人教版九上数学之弧、弦、圆心角、圆周角—巩固练习(基础)

24.1.3 弧、弦、圆心角（时间：40分钟）一、选择题（本题包括4小题，每小题只有1个选项符合题意）1. 下列图形中表示的角是圆心角的是( )2. 在同圆中,圆心角∠AOB=2∠COD,则两条弧与的关系是( )A. =2B. >2C. <2D. 不能确定3. 已知AB与A′B′分别是☉O与☉O′的两条弦,AB=A′B′,那么∠AOB与∠A′O′B′的大小关系是( )A. ∠AOB=∠A′O′B′B. ∠AOB>∠A′O′B′C. ∠AOB<∠A′O′B′D. 不能确定4. 如图,D,E分别是☉O的半径OA,OB上的点,CD⊥OA,CE⊥OB,CD=CE,则与的关系是( )A. =B. >C. <D. 不能确定二、填空题（本题包括3小题）5.一条弦把圆分成1∶3两部分,则弦所对的圆心角为____.6.如图,AB是☉O的直径,==,∠COD=40°,则∠AOE的度数为____.7.如图,=,若AB=3,则CD=____.三、解答题（本题包括4小题）8. 如图所示,AB是☉O的弦,C,D为弦AB上两点,且OC=OD,延长OC,OD,分别交☉O于点E,F.试证:=.9. 如图,AB,CD,EF都是☉O的直径,且∠1=∠2=∠3,求证:AC=EB=DF.10. 如图,已知OA,OB是☉O的半径,C为的中点,M,N分别是OA,OB的中点,求证:MC=NC.11. 如图,∠AOB=90°,C,D是的三等分点,AB分别交OC,OD于点E,F.试找出图中相等的线段(半径除外).(1)错因: .(2)纠错:____________________________________________________________.12如图，⊙O的半径为1cm，弦AB、CD的长度分别为cm，1cm，则弦AC、BD所夹的锐角α= _________ 度．解答题13.如图，在⊙O中，=2，AD⊥OC于D．求证：AB=2AD．14.如图，已知等腰直角△ABC，点P是斜边BC上一点（不与B，C重合），PE是△ABP的外接圆⊙O的直径(1)求证：△APE是等腰直角三角形；(2)若⊙O的直径为2，求 PC2+PB2的值15.如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F.(1)求证：CF=BF(2)若CD=6，CA=8，求AE的长24.1.3 弧、弦、圆心角参考答案一、选择题1.【答案】A【解析】根据圆心角的定义:顶点在圆心的角是圆心角可知,B,C,D项图形中的顶点都不在圆心上,所以它们都不是圆心角.故选A.2.【答案】A【解析】在同圆中,相等的圆心角所对的弧相等,可得选项A正确.3.【答案】D【解析】由弦相等推弦所对的圆心角相等,必须保证在同圆或等圆中.此题没有限制,所以不能确定∠AOB和∠A′O′B′的大小关系.点睛:本题主要考查了弦与其所对的圆心角的关系，本题的易错点就是认为“相等的弦所对的圆心角才相等”，从而选择A，而忽略了这一命题成立的前提是“在同圆和等圆中”.4.【答案】A【解析】本题考查圆心角、弧和HL定理的知识，解题的关键是熟练地掌握相关的性质和定理；先根据HL 定理证明Rt△COD≌Rt△COE，得∠COD=∠COE；再根据圆心角与弧之间的关系由∠COD=∠COE得出弧AC和弧BC的关系即可.∵CD⊥OA,CE⊥OB,∴∠CDO=∠CEO=90°,∵CD=CE,CO=CO,∴△COD≌△COE,∴∠COD=∠COE,∴=.二、填空题5.（2分）【答案】90°【解析】∵一条弦把圆分成1：3两部分，∴劣弧的度数=360°÷4=90°，∴弦所对的圆心角为90°．考点：圆心角、弧和所对弦的关系．6.（2分）【答案】60°【解析】在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等；根据,==，可得到∠COB=∠COD=∠DOE=40°；根据∠COB+∠COD+∠DOE+∠AOE=180°，即可得到∠AOE的度数.∵==,∴∠BOC=∠DOE=∠COD=40°,∴∠AOE=180°-3×40°=60°.7.（2分）【答案】3【解析】根据已知条件,=,可求出=，然后根据相等的弧所对的弦想等可求出CD的长．∵=,∴-=-,即=,∴CD=AB=3.三、解答题8.【答案】证明见解析【解析】根据等腰三角形的性质由OC=OD得∠OCD=∠ODC，由OA=OB得∠A=∠B，再根据三角形外角性质得∠OCD=∠A+∠AOC，∠ODC=∠B+∠BOD，利用等量代换得到∠AOC=∠BOD，然后根据在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等即可得到结论．证明:∵OC=OD,∴∠OCD=∠ODC.∵AO=OB,∴∠A=∠B.∴∠OCD-∠A=∠ODC-∠B,即∠AOC=∠BOD,即∠AOE=∠BOF.∴=.点睛:本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．9.【答案】证明见解析【解析】根据三个圆心角相等得到其对顶角相等，然后根据相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等即可证得结论．在☉O中,∠1=∠2=∠3,又∵AB,CD,EF都是☉O的直径,∴∠FOD=∠AOC=∠BOE.∴==,∴AC=EB=DF.10.【答案】证明见解析【解析】连接OC，根据C是的中点，易得到，由同圆中等弧对的圆心角相等可得∠AOC=∠BOC；由OA=OB，M，N分别为OA，OB的中点可得OM=ON，由边角边定理可以判断△MOC≌△NOC，从而可得到MC=N C. 证明:连接OC.∵C为的中点,∴=,∴∠MOC=∠NOC.又∵M,N分别是OA,OB的中点,∴OM=OA,ON=OB,∴OM=ON.又∵OC=OC,∴△OMC≌△ONC,∴MC=NC.点睛:本题考查三角形全等的判定方法,弧与圆心角之间的关系，解题的关键是灵活运用三角形全等的判定方法及在等圆或同圆中相等的弧所对的圆心角相等这些定理；11.【答案】(1) AE,BF不是圆的弦,不能直接利用等弧对等弦(2)10【解析】先根据OA⊥OB可知∠AOB=90°，再由C，D为弧AB的三等分点可求出∠AOC的度数；由三角形内角和定理求出∠OCD的度数，根据三角形外角的性质得出∠OEF及∠OFE的度数，得OE=OF，CE=DF；根据三角形内角和定理即可得出∠AEO的度数；连接AC，BD，可得出CD=AE=BF，可得EF∥CD，所以EF<CD.即可得解.解：∵在⊙O中，半径OA⊥OB，C、D为弧AB的三等分点，∴∠AOC=∠AOB=×90°=30°∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=45°，∵∠AOC=∠BOD=30°，∴∠OEF=∠OAB+∠AOC=45°+30°=75°，同理∠OFE=75°，∴OE=OF，∴CE=DF；连接AC，BD，∵OC=OD，OE=OF，∴EF∥CD，∴EF＜CD，∵C，D是弧AB 的三等分点，∴AC=CD=BD，∵∠AOD，∴△ACO≌△DCO．∴∠ACO=∠OCD．∵∠OEF=∠OAE+∠AOE=45°+30°=75°，∠OCD==75°，∴∠OEF=∠OCD，∴CD∥AB，∴∠AEC=∠OCD，∴∠ACO=∠AEC．故AC=AE，同理，BF=BD．又∵AC=CD=BD∴CD=AE=BF.故答案为：OE=OF，CE=DF，CD=AE=BF.点睛: 本题考查的是圆的综合题，涉及到等腰三角形的性质、全等三角形的判定定理等知识．解答本题的关键是求出△ACO≌△DCO，根据全等三角形对应边相等的性质得解．在同圆或等圆中,相等的圆心角或相等的弧所对的弦相等,不要认为所对的线段相等.12.【考点】圆心角、弧、弦的关系；三角形的外角性质；勾股定理；垂径定理．【分析】根据勾股定理的逆定理可证△AOB是等腰直角三角形，故可求∠OAB=∠OB A=45°，又由已知可证△COD是等边三角形，所以∠ODC=∠OCD=60°，根据圆周角的性质可证∠CDB=∠CAB，而∠ODB=∠OBD，所以∠CAB+∠OBD=∠CDB+∠ODB=∠ODC=60°，再根据三角形的内角和定理可求α．解：连接OA．OB、OC、OD，∵OA=OB=OC=OD=1，AB=，CD=1，∴OA2+OB2=AB2，∴△AOB是等腰直角三角形，△COD是等边三角形，∴∠OAB=∠OBA=45°，∠ODC=∠OCD=60°，∵∠CDB=∠CAB，∠ODB=∠OBD，∴α=180°﹣∠CAB﹣∠OBA﹣∠OBD=180°﹣∠OBA﹣（∠CDB+∠ODB）=180°﹣45°﹣60°=75°．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，圆周角的性质，等边三角形的性质以及三角形的内角和定理．解答题13.【考点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系【分析】延长AD交⊙O于E，利用圆心角、弧、弦的关系证明即可．证明：延长AD交⊙O于E，∵OC⊥AD，∴，AE=2AD，∵，∴，∴AB=2AD．【点评】此题考查圆心角、弧、弦的关系，关键是根据圆心角、弧、弦的关系解答．14.【考点】全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系，等腰直角三角形【分析】（1）根据等腰直角三角形性质得出∠C=∠ABC=∠PEA=45°，再由PE是⊙O的直径，得出∠PAE=90°,∠PEA=∠APE=45°,从而得证.（2）根据题意可知，AC=AB,AP=AE,再证△CPA≌△BAE,得出CP=BE,依勾股定理即可得证.（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠C=∠ABC=45°,∴∠PEA=∠ABC=45°又∵PE是⊙O的直径，∴∠PAE=90°,∴∠PEA=∠APE=45°,∴△APE是等腰直角三角形.（2）解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=AB,同理AP=AE,又∵∠CAB=∠PAE=90°,∴∠CAP=∠BAE,∴△CPA≌△BAE,∴CP=BE,在Rt△BPE中，∠PBE=90°,PE=2,∴PB2+BE2=PE2,∴CP2+PB2=PE2=4.15.【分析】（1）利用互余的性质得出，利用圆周角定理得出，然后得出，即可证明结论；（2）利用勾股定理得出AB的长，然后根据直角三角形的面积得出CE的长，然后利用勾股定理可求出(1)证明： AB 是⊙O 的直径 ABCE ABC CAB ACB ⊥=∠+∠∴=∠∴ 009090 BCECAB BCE ABC ∠=∠∴=∠+∠∴090 C 是的中点BF CF DBC BCE CDBCAB CDB DBC =∴∠=∠∴∠=∠∠=∠∴(2) C 是的中点 ∴BC=CD=6在Rt △ABC 中，由勾股定理得 52410861022=⨯=∴∙=∙=+=CE BC AC CE AB BC AC AB 又 在Rt △ACE 中 ,AE=532。

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！专题24.9 弧、弦、圆心角（巩固篇）（专项练习）一、单选题类型一、圆心角概念1．已知下列命题：①长度相等的两条弧所对的圆心角相等．②直径是圆的最长的弦，也是圆的对称轴．③平分弦的直径垂直于这条弦．④在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等．其中错误命题的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．已知△ABC 内接于⊙O ，若∠AOB =120°，则∠C 的度数是( )A ．60°B ．120°C ．60°或120°D ．30°或150°3．如图， AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，连接AC ，OC ，OD ，若∠A ＝20°，则∠COD 的度数为（ ）A ．40°B ．60°C ．80°D ．100°类型二、圆心角与它所对弧的度数4．如图，已知△ABC 是圆O 的内接三角形，AB ＝AC ，∠ACB ＝65°，点C 是弧BD 的中点，连接CD ，则∠ACD 的度数是（ ）A ．12°B ．15°C ．18°D ．20°5．如图，扇形AOB 中，90AOB Ð=°，半径6,OA C =是»AB 的中点，//CD OA ，交AB 于点D ，则CD 的长为（ ）A ．2-BC ．2D ．66．如图，已知O e 的半径为5，弦AB ，CD 所对的圆心角分别是AOB Ð，COD Ð，若AOB Ð与COD Ð互补，弦8AB =，则弦CD 的长为（ ）A ．6B ．8C ．D ．5类型三、用弧、弦、圆心角关系求解7．如图，在以AB 为直径的⊙O 中，点C 为圆上的一点，»»2BC AC =，弦CD AB ^于点E ，弦AF 交CE 于点H ，交BC 于点G ，若点H 是AG 的中点，则CBF Ð的度数为（ ）A ．18°B ．21°C ．22.5°D ．30°8．如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，AB ＝10，¶AC =¶CD=¶DB ，点E 是点D 关于AB 的对称点，M 是AB 上的一动点，下列结论：①∠BOE =30°；②∠DOB =2∠CED ；③DM ⊥CE ；④CM +DM 的最小值是10，上述结论中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．如图，⊙O 的半径为9cm ，AB 是弦，OC ⊥AB 于点C ，将劣弧AB 沿弦AB 折叠交于OC 的中点D ，则AB 的长为（ ）A ．B ．C ．D ．类型四、用弧、弦、圆心角关系证明10．有一直径为AB 的圆，且圆上有C 、D 、E 、F 四点，其位置如图所示．若6AC =，8AD =，5AE =，9AF =，10AB =，则下列弧长关系何者正确？（ ）A ．¶¶¶AC AD AB +=，¶¶¶AE AF AB+=B ．¶¶¶AC AD AB +=，¶¶¶AE AF AB +¹C ．¶¶¶AC AD AB +¹，¶¶¶AE AF AB +=D ．¶¶¶AC AD AB +¹，¶¶¶AE AF AB+¹11．在锐角V ABC 中，60ACB Ð=°，∠BAC 、∠ABC 的角平分线AD 、BE 交于点M ，则下列结论中错误的是（ ）A ．120AMB Ð=°B ．ME MD =C ．AE BD AB += D ．点M 关于AC 的对称点一定在V ABC 的外接圆上12．如图，AB 、CD 分别是⊙O 的直径，连接BC 、BD ，如果弦DE AB ∥，且∠CDE ＝62°，则下列结论错误的是（ ）A ．CB ⊥BD B ．∠CBA ＝31°C ．»»AC AE =D ．BD ＝DE二、填空题类型一、圆心角概念13．在⊙O 中，AB 是直径，AB ＝2，C 是»AB 上一点，D 、E 分别是»AC 、»BC 的中点，M 是弦DE 的中点，则CM 的取值范围是__________________．14．把一个圆分成4个扇形，它们分别占整个圆的10%，20%，30%，40%，那么这四个扇形的圆心角分别是_______.15．已知点A 、B 、C 、D 在圆O 上，且FD 切圆O 于点D ，OE CD ^于点E ，对于下列说法：①圆上¼AbB 是优弧；②圆上¼AbD 是优弧；③线段AC 是弦；④CAD Ð和ADF Ð都是圆周角；⑤COA Ð是圆心角，其中正确的说法是________．类型二、圆心角与它所对弧的度数16．如图，在以AB 为直径的半圆中，»AD =»EB，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，CD=CF=1，则以AC 和BC 的长为两根的一元二次方程是________．17．已知半径为2的⊙O 中，弦AC=2，弦AD ＝∠AOD ＝________，∠COD ＝_________．18．如图，AB 是O e 的直径，弦,CD AB ^连接CO 并延长交O e 于点,E 连接BD 交CE于点,F 若32,DBE Ð=°则DFE Ð的度数是________________．类型三、用弧、弦、圆心角关系求解19．如图，点A 、B 、C 、D 均在O e 上，若65AOD Ð=°，AO DC ∥，则∠B 的度数为______．20．如图，点A 、B 、C 、D 、E 都是圆O 上的点，»»AC AE =，∠B ＝116°，则∠D 的度数为______度．21．如图，⊙O 的直径AB 过»CD的中点A ，若∠C ＝30°，AB 、CD 交于点E ，连接AC 、BD ，则AE BE＝________________．类型四、用弧、弦、圆心角关系证明22．如图，AB、CE是圆O的直径，且AB＝4，弧BD＝弧CD＝弧AC，点M是AB上一动点，下列结论：正确的数是___（写出所有正确结论的序号）∠BOD；①∠CED＝12②DM⊥CE；③CM+DM的最小值为4；④设OM为x，则S△OMC．23．在同一个圆中, 当圆心角不超过180°时, 圆心角越大, 所对的弧______;所对的弦__________, 所对弦的弦心距____________．24．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠ABC＝63°，则∠D的度数是__．三、解答题25．如图是半径为2的圆，（1）在其中画两个不重叠的扇形AOB和扇形BOC，使扇形AOB的圆心角为120度，扇形BOC的圆心角为90度，（2）求第三个扇形AOC的面积．26．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．（1）若∠AOD=52°，求∠DEB的度数；（2）若AB=24，CD=8，求⊙O的半径长．27．阅读与应用请阅读下列材料，完成相应的任务：托勒密是“地心说”的集大成者，著名的天文学家、地理学家、占星学家和光学家．后人从托勒密的书中发现一个命题：圆内接四边形对边乘积的和等于对角线的乘积．下面是对这个命题的证明过程．e．如图1，四边形ABCD内接于O×+×=×．求证：AB DC AD BC AC BDÐ=Ð交BD于点E．证明：如图2，作BAE CAD∵»»AD AD =，∴ABE ACD Ð=Ð．（依据）∴ABE ACD ∽△△．∴AB BE AC CD=．AB DC AC BE ×=×．…∴ABC AED ∽△△．∴AC BC AD ED =．∴AD BC AC ED ×=×．∵AB DC AC BE ×=×，∴()AB DC AD BC AC BE AC ED AC BE ED AC BD ×+×=×+×=+=×．∴AB DC AD BC AC BD ×+×=×．任务：(1)证明过程中的“依据”是______；(2)补全证明过程；(3)如图3，O e 的内接五边形ABCDE 的边长都为2，求对角线BD 的长．28．如图，在⊙O 中，弦AB ，CD 互相垂直，垂足为M ，F 是»BD 上的一点，且»»=，AF分别与CD，BD相交于点E，N，连接FD，MN．BF BC(1)求证：DE＝DF；(2)若⊙O的半径为8，∠BAF＝22.5°，求线段MN的长．参考答案1．D【分析】根据圆心角定理、直径的性质、垂径定理、圆周角定理逐个判断即可．解：等弧所对的圆心角相等，但长度相等的两条弧不一定是等弧，则命题①错误直径是圆的最长的弦，但不是圆的对称轴，圆的对称轴是直径所在直线，则命题②错误平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，则命题③错误在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，则命题④错误综上，错误命题的个数为4个故选：D．【点拨】本题考查了圆心角定理、直径的性质、垂径定理、圆周角定理，熟记各定理是解题关键．2．C【分析】根据圆周角定理可以得出同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，此时分两种情况进一步分析讨论即可.解：①当点C与线段AB位于圆心的两侧时，∠C=12∠AOB=60°；②当点C与线段AB位于同侧时，与上一种情况所得的度数互补；即此时的∠C=120°．故选：C．【点拨】本题主要考查了圆周角定理的应用，熟练掌握相关概念是解题关键.3．C【分析】利用圆周角与圆心角的关系得出∠COB=40°，再根据垂径定理进一步可得出∠DOB=∠COB，最后即可得出答案.解：∵∠A=20°，∴∠COB=2∠A=40°，∵CD⊥AB，OC=OD，∴∠DOB=∠COB=40°，∴∠COD=∠DOB+∠COB=80°.故选：C.【点拨】本题主要考查了圆周角、圆心角与垂径定理的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.4．B【分析】如图，连接AO，BO，CO，DO，由等腰三角形的性质可求∠ABC＝∠ACB＝65°，∠BAC ＝50°，由圆周角定理可求∠AOC＝2∠ABC＝130°，∠BOC＝2∠BAC＝100°，可求∠AOD＝30°，即可求解．解：如图，连接AO，BO，CO，DO，∵AB＝AC，∠ACB＝65°，∴∠ABC＝∠ACB＝65°，∴∠BAC＝50°，∴∠AOC＝2∠ABC＝130°，∠BOC＝2∠BAC＝100°，∵点C是弧BD的中点，∴»»=，BC CD∴∠BOC＝∠COD＝100°，∴∠AOD＝30°，∵∠AOD＝2∠ACD，∴∠ACD＝15°，故选：B．【点拨】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角、圆心角、弧的关系是解题的关键．5．D【分析】连接OC ，延长CD 交OB 于点E ，如图，易得△AOB 、△COE 、△BDE 都是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求出CE 与DE 的长，从而可得答案．解：连接OC ，延长CD 交OB 于点E ，如图，∵90AOB Ð=°，C 是»AB 的中点，∴∠COE=45°，∵//CD OA ，90AOB Ð=°，∴CE ⊥OB ，∴∠OCE=∴6==∴BE=OB －OE=6-，∵OA=OB ，90AOB Ð=°，∴∠ABO=45°，∴∠BDE=∠ABO=45°，∴EB=ED=6-，∴CD=CE －DE=(66-=．故选：D ．【点拨】本题考查了圆心角和弧的关系、等腰直角三角形的判定和性质等知识，属于常考题型，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质是解此题的关键．6．A【分析】延长AO 交⊙O 于点E ，连接BE ，由∠AOB+∠BOE=∠AOB+∠COD 知∠BOE=∠COD ，据此可得BE=CD，在Rt△ABE中利用勾股定理求解可得．解：如图，延长AO交⊙O于点E，连接BE，则∠AOB+∠BOE=180°，又∵∠AOB+∠COD=180°，∴∠BOE=∠COD，∴BE=CD，∵AE为⊙O的直径，则AE=10，∴∠ABE=90°，∴=；故选择：A.【点拨】本题主要考查圆心角定理，解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理．7．D【分析】由圆周角定理可求∠ACB=90°，由弧的关系得出角的关系，进而可求∠ABC=30°，∠CAB=60°，由直角三角形的性质可求∠CAH=∠ACE=30°，即可求解．解：∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠ABC+∠CAB=90°，∵»»2=，BC AC∴∠CAB=2∠ABC，∴∠ABC=30°，∠CAB=60°，∵CD⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠ACE=30°，∵点H是AG的中点，∠ACB=90°，∴AH=CH=HG，∴∠CAH=∠ACE=30°，∵∠CAF=∠CBF，∴∠CBF=30°，故选：D．【点拨】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，直角三角形的性质，求出∠CAB的度数是本题的关键．8．B【分析】根据¶AC=¶CD=¶DB和点E是点D关于AB的对称点，求出∠DOB=∠COD=∠BOE=60°，求出∠CED，即可判断①②；根据圆周角定理求出当M和A重合时∠MDE=60°即可判断③；求出M点的位置，根据圆周角定理得出此时DF是直径，即可求出DF长，即可判断④．解：∵¶AC=¶CD=¶DB，点E是点D关于AB的对称点，∴¶BD=¶BE，∴∠DOB=∠BOE=∠COD=13×180°=60°，∴①错误；∠CED=12∠COD=12×60°=30°=12∠DOB，即∠DOB=2∠CED；∴②正确；∵¶BE的度数是60°，∴¶AE的度数是120°，∴只有当M和A重合时，∠MDE=60°，∵∠CED=30°，∴只有M和A重合时，DM⊥CE，∴③错误；作C关于AB的对称点F，连接CF，交AB于N，连接DF交AB于M，此时CM+DM 的值最短，等于DF长，连接CD，∵¶AC=¶CD=¶DB=¶AF，并且弧的度数都是60°，∴∠D=12×120°=60°，∠CFD=12×60°=30°，∴∠FCD=180°-60°-30°=90°，∴DF是⊙O的直径，即DF=AB=10，∴CM+DM的最小值是10，∴④正确；综上所述，正确的个数是2个．故选：B．【点拨】本题考查了圆周角定理，轴对称-最短问题等知识点，能灵活运用圆周角定理求出各个角的度数和求出M的位置是解此题的关键．9．D【分析】圆周角定理；翻折变换（折叠问题）；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；连接OA，求出OC，根据勾股定理求出AC，可得结论．解：连接OA，∵将劣弧¶AB沿弦AB折叠交于OC的中点D，∴OC23=r＝6（cm），OC⊥AB，∴AC＝CB===cm），∴AB＝2AC＝cm），故选：D．【点拨】本题主要考查了圆的基本性质，垂径定理，勾股定理，关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．10．B【分析】连接BD ，BF ，先求解6AC BD ==， 可得¶¶AC BD =，¶¶¶AC AD AB +=，再求解BF 可得¶¶AE BF ¹， ¶¶¶AE AF AB +¹，从而可得答案.解：连接BD ，BF ，AB Q 直径，10AB =，8AD =，90,6ADB BD \Ð=°=，6AC =Q ，AC BD \=，\¶¶AC BD=，\¶¶¶AC AD AB +=，AB Q 直径，10AB =，9AF =，90,AFB BF \Ð=°=5AE =Q ，\¶¶AE BF¹，\¶¶¶AE AF AB +¹，所以B 符合题意，故选：B ．【点拨】本题主要考查了圆中弧、弦的关系和直径所对的圆周角是直角，熟练掌握相关定理是解答本题的关键．11．D【分析】利用三角形内角和定理以及角平分线的定义求出∠MAB +∠MBA =60°，推出∠AMB =120°，可判断A ，证明C ，E ，M ，D 四点共圆，利用圆周角定理可判断B ；在AB 上取一点T ，使得AT=AE，利用全等三角形的性质证明BD=BT，可判断C；无法判断M¢Ð与∠ABC互补，可判断D．解：如图，∵∠ACB=60°，∴∠CAB+∠CBA=120°，∵AD，BE分别是∠CAB，∠CBA的角平分线，∴∠MAB+∠MBA=12（∠CAB+∠CBA）=60°，∴∠AMB=180°-（∠MAB+∠MBA）=120°，故A符合题意，∵∠EMD=∠AMB=120°，∴∠EMD+∠ECD=180°，∴C，E，M，D四点共圆，∵∠MCE=∠MCD，∴¼¼EM DM=，∴EM=DM，故B符合题意，Q四边形CEMD是Oe的内接四边形，60,AME ACB BMD\Ð=Ð=°=Ð在AB上取一点T，使得AT=AE，在△AME和△AMT中，AE ATMAE MAT AM AMì=ïïÐ=Ðíï=ïî，∴△AME≌△AMT（SAS），∴∠AME=∠AMT=60°，EM=MT，∴∠BMD=∠BMT=60°，MT=MD，在△BMD 和△BMT 中，MD MT BMD BMT BM BMì=ïïÐ=Ðíï=ïî， ∴△BMD ≌△BMT ，∴BD =BT ，∴AB =AT +TB =AE +BD ，故C 符合题意，∵M ，M ¢关于AC 对称， ∴M ¢Ð=∠AMC ， ∵()11802AMC CAB ACB Ð=°-Ð+Ð ()11801802ABC =°-°-Ð =90°+12∠ABC ，∴M ¢Ð与∠ABC 不一定互补，∴点M ¢不一定在△ABC 的外接圆上，故D 不符合题意，故选D ．【点拨】本题考查三角形的外接圆，四点共圆，圆周角定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．12．D【分析】根据直径所对的圆周角是直角，即可判断A ，根据圆周角定理可判断B 选项，根据圆周角与弧的关系可判断C ，根据CDE CDB йÐ判断D 选项．解：∵AB 、CD 分别是⊙O 的直径，90CBD \Ð=°，∴CB ⊥BD ，故A 选项正确，如图，连接BE，Q DE AB ∥，且∠CDE ＝62°，62BOD CDE \Ð=Ð=°，1312BCD BOD \Ð=Ð=°，OC OB =Q ，31CBO BCO \Ð=Ð=°，62AOC \Ð=°，62CBE CDE Ð=Ð=°Q ，31ABC ABE \Ð=Ð=°，\»»AC AE =，故B ，C 选项正确，31,90BCD CBD Ð=°Ð=°Q ，59BDC \Ð=°，62CDE Ð=°Q ，CDE CDB \йÐ，\BD ¹DE ，故D 选项不正确，故选D ．【点拨】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，掌握圆周角定理是解题的关键．13．1≤CM 【分析】如图，连接OD 、OC 、OE ，先计算出∠DOC +∠COE ＝90°，则可判断△ODE 为等腰直角三角形，所以DE OD ，则OM ＝12DE ；由C 点在弧DE 上，则0≤∠COM ＜45°，根据三角形的性质，∠COM 越大，CM 越长，当O 、M 、C 共线时CM 最小，C 在点A 或点B 时CM 最长，即OC -OM ≤CM ＜ME ；解：如图，连接OD 、OC ，∵AB为直径，∴∠AOC+∠BOC＝180°，∵D、E分别是»AC、»BC的中点，∴∠AOD＝∠COD，∠COE＝∠BOE，∴∠DOC+∠COE＝1（∠AOC+∠BOC）＝90°，2∴△ODE为等腰直角三角形，∴DE OD∵M是弦DEDE，∴OM＝12∵C点在弧DE上，∴0≤∠COM＜45°，△OMC中，OM，OC的长度确定，∴∠COM越大，CM越长，∴O、C、CM最小，C在点A或点B时CM最长；∴CM≥1当C点在A点或B点时，CM∴CM的取值范围是1≤【点拨】本题考查了圆心角的概念，三角形的三边关系；根据三角形的性质判断CM的长度是解题关键．14．36°，72°，108°，144°【分析】根据扇形所占的百分比乘以360°进行解答即可．解：四个扇形的圆心角分别是360°×10%=36°；360°×20%=72°；360°×30%=108°；360°×40%=144°.故答案为36°，72°，108°，144°.【点拨】考查了扇形圆心角的度数问题，注意周角的度数是360°．15．①②③⑤【分析】根据优弧的定义，弦的定义，圆周角的定义，圆心角的定义逐项分析判断即可解：¼AbB ，¼AbD 都是大于半圆的弧，故①②正确，,A C Q 在圆上，则线段AC 是弦；故③正确；Q ,,C A D 都在圆上，\CAD Ð是圆周角而F 点不在圆上，则ADF Ð不是圆周角故④不正确；Q O 是圆心，,C A 在圆上\COA Ð是圆心角故⑤正确故正确的有：①②③⑤故答案为：①②③⑤【点拨】本题考查了优弧的定义，弦的定义，圆周角的定义，圆心角的定义，理解定义是解题的关键．优弧是大于半圆的弧，任意圆上两点的连线是弦，顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角，顶点在圆心，并且两边都和圆相交的角叫做圆心角．16．0152=+-x x 【分析】连接OD ，OE ，因为»AD =»EB，根据等弧所对的圆心角相等可得∠DOC=∠EOF ，因为CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，所以∠DCO=∠EFO=90°，又因为DO==EO ，所以Rt △DOC ∽Rt △EOF ，所以CO=OF=12，在Rt △DOC 中，，，，所以以AC 和BC 的长为两根的一元二次方程是（，整理，得0152=+-x x ．解：连接OE ，OD ，∵»AD =»EB，∴∠DOC=∠EOF ，∵CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，∴∠DCO=∠EFO=90°，又∵DO=EO ，∴Rt △DOC ≌Rt △EOF ，∴CO=OF=12，∵在Rt △DOC 中，∴，，=，∴以AC 和BC 的长为两根的一元二次方程是（)=0，整理，得0152=+-x x ．故答案为：x 2．【点拨】本题考查圆心角定理及其推论，全等三角形的判定与性质以及根与系数的关系．此题属于开放题，注意数形结合与方程思想的应用．17． 90° 150°或30°【分析】如图，在△AOD 中，根据勾股定理的逆定理即可求出∠AOD 的度数；连接OC ，易得△AOC 是等边三角形，从而可得∠AOC ＝60°，进一步利用角的和差即可求出∠COD 的度数．解：如图，在△AOD 中，∵2222228OA OD +=+=，(228AD ==，∴222OA OD AD +=，∴∠AOD=90°；连接OC，∵OA＝OC＝AC=2，∴△AOC是等边三角形，∴∠AOC＝60°．∴∠COD＝∠AOC+∠AOD＝60°+90°＝150°或∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝90°－60°＝30°．故答案为：90°；150°或30°．【点拨】本题考查了圆心角、勾股定理的逆定理、等边三角形的判定与性质以及分类的数学思想，依照题意画出图形、熟练掌握相关知识是解题的关键．18．93o【分析】根据圆周角定理的推论，得∠DCE=32°，由CD AB^结合三角形外角的性质，得∠BOC 的度数，从而得∠BDC的度数，进而即可求解．解：∵∠DCE和∠DBE是同弧所对的圆周角，∴∠DCE=∠DBE=32°，∵CD AB^，∴∠BOC=90°+∠DCE=90°+32°=122°，∴∠BDC=12∠BOC=12×122°=61°，∴DFEÐ=∠DCE+∠BDC=32°+61°=93°．故答案是：93°．【点拨】本题主要考查圆周角定理及其推论，三角形外角的性质，掌握“同弧或等弧所对的圆周角相等”，“同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半”，是解题的关键．19．57.5°【分析】根据平行线的性质得出∠ODC=∠AOD=65°，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠ODA=∠OAD=1（180°-∠AOD）=57.5°，求出∠ADC的度数，根据圆内接四边形的性2质得出∠B+∠ADC=180°，再求出答案即可．解：连接AD，∵∠AOD=68°，AO∥DC，∴∠ODC=∠AOD=65°，∵∠AOD=65°，OA=OD，∴∠ODA=∠OAD=1（180°-∠AOD）=57.5°，2∴∠ADC=∠ODA+∠ODC=57.5°+65°=122.5°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠B+∠ADC=180°，∴∠B=57.5°，故答案为：57.5°．【点拨】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，等腰三角形的性质等知识点，能求出∠ADC的度数是解此题的关键．20．128【分析】连接AD．首先证明∠ADC=∠ADE，再利用圆内接四边形的性质求出∠ADC即可解决问题．解：连接AD．∵»»AC AE=，∴∠ADC=∠ADE，∵∠B+∠ADC=180°，∴∠ADC=180°-116°=64°，∴∠CDE=2×64°=128°，故选：128．【点拨】本题考查圆心角，弧，弦的关系，圆周角定理，圆内接四边形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．1 3【分析】根据已知条件得出∠DCA=∠DBA=30°，设DE=EC=x，由在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半可以得出AE和BE的长，然后代入要求的式子进行计算即可得出答案．解：∵⊙O的直径AB过»CD的中点A，∴»AC＝»AD，∴DE＝EC，∵AB是⊙O的直径，∴∠BED＝∠CEA＝90°，∵∠C＝30°，∴∠DCA＝∠DBA＝30°，设DE＝EC＝x，∵∠C＝30°，∴AE，∵∠DBA ＝30°，∴BE，∴AE BE13 ；故答案为：13．【点拨】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系以及圆周角定理，掌握在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．22．①③【分析】①由»»BDCD =，可得∠COD =∠BOD ，据此根据圆周角定理即可得结论；②由点M 是直径AB 上一动点，而CE 的位置是确定的，因此DM ⊥CE 不一定成立，可得结论；③由题意可得点D 和点E 关于AB 对称，因此CM +DM 的最小值是在点M 和点O 重合时取到，即CE 的长；④过点C 作CN ⊥AO 于点N ，利用解直角三角形可求得CN ，利用三角形面积公式求解即可．解：①»»BDCD =Q ，C O D B O D \Ð=Ð，12CED COD Ð=ÐQ ，12CED BOD \Ð=Ð，故①正确；②Q 点M 是直径AB 上一动点，而CE 确定，\DM ⊥CE 不一定成立，故②错误；③¼¼¼BD CD AC==Q ，60BOE AOC COD BOD Ð=Ð=Ð=Ð=\°，∠CED =30°，\DE ⊥AB ，\点D 和点E 关于AB 对称，\CM +DM 的最小值是在点M 和点O 重合时取到，即CE 的长，Q AB =4，\CE =AB =4，故③正确；④连接AC ，¼¼¼BD CD AC ==Q ，\∠COA =60°，则△AOC 为等边三角形，边长为过点C 作CN ⊥AO 于N ，则sin 602CN OC =×°==，在△COM 中，以OM 为底，OM 边上的高为CN ，1122COM S OM CN x \=×==△，故④错误；综上，①③正确，故答案为：①③．【点拨】本题考查了圆周角定理，最小值问题，等边三角形判定和性质，三角形面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．23． 越长 越长 越短【分析】根据圆心角定理解答即可.解：在同一个圆中, 当圆心角不超过180°时, 圆心角越大, 所对的弧越长，所对的弦越长，所对弦的弦心距越短．故答案为越长；越长；越短.【点拨】本题考查了圆心角定理及其推理，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.24．27°【分析】根据题意易得∠ACB ＝90°，然后根据圆的性质及直角三角形的两个锐角互余可求解．解：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠A ＝90°﹣∠ABC ＝90°﹣63°＝27°，∴∠D ＝∠A ＝27°．故答案为27°．【点拨】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键．25．（1）作图见分析；（2）5 3 p试题分析：（1）根据扇形定义及题目要求画出即可；（2）根据扇形的面积公式S=2360n r p计算即可．解：（1）如图所示：（2）∵∠AOB=120°，∠BOC=90°，∴∠AOC=150°，故S扇形AOC =2150253603pp´´=．26．（1）26o；（2）13【分析】（1）连接OB，结合OD⊥AB，根据垂径定理，推导得∠AOD；再根据圆心角、圆周角的性质，即可得到答案；（2）结合题意，根据垂径定理性质，计算得AC；再结合OD⊥AB，通过勾股定理即可计算得⊙O的半径．解：（1）连接OB∵^OD AB∴»»AD BD=∴52AOC BODÐ=Ð=o∵12DEB BOD Ð=Ð∴26DEB Ð=o（2）∵^OD AB ∴11241222AC AB ==´=设OA x =，则8OC x =-在Rt ACO V 中，()222128x x =+-∴13x =∴O e 的半径长为13．【点拨】本题考查了圆的知识；解题的关键是熟练掌握垂径定理、圆心角、圆周角、勾股定理的性质，从而完成求解．27．(1)同弧所对的圆周角相等；(2)见分析；1；【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等可得ABE ACD Ð=Ð；（2）由BAE CAD Ð=Ð可得BAC EAD Ð=Ð，再由ACB ADE Ð=Ð可得ABC AED ∽△△；（3）连接AD ，BE ，由2AB BC CD DE EA =====可得»»»»»AB BCCD DE BA ====，进而»»»BE AD BD==，BE =AD =BD ，再由AB DE AE BD BE AD ×+×=×解方程即可；(1)解：∵同弧所对的圆周角相等，»»AD AD =，∴ABE ACD Ð=Ð；故答案为：同弧所对的圆周角相等；(2)解：∵BAE CAD Ð=Ð，∴BAE EAC CAD EAC Ð+Ð=Ð+Ð，∴BAC EAD Ð=Ð，∵»»AB AB =，∴ACB ADE Ð=Ð；(3)解：如图，连接AD ，BE ，∵2AB BC CD DE EA =====，∴»»»»»AB BC CD DE BA ====，∴»»»»»»AB AE AE EDCD CB +=+=+，∴»»»BE AD BD==，∴BE =AD =BD ，∵四边形ABDE 是O e 的内接四边形，∴AB DE AE BD BE AD ×+×=×，∵2AB DE EA ===，∴2222BD BD ´+=，解得：1BD =或1BD =，∴对角线BD 1+；【点拨】本题考查了圆内接多边形，圆心角、弧、弦关系，相似三角形的判定和性质，一元二次方程等知识；掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解题关键．28．(1)见分析(2)【分析】（1）根据AB CD ^得，90AME DMB Ð=Ð=°，根据等弧或同弧所对的圆周角相等可得BDC BAF Ð=Ð，DBA DFA Ð=Ð，根据等角的余角相等可得AEM DBM Ð=Ð，进而可得DFA DEF Ð=Ð，根据等角对等边即可得证；（2）连接,,,OF OC CF AC ，根据∠BAF ＝22.5°，证明COF V 是直角三角形，勾股定理求得CF ，进而证明MN 是ECF △的中位线，即可求解．解：(1)Q »»BFBC =，BDC BAF \Ð=Ð，AB CD ^Q ，90AME DMB \Ð=Ð=°，90,90BAF AEM CDB DBM \Ð+Ð=°Ð+Ð=°，AEM DBM \Ð=Ð，»»AD AD =Q ，DBA DFA \Ð=Ð，AEM DEN Ð=ÐQ ，DFA DEF \Ð=Ð，DE DF \=；(2)如图，连接,,,OF OC CF AC ，Q »»BFBC =，22.5CDB BDF BAF Ð=Ð=Ð=\°，45CDF CDB BDF \Ð=Ð+Ð=°，»»CFCF =Q ，290COF CDF \Ð=Ð=°，在Rt COF △中，CF ===，由（1）得，DE DF =，DEF \V 是等腰三角形，CDB BDF Ð=ÐQ ，EN FN \=，N \是EF 的中点，Q »»BFBC =，BAF BAC \Ð=Ð，AB CD ^Q ，AM EC \^，EM MC \= ，\12MN CF ==【点拨】本题考查了圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，三角形中位线的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．。

16．如图，⊙O的半径OA⊥OC，点D在 AC 上，且 AD＝2 CD，OA＝4. (1)∠COD＝ 30 °；
(2)求弦AD的长； 解：(2)连接OD、AD，如图①所示． 由(1)知∠AOD＝2∠COD＝2×30°＝60°. ∵OA＝OD＝4， ∴△AOD为等边三角形． ∴AD＝OA＝4.
(3)P是半径OC上一动点，连接AP、PD，请求出AP ＋PD的最小值． (3)如图②，延长AO交⊙O于点B，连接BD交OC于 点P. ∵OA⊥OC，OA＝OB， ∴PA＝PB. ∴PA＋PD＝PB＋PD. ∵两点之间，线段最短，
(2)若 AC 的度数为58°，求∠AOD的度数．
(2)解：依题意得∠AOC＝58°，
∴∠BOD＝∠COD＝ 1∠BOC＝ 1 ×(180°－58°)
2
2
＝61°.
∴∠AOD＝119°.
15．如图，过⊙O的直径AB上两点M，N，分别作 弦CD，EF，若CD∥EF，AC＝BF，求证： (1) BC＝ AF ； 证明：(1)如图，连接OC、OF. ∵AC＝BF，∴∠COA＝∠BOF. ∴∠COB＝∠FOA. ∴ BC＝ AF .
∴∠AOC＝120°.
∴
BC
＝
1 2
AC
.故选A.
13．如图，半径为5的⊙A中，弦BC、ED所对的圆 心角分别是∠BAC、∠EAD.已知DE＝6，∠BAC＋ ∠EAD＝180°，则圆心A到弦BC的距离为 3 .
思路分析：
解析：如图，作AH⊥BC于H，作直径CF，连接 BF. ∵∠BAC＋∠EAD＝180°， ∠BAC＋∠BAF＝180°， ∴∠BAF＝∠DAE.
∴ BF＝DE . ∴BF＝DE＝6.
∵AH⊥BC，∴CH＝BH.

弧、弦、圆心角、圆周角—巩固练习（提高）【巩固练习】 一、选择题1. 如图，在⊙O 中，若圆心角∠AOB=100°，C 是上一点，则∠ACB 等于( )． A ．80° B ．100° C ．130° D ．140°2．已知，如图, AB 为⊙O 的直径，AB ＝AC ，BC 交⊙O 于点D ，AC 交⊙O 于点E ，∠BAC ＝45°。

给出以下五个结论：①∠EBC ＝22.5°；②BD ＝DC ；③AE ＝2EC ；④劣弧AE 是劣弧DE 的2倍；⑤AE ＝BC 。

其中正确的有( )个A. 5B. 4C. 3D. 2第1题图 第2题图 第3题图3．如图，设⊙O 的半径为r ，弦的长为a ，弦与圆心的距离为d ，弦的中点到所对劣弧中点的距离为h ，下面说法或等式：①r d h =+ ②22244r d a =+ ③已知r 、a 、d 、h 中任意两个，可求其它两个。

其中正确结论的序号是( )A ．仅①B ．②③C ．①②③D ．①③4．（2015•威海）如图，已知AB=AC=AD ，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD 的度数为（ ）A ．68°B ． 88°C ． 90°D ．112°5．如图所示，AB 是⊙O 的直径，AD=DE ，AE 与BD 交于点C ，则图中与∠BCE 相等的角有（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个第5题图 第6题图6．如图所示，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∠CDB ＝30°，⊙O 3，则弦CD 的长为( )．A ．32cm B ．3cm C ．23cm D ．9cm 二、填空题7．.如图，AB 和DE 是⊙O 的直径，弦AC ∥DE ，若弦BE=3，则弦CE=________.8．（2015•青岛）如图，圆内接四边形ABCD 两组对边的延长线分别相交于点E ，F ，且∠A=55°，∠E=30°，则∠F= ．9．如图，⊙O的直径AB 与弦CD 相交于点E ，若AE=5,BE=1,42CD ,则∠AED= °.10．如图所示，AB 、CD 是⊙O 的两条互相垂直的弦，圆心角∠AOC ＝130°，AD 、CB 的延长线相交于P ，则∠P ＝________°． 11.如图所示，在半径为3的⊙O 中，点B 是劣弧AC 的中点，连接AB 并延长到D ，使BD ＝AB ，连接AC 、BC 、CD ，如果AB ＝2，那么CD ＝________．（第10题图） （第11题图）12．如图，MN 是⊙O 的直径，MN ＝2，点A 在⊙O 上，∠AMN ＝30°，点B 为AN ︵中点，P 直径MN 上的一个动点，则PA ＋PB 的最小值是 .NPOAB（第12题图）13．已知⊙O 的半径OA=2，弦AB 、AC 分别为一元二次方程x 2-（22+23）x+46=0的两个根，则∠BAC 的度数为_______．三、解答题14.如图，在⊙O 中，AB BC CD ==，OB ，OC 分别交AC ，BD 于Ｅ、Ｆ，求证OE OF =15.（2015•宁波模拟）如图，等腰△ABC 中，AC=BC ，⊙O 为△ABC 的外接圆，D 为上一点，CE⊥AD 于E ，求证：AE=BD+DE ．16．如图所示，AB 是⊙O 的直径，C 为AE 的中点，CD ⊥AB 于D ，交AE 于F ，连接AC ，求证：AF ＝CF ．17.如图所示，⊙O 的直径AB 长为6，弦AC 长为2，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ， 求四边形ADBC 的面积．【答案与解析】一、选择题1．【答案】C．【解析】设点D是优弧AB上一点（不与A、B重合），连接AD、BD；则∠ADB=∠AOB=50°；∵四边形ADBC内接于⊙O，∴∠C=180°-∠ADB=130°；故选C．2．【答案】C．【解析】①②④正确.3．【答案】C．【解析】根据垂径定理及勾股定理可得①②③都是正确的.4．【答案】B．【解析】如图，∵AB=AC=AD，∴点B、C、D在以点A为圆心，以AB的长为半径的圆上；∵∠CBD=2∠BDC，∠CAD=2∠CBD，∠BAC=2∠BDC，∴∠CAD=2∠BAC，而∠BAC=44°，∴∠CAD=88°，故选B．5．【答案】D．【解析】与∠BCE相等的角有5个，∠DAE=∠AED=∠ABD，∠BAD=∠BAE+∠DAE=∠BAE+∠ABD=∠BCE，同理∠ADO=∠ODE=∠OED=∠BCE，且∠ACD=∠BCE.6．【答案】B．【解析】∵∠CDB＝30°，∴∠COB＝2∠CDB＝60°，又AB为⊙O的直径，CD⊥AB，∴ ∠OCD ＝30°，12CE CD =， 在Rt △OEC 中，∵ 3OC =cm ，∴ 32OE =cm ． 2222239(3)24CE OC OE ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭(cm )．∴ 32CE =cm ，∴ CD ＝3cm ．二、填空题 7．【答案】3； 8．【答案】40°；【解析】∵∠A=55°，∠E=30°，∴∠EBF=∠A+∠E=85°， ∵∠A+∠BCD=180°，∴∠BCD=180°﹣55°=125°， ∵∠BCD=∠F+∠CBF，∴∠F=125°﹣85°=40°．9．【答案】30°； 10．【答案】40°；【解析】∵ ∠AOC ＝130°，∴ ∠ADC ＝∠ABC ＝65°， 又AB ⊥CD ，∴ ∠PCD ＝90°－65°＝25°，∴ ∠P ＝∠ADC －∠PCD ＝65°－25°＝40°． 11．【答案】43； 【解析】连结OA 、OB ，交AC 于E ，因为点B 是劣弧AC 的中点，所以 OB ⊥AC ，设BE=x,则OE=3-x ，由AB 2-BE 2=OA 2-OE 2得 22-x 2=32-（3-x ）2,解得23x =，423CD BE ==. 或连接OA 、OB ，△OAB ∽△BCD ，AB CD OA BC =，232CD =，43CD =． 12．【答案】；【解析】作点B 关于MN 的对称点C ，连接AC 交MN 于点P ，则P 点就是所求作的点．（如图）此时PA+PB 最小，且等于AC 的长．连接OA ，OC ，根据题意得弧AN 的度数是60°， 则弧BN 的度数是30°，根据垂径定理得弧CN 的度数是30°， 则∠AOC=90°，又OA=OC=1， 则AC= ．13.【答案】15°或75°.【解析】方程x 2-（22+23）x+46=0的解为x 1=22，x 2=23， 不妨设：AB=22，AC=23． （1）如图，OM ⊥AB 于M ，ON ⊥AC 于N ． ∵AB=22，AC=23， ∴AM=2，∵OA=2，在Rt △MAO 中，∠MAO=45°，AC=23， ∴AN=3，在Rt △NAO 中，∠NAO=30°，∴∠BAC=15°； （2）如图，∠BAC=75°．三、解答题14.【答案与解析】如图，∵AB BC CD ==，∴AC BD =, ∴AC BD =,∵B,C 是,AC BD 的中点， ∴1,,2BF CE AC OB AC OC BD ==⊥⊥, ∴Rt OBF Rt OCE ≌, ∴OE OF =15.【答案与解析】证明：如图，在AE 上截取AF=BD ，连接CF ，CD ； 在△ACF 和△BCD 中∴△ACF≌△BCD， ∴CF=CD，∵CE⊥AD 于E ， ∴EF=DE，∴AE=AF+EF=BD +DE ．16.【答案与解析】证法一：连接BC ，如图所示．∵ AB 是直径，∴ ∠ACB ＝90°， 即∠ACF+∠BCD ＝90°． 又∵ CD ⊥AB ，∴ ∠B+∠BCD ＝90°，∴ ∠ACF ＝∠B ．∵ 点C 是AE 的中点， ∴ AC CE =， ∴ ∠B ＝∠CAE ，∴ ∠ACF ＝∠CAE ，∴ AF ＝CF ．证法二：如图所示，连接BC ，并延长CD 交⊙O 于点H ． ∵ AB 是直径，CD ⊥AB ，∴ AC AH =． ∴ 点C 是AE 的中点， ∴ AC CE =， ∴ AH CE =． ∵ ∠ACF ＝∠CAF ， ∴ AF ＝CF ．17.【答案与解析】∵ AB 是直径，∴ ∠ACB ＝∠ADB ＝∠90°． 在Rt △ABC 中，AB ＝6，AC ＝2，∴ 22226242BC AB AC =-=-=．∵ ∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，∴ ∠DCA ＝∠BCD ． ∴ AD DB =，∴ AD ＝BD ．∴ 在Rt △ABD 中，AD 2+BD 2＝AB 2＝62，∴ AD ＝BD ＝32． ∴ 11C 22ABC ABD ADBC S S S A BC AD BD ∆∆=+=+四边形211242(32)94222=⨯⨯+⨯=+．附录资料： 《相似》全章复习与巩固--巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1．（2015•乐山）如图，l 1∥l 2∥l 3，两条直线与这三条平行线分别交于点A 、B 、C 和D 、E 、F ．已知，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．2. （2016•奉贤区一模）用一个4倍放大镜照△ABC，下列说法错误的是（）A．△ABC放大后，∠B是原来的4倍B．△ABC放大后，边AB是原来的4倍C．△ABC放大后，周长是原来的4倍D．△ABC放大后，面积是原来的16倍3．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与相似的是( )4.如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(-1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是，则点B的横坐标是（）A．B． C．D．5．下列说法：①位似图形都相似；②位似图形都是平移后再放大(或缩小)得到；③直角三角形斜边上的中线与斜边的比为1：2；④两个相似多边形的面积比为4：9，则周长的比为16：81中，正确的有( ) A．1个B．2个 C．3个 D．4个6. 如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，P是BC边上的点，下列条件中不能推出△ABP与以点E、C、P为顶点的三角形相似的是( )A．∠APB=∠EPC B．∠APE=90° C．P是BC的中点D．BP：BC=2：37. 如图，在△ABC中，EF∥BC，12AEEB,，S四边形BCFE=8，则S△ABC=（）A．9 B．10 C．12 D．138.如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，则下列结论正确的是（）A．∠E=2∠K B．BC=2HIC．六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长D．S六边形ABCDEF=2S六边形GHIJKL二、填空题9. （2016•衡阳）若△ABC与△DEF相似且面积之比为25：16，则△ABC与△DEF的周长之比为．10. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC中点，F是BC延长线上一点，DF平分CE于点G，CF=1，则BC=_______，△ADE•与△ABC•的面积之比为_______，•△CFG与△BFD的面积之比为________.11. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于O点，S△AOD:S△COB=1:9，则S△DOC:S△BOC=_______.12. 在相同时刻的物高与影长成比例.小明的身高为1.5米，在地面上的影长为2米，同时一古塔在面上的影长为40米，则古塔高为________.13. （2015•金华）如图，直线l1、l2、…l6是一组等距的平行线，过直线l1上的点A作两条射线，分别与直线l3、l6相交于点B、E、C、F．若BC=2，则EF的长是．14．如图，在△ABC中，MN∥BC，若∠C=68°，AM：MB＝1：2，则∠MNA=_______度，AN：NC＝_____________.15.如图，点D,E分别在AB、AC上，且∠ABC=∠AED。