Koch 分形雪花图的面积计算
一、问题叙述
分形几何图形最基本的特征是自相似性，这种自相似性是指局部与整体在形态、功能、
信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似。在具有自相似性的图形中，图形局部只是整体的缩影，而整体图形则是局部的放大。而本文我们要分析的是Koch 分形雪花图，包含以下三个问题：
1.描述Koch 分形雪花
2.证明Koch 分形雪花图K n 的边数为
n 1L 34n -=⨯
3.求Koch 分形雪花图的面积（数据），求
n n lim Area(K )→∞
二、问题分析
在分析Koch 分形雪花图之前，我们首先介绍Koch 分形曲线。Koch 分形曲线的绘制原
理是：从一条直线段开始，将线段中间的三分之一部分用一个等边三角形的两边代替，形成四条线段的折线，如图所示：
图 对一条线段进行第一次Koch 分形
然后，对形成的四条直线段的每一条的中间的三分之一部分用等边三角形的两边代替，形成十六条线段的折线。这种迭代继续进行下去可以形成Koch 分形曲线。在迭代过程中，图形中的点数将越来越多，而曲线的最终显示细节的多少将取决于迭代次数和显示系统的分辨率。
设P1和P2分别是原始的两个端点，现在需要在直线段的中间依次插入点Q1，Q2,Q3以产生第一次迭代图形。显然，Q1位于P1右端直线段的三分之一处，Q3位于P1点右端直线段的
三分之二处，而Q2点的位置可以看作由Q3绕Q1逆时针旋转60度而得到的，故可以处理Q Q 13 经过正交变换而得到Q Q 12 。算法如下： （1）Q1P1+P P Q P1+P P /3;←←（2-1）/3;32（2-1）
（2）T Q2Q1+Q3-Q A ←⨯（1）
; （3）P5P2P2Q 1P3Q P Q3←←←←；；2；4。
在算法中，用正交矩阵A 构造正交变换，其功能作用是对向量作旋转，使之成为长度不变的另一向量。在绘制Koch 曲线的过程中，取旋转的角度为
3
π
，则正交矩阵A 应取为： cos()sin()33A=sin()cos()33ππππ⎛
⎫- ⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎝
⎭ 分形雪花的描述
Koch 分形雪花的原始图形是等边三角形，它是由三条相等的线段围成的三角形。根据
前面介绍的一条线段的Koch 分形的原理可知，Koch 分形雪花的形成是对等边三角形的三条边进行Koch 分形，随着迭代次数的增加，即可形成Koch 分形雪花图。 2.证明Koch 分形雪花图K n 的边数为 n 1L 34n -=⨯
证：对于一条线段，第1次迭代生成的图形包含4条线段，第2次迭代后生成的共有
16条线段，第3次迭代后共有64条线段，以此类推，第n 次迭代后共有4n 条线段。所以，第n 个图形（即第n-1次迭代）共有14n - 条线段。对于该等边三角形，三条线段都进行Koch 分形，进行n-1次迭代 ，生成的雪花图K n 的的直线段数为134n -⨯，也即雪花图K n 边数为： n 1
L 34
n -=⨯。
3.求Koch 分形雪花图的面积 (1)递推法
首先,假设要进行分形的正三角形的边长为a,面积为S
，则2
S 。设第一个图形为K 1，面积为S 1，则S 1=S;第二个图形为K 2 ，面积为S 2，则1
02S =S +34()213S ⨯⨯；第三个图形
为K 3，面积为S 3，则1122
S =S +34S 323
⨯⨯⨯（），以此类推，第n 个图形为K n ，面积为S n ，则
1(n 1)2
n 2
S
S
34
()S n n n 1
3
-⨯-=+⨯⨯≥-（2）
，依次迭代，将S n 1-最终表示成S 1的形式为：
11102122n 2(n 1)2
S S +34S+34S++34S n 13
3
3
⨯--⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯（）（）（）
111102122232n-2n-1S +3S 4+4+4+413
3
3
3
⎡⎤⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎢⎥
⎣
⎦
（）2（）（）（）（） 括号内的和式为等比数列，首项为213⎛⎫ ⎪⎝⎭，公比为2143⎛⎫
⨯ ⎪⎝⎭
，一共（n-1）项，所以
111102122232n-2n-14+4+4+43
3
3
3
⎡⎤⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎢⎥⎣
⎦
（）2（）（）（）（）=2111214()3321143n -⎧⎫⎪⎪⎛⎫
⎡⎤-⨯⎨⎬
⎪⎢⎥⎝⎭
⎣⎦⎪⎪⎩⎭⎛⎫-⨯ ⎪
⎝⎭
=114159n -⎡⎤
⎛⎫⎢⎥⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
因此，
134S S+1S n 59n -⎡⎤
⎛⎫⎢⎥=- ⎪
⎢⎥⎝⎭⎣⎦ =n-1341+1-S 59⎧
⎫⎡
⎤⎪⎪⎛⎫
⎢⎥⎨⎬ ⎪
⎢⎥⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎩
⎭
其中32
n 1,S=4a ≥。 所以,当迭代次数趋于无穷大时，
n n lim Area(K )→∞
=n limS n →∞
=1.6S （其中32
S=
a ，a 是正三角形的边长） 结论：当n →∞时，Koch 分形雪花图的面积为初始正三角形面积的倍。 （2）格林公式法计算多边形面积法
多边形面积算法：
(
)(,)(,)D
Q P
dxdy P x y dx Q x y dy x y
Γ
∂∂-=+∂∂⎰⎰⎰
令,Q x P y ==-可得区域D 的面积计算公式为:
1
2S dxdy ydx xdy D
==-+⎰⎰⎰Γ ,其中Γ是围绕多边形D 的逆时针方向的闭合曲线。
对Γ进行划分,11:(,)(,)j j j j j x y x y ++Γ→ (j=1,2,…,n)
