【深圳大学2011年考研专业课真题】数据结构(二)2011

2011年考研数学(二)试题答案速查一、选择题（1）C （2）B （3）C （4）C （5）A （6）B （7）D （8）D 二、填空题（9（10）e sin xx − （11）ln(1 （12）1λ（13）712（14）2 三、解答题 （15）13α<<. （16）极小值13y =−，极大值1y =， 凸区间为1(,)3−∞，凹区间为1(,)3+∞，拐点为11(,)33.（17）11112(1,1)(1,1)(1,1)f f f '''''++. （18）π()arcsin4x y x =−. （19）略. （20）（Ⅰ）9π4V =.（Ⅱ）27π8W g ρ=. （21）a .（22）（Ⅰ）5=a .（Ⅱ）112324=+−βααα，2122=+βαα，31235102=+−βααα.（23）（Ⅰ）1112223331231101,0,1,0,0,1,0110p k p k p k k k k λλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=−=====≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（Ⅱ）001000100⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A .2011年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）参考答案一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． （1）【答案】C ．【解答】由泰勒展开定理33sin ()3!x x x o x =−+，33(3)sin 33()3!x x x o x =−+.所以，333339()3sin sin 33(3)()4()22x x f x x x x x o x x o x =−=−−−+=+.当0x →时，3()4f x x ，所以选择C.（2）【答案】B ．【解答】2330()2()lim x x f x f x x →−22330()(0)2()2(0)lim x x f x x f f x f x →−−+= 330()(0)()(0)lim 2x f x f f x f x x →⎡⎤−−=−⎢⎥⎣⎦(0)2(0)(0)f f f '''=−=−. 故应选B. （3）【答案】C ．【解答】(2)(3)(1)(3)(1)(2)()(1)(2)(3)x x x x x x f x x x x −−+−−+−−'=−−−231211(1)(2)(3)x x x x x −+=−−− 令2()31211g x x x =−+，由于2124311120∆=−⨯⨯=>,故()g x 有两个不同的实根，且不是1,2,3，所以()f x 有两个不同的驻点. （4）【答案】C.【解答】由题可知特征方程为 220r λ−=，特征根12r r λλ==−,，则齐次方程通解为12e e x x y C C λλ−=+. 方程2e x y y λλ''−=的特解可设为1e x y x a λ=⋅⋅，方程2e xy y λλ−''−=的特解可设为2exy x b λ−=⋅⋅，则由微分方程解的结构可知，方程2e e xx y y λλλ−''−=+可设特解(e e )x x y x a b λλ−=+.（5）【答案】A ． 【解答】由题设条件，(0,0)(0,0)()()(0)(0)0zf xg y f g x ∂''===∂，(0,0)(0,0)()()(0)(0)0zf xg y f g y ∂''===∂.故，(0,0)点为函数()()z f x f y =的驻点.又22(0,0)(0)(0)z A f g x ∂''==∂，2(0,0)(0)(0)0z B f g x y ∂''===∂∂，22(0,0)(0)(0)zC f g y∂''==∂.所以2(0)(0)(0)(0)AC B f g g f ''''−=.如果(0,0)点为函数()()z f x f y =的极小值点， 则要求20,0A AC B >−>，已知有()0,(0)0f x g ><，所以，(0)0,g (0)0f ''''<>， 故正确答案选A ． （6）【答案】B ． 【解答】当π04x <<时,有0sin cos 1cot x x x <<<<,所以ln sin ln cos ln cot x x x <<，由定积分的性质，答案选B ． （7）【答案】D ．【解答】易知100110,001⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭A B 100001010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B =E即12,=AP B P B =E ,所以1112121−−−A =P P =P P ,选答案D ． （8）【答案】D ．【解答】易知**,()3,()1r r ==AA =O A A ,*=A x 0的基础解系有3个线性无关的向量,1234,,,αααα是*=A x 0的解；又因为T (1,0,1,0)是方程组0Ax =的一个基础解系，即13+=0αα，所以13,αα线性相关，则方程组*=A x 0的基础解系为234,,ααα，选答案D ．二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （9）.【解答】0012121ln 1(1)ln()22limlim 012lim e e 2x x x x x xxxx →→⎡⎤+++−⎢⎥⎢⎥⎣⎦→⎛⎫+== ⎪⎝⎭00212ln 21limlimln 2222eeex x x x x →→−⋅====（10）【答案】esin xx −.【解答】d d e (e cos e d )x xx y x x C −−⎰⎰=⋅+⎰e (cos d )x x x C −=+⎰e (sin )x x C −=+由于(0)0,y =故0C =,所以e sin x y x −=. （11）【答案】ln(1+.【解答】ππ440sec d ln |sec tan |ln(1s x x x x ===+=⎰.（12）【答案】1λ【解答】()()0111()d ed ed e d xxt t x xf x x x x x x t t λλλλλλλλλ+∞+∞+∞+∞−−−−∞==⋅==⎰⎰⎰⎰. （13）【答案】712. 【解答】由题设条件令cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩， 其中ππ,02sin 42r θθ，所以， ππ2sin 2sin 322ππ044d d cos sin d sin cos d d Dxy r r r r r r θθσθθθθθθ=⋅⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ππ4622ππ44(2sin )27sin cos d sin 4312θθθθθ===⎰. （14）【答案】2.【解答】由于二次型f 对应矩阵111131111⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，()()111131140111λλλλλλλ−−−−=−−−=−−=−−−E A ， 得1230,1,4λλλ===，因此f 的正惯性指数为2.三、解答题：15～23小题,共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （15）（本题满分10分）解：当0α时，220ln(1)d limlim ln(1)d xxx x t t x t t x αα−→+∞→+∞+=⋅+=+∞⎰⎰与已知矛盾，不和题意. 因为22230110000ln(1)d ln(1)1limlim lim lim 0xx x x x t t x x x x x x ααααααα++++−−−→→→→++===⋅=⎰， 所以30α−>，即3α<.又因为223201222ln(1)d ln(1)210lim lim lim lim(1)(1)1xx x x x xt t x x x x x x x ααααααααα−−−→+∞→+∞→+∞→+∞+++====−−+⎰， 所以32α−<，即1α>. 综上可得，13α<<.（16）（本题满分11分）解：对参数方程求导，得22d 1d ()d 1d yt t y x x t t−'==+， 2222222231d()12(1)(1)2141()d d (1)1(1)d t t t t t t t y x x t t t t t−+−−⋅+''=⋅=⋅=+++. 令()0y x '=，得1t =±. 当1t =时，得53x =，13y =−，0y ''>. 故13y =−为极小值. 当1t =−时，得1x =−，1y =，0y ''<. 故1y =为极大值. 令()0y x ''=，得0t =，13x y ==. 当0t <时，得13x <，0y ''<；当0t >时，13x >，0y ''>. 所以曲线()=y y x 的凸区间为1,3⎛⎫−∞ ⎪⎝⎭，凹区间为1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，11(,)33为拐点. （17）（本题满分9分） 解：[][]12,(),()()zf xy yg x y f xy yg x yg x x∂'''=⋅+⋅∂ []211112,()(,())(,())()zf xy yg x y f xy yg x x f xy yg x g x x y∂'''''⎡⎤=++⎣⎦∂∂ []{}22122(),()()[,()][,()]()g x f xy yg x yg x f xy yg x x f xy yg x g x '''''''+⋅+⋅+又()g x 在1x =可导，且为极值,所以(1)0g '=，所以，21111121d |(1,1)(1,1)(1,1).d d x y zf f f x y =='''''=++ （18）（本题满分10分）解: 由题当0x =时，有d 0,(0)1,tan d yy y xα'===. 方程d tan d y x α=两边对x 求导，可得222d d sec d d y x x αα⋅=① 由d d d d y x x α=,则①式可化为222d d d 1d d d y y y x x x⎡⎤⎛⎫+⋅=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，即方程()21y y y ''''=+ ② 令y p '=，有d d py py''=，则②式可化为3d d p p p p y =+ ③由于0y p '=≠，所以③变为2d 1d pp y=+ ④ 解方程④得1arctan p y C =+. 再有(0)0,(0)1,y y '==可得1π4C =. 所以，πtan 4y y ⎛⎫'=+⎪⎝⎭，分离变量，两边积分得2πsin e 4xy C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 由(0)0y =，得22C =，因此π()4x y x =−.（19）（本题满分10分）证：（Ⅰ）设()()1ln 1,0,f x x x n ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦.显然()f x 在10,n⎡⎤⎢⎥⎣⎦上满足拉格朗日中值定理:()1111110ln 1ln1ln 1,0,1f f n n n n n ξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=+−=+=⋅∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭当10,n ξ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，11111111101n n n nξ⋅<⋅<⋅+++,即111111n n n ξ<⋅<++，x111ln 11n n n⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭. 结论得证.（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论,可以得到11ln(1)1n n <++，所以11ln 101n n ⎛⎫−+< ⎪+⎝⎭得到1n n a a +<，即数列{}n a 单调递减.因为，1111ln ln 1ln nnn k k a n n k k ==⎛⎫=−>+− ⎪⎝⎭∑∑，而，()11112341ln 1ln ln ln 1123nnk k k n n k k n ==++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+==⋅⋅=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∏， 所以，()1111ln ln 1ln ln 1ln 0nnn k k a n n n n k k ==⎛⎫=−>+−>+−> ⎪⎝⎭∑∑.（20）（本题满分11分） 解:（Ⅰ）12V V V =+()()12222112π2d π1d y y y y y −=−+−⎰⎰23212π3y y ⎛⎫=− ⎪⎝⎭+1321π3y y −⎛⎫− ⎪⎝⎭=π1534⎛⎫+− ⎪⎝⎭=9π4（Ⅱ）22d π(2)(1)d π(2)1(1)d W g y y y g y y y ρρ⎡⎤=−−+−−−⎣⎦12222112π(2)(1)d π(2)1(1)d W g y y y g y y y ρρ−⎡⎤=−−+−−−⎣⎦⎰⎰1232322112π(22)d (44)d g y y y y y y y y ρ−⎛⎫=−−++−+ ⎪⎝⎭⎰⎰11122432231222222111121112224π2243243yy y y y g yy ρ−−−−⎛⎫⎪=−−++−+ ⎪ ⎪⎝⎭27π8g ρ=.（21）（本题满分11分） 解：110d (,)d xyI x x yf x y y ''=⎰⎰1100d (,)d x x x ydf x y y '=⎰⎰ ()()111000d ,,d x x x x y f x y f x y y ⎡⎤''=−⎢⎥⎣⎦⎰⎰()11d (,1)(,)d x x x x f x f x y y ''=−⎰⎰.因为(,1)0f x =,所以(,1)0x f x '=.110d (,)d x I x x f x y y '=−⎰⎰1100d (,)d x y xf x y x '=−⎰⎰111000d (,)(,)d y xf x y f x y x ⎡⎤=−−⎢⎥⎣⎦⎰⎰1100d (1,)(,)d y f y f x y x ⎡⎤=−−⎢⎥⎣⎦⎰⎰ d (,)d Df x y x y =⎰⎰a =.（22）（本题满分11分）解:（Ⅰ）由于123,,ααα不能由123,,βββ线性表示，则对于123123(,,,,,)βββααα进行初等行变换：123123(,,,,,)βββααα= 11310112401313115a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭113101011112023014a ⎛⎫ ⎪→− ⎪ ⎪−⎝⎭113101011112005210a ⎛⎫ ⎪→− ⎪ ⎪−−⎝⎭. 当5a =时，1231231(,,)2(,,,)3r r =≠=ββββββα,此时，1α不能由123,,βββ线性表示，故5a =.（Ⅱ）对123123(,,,,,)αααβββ进行初等行变换:123123(,,,,,)=αααβββ101113013124115135⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭101113013124014022⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭101113013124001102⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪−−⎝⎭1002150104210001102⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪−−⎝⎭.故112324=+−βααα，2122=+βαα，31235102=+−βααα.（23）（本题满分11分）解:（Ⅰ）设()()TT121,0,1,1,0,1=−=αα，则()()1212,,=−ααααA ，即1122,=−=ααααA A ，从而A 有特征值121,1λλ=−=，对应的特征向量分别为()1110k k ≠α，()2220k k ≠α. 由于()2A =R ,所以30λ=.由于A 是三阶实对称矩阵，故不同特征值对应的特征向量相互正交，设30λ=对应的特征向量为()T3123,,x x x =α，则T 13T230,0.⎧=⎨=⎩αααα即13130,0.x x x x −=⎧⎨+=⎩ 解此方程组，得()T30,1,0=α,故30λ=对应的特征向量为()3330k k ≠α.故A 的所有特征值为1231,1,0λλλ=−==，对应的特征向量分别为()1110k k ≠α，()2220k k ≠α和()3330k k ≠α.（Ⅱ）由于不同特征值对应的特征向量已经正交，只需单位化：))()T T T3121231231,0,1,1,0,1,0,1,0==−====αααβββααα. 令()123,,=βββQ ，则T110−⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ΛQ AQ ， T =A Q QΛ022012200110220010022⎛⎫−⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪−⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪− ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭222200002201022⎛⎫−⎛⎫ ⎪− ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭001000100⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭.。

2013年深圳大学计算机与软件学院801数据结构［专业硕士］考研真题 (2)2012年深圳大学计算机与软件学院801数据结构［专业硕士］考研真题 (6)2011年深圳大学计算机与软件学院808数据结构（一）［专业硕士］考研真题 (9)2011年深圳大学计算机与软件学院810数据结构（二）［专业硕士］考研真题 (11)2008年深圳大学计算机与软件学院数据结构［专业硕士］考研真题 (14)2007年深圳大学计算机与软件学院数据结构［专业硕士］考研真题 (16)2006年深圳大学计算机与软件学院数据结构［专业硕士］考研真题 (19)2005年深圳大学计算机与软件学院数据结构［专业硕士］考研真题 (21)2003年深圳大学计算机与软件学院数据结构［专业硕士］考研真题 (23)2002年深圳大学计算机与软件学院数据结构［专业硕士］考研真题 (25)说明：深圳大学计算机与软件学院数据结构［专业硕士］”2016年的科目代码为936, 2015年和2014年的科目代码为934, 2013年和2012年的科目代码为801 , 2008〜2002年的科目代码不详。

深圳大学2013年硕士研究生入学考试初试试题（餐題必级写在答题城上*写衣本试證纸上无效）考试科目代码：卫ei_—考试科目名称；数摒结构 __________________ _ _专业：计算机技术软件工程r判断题（每小题2分.共20分，对的打d错的打X）h链式存傑方式只能用丁存鐵11：线件給构.丫、集合炬数抵的逻紺结构形式*人牠坠实现过艸和常数丼子和序所必口怖结购°K山它稱州辰的出叫做空用・云深废为h的：义懈申姑点总数冬旷-1・拆、祀Y衢二乂树中*任怠轴点左右千箱的简復并（馆对値）不册过I。

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0
0
0
小关系是( )
(A) I J K ． (B) I K J ． (C) J I K ． (D) K J I ． (7) 设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 B ，再交换 B 的第 2 行与第 3
1 0 0
1 0 0
行得单位矩阵，记
P1
=
1
1
0
，
P2
2 = (1, 2,3)T ， 3 = (3, 4, a)T 线性表示． (I) 求 a 的值； (II) 将 1, 2 , 3 由1,2 ,3 线性表示．
(23) (本题满分 11 分)
1 1 −1 1
A 为三阶实对称矩阵，
A
的秩为
2，即 r ( A)
=
2 ，且
A
0
0
=
0
0 ．
−1 1 1 1
(A) k = 1, c = 4 ． (B) k = 1, c = −4 ． (C) k = 3, c = 4 ． (D) k = 3, c = −4 ．
( ) x2 f ( x) − 2 f x3
(2) 已知 f ( x) 在 x = 0 处可导，且 f (0) = 0 ，则 lim x→0
x3
=(
)
(A) −2 f (0) ． (B) − f (0) ．
(C) f (0) ．
(D) 0．
(3) 函数 f (x) = ln (x −1)(x − 2)(x − 3) 的驻点个数为( )
(A) 0．
(B) 1．
(C) 2．
(4) 微分方程 y − 2 y = ex + e−x ( 0) 的特解形式为( )

2011年考研数学二真题及答案解析2011年考研数学二真题及答案解析一、选择题部分1. 如图，矩形OABC中，AB=4，BC=3，M为BC的中点，点D，E分别在AO，CO上，满足AD=CE，连接DE、BM相交于F。

则DE/AB的值等于（）。

A．1/3 B．1/4 C．1/2 D．2/3答案：A解析：根据题意，首先连接AM，然后用面积比解法。

设矩形OABC的面积为S，则S=AB×BC=12。

由于AD=CE，所以AM=CM，即BM=1.5，MF=BM/2=0.75。

在ΔABF中，AF是BM的中线，所以AF=BM/2=0.75。

设AC与DE交点为G，则AG=(BC+DE)/2=3+DE/2。

在ΔEBG中，EF是AM的中线，所以EF=AM/2=1.25。

因此，S[DEFG]/S[OABC]=[1-(MF/BC)]×[1-(EF/AB)]=2/3。

所以DE/AB=[S[DEFG]/S[OABC]]1/2=1/3。

2. 若（cosx+sinx）tanx=3，则tan3x的值为（）。

A．1/2 B．1/3 C．1 D．3答案：D解析：将（cosx+sinx）tanx=3变形为cosx/(sinx+1/cosx)=3/sin^2(x)。

设y=sin(x)，则cos(x)=√(1-y^2)，所以上式化为(y+1/√(1-y^2))√(1-y^2)=3/y^2。

整理得y^5+3y^4+3y^3-8=0。

由于y=0不是方程的解，所以可将其化为(y+1)^3=y^2+3y+8/3。

又因为y^2+3y+8/3=(y+3/2)^2+7/12>0，所以y只可能为y=-1或y=-1/2。

当y=-1时，得cos(x)=0，sin(x)=-1，此时tan3x不存在。

当y=-1/2时，得cos(x)=√(1-1/4)=√3/2，sin(x)=-1/2。

因此sin(3x)=3sin(x)-4sin^3(x)=-3/4，cos(3x)=4cos^3(x)-3cos(x)=-1/2。