问题10.1 与几何概型相结合的问题-2018届高三数学成功在我之优等生提分精品(解析版)

专题七几何概型【几何概型的定义及计算】【几何概型的概念】如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）称比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。

【几何概型的概率】一般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件＂该点落在其内部一个区域d内＂为事件A，则事件A发生的概率。

说明：（1）D的测度不为0；（2）其中＂测度＂的意义依D确定，当D分别是线段，平面图形，立体图形时，相应的＂测度＂分别是长度，面积和体积；（3）区域为＂开区域＂；（4）区域D内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其形状位置无关．【几何概型的基本特点】（1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；（2）每个基本事件出现的可能性相等．【2017年高考全国Ⅰ卷，理2】如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A．14B．π8C．12D．π4【答案】B秒杀解析：由题意可知，此点取自黑色部分的概率即为黑色部分面积占整个面积的比例，由图可知其概率1142p<<，故选B.【考点】几何概型【点拨】对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A区域的几何度量，最后计算()P A.答题思路【命题意图】本类问题主要涉及古典概型、几何概型、对立事件概率的计算及概率与统计的综合,要求掌握利用古典概想、几何概型求概率的方法,掌握利用互斥事件概率的加法公式及对立事件的概率公式求概率的方法.【命题规律】本类问题若单独命题 ,一般以客观题形式出现,难度都不大,解答题常与随机变量的分布列及统计结合在一起进行考查.【答题模板】解答本类题目，以2017年高考题为例，一般考虑如下三步：第一步：辨别古典概型还是几何概型因为试验是等可能的，其基本事件的个数是无限个，从而是几何概型；第二步：分别计算事件A 和基本事件所包含的区域长度、面积或体积等设正方形边长为a ，则圆的半径为2a ，则正方形的面积为2a ，圆的面积为24a π.由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.第三步：运用几何概型的计算公式计算即可得出结论.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是221248a a ππ⋅=【方法总结】1.几何概型与古典概型的关系几何概型是古典概型的补充和推广,它要求随机试验的基本事件空间包含无穷多个元素,每个基本事件由在几何空间(一维、二维、三维)中的某一区域G 内随机而取的点的位置来确定；而“基本事件发生或出现是等可能的”这一要求,两种概率模型是高度统一的. 2.与长度或面积有关的几何概型是高考命题的热点,多以选择题或填空题的形式呈现,试题难度不大,多为容易题或中档题．重点关注：与线段长度有关的几何概型；与一元不等式有关的几何概型；与距离有关的几何概型．求解与面积有关的几何概型的注意点：求解与面积有关的几何概型时,关键是弄清某事件对应的面积以求面积,必要时可根据题意构造两个变量,把变量看成点的坐标,找到试验全部结果构成的平面图形,以便求解．3.解决几何概型问题,注意把握好以下几点： (1)能正确区分古典概型与几何概型.例1：在区间[0,10]上任意取一个整数x ,则x 不大于3的概率为________. 例2：在区间[0,10]上任意取一个实数x ,则x 不大于3的概率为________.例1的基本事件总数为有限个11,不大于3的基本事件有4个,此为古典概型,故所求概率为.例2的基本事件总数为无限个,属于几何概型,所求概率为.(2)准确分清几何概型中的测度.例3：在等腰Rt△ABC 中,∠C ＝90°,在直角边BC 上任取一点M ,求∠CAM ＜30°的概率. 例4：在等腰Rt△ABC 中,∠C ＝90°,在∠CAB 内过点A 作射线交线段BC 于点M ,求∠CAM ＜30°的概率.例3中的测度定性为线段长度,当∠CAM0＝30°,CM0＝AC＝C B.满足条件的点M等可能的分布在线段CM0上,故所求概率等于＝.例4中的测度定性为角度,过点A作射线与线段CB相交,这样的射线有无数条,均匀分布在∠CAB内,∠CAB＝45°.所以所求概率等于＝＝.(3)科学设计变量,数形结合解决问题.例5：某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台整点报时,求他等待时间不多于10分钟的概率.例6：某人午觉醒来,发现表停了,求表停的分钟数与实际分钟数差异不超过5分钟的概率.例5是《必修3》P136的例题,此题中的变量(单变量)可看作是时间的长度,故所求概率为＝.例6容易犯解例5形成的定势思维的错误,得到错误答案＝.原因在于没有认清题中的变量,本题的变量有两个：手表停的分钟数和实际分钟数,都可取[0,60]内的任意时刻,故所求概率需用到面积型几何概型,由|x－y|≤5结合线性规划知识可解,所求概率为＝.通过这两道例题我们也可以看出,单变量多用线型测度,多变量需用面积(或体积)型测度.在画好几何图形后,利用数形结合思想。

2018届高考数学（理）热点题型详解目录概率与统计-----------------------------2 函数与导数-----------------------------7 解析几何------------------------------10 立体几何------------------------------15 三角函数与解三角形---------------------19 数列----------------------------------22概率与统计热点一 常见概率模型的概率几何概型、古典概型、相互独立事件与互斥事件的概率、条件概率是高考的热点，几何概型主要以客观题考查，求解的关键在于找准测度(面积，体积或长度)；相互独立事件，互斥事件常作为解答题的一问考查，也是进一步求分布列，期望与方差的基础，求解该类问题要正确理解题意，准确判定概率模型，恰当选择概率公式.【例1】现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏. (1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率； (2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3)用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X －Y |，求随机变量ξ的分布列. 解 依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件A i (i ＝0，1，2，3，4). 则P (A i )＝C i 4()13i()234－i.(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率 P (A 2)＝C 24()132()232＝827. (2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则B ＝A 3＋A 4，且A 3与A 4互斥，∴P (B )＝P (A 3＋A 4)＝P (A 3)＋P (A 4)＝C 34()133³23＋C 44()134＝19. (3)依题设，ξ的所有可能取值为0，2，4. 且A 1与A 3互斥，A 0与A 4互斥. 则P (ξ＝0)＝P (A 2)＝827，P (ξ＝2)＝P (A 1＋A 3)＝P (A 1)＋P (A 3) ＝C 14()131²()233＋C 34()133³23＝4081， P (ξ＝4)＝P (A 0＋A 4)＝P (A 0)＋P (A 4) ＝C 04()234＋C 44()134＝1781. 所以ξ的分布列是从二项分布，由独立重复试验，4人中恰有i 人参加甲游戏的概率P ＝C i 4()13i()234－i，这是本题求解的关键.(2)解题中常见的错误是不能分清事件间的关系，选错概率模型，特别是在第(3)问中，不能把ξ＝0，2，4的事件转化为相应的互斥事件A i 的概率和. 【对点训练】甲、乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错或不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为34，23，12，乙队每人答对的概率都是23，设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分.(1)求ξ＝2的概率；(2)求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率.解 (1)ξ＝2，则甲队有两人答对，一人答错， 故P (ξ＝2)＝34³23³()1－12＋34³()1－23³12＋()1－34³23³12＝1124； (2)设甲队和乙队得分之和为4为事件A ，甲队比乙队得分高为事件B .设乙队得分为η，则η～B ()3，23.P (ξ＝1)＝34³()1－23³()1－12＋()1－34³23³()1－12＋()1－34³()1－23³12＝14，P (ξ＝3)＝34³23³12＝14，P (η＝1)＝C 13²23²()132＝29， P (η＝2)＝C 23²()232²13＝49， P (η＝3)＝C 33()233＝827， ∴P (A )＝P (ξ＝1)P (η＝3)＋P (ξ＝2)P (η＝2)＋P (ξ＝3)·P (η＝1)＝14³827＋1124³49＋14³29＝13， P (AB )＝P (ξ＝3)·P (η＝1)＝14³29＝118，∴所求概率为P (B|A )＝P （AB ）P （A ）＝11813＝16.热点二 离散型随机变量的分布列、均值与方差 离散型随机变量及其分布列、均值与方差及应用是数学高考的一大热点，每年均有解答题的考查，属于中档题.复习中应强化应用题目的理解与掌握，弄清随机变量的所有取值是正确列随机变量分布列和求均值与方差的关键，对概率模型的确定与转化是解题的基础，准确计算是解题的核心，在备考中强化解答题的规范性训练.【例2】甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立. (1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率； (2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值(数学期望).解 用A 表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，A k 表示“第k 局甲获胜”，B k 表示“第k 局乙获胜”，则P (A k )＝23，P (B k )＝13，k ＝1，2，3，4，5.(1)P (A )＝P (A 1A 2)＋P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2A 3A 4) ＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)· P (A 3)P (A 4) ＝()232＋13³()232＋23³13³()232＝5681. (2)X 的可能取值为2，3，4，5.P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)²P (B 2)＝59，P (X ＝3)＝P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2B 3)＝P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (B 3)＝29，P (X ＝4)＝P (A 1B 2A 3A 4)＋P (B 1A 2B 3B 4)＝P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＋P (B 1)P (A 2)P (B 3)P (B 4)＝1081， P (X ＝5)＝1－P (X ＝2)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝881.故X 的分布列为 E (X )＝2³59＋3³29＋4³1081＋5³881＝22481.【类题通法】求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤第一步：确定随机变量的所有可能值； 第二步：求每一个可能值所对应的概率； 第三步：列出离散型随机变量的分布列； 第四步：求均值和方差；第五步：反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范. 【对点训练】为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元.求： ①顾客所获的奖励额为60元的概率； ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望； (2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.解 (1)设顾客所获的奖励额为X .①依题意，得P (X ＝60)＝C 11C 13C 24＝12，即顾客所获的奖励额为60元的概率为12.②依题意，得X 的所有可能取值为20，60. P (X ＝60)＝12，P (X ＝20)＝C 23C 24＝12，即X 的分布列为所以顾客所获的奖励额的数学期望为E (X )＝20³12＋60³12＝40(元).(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元.所以，先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10，10，10，50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50，50，50，10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理，可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，记为方案2. 以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10，10，50，50)，设顾客所获的奖励额为X 1，则X 1的分布列为X 1的数学期望为E (X 1)＝20³16＋60³23＋100³16＝60(元)，X 1的方差为D (X 1)＝(20－60)2³16＋(60－60)2³23＋(100－60)2³16＝1 6003.对于方案2，即方案(20，20，40，40)，设顾客所获的奖励额为X 2，则X 2的分布列为X 2的数学期望为E (X 2)＝40³16＋60³23＋80³16＝60(元)， X 2的方差为D (X 2)＝(40－60)2³16＋(60－60)2³23＋(80－60)2³16＝4003.由于两种方案的奖励额的数学期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.热点三 概率与统计的综合应用概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点.主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键.复习时要在这些图表上下工夫，把这些统计图表的含义弄清楚，在此基础上掌握好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法及数学均值与方差的运算.【例3】2018年6月14日至7月15日，第21届世界杯足球赛将于俄罗斯举行，某大学为世界杯组委会招收志愿者，被招收的志愿者需参加笔试和面试，把参加笔试的40名大学生的成绩分组：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]，得到的频率分布直方图如图所示：(1)分别求出成绩在第3，4，5组的人数； (2)现决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6人进行面试.①已知甲和乙的成绩均在第3组，求甲或乙进入面试的概率；②若从这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D 的面试，设第4组中有X 名学生被考官D 面试，求X 的分布列和数学期望. 解 (1)由频率分布直方图知： 第3组的人数为5³0.06³40＝12. 第4组的人数为5³0.04³40＝8. 第5组的人数为5³0.02³40＝4.(2) P(A ②XP(X P(XE(X “从A 7689 B 8279 (1)可)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：低于70分70分到89分不满意满意C：“A地区用户的满意度等级高于用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果＝P (C B 1)P (C A 1)＋P (C B 2)P (C A 2).由所给数据得C A 1，C A 2，C B 1，C B 2为1620，420，1020，820，即P (C A 1)＝1620，P (C A 2P (C B 1)＝1020，P (C B 2)＝820，故P (C )＝1020³1620＋＝0.48.热点四 统计与统计案例的数字特征(如平均数、方差)有所考查.【例4】从某居民区随机抽取10个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i 千元)的数据资料，算得∑10i ＝1x i ＝80，∑10i ＝1y i ＝＝184，∑10i ＝1x 2i ＝720. (1)求家庭的月储蓄y 对月收入x ＝b ^x ＋a ^；(2)判断变量x 与y (3)若该居民区某家庭月收入为7千元，的月储蓄.附：线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ^＝a ^＝y －b ^x ，其中x ，y 为样本平均值.解 (1)由题意知n ＝10，x ＝1n ∑ni ＝1x i＝8010＝y ＝1n ∑ni ＝1y i ＝2010＝2， 又l xx ＝∑ni ＝1x 2i －n x 2＝720－10³82＝80， l xy ＝∑ni ＝1x i y i －n x y ＝184－10³8³2＝24由此得b ^＝l xy l xx ＝2480＝0.3，a ^＝y －b ^x ＝2－0.3³8＝－0.4， 故所求线性回归方程为y ^＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 值的增加而增加(b ^故x 与y 之间是正相关.(1)根据已知条件完成下面2³2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书迷”与性别有关？非读书迷读书迷 总计 男 15函数与导数热点一 利用导数研究函数的性质利用导数研究函数的单调性、极值、最值是高考的热点问题之一，每年必考，一般考查两类题型：(1)讨论函数的单调性、极值、最值，(2)利用单调性、极值、最值求参数的取值范围. 【例1】已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x ). (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求实数a 的取值范围.解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a .若a ≤0，则f′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增.若a ＞0，则当x ∈()0，1a 时，f ′(x )＞0；当x ∈()1a ，＋∞时，f ′(x )＜0， 所以f (x )在()0，1a 上单调递增，在()1a ，＋∞上单调递减.综上，知当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ＞0时，f (x )在()0，1a 上单调递增，在()1a，＋∞上单调递减. (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值； 当a ＞0时，f (x )在x ＝1a 处取得最大值，最大值为f ()1a ＝ln 1a ＋a ()1－1a ＝－ln a ＋a －1.因此f ()1a ＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0. 令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增， g (1)＝0.于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0； 当a ＞1时，g (a )＞0.因此，实数a 的取值范围是(0，1).【类题通法】(1)研究函数的性质通常转化为对函数单调性的讨论，讨论单调性要先求函数定义域，再讨论导数在定义域内的符号来判断函数的单调性.(2)由函数的性质求参数的取值范围，通常根据函数的性质得到参数的不等式，再解出参数的范围.若不等式是初等的一次、二次、指数或对数不等式，则可以直接解不等式得参数的取值范围；若不等式是一个不能直接解出的超越型不等式时，如求解ln a ＋a －1<0，则需要构造函数来解.【对点训练】 已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R ，e 为自然对数的底数).(1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调递增区间； (2)若函数f (x )在(－1，1)上单调递增，求实数a 的取值范围.解 (1)当a ＝2时，f (x )＝(－x 2＋2x )e x， 所以f ′(x )＝(－2x ＋2)e x＋(－x 2＋2x )e x＝(－x 2＋2)e x.令f ′(x )>0，即(－x 2＋2)e x >0，因为e x >0， 所以－x 2＋2>0，解得－2<x < 2.所以函数f (x )的单调递增区间是(－2，2). (2)因为函数f (x )在(－1，1)上单调递增， 所以f ′(x )≥0对x ∈(－1，1)都成立， 因为f ′(x )＝(－2x ＋a )e x ＋(－x 2＋ax )e x ＝[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ，所以[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x≥0对x ∈(－1，1)都成立. 因为e x >0，所以－x 2＋(a －2)x ＋a ≥0对x ∈(－1，1)都成立，即a ≥x 2＋2x x ＋1＝（x ＋1）2－1x ＋1＝(x ＋1)－1x ＋1对x ∈(－1，1)都成立.令y ＝(x ＋1)－1x ＋1，则y ′＝1＋1（x ＋1）2>0. 所以y ＝(x ＋1)－1x ＋1在(－1，1)上单调递增， 所以y <(1＋1)－11＋1＝32.即a ≥32.因此实数a 的取值范围为a ≥32.热点二 利用导数研究函数零点或曲线交点问题 函数的零点、方程的根、曲线的交点，这三个问题本质上同属一个问题，它们之间可相互转化，这类问题的考查通常有两类：(1)讨论函数零点或方程根的个数；(2)由函数零点或方程的根求参数的取值范围. 【例2】设函数f(x)＝ln x ＋mx，m ∈R .(1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f (x )的极小值；(2)讨论函数g (x )＝f ′(x )－x3零点的个数.解 (1)由题设，当m ＝e 时，f (x )＝ln x ＋ex ，定义域为(0，＋∞)，则f ′(x )＝x －ex 2，由f ′(x )＝0，得x ＝e.∴当x ∈(0，e)，f ′(x )＜0，f (x )在(0，e)上单调递减， 当x ∈(e ，＋∞)，f ′(x )＞0，f (x )在(e ，＋∞)上单调递增，∴当x ＝e 时，f (x )取得极小值f (e)＝ln e ＋ee ＝2，∴f (x )的极小值为2.(2)由题设g (x )＝f ′(x )－x 3＝1x －m x 2－x3(x ＞0)，令g (x )＝0，得m ＝－13x 3＋x (x ＞0).设φ(x )＝－13x 3＋x (x ＞0)，则φ′(x )＝－x 2＋1＝－(x －1)(x ＋1)，当x ∈(0，1)时，φ′(x )＞0，φ(x )在(0，1)上单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )＜0，φ(x )在(1，＋∞)上单调递减.∴x ＝1是φ(x )的唯一极值点，且是极大值点， 因此x ＝1也是φ(x )的最大值点. ∴φ(x )的最大值为φ(1)＝23.又φ(0)＝0，结合y ＝φ(x )的图象(如图)，可知①当m ＞23时，函数g (x )无零点；②当m ＝23时，函数g (x )有且只有一个零点；③当0＜m ＜23时，函数g (x )有两个零点；④当m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点.综上所述，当m ＞23时，函数g (x )无零点；当m ＝23或m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点；当0＜m ＜23时，函数g (x )有两个零点.【类题通法】利用导数研究函数的零点常用两种方法：(1)运用导数研究函数的单调性和极值，利用单调性和极值定位函数图象来解决零点问题；(2)将函数零点问题转化为方程根的问题，利用方程的同解变形转化为两个函数图象的交点问题，利用数形结合来解决.【对点训练】函数f (x )＝(ax 2＋x )e x ，其中e 是自然对数的底数，a ∈R .(1)当a >0时，解不等式f (x )≤0；(2)当a ＝0时，求整数t 的所有值，使方程f (x )＝x ＋2在[t ，t ＋1]上有解.解 (1)因为e x >0，(ax 2＋x )e x ≤0. ∴ax 2＋x ≤0.又因为a >0， 所以不等式化为x ()x ＋1a ≤0.所以不等式f (x )≤0的解集为[]－1a ，0. (2)当a ＝0时，方程即为x e x ＝x ＋2， 由于e x >0，所以x ＝0不是方程的解， 所以原方程等价于e x －2x －1＝0.令h (x )＝e x －2x－1，因为h ′(x )＝e x ＋2x 2>0对于x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)恒成立，所以h (x )在(－∞，0)和(0，＋∞)内是单调递增函数， 又h (1)＝e －3<0，h (2)＝e 2－2>0，h (－3)＝e －3－13<0，h (－2)＝e －2>0，所以方程f (x )＝x ＋2有且只有两个实数根且分别在区间[1，2]和[－3，－2]上，所以整数t 的所有值为{－3，1}.热点三 利用导数研究不等式问题导数在不等式中的应用是高考的热点，常以解答题的形式考查，以中高档题为主，突出转化思想、函数思想的考查，常见的命题角度：(1)证明简单的不等式；(2)由不等式恒成立求参数范围问题；(3)不等式恒成立、能成立问题. 【例3】设函数f (x )＝e 2x －a ln x . (1)讨论f (x )的导函数f ′(x )零点的个数； (2)证明：当a ＞0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a.(1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2e 2x －ax (x＞0).当a ≤0时，f ′(x )＞0，f ′(x )没有零点. 当a ＞0时，设u (x )＝e 2x ，v (x )＝－ax，因为u (x )＝e 2x 在(0，＋∞)上单调递增，v (x )＝－ax 在(0，＋∞)上单调递增，所以f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增.又f ′(a )＞0，当b 满足0＜b ＜a 4且b ＜14时，f ′(b )＜0(讨论a ≥1或a ＜1来检验)， 故当a ＞0时，f ′(x )存在唯一零点.(2)证明 由(1)，可设f ′(x )在(0，＋∞)上的唯一零点为x 0，当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )＜0； 当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )＞0.故f (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，所以当x ＝x 0时，f (x )取得最小值，最小值为f (x 0) 由于2e2x 0－ax 0＝0，所以f (x 0)＝a 2x 0＋2ax 0＋a ln 2a ≥2a ＋a ln 2a. 故当a ＞0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a.【类题通法】1.讨论零点个数的答题模板 第一步：求函数的定义域；第二步：分类讨论函数的单调性、极值； 第三步：根据零点存在性定理，结合函数图象确定各分类情况的零点个数. 2.证明不等式的答题模板第一步：根据不等式合理构造函数； 第二步：求函数的最值； 第三步：根据最值证明不等式.【对点训练】 已知函数f (x )＝ax ＋ln x (a ∈R ).(1)若a ＝2，求曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程； (2)求f (x )的单调区间；(3)设g (x )＝x 2－2x ＋2，若对任意x 1∈(0，＋∞)，均存在x 2∈[0，1]使得f (x 1)<g (x 2)，求a 的取值范围. 解 (1)由已知得f ′(x )＝2＋1x (x >0)，所以f ′(1)＝2＋1＝3，所以斜率k ＝3.又切点为(1，2)，所以切线方程为y －2＝3(x －1)，即3x －y －1＝0， 故曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为3x －y －1＝0.(2)f ′(x )＝a ＋1x ＝ax ＋1x(x >0)，①当a ≥0时，由于x >0，故ax ＋1>0，f ′(x )>0，所以f (x )的单调增区间为(0，＋∞). ②当a <0时，由f ′(x )＝0，得x ＝－1a .在区间()0，－1a上，f ′(x )>0，在区间()－1a，＋∞上，f ′(x )<0，所以函数f (x )的单调递增区间为()0，－1a ，单调递减区间为()－1a，＋∞. (3)由已知得所求可转化为f (x )max <g (x )max ， g (x )＝(x －1)2＋1，x ∈[0，1]， 所以g (x )max ＝2，由(2)知，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增， 值域为R ，故不符合题意.当a <0时，f (x )在()0，－1a 上单调递增，在()－1a，＋∞上单调递减，故f (x )的极大值即为最大值，是f ()－1a ＝－1＋ln ()－1a ＝－1－ln(－a )， 所以2>－1－ln(－a )，解得a <－1e3.解析几何热点一 圆锥曲线的标准方程与几何性质 圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、准线、双曲线的渐近线是常考题型.【例1】(1)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点为F (2，0)，且双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，则双曲线的方程为( ) A.x 29－y 213＝1 B.x 213－y 29＝1 C.x 23－y 2＝1 D.x 2－y 23＝1(2)若点M (2，1)，点C 是椭圆x 216＋y 27＝1的右焦点，点A 是椭圆的动点，则|AM |＋|AC |的最小值为________.(3)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与抛物线y 2＝2px (p＞0)有相同的焦点F ，P ，Q 是椭圆与抛物线的交点，若直线PQ 经过焦点F ，则椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为________.答案 (1)D (2)8－26 (3)2－1解析 (1)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点为F (2，0)，则a 2＋b 2＝4，①双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，由题意得2ba 2＋b 2＝3，② 联立①②解得b ＝3，a ＝1， 所求双曲线的方程为x 2－y 23＝1，选D.(2)设点B 为椭圆的左焦点，点M (2，1)在椭圆内，那么|BM |＋|AM |＋|AC |≥|AB |＋|AC |＝2a ，所以|AM |＋|AC |≥2a －|BM |，而a ＝4，|BM |＝（2＋3）2＋1＝26，所以(|AM |＋|AC |)最小＝8－26.(3)因为抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 为()p2，0，设椭圆另一焦点为E .如图所示，将x ＝p2代入抛物线方程得y ＝±p ，又因为PQ 经过焦点F ，所以P ()p2，p 且PF ⊥OF . 所以|PE |＝()p 2＋p 22＋p 2＝2p ，|PF |＝p ，|EF |＝p .故2a ＝2p ＋p ，2c ＝p ，e ＝2c2a＝2－1.【类题通法】(1)在椭圆和双曲线中，椭圆和双曲线的定义把曲线上的点到两个焦点的距离联系在一起，可以把曲线上的点到一个焦点的距离转化为到另一个焦点的距离，也可以结合三角形的知识，求出曲线上的点到两个焦点的距离.在抛物线中，利用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为其到相应准线的距离，再利用数形结合的思想去解决有关的最值问题.(2)求解与圆锥曲线的几何性质有关的问题关键是建立圆锥曲线方程中各个系数之间的关系，或者求出圆锥曲线方程中的各个系数，再根据圆锥曲线的几何性质通过代数方法进行计算得出结果. 【对点训练】已知椭圆x 24＋y 22＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且倾斜角为45°的直线l 交椭圆于A ，B 两点，以下结论：①△ABF 2的周长为8；②原点到l 的距离为1；③|AB |＝83.其中正确结论的个数为( ) A.3 B.2C.1D.0 答案 A解析 ①由椭圆的定义，得|AF 1|＋|AF 2|＝4，|BF 1|＋|BF 2|＝4，又|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |，所以△ABF 2的周长为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8，故①正确；②由条件，得F 1(－2，0)，因为过F 1且倾斜角为45°的直线l 的斜率为1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋2，则原点到l 的距离d ＝|2|2＝1，故②正确；③设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 24＋y 22＝1，得3x 2＋42x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－423，所以|AB |＝1＋1·|x 1－x 2|＝83，故③正确.故选A.热点二 圆锥曲线中的定点、定值问题定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横(纵)坐标等的定值问题.【例2】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，点(2，2)在C 上. (1)求C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ，证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值. (1)解 由题意有a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2b 2＝1，解得a 2＝8，b 2＝4. 所以C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明 设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M ). 将y ＝kx ＋b 代入x 28＋y 24＝1得(2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0. 故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 2k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b ＝b2k 2＋1. 于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－12k， 即k OM ²k ＝－12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值. 【类题通法】解答圆锥曲线中的定点、定值问题的一般步骤第一步：研究特殊情形，从问题的特殊情形出发，得到目标关系所要探求的定点、定值.第二步：探究一般情况.探究一般情形下的目标结论.第三步：下结论，综合上面两种情况定结论. 【对点训练】已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F (1，0)，O 为坐标原点，A ，B 是抛物线C 上异于O 的两点.(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线OA ，OB 的斜率之积为－12，求证：直线AB 过x 轴上一定点.(1)解 因为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为(1，0)，所以p2＝1，所以p ＝2.所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)证明 ①当直线AB 的斜率不存在时，设A ()t 24，t ，B ()t 24，－t .因为直线OA ，OB 的斜率之积为－12，所以t t 24²－t t 24＝－12，化简得t 2＝32.所以A (8，t )，B (8，－t )，此时直线AB 的方程为x ＝8.②当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋b ，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，联立得⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋b ，化简得ky 2－4y ＋4b ＝0.根据根与系数的关系得y A y B ＝4bk，因为直线OA ，OB 的斜率之积为－12，所以y A x A ²y B x B ＝－12，即x A x B＋2y A y B ＝0.即y 2A 4²y 2B4＋2y A y B ＝0，解得y A y B ＝0(舍去)或y A y B ＝－32.所以y A y B ＝4bk ＝－32，即b ＝－8k ，所以y ＝kx －8k ，即y ＝k (x －8).综上所述，直线AB 过定点(8，0). 热点三 圆锥曲线中的最值、范围问题圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题.【例3】平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率是32，抛物线E ：x 2＝2y 的焦点F 是C 的一个顶点.(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D .直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M .①求证：点M 在定直线上；②直线l 与y 轴交于点G ，记△PFG 的面积为S 1，△PDM 的面积为S 2，求S 1S 2的最大值及取得最大值时点P 的坐标.(1)解 由题意知a 2－b 2a ＝32，可得a 2＝4b 2，因为抛物线E 的焦点F ()0，12，所以b ＝12，a ＝1，所以椭圆C 的方程为x 2＋4y 2＝1.(2)①证明 设P ()m ，m 22(m >0)，由x 2＝2y ，可得y ′＝x ，所以直线l 的斜率为m ，因此直线l 的方程为y －m 22＝m (x －m ).即y ＝mx －m 22. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0).联立方程⎩⎨⎧x 2＋4y 2＝1，y ＝mx －m 22，得(4m 2＋1)x 2－4m 3x ＋m 4－1＝0.由Δ>0，得0<m <2＋5(或0<m 2<2＋5).(*) 且x 1＋x 2＝4m 34m 2＋1，因此x 0＝2m 34m 2＋1，将其代入y＝mx －m 22，得y 0＝－m 22（4m 2＋1），因为y 0x 0＝－14m . 所以直线OD 方程为y ＝－14mx ， 联立方程⎩⎨⎧y ＝－14m x ，x ＝m ，得点M 的纵坐标y M ＝－14，所以点M 在定直线y ＝－14上.②由①知直线l 的方程为y ＝mx －m 22，令x ＝0，得y ＝－m 22，所以G ()0，－m 22，又P()m ，m 22，F()0，12，D ⎝⎛⎭⎫2m 34m 2＋1，－m 22（4m 2＋1）， 所以S 1＝12²|GF |²m ＝（m 2＋1）m 4，S 2＝12²|PM |²|m －x 0|＝12³2m 2＋14³2m 3＋m4m 2＋1＝m （2m 2＋1）28（4m 2＋1）.所以S 1S 2＝2（4m 2＋1）（m 2＋1）（2m 2＋1）2. 设t ＝2m 2＋1，则S 1S 2＝（2t －1）（t ＋1）t 2＝2t 2＋t －1t 2＝－1t 2＋1t ＋2，当1t ＝12，即t ＝2时，S 1S 2取到最大值94，此时m ＝22，满足(*)式，所以P 点坐标为⎝⎛⎭⎫22，14.因此S 1S 2的最大值为94，此时点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫22，14.【类题通法】圆锥曲线中的最值、范围问题解决方法一般分两种：一是代数法，从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法、或利用判别式构造不等关系、利用隐含或已知的不等关系建立不等式等方法求最值、范围；二是几何法，从圆锥曲线的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值.【对点训练】如图，设抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF |－1. (1)求p 的值；(2)若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M ，求M 的横坐标的取值范围.解 (1)由题意可得，抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线x ＝－1的距离， 由抛物线的定义得p2＝1，即p ＝2.(2)由(1)得，抛物线方程为y 2＝4x ，F (1，0)， 可设A (t 2，2t )，t ≠0，t ≠±1.因为AF 不垂直于y 轴，可设直线AF ：x ＝sy ＋1(s ≠0)，由⎩⎨⎧y 2＝4x ，x ＝sy ＋1消去x 得y 2－4sy －4＝0. 故y 1y 2＝－4，所以B ()1t 2，－2t . 又直线AB 的斜率为2tt 2－1，故直线FN 的斜率为－t 2－12t，从而得直线FN ：y ＝－t 2－12t (x －1)，直线BN ：y ＝－2t. 所以N ⎝⎛⎭⎫t 2＋3t 2－1，－2t .设M (m ，0)，由A ，M ，N 三点共线得2tt 2－m ＝2t ＋2t t 2－t 2＋3t 2－1， 于是m ＝2t 2t 2－1，所以m ＜0或m ＞2.经检验，m ＜0或m ＞2满足题意.综上，点M 的横坐标的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞).热点四 圆锥曲线中的探索性问题圆锥曲线的探索性问题主要体现在以下几个方面：(1)探索点是否存在；(2)探索曲线是否存在；(3)探索命题是否成立.涉及这类命题的求解主要是研究直线与圆锥曲线的位置关系问题.【例4】已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m ＞0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .(1)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；(2)若l 过点()m3，m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由.(1)证明 设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M ).将y ＝kx ＋b 代入9x 2＋y 2＝m 2得(k 2＋9)x 2＋2kbx ＋b 2－m 2＝0，故x M ＝x 1＋x 22＝－kb k 2＋9，y M＝kx M ＋b ＝9bk 2＋9. 于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－9k，即k OM ²k ＝－9.所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值. (2)解 四边形OAPB 能为平行四边形.因为直线l 过点()m3，m ，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k ＞0，k ≠3. 由(1)得OM 的方程为y ＝－9k x .设点P 的横坐标为x P ，由⎩⎨⎧y ＝－9k x ，9x 2＋y 2＝m2得x 2P ＝k 2m 29k 2＋81，即x P ＝±km3k 2＋9. 将点()m 3，m 的坐标代入l 的方程得b ＝m （3－k ）3，因此x M ＝k （k －3）m3（k 2＋9）.四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即x P ＝2x M . 于是±km 3k 2＋9＝2³k （k －3）m 3（k 2＋9），解得k 1＝4－7，k 2＝4＋7.因为k i ＞0，k i ≠3，i ＝1，2，所以当l 的斜率为4－7或4＋7时，四边形OAPB 为平行四边形. 【类题通法】(1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在.(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.【对点训练】在平面直角坐标系xOy 中，过点C (2，0)的直线与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). (1)求证：y 1y 2为定值；(2)是否存在平行于y 轴的定直线被以AC 为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求出该直线方程和弦长；如果不存在，说明理由.(1)证明 法一 当直线AB 垂直于x 轴时， y 1＝22，y 2＝－2 2. 因此y 1y 2＝－8(定值). 当直线AB 不垂直于x 轴时， 设直线AB 的方程为y ＝k (x －2)， 由⎩⎨⎧y ＝k （x －2），y 2＝4x ，得ky 2－4y －8k ＝0. ∴y 1y 2＝－8.因此有y 1y 2＝－8为定值.法二 设直线AB 的方程为my ＝x －2， 由⎩⎨⎧my ＝x －2，y 2＝4x ，得y 2－4my －8＝0. ∴y 1y 2＝－8.因此有y 1y 2＝－8为定值.(2)解 设存在直线l ：x ＝a 满足条件， 则AC 的中点E ⎝⎛⎭⎫x 1＋22，y 12，|AC |＝（x 1－2）2＋y 21. 因此以AC 为直径的圆的半径r ＝12|AC |＝12（x 1－2）2＋y 21＝12x 21＋4， 又点E 到直线x ＝a 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪x 1＋22－a故所截弦长为 2r 2－d 2＝214（x 21＋4）－⎝⎛⎭⎫x 1＋22－a 2＝x 21＋4－（x 1＋2－2a ）2＝－4（1－a ）x 1＋8a －4a 2.当1－a ＝0，即a ＝1时，弦长为定值2，这时直线方程为x ＝1.立体几何热点一 空间点、线、面的位置关系及空间角的计算空间点、线、面的位置关系通常考查平行、垂直关系的证明，一般出现在解答题的第(1)问，解答题的第(2)问常考查求空间角，求空间角一般都可以建立空间直角坐标系，用空间向量的坐标运算求解. 【例1】如图，在△ABC 中，∠ABC ＝π4，O 为AB 边上一点，且3OB ＝3OC ＝2AB ，已知PO ⊥平面ABC ，2DA ＝2AO ＝PO ，且DA ∥PO. (1)求证：平面PBD ⊥平面COD ；(2)求直线PD 与平面BDC 所成角的正弦值.(1)证明 ∵OB ＝OC ，又∵∠ABC ＝π4， ∴∠OCB ＝π4，∴∠BOC ＝π2. ∴CO ⊥AB. 又PO ⊥平面ABC ，OC ⊂平面ABC ，∴PO ⊥OC.又∵PO ，AB ⊂平面PAB ，PO ∩AB ＝O ， ∴CO ⊥平面PAB ，即CO ⊥平面PDB. 又CO ⊂平面COD ， ∴平面PDB ⊥平面COD.(2)解 以OC ，OB ，OP 所在射线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.设OA ＝1，则PO ＝OB ＝OC ＝2，DA ＝1. 则C(2，0，0)，B(0，2，0)，P(0，0，2)，D(0，－1，1)，∴PD →＝(0，－1，－1)，BC →＝(2，－2，0)，BD →＝(0，－3，1).设平面BDC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝0，n ·BD →＝0，∴⎩⎨⎧2x －2y ＝0，－3y ＋z ＝0，令y ＝1，则x ＝1，z ＝3，∴n ＝(1，1，3). 设PD 与平面BDC 所成的角为θ， 则sin θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪PD →²n |PD →||n |＝⎪⎪⎪⎪1³0＋1³（－1）＋3³（－1）02＋（－1）2＋（－1）2³12＋12＋32＝22211. 即直线PD 与平面BDC 所成角的正弦值为22211. 【类题通法】利用向量求空间角的步骤 第一步：建立空间直角坐标系. 第二步：确定点的坐标.第三步：求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标.第四步：计算向量的夹角(或函数值). 第五步：将向量夹角转化为所求的空间角.第六步：反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范. 【对点训练】 如图所示，在多面体A 1B 1D 1­DCBA 中，四边形AA 1B 1B ，ADD 1A 1，ABCD 均为正方形，E 为B 1D 1的中点，过A 1，D ，E 的平面交CD 1于F .(1)证明：EF ∥B 1C .(2)求二面角E -A 1D ­B 1的余弦值.(1)证明 由正方形的性质可知A 1B 1∥AB ∥DC ，且A 1B 1＝AB ＝DC ，所以四边形A 1B 1CD 为平行四边形，从而B 1C ∥A 1D ，又A 1D ⊂面A 1DE ，B 1C ⊄面A 1DE ，于是B 1C ∥面A 1DE.又B 1C ⊂面B 1CD 1，面A 1DE ∩面B 1CD 1＝EF ，所以EF ∥B 1C.(2)解 因为四边形AA 1B 1B ，ADD 1A 1，ABCD 均为正方形，所以AA 1⊥AB ，AA 1⊥AD ，AB ⊥AD 且AA 1＝AB ＝AD .以A 为原点，分别以AB →，AD →，AA 1→为x 轴，y 轴和z 轴单位正向量建立如图所示的空间直角坐标系，可得点的坐标A (0，0，0)，B (1，0，0)，D (0，1，0)，A 1(0，0，1)，B 1(1，0，1)，D 1(0，1，1)，而E 点为B 1D 1的中点，所以E 点的坐标为()12，12，1. 设平面A 1DE 的一个法向量n 1＝(r 1，s 1，t 1)，而该面上向量A 1E →＝()12，12，0，A 1D →＝(0，1，－1)，由n 1⊥A 1E →，n 1⊥A 1D →得r 1，s 1，t 1应满足的方程组⎩⎨⎧12r 1＋12s 1＝0，s 1－t 1＝0，(－1，1，1)为其一组解，所以可取n 1＝(－1，1，1).设平面A 1B 1CD 的一个法向量n 2＝(r 2，s 2，t 2)，而该面上向量A 1B 1→＝(1，0，0)，A 1D →＝(0，1，－1)，由此同理可得n 2＝(0，1，1).所以结合图形知二面角E -A 1D ­B 1的余弦值为 |n 1²n 2||n 1|²|n 2|＝23³2＝63.热点二 立体几何中的探索性问题此类试题一般以解答题形式呈现，常涉及线、面平行、垂直位置关系的探究或空间角的计算问题，是高考命题的热点，一般有两种解决方式： (1)根据条件作出判断，再进一步论证；(2)利用空间向量，先假设存在点的坐标，再根据条件判断该点的坐标是否存在.【例2】如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥PD ，PA ＝PD ，AB ⊥AD ，AB ＝1，AD ＝2，AC ＝CD ＝ 5. (1)求证：PD ⊥平面PAB ；(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值； (3)在棱PA 上是否存在点M ，使得BM∥平面PCD ？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由.(1)证明 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，AB ⊥AD ， 所以AB ⊥平面PAD ，所以AB ⊥PD.又PA ⊥PD ，AB ∩PA ＝A ，所以PD ⊥平面PAB. (2)解 取AD 的中点O ，连接PO ，CO. 因为PA ＝PD ，所以PO ⊥AD.因为PO ⊂平面PAD ，平面PAD ⊥平面ABCD ， 所以PO ⊥平面ABCD.因为CO ⊂平面ABCD ，所以PO⊥CO. 因为AC ＝CD ，所以CO ⊥AD.如图，建立空间直角坐标系O －xyz.由题意得，A(0，1，0)，B(1，1，0)，C(2，0，0)，D(0，－1，0)，P(0，0，1).设平面PCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·PD →＝0，n ·PC →＝0，即⎩⎨⎧－y －z ＝0，2x －z ＝0， 令z ＝2，则x ＝1，y ＝－2. 所以n ＝(1，－2，2).。

典型高考数学试题解读与变式2018版考点46 几何概型一、知识储备汇总与命题规律展望1.知识储备汇总:(1)定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．(2)特点：①无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个．②等可能性：试验结果在每一个区域内均匀分布．(3)几何概型的概率公式：P(A)＝构成事件A的区域长度角度试验全部结果所构成的区域长度角度2.命题规律展望：几何概型是高考考查的重点与热点，以函数、不等式、数列、定积分等知识为载体，主要考查利用集合概型知识求几何概型的概率，题型为选择题、填空题，分值为5分，难度为基础题或中档题.二、题型与相关高考题解读1.与长度角度有关的几何概型1.1考题展示与解读例1 【2016高考新课标2文数】某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（）（A）710（B）58（C）38（D）310【命题意图探究】本题主要考查与长度有关的几何概型问题，是基础题. 【答案】B【解析】因为红灯持续时间为40秒.所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40155 408-=，故选B.【解题能力要求】应用意识，运算求解能力【方法技巧归纳】求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)．然后求解，要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度、角度)．1.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】若正方形ABCD边长为4,E为四边上任意一点，则AE的长度大于5的概率等于（）A. 132B.78C.38D.1812【答案】D【解析】设M N ，分别为BC 或CD 靠近点C 的四等分点，则当E 在线段,CM CN 上时， AE 的长度大于5， E 所能取到点的长度为2， 正方形的周长为16， AE ∴的长度大于5，的概率等于21=168，故选D.【变式2：改编结论】在区间[]1,5内随机取一个数m ，则方程22241m x y +=表示焦点在y 轴上的椭圆的概率是（ ） A.35 B. 15 C. 14 D. 34【答案】D【解析】若方程22241m x y +=表示焦点在y 轴上的椭圆，则24m >，解得2m >， 25m << ，故方程22241m x y +=表示焦点在y 轴上的椭圆的概率是523514P -==-，故选D. 【变式3：改编问法】已知，直线和曲线有两个不同的交点，它们围成的封闭平面区域为，向区域上随机投一点，点落在区域内的概率为，若，则实数的取值范围为（ ）学+科网 A.B.C.D.【答案】B2.与面积有关的几何概型2.1考题展示与解读例2【2017课标1，理】如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A．14B．π8C．12D．π4【命题意图探究】本题主要考查利用几何图形的对称性计算几何概型，是基础题.【答案】B【解题能力要求】数形结合思想，运算求解能力【方法技巧归纳】求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．2.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】如图是一边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍.若在正方形图案上随机取一点，则该点取自白色区域的概率为（）34A.64πB.32πC.16π D. 8π 【答案】D【解析】由题意得正方形的内切圆的半径为4，中间黑色大圆的半径为2，黑色小圆的半径为1，所以白色区域的面积为22242418ππππ⨯-⨯-⨯⨯=，由几何概型概率公式可得所求概率为2888ππ=，选D 。

2018届高三数学成功在我专题八 解析几何问题三：椭圆、双曲线、抛物线与圆相结合问题一、考情分析通过近几年各地高考试题可以发现,对圆的考查在逐渐加深,并与圆锥曲线相结合在一起命题,成为一个新的动向.与圆相关几何性质、最值问题、轨迹问题等都能与椭圆、双曲线和抛物线想结合可以呈现别具一格的新颖试题. 二、经验分享1.对于圆与圆锥曲线的相交问题，设出交点，由交点(或韦达定理)结合条件解决问题，在求解过程中、数形结合是常用的打开思路的方式、形是引路、数是依据、二者联手，解决问题就易如反掌、设面不求、灵活消参是常用的策略。

2. 垂直问题的呈现有多种形式，处理重直问题最好的方法是应用向量的坐标形式转化，常规的思路是:联立方程组消去 成y,得到一个二次方程，设交点，韦达定理 代人垂直的数量积坐标公式整理求解。

3.涉及弦长要注意圆的几何性质的应用。

三、知识拓展以MN 为直径的圆经过点P ，则PM PN ⊥，可转化为0PM PN ⋅= 四、题型分析(一) 圆与椭圆的结合点 1.1圆的几何性质与椭圆相联系【例1】【2017届湖南师大附中高三上学期月考四】已知椭圆C 的中心在原点,离心率为22,其右焦点是圆E ：22(1)1x y -+=的圆心．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图,过椭圆C 上且位于y 轴左侧的一点P 作圆E 的两条切线,分别交y 轴于点M 、N ．试推断是否存在点P ,使14||3MN =？若存在,求出点P 的坐标；若不存在,请说明理由． 【分析】(1)由已知条件分别求出,a c 的值,而222b ac =-,代入求出椭圆的方程；(2)假设存在点P 满足题意,设点00(,)P x y （00x <）,(0,)M m ,(0,)N n ,利用条件求出直线PM 方程,根据圆心(1,0)E 到直线PM 的距离为1,求出m 与点P 坐标之间的关系,同理求出n 与点P 坐标之间的关系,利用韦达定理求出,m n mn +的表达式,算出MN ,求出P 点坐标.（2）设点00(,)P x y （00x <）,(0,)M m ,(0,)N n , 则直线PM 的方程为00y my x m x -=+,即000()0y m x x y mx --+=, 因为圆心(1,0)E 到直线PM 的距离为1, 即002200||1()y m x m y m x -+=-+,即22200000()()2()y m x y m x m y m -+=-+-220x m +,即2000(2)20x m y m x -+-=, 同理2000(2)20x n y n x -+-=．由此可知,m ,n 为方程2000(2)20x x y x x -+-=的两个实根, 所以0022y m n x +=--,002x mn x =--,2||||()4MN m n m n mn =-=+-20020044(2)2y x x x =+--220002044(2)x y x x +-=-． 因为点00(,)P x y 在椭圆C 上,则220012x y +=,即220012x y =-, 则2200022002842(2)4||(2)(2)x x x MN x x -+--==--2042(2)x =--, 令204142(2)3x -=-,则20(2)9x -=,因为00x <,则01x =-,220012x y =-12=,即022y =±, 故存在点2(1,)2P -±满足题设条件． 【点评】(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法,即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形． (2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径,从而建立关系解决问题．【小试牛刀】【2017届江西吉安一中高三上学期段考二】已知椭圆()2222:10x y W a b a b+=>>的离心率为32,其左顶点A 在圆22:16O x y +=上. （Ⅰ）求椭圆W 的方程；（Ⅱ）若点P 为椭圆W 上不同于点A 的点,直线AP 与圆O 的另一个交点为Q ,是否存在点P ,使得3PQ AP=？若存在,求出点P 的坐标；若不存在,说明理由.【答案】（I ）221164x y +=；（II ）不存在,理由见解析. 【解析】（I ）因为椭圆W 的左顶点A 在圆22:16O x y +=上,令0y =,得4x =±,所以4a =.又离心率为32,所以32c e a ==,所以23c =,所以2224b a c =-=.所以W 的方程为221164x y +=. （II ）设点()11,P x y ,()22,Q x y ,设直线AP 的方程为()4y k x =+,与椭圆方程联立得()2241164y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,化简得到()2222143264160k x k x k +++-=,因为-4为方程的一个根,所以()21232414k x k -+-=+,所以21241614k x k -=+所以228114k AP k +=+因为圆心到直线AP 的距离为2414kd k=+, 所以222168216211AQ d k k =-==++. 因为1PQ AQ AP AQ APAPAP-==-,代入得到222222228143311*********PQ k k k AP k k k k k ++=-=-==-+++++,显然23331k -≠+,所以不存在直线AP ,使得3PQ AP=.1.2 利用椭圆的性质判断直线与圆的位置关系【例2】已知椭圆C ：2224x y +=. （1）求椭圆C 的离心率；（2）设O 为原点,若点A 在椭圆C 上,点B 在直线2y =上,且OA OB ⊥,试判断直线AB 与圆222x y +=的位置关系,并证明你的结论.（2）直线AB 与圆222=+y x 相切,证明如下：设点),(00y x A ,)2,(t B ,其中00≠x , 因为OB OA ⊥,所以0=∙OB OA ,即0200=+y tx ,解得02x y t -=, 当t x =0时,220t y -=,代入椭圆C 的方程得2±=t ,此时直线AB 与圆222=+y x 相切.当t x ≠0时,直线AB 的方程为)(2200t x tx y y ---=-,即02)()2(0000=-+---ty x y t x x y , 圆心到直线AB 的距离为202000)()2(|2|t x y ty x d -+--=,又422020=+y x ,02x y t -=, 故22168|4|4|22|20204002020202020020=+++=++-=x x x x x x y y x x y x d .故此直线AB 与圆222=+y x 相切.【小试牛刀】【2015福建高考理18】已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>过点()0,2,且离心率22e =．(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线():1l x my m =-∈R 交椭圆E 于A ,B 两点,判断点94G ⎛⎫- ⎪⎝⎭,0与以线段AB 为直径的圆的位置关系,并说明理由．【解析】解法一：（1）由已知得222222b ca abc ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩,解得222a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩,所以椭圆E 的方程为22142x y +=． （2）设点()11,A x y ,()22,B x y ,AB 的中点为()00,H x y ．由221142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩,得()222230m y my +--=,所以12222m y y m +=+,12232y y m =-+, 从而022my m =+, 所以()222222200000095525144216GH x y my y m y my ⎛⎫⎛⎫=++=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,24AB =()()()()2222121212144m y y x x y y +--+-==()()221212144m y y y y ⎡⎤++-⎣⎦=()()220121m y y y +-,故()22201252514216AB GH my m y y -=+++=()()()22222231525172021622162m m m m m m ++-+=>+++,所以2AB GH >．故点9,04G ⎛⎫-⎪⎝⎭在以AB 为直径的圆外．从而12129944GA GB x x y y ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭12125544my my y y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()212125251416m y y m y y ++++=()22225312522216m m m m -+++=++()221720162m m +>+,所以cos ,0GA GB >．又GA ,GB 不共线,所以AGB ∠为锐角．故点9,04G ⎛⎫-⎪⎝⎭在以AB 为直径的圆外． (二) 圆与双曲线的结合点2.1 利用圆的性质解决双曲线的相关问题由于双曲线具有渐近线,故渐近线与圆的位置关系便成为命题的常考点.圆本身所具有的几何性质在探索等量关系也经常考查,进而求解双曲线的几何性质,如离心率的求解.【例3】已知点(,0)(0)F c c ->是双曲线22221x y a b-=的左焦点,离心率为e ,过F 且平行于双曲线渐近线的直线与圆222x y c +=交于点P ,且点P 在抛物线24y cx =上,则e 2=（ ） A ．352+ B ．5 C ．512- D ．152+ 【答案】D【解析】双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为：b y x a =±,根据曲线的对称性,不妨设直线FP 的斜率为b a,所以直线FP 的方程为：()b y x c a =+,解方程组()222x y c by x c a ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩ 得：0x c y =-⎧⎨=⎩ 或222a b x c ab y c ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩根据题意P 点的坐标为222,a b ab c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ,又因为点P 在抛物线24y cx =上,所以22224ab a b c c c -⎛⎫=⋅⎪⎝⎭, 4224420,10c a c a e e ∴--=∴--= ,2152e -=（舍去）或2152e +=,故选D. 【点评】本题将双曲线的渐近线与圆的位置关系联系到一起,从而确定点P 的坐标,进而建立等量关系求解双曲线的离心率.【小试牛刀】【2017届河北武邑中学高三上学期调研四】已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b==>>的右顶点为A ,O 为坐标原点,以A 为圆心的圆与双曲线C 的某渐近线交于两点P ,Q ．若60PAQ ∠=︒,且3OQ OP =,则双曲线C 的离心率为＿＿＿＿． 【答案】722.2 圆的切线与双曲线相联系【例4】已知双曲线12222=-by a x 的左右焦点分别为12F F 、,O 为双曲线的中心,P 是双曲线右支上的点, 21F PF ∆的内切圆的圆心为I ,且圆I 与x 轴相切于点A ,过2F 作直线PI 的垂线,垂足为B ,若e 为双曲线的离心率,则( )A. ||||OA e OB =B. ||||OB e OA =C. ||||OA OB =D. ||OA 与||OB 关系不确定【答案】C【解析】设内切圆在1PF 上的切点为N ,2PF 上的切点为M ,12F F 上的切点为A ,A 的坐标为(m,0), ∴12112(DM MF)AF m (c m)2a PF PF PN NF AF c -=+-+=-=+--=,即OA a =,延长2BF 交1PF 于S ,∵PB 是角平分线和垂线,∴B 是2SF 的中点,O 是12F F 的中点,BO 是中位线,11211(PF PF )a 22BO F S ==-=,∴OA OB a ==,∴||||OA OB =. 【小试牛刀】已知点1F 、2F 为双曲线C ：()01222>=-b by x 的左、右焦点,过2F 作垂直于x 轴的直线,在x轴上方交双曲线C 于点M ,且︒=∠3021F MF ．圆O 的方程是222b y x =+． （1）求双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线,垂足分别为1P 、2P ,求21PP PP ⋅的值； （3）过圆O 上任意一点()00y ,x Q 作圆O 的切线l 交双曲线C 于A 、B 两点,AB 中点为M ,求证：2AB OM =．【解析】（1）设2,F M 的坐标分别为220(1,0),(1,)b b y ++因为点M 在双曲线C 上,所以220211y b b+-=,即20y b =±,所以22MF b =在21Rt MF F ∆中,01230MF F ∠=,22MF b =,所以212MF b =由双曲线的定义可知：2122MF MF b -==故双曲线C 的方程为：2212y x -= （2）由条件可知：两条渐近线分别为12:20;:20l x y l x y -=+= 设双曲线C 上的点00(,)Q x y ,设两渐近线的夹角为θ,则 则点Q 到两条渐近线的距离分别为00001222||,||33x y x y PP PP -+==因为00(,)Q x y 在双曲线C ：2212y x -=上,所以220022x y -= 又1cos 3θ=,所以2200000022212cos 33933x y x y x y θ-+-=⋅=⋅=（3）由题意,即证：OA OB ⊥.设1122(,),(,)A x y B x y ,切线l 的方程为：002x x y y += ①当00y ≠时,切线l 的方程代入双曲线C 中,化简得：22220000(2)4(24)0y x x x x y -+-+=所以：2001212222200004(24),(2)(2)x y x x x x y x y x ++=-=--- 又22010201201201222200000(2)(2)82142()2x x x x x y y x x x x x x y y y y x ---⎡⎤=⋅=-++=⎣⎦-所以②当00y =时,易知上述结论也成立． 所以综上,OA OB ⊥,所以．(三) 圆与抛物线的结合点 3.1圆的性质与抛物线相结合【例5】一个酒杯的轴截面是开口向上的抛物线的一段弧,它的口宽是的 4 10,杯深20,在杯内放一玻璃球,当玻璃球的半径r 最大取 时,才能使玻璃球触及杯底． 【答案】1【解析】建立如图所示的直角坐标系,酒杯所在抛物线的方程设为22(0)x py p =>,因为过点(210,20),所以2(210)220,1p p =⨯=,即22(020)x y y =≤≤.玻璃球触及杯底,就是小球的截面圆222()x y r r +-=与抛物线22x y =有且仅有一个交点,即原点.由222()x y r r +-=与22x y =消去x 得：0y =或2 2.y r =-因为有且仅有一个交点,即原点,所以220,1,r r -≤≤即半径r 最大取1.【小试牛刀】【2017吉林长春五县上学期期末】已知点A 是抛物线()2:20C x px p =>上一点,O 为坐标原点,若,A B 是以点()0,10M 为圆心,OA 的长为半径的圆与抛物线C 的两个公共点,且ABO ∆为等边三角形,则p 的值是 ． 【答案】563.2 抛物线的性质与圆的相联系【例6】【2017届重庆市第一中学高三12月月考】已知椭圆()2212210x y C a b a b +=>>：离心率为63,焦距为22,抛物线()22:20C x py p =>的焦点F 是椭圆1C 的顶点.（Ⅰ）求1C 与2C 的标准方程；（Ⅱ）设过点F 的直线l 交2C 于,P Q 两点,若1C 的右顶点A 在以PQ 为直径的圆内,求直线l 的斜率的取值范围.【分析】（Ⅰ）椭圆1C 的焦距为222=c ,36=a c ,得椭圆的标准方程,得到抛物线焦点,可得抛物线方程；（Ⅱ）联立直线与抛物线的方程结合韦达定理得k x x 421=+,421-=⋅x x ,A 在以PQ 为直径的圆内⇔0<⋅AQ AP ,得结果.【解析】（Ⅰ）设椭圆1C 的焦距为2c ,依题意有222c =,63c a =,解得3a =,1b =,故椭圆1C 的标准方程为22131x y +=,又抛物线()22:20C x py p =>开口向上,故F 是椭圆的1C 上顶点,()0,1F ∴,,2p =∴故抛物线2C 的标准方程为24x y =.（Ⅱ）由题意可设直线的方程为：1y kx =+,设点()11,P x y ,()22,Q x y ,联立214y k xx y =+⎧⎨=⎩得2440x kx --=,由韦达定理得124x x k +=,124x x =-.A 在以PQ 为直径的圆内()1212120330AP AQ x x x x y y ⇔<⇔-+++<()2212121216163480x x x x x x ⇔-+++<641634481600k k --⨯++<⇒>.【小试牛刀】已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ,直线4y =与y 轴的交点为P ,与C 的交点为Q ,且5||||4QF PQ =. （I ）求C 的方程；（II ）过F 的直线l 与C 相交于A ,B 两点,若AB 的垂直平分线l '与C 相较于M ,N 两点,且A ,M ,B ,N 四点在同一圆上,求l 的方程.【解析】（I ）设()0,4Q x ,代入22y p x =,得00888,,.22p p x PQ QF x p p p=\==+=+．由题设得85824p p p+=?,解得2p =-（舍去）或2p =,∴C 的方程为24y x =；（II ）由题设知l 与坐标轴不垂直,故可设l 的方程为()10x my m =+?,代入24y x =得2440y my --=．设()()1122,,,,A x y B x y 则124,y y m +=124y y =-．故AB 的中点为()()2221221,2,141D m m AB m y y m +=+-=+．又l ¢的斜率为,m l ¢-\的方程为2123x y m m =-++．将上式代入24y x =,并整理得()2244230y y m m+-+=．设()()3344,,,,M x y B x y 则()234344,423y y y y m m +=-=-+．故MN 的中点为()22234222412122123,,1m m E m MN y y m m m m ++骣÷ç++-=+-=÷ç÷ç桫． 由于MN 垂直平分线AB ,故,,,A M B N 四点在同一圆上等价于12AE BE MN ==,从而22211,44AB DE MN +=即()()()2222222244121224122m m m m m m m++骣骣鼢珑+++++=鼢珑鼢珑桫桫,化简得210m -=,解得1m =或1m =-．所求直线l 的方程为10x y --=或10x y +-=．四、迁移运用1．【河北省石家庄市2018届高三下学期一模】已知1F ， 2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点和右焦点，过2F 的直线l 与双曲线的右支交于A ， B 两点， 12AF F ∆的内切圆半径为1r ， 12BF F ∆的内切圆半径为2r ，若122r r =，则直线l 的斜率为（ ） A. 1 B. 2 C. 2 D. 22【答案】D【解析】设12AF F ∆的内切圆圆心为1,I ， 12BF F ∆的内切圆圆心为2,I ，边1212AFAF F F 、、 上的切点分别为M N E 、、， 易见1I E 、 横坐标相等，则1122AM AN F M F E F N F E ===，，， 由122AF AF a -=， 即122AM MF AN NF a +-+=（）， 得122MF NF a -=， 即122F E F E a -= ，记1I 的横坐标为0x ，则00E x （，） ，于是002x c c x a +--=（） ，得0x a =， 同理内心2I 的横坐标也为a ， 则有12I I x ⊥轴，设直线的倾斜角为θ，则22129022OF I I F O θθ∠=∠=︒-，， 则211212221tan,tan tan 90222tan 2r r I F O r r F E F E θθθ⎛⎫=∠=︒-=== ⎪⎝⎭， 222tan122tan ,tan .tan 2 2.22221tan 2θθθθθ∴==∴==-故选D. 2．【河南省郑州市2018届高三毕业年级第二次质量预测】如图，已知抛物线1C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，且过点()24，，圆222:430C x y x +-+=,过圆心2C 的直线l 与抛物线和圆分别交于,,,P Q M N ,则4PN QM +的最小值为( )A. 23B. 42C. 12D. 52 【答案】A【解析】由题意抛物线过定点（2，4），得抛物线方程28y x =，焦点为F(2,0).圆的标准方程为()2221x y -+=，所以圆心为（2，0），半径r=1.由于直线过焦点，所以有1121F 2PF Q P +==，又4PN QM+()()14445PF QF PF QF =+++=++=()11245F PF QF PF Q ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭425523QF PF PF QF ⎛⎫=+++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当2PF QF =时等号成立。