB=1，BC=3，点B、C、D在同一条直 线上，∠APE 的顶点P在线段BD上移动，使 ∠APE 为直角的点P的个数是 （ ） A．0 B．1 C．2 D．3
A
BE
图 19
D
证法5
F
BE
CGP图 22来自CGNA
D
Q
BE
C
图 21
证法3
A
D
F
B
E
H
CG 图 20
F 证法4
G
3.(2014年山东淄博市中考数学)如图，点A与 点B的坐标分别是（1,0），（5,0），点P是 该直角坐标系内的一个动点。
（1）使∠APB=30°的点P有 个； （2）若点P在y轴上且∠APB=30°， 求满足条件的点P的坐标；
4/29/2020
D A
C
30°
B
2. （2012青海中考） 如图，四边形Ａ ＢＣＤ是正方形，点Ｅ是边ＢＣ的中点， ∠ＡＥＦ=90，EF交正方形外角的平分线Ｃ Ｆ于 Ｆ。求证：ＡＥ=EＦ。（人教版八年 级下册第69页）
A
D
F
BE
CG
一题多解
证法1 ＡＥ=EＦ 证法2
A
D
A
D
M
F
F
BE
CG
图 18
B（﹣6，0），点C是y轴上的一个动点，当
∠BCA=45°时，点C的坐标为
．
变式2：如果把“∠BCA=45°”改成“∠ BCA=θ° 还能做吗？
4/29/2020
可构造圆的条件3
• 什么条件让你想到可以构造圆，可以构造 圆的依据是什么？
• 条件3：动点对定线段所张的角为定值 • 依据：不在同一直线上的三点确定一个圆
（3）当点P在y轴上移动时，∠APB是否
有最大值？若有，求点P的坐标，并说明
此时∠APB最大的理由；若没有，也请说
明理由．
4/29/2020
四.课堂小结
条件1
•o
构造圆的条件：
条件2
O
条件 3
定张角
…… 条件…
定线段
图中无圆，心中有圆
• 今天研究的这三类问题，从表面上看似乎 与圆无关，但如果我们能深入挖掘题目中 的隐含条件，善于联想所学定理，巧妙地 构造符合题意特征的辅助圆，再利用圆的 有关性质来解决问题，往往能起到化隐为 显、化难为易的解题效果！