2018届高三数学成功在我
专题十概率、统计
问题一：与几何概型相结合的问题
一、考情分析
数学学科内知识交汇问题,试题比较新颖,具有一定的综合性,因此在近几年的高考中,是出题的热点,而几何概型与其他知识的交汇问题,以其新颖,综合性,而渐成为命题的一个重要的着眼点,体现高考中考查学生探究能力和创新能力的立意,及在知识交汇处命题的原则,所以这类题应引起学生的注意.
二、经验分享
1.求解与长度、角度有关的几何概型的方法
求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解．要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度或角度)．
2.求解与面积有关的几何概型的注意点
求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．
3.求解与体积有关的几何概型的注意点
对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的问题也可利用其对立事件去求．
4.解决几何概型问题，注意正确区分古典概型与几何概型.
例1：在区间[0，10]上任意取一个整数x，则x不大于3的概率为________.
例2：在区间[0，10]上任意取一个实数x，则x不大于3的概率为________.
例1的基本事件总数为有限个11，不大于3的基本事件有4个，此为古典概型，故所求概率为4
11.例2的基
本事件总数为无限个，属于几何概型，所求概率为3
10.
5.几何概型并不限于向平面(或直线、空间)投点的试验，如果一个随机试验有无限多个等可能的基本结果，每个基本结果可以用平面(或直线、空间)中的一点来表示，而所有基本结果对应于一个区域Ω，这时，与试验有关的问题可考虑利用几何概型解决.
三、知识拓展
准确分清几何概型中的测度.
例1：在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，在直角边BC 上任取一点M ，求∠CAM ＜30°的概率.
例2：在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，在∠CAB 内过点A 作射线交线段BC 于点M ，求∠CAM ＜30°的概率.
例1中的测度定性为线段长度，当∠CAM 0＝30°，CM 0＝33AC ＝33
C B.满足条件的点M 等可能的分布在线段CM 0上，故所求概率等于CM 0CB ＝33
.例2中的测度定性为角度，过点A 作射线与线段CB 相交，这样的射线有无数条，均匀分布在∠CAB 内，∠CAB ＝45°.所以所求概率等于∠CAM 0∠CAB ＝30°45°＝23
. 2.科学设计变量，数形结合解决问题.
例1：某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，求他等待时间不多于10分钟的概率.
例2：某人午觉醒来，发现表停了，求表停的分钟数与实际分钟数差异不超过5分钟的概率.
例1中的变量(单变量)可看作是时间的长度，故所求概率为1060＝16
.例2容易犯解例1形成的定势思维的错误，得到错误答案560＝112
.原因在于没有认清题中的变量，本题的变量有两个：手表停的分钟数和实际分钟数，都可取[0，60]内的任意时刻，故所求概率需用到面积型几何概型，由|x －y |≤5结合线性规划知识可解，所求
概率为602－552602＝23144
.通过这两道例题我们也可以看出，单变量多用线型测度，多变量需用面积(或体积)型测度.在画好几何图形后，利用数形结合思想解题.
四、题型分析
与函数,方程,不等式相结合的几何概型
【例1】已知,a b 都是区间[]0,4内任取的一个数,那么函数231)(222++-=
x b ax x x f 在R x ∈上是增函数的概率是 ．
【分析】函数23
1)(222++-=x b ax x x f 在R x ∈上是增函数,这是一个三次函数,故只需它的导函数在R x ∈上'22()20f x x ax b =-+≥,即22440a b =-≤,求出,a b 满足的关系式,再有线性规划可求出所求的概率. 【 解析】答案填12
,因为,a b 都是区间[]0,4内任取的一个数,所以点(),a b 构成边长为4的正方
形.'22()2f x x ax b =-+,要满足函数23
1)(222++-=x b ax x x f 在R x ∈上是增函数,需22440a b =-≤,即220a b -≤,又,a b 都是区间[]0,4内任取的一个数,所以a b <,画出边长为4的正方形及a b <的可行域,由可行域知：函数是增函数的概率为12
. 【点评】本题将几何概型与方程及不等式交汇在一起,解题时应综合运用相应的知识进行转化,同时数形结合,有利于直观准确求解.
【小试牛刀】【江西省新余市2016届高三第二次模拟】设不等式组???
????≥-≥-≤+022y y x y x 所表示的区域为M ,函数
21x y -=的图象与x 轴所围成的区域为N ,向M 内随机投一个点,则该点落在N 内的概率为（ ）
A ．π2
B ．4π
C ．8π
D ．16
π 【答案】
B
二．与解析几何相结合的几何概型
【例2】已知直线1()4
y k x =+
与曲线y 恰有两个不同的交点,记k 的所有可能取值构成集合A ；(),P x y ,是椭圆221169y x +=上一动点,111(,)P x y 与点P 关于直线y ＝x ＋1对称,记114
y -的所有可能取值构成集合B ,若随机的从集合A ,B 中分别抽出一个元素12,λλ,则12λλ>的概率是___________ 【分析】直线1()4
y k x =+
与曲线y 恰有两个不同的交点,求出k 满足的条件,即得集合A ；再根据111(,)P x y 与点P 关于直线y ＝x ＋1对称,求出对称椭圆的方程,从而得114
y -的范围,即得集合B ；可由几何概型的求法,求出12λλ>的概率. 【解析】答案填34,
1()4k x +,当0x ≥时,显然0k >,两边平方得,2222216k k x k x x =++,即