圆综合复习
1、（12分）（2014?攀枝花,23．）如图，以点P（﹣1，0）为圆心的圆，交x轴于B、C两点（B在C的左侧），交y轴于
A、D两点（A在D的下方），AD=2，将△ABC绕点P旋转180°，得到△MCB．
（1）求B、C两点的坐标；
（2）请在图中画出线段MB、MC，并判断四边形ACMB的形状（不必证明），求出点M的坐标；
（3）动直线l从与BM重合的位置开始绕点B顺时针旋转，到与BC重合时停止，设直线l与CM交点为E，点Q为BE
的中点，过点E作EG⊥BC于G，连接MQ、QG．请问在旋转过程中∠MQG的大小是否变化若不变，求出∠MQG的度数；若变化，请说明理由．
2．（8分）（2014?苏州27）如图，已知⊙O上依次有A、B、C、D四个点，=，连接AB、AD、BD，弦AB不经过圆心
O，延长AB到E，使BE=AB，连接EC，F是EC的中点，连接BF．
（1）若⊙O的半径为3，∠DAB=120°，求劣弧的长；
（2）求证：BF=BD；
（3）设G是BD的中点，探索：在⊙O上是否存在点P（不同于点B），使得PG=PF并说明PB与AE的位置关系．
3．（9分）（2014?苏州28）如图，已知l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，⊙O的半径为2cm，矩形ABCD的边AD、AB分别与l1，l2重合，AB=4cm，AD=4cm，若⊙O与矩形ABCD沿l1同时向右移动，⊙O的移动速度为3cm，矩形ABCD的移动速度为4cm/s，设移动时间为t（s）
（1）如图①，连接OA、AC，则∠OAC的度数为°；
（2）如图②，两个图形移动一段时间后，⊙O到达⊙O1的位置，矩形ABCD到达A1B1C1D1的位置，此时点O1，A1，C1恰好在同一直线上，求圆心O移动的距离（即OO1的长）；
（3）在移动过程中，圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d（cm），当d＜2时，求t的取值范围（解答时可以利用备用图画出相关示意图）．
4.（2014上海25．本题满分14分，第（1）小题满分3分，第（1）小题满分5分，第（1）小题满分6分） 如图1，已知在平行四边形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝8，cos B ＝4
5
，点P 是边BC 上的动点，以CP 为半径的圆C 与边AD 交于点E 、F （点F 在点E 的右侧），射线CE 与射线BA 交于点G ．
（1）当圆C 经过点A 时，求CP 的长；
（2）联结AP ，当AP 2014成都27本小题满分10
分）
如图，在⊙O 的内接△ABC 中，∠ACB=90°，AC=2BC ，过C 作AB 的垂线l 交⊙O 于另一点D ，垂足为E.设P 是⌒
AC 上异于A,C 的一个动点，射线AP 交l 于点F ，连接PC 与PD ，PD 交AB 于点G.
（1）求证：△PAC ∽△PDF ；
（2）若AB=5，⌒AP =⌒
BP ，求PD 的长；
（3）在点P 运动过程中，设x BG
AG =，y AFD =∠tan ，求y 与x 之间的函数关系式.（不要求写出x 的取值范围）
tan AE AFD FE
∠=
，
6．（9分）（2014?淄博24）如图，点A 与点B 的坐标分别是（1，0），（5，0），点P 是该直角坐标系内的一个动点． （1）使∠APB =30°的点P 有 个；
（2）若点P 在y 轴上，且∠APB =30°，求满足条件的点P 的坐标；
（3）当点P 在y 轴上移动时，∠APB 是否有最大值若有，求点P 的坐标，并说明此时∠APB 最大的理由；若没有，也请说明理由．
7、（10分）（2014?襄阳25．）如图，A ，P ，B ，C 是⊙O 上的四个点，∠APC=∠BPC=60°，过点A 作⊙O 的切线交BP 的延长线于点D ．
（1）求证：△ADP ∽△BDA ；
（2）试探究线段PA ，PB ，PC 之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若AD=2，PD=1，求线段BC的长．
8、（10分）（2014?南宁25．）如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，点F在射线CM上，∠AEF=90°，AE=EF，过点F作射线BC的垂线，垂足为H，连接AC．
（1）试判断BE与FH的数量关系，并说明理由；
（2）求证：∠ACF=90°；
（3）连接AF，过A、E、F三点作圆，如图2，若EC=4，∠CEF=15°，求的长．
9、（12分）（2014?泰州25．）如图，平面直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣x+b（b为常数，b＞0）的图象与x轴、y 轴分别相交于点A、B，半径为4的⊙O与x轴正半轴相交于点C，与y轴相交于点D、E，点D在点E上方．（1）若直线AB与有两个交点F、G．
①求∠CFE的度数；
②用含b的代数式表示FG2，并直接写出b的取值范围；
（2）设b≥5，在线段AB上是否存在点P，使∠CPE=45°若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
10、（2014?湖州24．）已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，以P（1，1）为圆心的⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连接PF，过点PE⊥PF交y轴于点E，设点F运动的时间是t秒（t＞0）
（1）若点E在y轴的负半轴上（如图所示），求证：PE=PF；
（2）在点F运动过程中，设OE=a，OF=b，试用含a的代数式表示b；
（3）作点F关于点M的对称点F′，经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，连接QE．在点F运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
11、（2014 徐州28.本题10分）如图，矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm，点E从点A出发，沿射线AD移动，以CE为直径作圆O，点F为圆O与射线BD的公共点，连接EF、CF，过点E作EG⊥EF，EG与圆O相交于点G，连接CG.
（1）试说明四边形EFCG是矩形；
（2）当圆O与射线BD相切时，点E停止移动，在点E移动的过程中，
①矩形EFCG的面积是否存在最大值或最小值若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，说明理由；
②求点G移动路线的长.
12、（12分）（2014?荆州25．）如图①，已知：在矩形ABCD的边AD上有一点O，OA=，以O为圆心，OA长为半径作圆，交AD于M，恰好与BD相切于H，过H作弦HP∥AB，弦HP=3．若点E是CD边上一动点（点E与C，D不重合），过E作直线EF∥BD交BC于F，再把△CEF沿着动直线EF对折，点C的对应点为G．设CE=x，△EFG与矩形ABCD重叠部分的面积为S．
（1）求证：四边形ABHP是菱形；
（2）问△EFG的直角顶点G能落在⊙O上吗若能，求出此时x的值；若不能，请说明理由；
（3）求S与x之间的函数关系式，并直接写出FG与⊙O相切时，S的值．
13、（2014日照本小题满分14分21．）
阅读资料：
小明是一个爱动脑筋的好学生，他在学习了有关圆的切线性质后，意犹未尽，又查阅到了与圆的切线相关的一个问题：如图l，已知PC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，延长刚交切线PC于点P．连接AC，BC，OC．
因为PC是⊙O 的切线，AB是⊙O的直径，所以∠OCP=∠ACB=90°，所以∠1=∠2．
又因为∠B=∠1，所以∠B=∠2．在△PAC 与△PCB 中，又因为∠P=∠P，所以△PAC～△PCB，所以PC PA =PB
PC ，即PC 2
=PA·PB． 问题拓展：
（1）如果PB 不经过⊙O 的圆心O （如图2），等式PC 2
=PA·PB，还成立吗请证明你的结论． 综合应用：
（2）如图3，⊙O 是△ABC 的外接圆，PC 是⊙O 的切线，C 是切点，BA 的延长线交PC 于点P ．
①当AB=PA ，且PC=12时，求PA 的值；
②D 是BC 的中点，PD 交AC 于点E ．求证：AE CE
PA
PC 2
2
图1 图2 图3
14、（11分）（2014?河北25．）图1和图2中，优弧所在⊙O 的半径为2，AB=2
．点P 为优弧
上一点（点P 不与
A ，
B 重合），将图形沿BP 折叠，得到点A 的对称点A′．
（1）点O 到弦AB 的距离是 ，当BP 经过点O 时，∠ABA′= °； （2）当BA′与⊙O 相切时，如图2，求折痕的长： （3）若线段BA′与优弧
只有一个公共点B ，设∠ABP=α．确定α的取值范围．
15、（12分）（2014?漳州24．）阅读材料：如图1，在△AOB 中，∠O=90°，OA=OB ，点P 在AB 边上，PE⊥OA 于点E ，PF⊥OB 于点F ，则PE+PF=OA ．（此结论不必证明，可直接应用）
（1）【理解与应用】
如图2，正方形ABCD 的边长为2，对角线AC ，BD 相交于点O ，点P 在AB 边上，PE⊥OA 于点E ，PF⊥OB 于点F ，则PE+PF 的值为 _________ ．
（2）【类比与推理】
如图3，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AB=4，AD=3，点P 在AB 边上，PE∥OB 交AC 于点E ，PF∥OA 交BD 于点F ，求PE+PF 的值；
（3）【拓展与延伸】
如图4，⊙O的半径为4，A，B，C，D是⊙O上的四点，过点C，D的切线CH，DG相交于点M，点P在弦AB上，PE∥BC 交AC于点E，PF∥AD于点F，当∠ADG=∠BCH=30°时，PE+PF是否为定值若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
16、（10分）（2014?常州28．）在平面直角坐标系xOy中，点M（，），以点M为圆心，OM长为半径作⊙M．使⊙M
与直线OM的另一交点为点B，与x轴，y轴的另一交点分别为点D，A（如图），连接AM．点P是上的动点．
（1）写出∠AMB的度数；
（2）点Q在射线OP上，且OP?OQ=20，过点Q作QC垂直于直线OM，垂足为C，直线QC交x轴于点E．
①当动点P与点B重合时，求点E的坐标；
②连接QD，设点Q的纵坐标为t，△QOD的面积为S．求S与t的函数关系式及S的取值范围．
17、（9分）（2014年云南省23．）已知如图平面直角坐标系中，点O是坐标原点，矩形ABCD是顶点坐标分别为A（3，0）、B（3，4）、C（0，4）．点D在y轴上，且点D的坐标为（0，﹣5），点P是直线AC上的一动点．
（1）当点P运动到线段AC的中点时，求直线DP的解析式（关系式）；
（2）当点P沿直线AC移动时，过点D、P的直线与x轴交于点M．问在x轴的正半轴上是否存在使△DOM与△ABC相似的点M若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当点P沿直线AC移动时，以点P为圆心、R（R＞0）为半径长画圆．得到的圆称为动圆P．若设动圆P的半径长为，过点D作动圆P的两条切线与动圆P分别相切于点E、F．请探求在动圆P中是否存在面积最小的四边形DEPF若存在，请求出最小面积S的值；若不存在，请说明理由．
18、（2014?江西，第22题8分）如图1，AB是圆O的直径，点C在AB的延长线上，AB=4，BC=2，P是圆O上半部分的一个动点，连接OP，CP。
（1）求△OPC的最大面积；
（2）求∠OCP的最大度数；
（3）如图2，延长PO交圆O于点D，连接DB，当CP=DB，求证：CP是圆O的切线.
19. （2014?株洲，第23题，8分）如图，PQ为圆O的直径，点B在线段PQ的延长线上，OQ=QB=1，动点A在圆O的上半圆运动（含P、Q两点），以线段AB为边向上作等边三角形AB C．
（1）当线段AB所在的直线与圆O相切时，求△ABC的面积（图1）；
（2）设∠AOB=α，当线段AB、与圆O只有一个公共点（即A点）时，求α的范围（图2，直接写出答案）；
（3）当线段AB与圆O有两个公共点A、M时，如果AO⊥PM于点N，求CM的长度（图3）．
圆综合大题复习答案1．（12分）（2014?攀枝花）
解答：
解：（1）连接PA，如图1所示．
∵PO⊥AD，∴AO=DO．∵AD=2，∴OA=．∵点P坐标为（﹣1，0），∴OP=1．∴PA==2．
∴BP=CP=2．∴B（﹣3，0），C（1，0）．
（2）连接AP，延长AP交⊙P于点M，连接MB、MC．如图2所示，线段MB、MC即为所求作．四边形ACMB是矩形．理由如下：
∵△MCB由△ABC绕点P旋转180°所得，∴四边形ACMB是平行四边形．∵BC是⊙P的直径，∴∠CAB=90°．∴平行四边形ACMB是矩形．过点M作MH⊥BC，垂足为H，如图2所示．在△MHP和△AOP中，∵∠MHP=∠AOP，∠HPM=∠OPA，MP=AP，∴△MHP≌△AOP．∴MH=OA=，PH=PO=1．∴OH=2．
∴点M的坐标为（﹣2，）．
（3）在旋转过程中∠MQG的大小不变．
∵四边形ACMB是矩形，∴∠BMC=90°．∵EG⊥BO，∴∠BGE=90°．∴∠BMC=∠BGE=90°．∵点Q是BE的中点，∴QM=QE=QB=QG．∴点E、M、B、G在以点Q为圆心，QB为半径的圆上，如图3所示．∴∠MQG=2∠MBG．∵∠COA=90°，
OC=1，OA=，∴tan∠OCA==．∴∠OCA=60°．∴∠MBC=∠BCA=60°．∴∠MQG=120°．∴在旋转过程中∠MQG 的大小不变，始终等于120°．
2．（8分）（2014?苏州）
解答：
（1）解：连接OB，OD，
∵∠DAB=120°，∴所对圆心角的度数为240°，∴∠BOD=120°，∵⊙O的半径为3，
∴劣弧的长为：×π×3=2π；
（2）证明：连接AC，∵AB=BE，∴点B为AE的中点，∵F是EC的中点，∴BF为△EAC的中位线，
∴BF=AC，∵=，∴+=+，∴=，∴BD=AC，∴BF=BD；
（3）解：过点B作AE的垂线，与⊙O的交点即为所求的点P，
∵BF为△EAC的中位线，∴BF∥AC，∴∠FBE=∠CAE，∵=，∴∠CAB=∠DBA，∵由作法可知BP⊥AE，∴∠GBP=∠FBP，∵G为BD的中点，∴BG=BD，∴BG=BF，
在△PBG和△PBF中，
，
∴△PBG≌△PBF（SAS），∴PG=PF．
3．（9分）（2014?苏州）解答：
解：（1）∵l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，∴∠OAD=45°，
∵AB=4cm，AD=4cm，
∴CD=4cm，AD=4cm，
∴tan ∠DAC===，
∴∠DAC=60°，
∴∠OAC的度数为：∠OAD+∠DAC=105°，故答案为：
105；
（2）如图位置二，当O1，A1，C1恰好在同一直线上时，设⊙O1与l1的切点为E，
连接O1E，可得O1E=2，O1E⊥l1，
在Rt△A1D1C1中，∵A1D1=4，C1D1=4，∴tan∠C1A1D1=，∴∠C1A1D1=60°，
在Rt△A1O1E中，∠O1A1E=∠C1A1D1=60°，∴A1E==，∵A1E=AA1﹣OO1﹣2=t﹣2，
∴t﹣2=，∴t=+2，∴OO 1=3t=2+6；
（3）①当直线AC与⊙O第一次相切时，设移动时间为t1，
如图，此时⊙O移动到⊙O2的位置，矩形ABCD移动到A2B2C2D2的位置，
设⊙O2与直线l1，A2C2分别相切于点F，G，连接O2F，O2G，O2A2，
∴O2F⊥l1，O2G⊥A2G2，由（2）得，∠C2A2D2=60°，∴∠GA2F=120°，∴∠O2A2F=60°，
在Rt△A2O2F中，O2F=2，∴A2F=，∵OO2=3t，AF=AA2+A2F=4t1+，∴4t1+﹣3t1=2，
∴t1=2﹣，
②当直线AC与⊙O第二次相切时，设移动时间为t2，
记第一次相切时为位置一，点O1，A1，C1共线时位置二，第二次相切时为位置三，
由题意知，从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等，∴+2﹣（2﹣）=t 2﹣（+2），解得：t2=2+2，综上所述，当d＜2时，t 的取值范围是：2﹣＜t ＜2+2．
4、2014上海
5、2014成都
6．（9分）（2014?淄博）
解答：解：（1）以AB为边，在第一象限内作等边三角形ABC，
以点C为圆心，AC为半径作⊙C，交y轴于点P1、P2．
在优弧AP1B上任取一点P，如图1，
则∠APB=∠ACB=×60°=30°．∴使∠APB=30°的点P有无数个．故答案为：无数．
（2）①当点P在y轴的正半轴上时，
过点C作CG⊥AB，垂足为G，如图1．
∵点A（1，0），点B（5，0），∴OA=1，OB=5．∴AB=4．∵点C为圆心，CG⊥AB，∴AG=BG=AB=2．
∴OG=OA+AG=3．∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC=AB=4．∴CG===2．
∴点C的坐标为（3，2）．
过点C作CD⊥y轴，垂足为D，连接CP2，如图1，
∵点C的坐标为（3，2），∴CD=3，OD=2．∵P1、P2是⊙C与y轴的交点，∴∠AP1B=∠AP2B=30°．
∵CP2=CA=4，CD=3，∴DP2==．∵点C为圆心，CD⊥P1P2，∴P1D=P2D=．
∴P2（0，2﹣）．P1（0，2+）．
②当点P在y轴的负半轴上时，
同理可得：P3（0，﹣2﹣）．P4（0，﹣2+）．
综上所述：满足条件的点P的坐标有：
（0，2﹣）、（0，2+）、（0，﹣2﹣）、（0，﹣2+）．
（3）当过点A、B的⊙E与y轴相切于点P时，∠APB最大．
①当点P在y轴的正半轴上时，连接EA，作EH⊥x轴，垂足为H，如图2．
∵⊙E与y轴相切于点P，∴PE⊥OP．∵EH⊥AB，OP⊥OH，∴∠EPO=∠POH=∠EHO=90°．∴四边形OPEH是矩形．∴OP=EH，PE=OH=3．∴EA=3．∵∠EHA=90°，AH=2，EA=3，∴EH===∴OP=∴P
（0，）．
②当点P在y轴的负半轴上时，同理可得：P（0，﹣）．理由：
①若点P在y轴的正半轴上，在y轴的正半轴上任取一点M（不与点P重合），
连接MA，MB，交⊙E于点N，连接NA，如图2所示．∵∠ANB是△AMN的外角，∴∠ANB＞∠AMB．
∵∠APB=∠ANB，∴∠APB＞∠AMB．②若点P在y轴的负半轴上，
同理可证得：∠APB＞∠AMB．综上所述：当点P在y轴上移动时，∠APB有最大值，
此时点P的坐标为（0，）和（0，﹣）．
7．
（10
分）
（2014?
襄阳）解
答：
（1）证明：作⊙O的直径AE，连接PE，
∵AE是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，
∴∠DAE=∠APE=90°，
∴∠PAD+∠PAE=∠PAE+∠E=90°，
∴∠PAD=∠E ，∵∠PBA=∠E，∴∠
PAD=∠PBA，∵∠PAD=∠PBA ，∠ADP=∠BDA，∴△
ADP∽△BDA；
（2）PA+PB=PC，
证明：在线段PC上截取PF=PB，连接BF，
∵PF=PB，∠BPC=60°，∴△PBF是等边三角形，∴PB=BF，∠BFP=60°，∴∠BFC=180°
﹣∠PFB=120°，∵∠BPA=∠APC+∠B PC=120°，∴∠BPA=∠BFC，
在△BPA和△BFC中，，
∴△BPA≌△BFC（AAS），∴PA=FC，AB=BC，∴PA+PB=PF+FC=PC；
（3）解：∵△ADP∽△BDA，∴==，∵AD=2，PD=1∴BD=4，AB=2AP，∴BP=BD
﹣DP=3，∵∠APD=180°﹣∠BPA=60°，∴∠APD=∠APC，
∵∠PAD=∠E，∠PCA=∠E，∴PAD=∠PCA，∴△ADP∽△CAP，∴=，AP2=CP?PD，
∴AP2=（3+AP）?1，解得：AP=或AP=（舍去），∴BC=AB=2AP=1+．
8．（10分）（2014?南宁）
解
答：
解：（1）BE=FH．
证明：∵∠AEF=90°，∠ABC=90°，∴∠HEF+∠AEB=90°，∠BAE+∠AEB=90°，∴∠HEF=∠BAE，
在△ABE和△EHF中，
∴△ABE≌△EHF（AAS）∴BE=FH．
（2）由（1）得BE=FH，AB=EH，∵BC=AB，∴BE=CH，∴CH=FH，∴∠HCF=45°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB=45°，∴∠ACF=180°﹣∠HCF﹣∠ACB=90°．
（3）由（2）知∠HCF=45°，∴CF=FH．∠CFE=∠HCF﹣∠CEF=45°﹣15°=30°．
如图2，过点C作CP⊥EF于P，则CP=CF=FH．
∵∠CEP=∠FEH，∠CPE=∠FHE=90°，∴△CPE∽△FHE．∴，即，∴EF=4．∵△AEF为等腰直角三角形，∴AF=8．取AF中点O，连接OE，则OE=OA=4，∠AOE=90°，
∴的弧长为：=2π．
解：（1）连接CD ，EA，
9．（
12分）
（2014?
泰州）解
答：
∵DE是直径，∴∠DCE=90°，∵CO⊥DE，且DO=EO，∴∠ODC=OEC=45°，∴∠CFE=∠ODC=45°，
，连接OF，
（2）①如图，作OM⊥AB点M
∵OM⊥AB，直线的函数式为：y=﹣x+b ，∴OM所在的直线函数式为：y=x，∴交点M （b，b）
∴OM 2=（b ）2+（b）2，∵OF=4，∴FM2=OF2﹣OM 2=42﹣（b）2﹣（b）2，∵FM=FG，
∴FG2=4FM 2=4×[42﹣（b）2﹣（b ）2]=64﹣b 2=64×（1﹣b2），∵直线AB与有两个交点F、G．
∴4≤b＜5，
3）如图，
（
当b=5时，直线与圆相切，∵DE是直径，∴∠DCE=90°，∵CO⊥DE，且DO=EO，∴∠ODC=OEC=45°，∴∠CFE=∠ODC=45°，∴存在点P，使∠CPE=45°，
连接OP ，∵P是切点，∴OP⊥AB，∴OP所在的直线为：y=x ，又∵AB所在的直线为：y=﹣x+5，
∴P（，）．
10．（2014?湖州）
证明：（1）如图，连接PM，PN，
∵⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，
∴PM⊥MF，PN⊥ON且PM=PN，∴∠PMF=∠PNE=90°且∠NPM=90°，∵PE⊥PF，∠NPE=∠MPF=90°﹣∠MPE，
在△PMF和△PNE中，，∴△PMF≌△PNE（ASA），
∴PE=PF，
（2）解：①当t＞1时，点E在y轴的负半轴上，如图，
由（1）得△PMF≌△PNE，∴NE=MF=t，PM=PN=1，
∴b=OF=OM+MF=1+t，a=NE﹣ON=t﹣1，
∴b﹣a=1+t﹣（t﹣1）=2，∴b=2+a，
②0＜t≤1时，如图2，点E在y轴的正半轴或原点上，
同理可证△PMF≌△PNE，
∴b=OF=OM+MF=1+t，a=ON﹣NE=1﹣t，
∴b+a=1+t+1﹣t=2，
∴b=2﹣a，
（3）如图3，（Ⅰ）当1＜t＜2时，
∵F（1+t，0），F和F′关于点M对称，∴F′（1﹣t，0）
∵经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，
∴Q（1﹣t，0）∴OQ=1﹣t，由（1）得△PMF≌△PNE
∴NE=MF=t，∴OE=t﹣1
当△OEQ∽△MPF∴=∴=，
解得，t=，当△OEQ∽△MFP时，∴=，
=，解得，t=，
（Ⅱ）如图4，当t＞2时，
∵F（1+t，0），F和F′关于点M对称，∴F′（1﹣t，0）
∵经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，
∴Q（1﹣t，0）∴OQ=t﹣1，
由（1）得△PMF≌△PNE ∴NE=MF=t，∴OE=t﹣1
当△OEQ∽△MPF∴=∴=，无解，
当△OEQ∽△MFP时，∴=，=，解得，t=2±，所以当t=，t=，t=2±时，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似．
11. （2014 徐州本题10分）
（1）∵CE 是⊙O 的直径，点F 、G 在⊙O 上，∴∠EFC =∠EGC =90°，
又∵EG ⊥EF ，∴∠FEG =90°，∴四边形EFCG 是矩形···························2分
（2）①∵四边形EFCG 是矩形，∴∠BCD =90°，∴∠tan BDC =3
4
==AB AD CD BC . ∵∠CEF=∠BDC ，∴∠tan CEF =∠tan BDC ，即.4
3
34CF EF EF CF =∴=，·
··········3分 ∴.4
3
2CF CF EF S EFCG
=?=矩形
∵当点F 与点B 重合时，CF=BC =4； 当⊙O 与射线BD 相切时，点F 与点D 重合， 此时CF =CD =3；
当CF ⊥BD 时，.512=?=BD CD BC S EFCG 矩形
∴
45
12
≤≤CF . ∴当CF =
512cm 时，；取得最小值矩形2
cm 25
108EFCG S ·····················6分 当CF =4cm 时，2cm 12取得最大值矩形EFCG S .································8分 ②如答图4，连接DG ，并延长DG 交BC 得延长线与点G ’.
∵∠BDG =∠FEG =90°，又∵∠DCG ’=90°，∴点G 得移动路线为线段DG ’,·······9分 ∵CD =3cm ，∴CG ’=,4
94
3
=CD ∴DG ’=.cm 4152
2）
（=+CD CD ··············10分 12．（12分）（2014?荆州） 解答：
解：（1）证明：连接OH ，如图①所示．
∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ADC=∠BAD=90°，BC=AD ，AB=CD ． ∵HP ∥AB ，∴∠ANH+∠BAD=180°．∴∠ANH=90°．∴HN=PN=HP=． ∵OH=OA=
，∴sin ∠HON=
=
．∴∠HON=60°∵BD 与⊙O 相切于点H ， ∴OH ⊥BD ．∴∠HDO=30°．∴OD=2．∴AD=3
．∴BC=3
．∵∠BAD=90°，∠
BDA=30°．∴tan ∠BDA=
=
=
．∴AB=3．∵HP=3，∴AB=HP ．∵AB ∥HP ，∴四边形
ABHP 是平行四边形．∵∠BAD=90°，AM 是⊙O 的直径，∴BA 与⊙O 相切于点A ．∵BD 与⊙O 相切于点H ，∴BA=BH ．∴平行四边形ABHP 是菱形．
（2）△EFG 的直角顶点G 能落在⊙O 上． 如图②所示，点G 落到AD 上．
∵EF∥BD，∴∠FEC=∠CDB．∵∠CDB=90°﹣30°=60°，∴∠CEF=60°．
由折叠可得：∠GEF=∠CEF=60°．∴∠GED=60°．∵CE=x，∴GE=CE=x．ED=DC﹣CE=3﹣x．∴cos∠GED===．∴x=2．∴GE=2，ED=1．∴GD=．
∴OG=AD﹣AO﹣GD=3﹣﹣=．∴OG=OM．∴点G与点M重合．
此时△EFG的直角顶点G落在⊙O上，对应的x的值为2．
∴当△EFG的直角顶点G落在⊙O上时，对应的x的值为2．
（3）①如图①，
在Rt△EGF中，tan∠FEG===．∴FG=x．∴S=GE?FG=x?x=x2．
②如图③，
ED=3﹣x，RE=2ED=6﹣2x，GR=GE﹣ER=x﹣（6﹣2x）=3x﹣6．∵tan∠
SRG===，∴SG=（x﹣2）．∴S△SGR=SG?RG=?（x﹣2）?（3x﹣6）．=（x﹣2）2．∵S△GEF=x2，∴S=S△GEF﹣S△SGR=x2﹣（x﹣2）2．
=﹣x2+6x﹣6．
综上所述：当0≤x≤2时，S=x2；当2＜x≤3时，S=﹣x2+6x﹣6．
当FG与⊙O相切于点T时，延长FG交AD于点Q，过点F作FK⊥AD，垂足为K，如图④所示．
∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD，∠ABC=∠BAD=90°∴∠AQF=∠CFG=60°．
∵OT=，∴OQ=2．∴AQ=+2．
∵∠FKA=∠ABC=∠BAD=90°，∴四边形ABFK是矩形．
∴FK=AB=3，AK=BF=3﹣x．
∴KQ=AQ ﹣AK=（+2）﹣（3
﹣x ）=2﹣2+x ． 在Rt △FKQ 中，tan ∠FQK==
．∴FK=QK ．∴3=（2﹣2
+x ）．
解得：x=3﹣
．∵0≤3﹣
≤2，∴S=x 2
=
×（3﹣
）2
=
﹣6．
∴FG 与⊙O 相切时，S 的值为
﹣6．
13解：（1）当PB 不经过⊙O 的圆心O 时，等式PC 2
=PA·PB 仍然成立． 证法一：如图1，连接PO ，并延长交⊙O 于点D ，E ，连接BD ，AE ．
图1
∴∠B=∠E ，∠BPD=∠APE ， （2分） ∴△PBD～△PEA． ∴
PA PD =PE
PB
，即PA·PB=PD·PE ， （4分） 由图1知PC 2
=PD·PE，∴PC 2
=PA·PB． （6分）
证法二：如图2，过点C 作⊙O 的直径CD ，连接AD ，BC ，AC ．
∵PC 是⊙O 的切线，∴PC ⊥CD ， （2分）
∴∠CAD=∠PCD=90°，即∠1+∠2=90°，∠D+∠1=90°， ∴∠D=∠2． （4分）
∵∠D=∠B ，∴∠B=∠2，∠P=∠P ，∴△PBC～△PCA， ∴
PC PA =PB
PC ，即PC 2
=PA·PB． （6分） （2）①由（1）得PC 2
=PA·PB，PC=12，AB=PA ， PC 2
=PA·PB=PA（PA+AB ）=2PA 2
，
∴2PA 2
=144，PA=±62，PA=-62无意义，舍去．
∴PA=62． （8分）
②证法一：过点A 作AF∥BC，交PD 于点F ， ∴
PA PB =AF BD ，AF CD =AE
CE ． （10分） ∵D 为BC 的中点，∴BD=CD ． ∴
AF BD =AF CD ，∴PA PB =AE
CE
． （12分） PC 2
=PA ·PB．
22PA PC =2
PA PB PA =PA PB =AE CE ，即22PA PC =AE CE ． （14分）
证法二：过点A 作AG∥BC，交BC 于点G ，
∴
PA PB =GD BD ，DG CD =AE
CE ．（10分） ∵D 为BC 的中点，∴BD=CD ．∴GD BD =DG CD ，∴PA PB =AE
CE
． （12分）
PC 2
=PA ·PB．
22PA PC =2
PA PB PA =PA PB =AE CE ，即22PA PC =AE CE
（14分）
14河北解答：
解：（1）①过点O 作OH⊥AB，垂足为H
，连接
OB ，如图1①所示． ∵OH⊥AB，AB=2
，∴AH=BH=
．
∵OB=2，∴OH=1．∴点O 到AB 的距离为1． ②当BP 经过点O 时，如图1②所示． ∵OH=1，OB=2，OH⊥AB，∴sin∠OBH==．∴∠OBH=30°．由折叠可得：∠A′BP=∠ABP=30°．
∴∠ABA′=60°．故答案为：1、60．
（2）过点O 作OG⊥BP，垂足为G ，如图2所示．
∵BA′与⊙O 相切，∴OB⊥A′B．∴∠OBA′=90°．∵∠OBH=30°，∴∠ABA′=120°．∴∠A′BP=∠ABP=60°． ∴∠OBP=30°．∴OG=OB=1．∴BG=．∵OG⊥BP，∴BG=PG=
．∴BP=2
．∴折痕的长为2
．
（3）若线段BA′与优弧
只有一个公共点B ，
Ⅰ．当点A′在⊙O 的内部时，此时α的范围是0°＜α＜30°． Ⅱ．当点A′在⊙O 的外部时，此时α的范围是60°≤α＜120°． 综上所述：线段BA′与优弧
只有一个公共点B 时，α的取值范围是0°＜α＜30°或60°≤α＜120°．
15．（12分）（2014?漳州）解答：
解：（1）如图2， ∵四边形ABCD 是正方形，
∴OA=OB=OC=OD，∠ABC=∠AOB=90°． ∵AB=BC=2， ∴AC=2
．∴OA=
．∵OA=OB，∠AOB=90°，PE⊥OA，PF⊥OB，∴PE+PF=OA=
．
（2）如图3，
∵四边形ABCD 是矩形，∴OA=OB=OC=OD，∠DAB=90°．∵AB=4，AD=3，∴BD=5． ∴OA=OB=OC=OD=．∵PE∥OB，PF∥AO，∴△AEP∽△AOB，△BFP∽△BOA．
∴，．∴==1．∴+=1．∴EP+FP=．∴PE+PF的值为．
（3）当∠ADG=∠BCH=30°时，PE+PF是定值．
理由：连接OA、OB、OC、OD，如图4．
∵DG与⊙O相切，∴∠GDA=∠ABD．∵∠ADG=30°，∴∠ABD=30°．∴∠AOD=2∠ABD=60°．
∵OA=OD，∴△AOD是等边三角形．∴AD=OA=4．
同理可得：BC=4．∵PE∥BC，PF∥AD，∴△AEP∽△ACB，△BFP∽△BDA．∴，．
∴==1．∴=1
．∴PE+PF=4．∴当∠ADG=∠BCH=30°时，PE+PF=4
．
16．
（10分）
（2014?
常州）解
答：
解：（1）过点M作MH⊥OD于点H，
∵点M（，），∴OH=MH=，∴∠MOD=45°，∵∠AOD=90°，∴∠AOM=45°，∵OA=OM，∴∠OAM=∠AOM=45°，∴∠AMO=90°∴∠AMB=90°；
（2）①∵OH=MH=，MH⊥OD，
∴OM==2，OD=2OH=2，∴OB=4，∵动点P与点B重合时，OP?OQ=20，∴OQ=5，∵∠OQE=90°，∠POE=45°，∴OE=5，∴E点坐标（5，0）
②∵OD=2，Q 的纵坐标为t，∴S=．
如图2，当动点P与B点重合时，过点Q作QF⊥x轴，垂足为F 点，
∵OP=4，OP?OQ=20，∴OQ=5，∵∠OFC=90°，∠QOD=45°，∴t=QF=，
此时S=；
如图3，当动点P与A点重合时，Q点在y 轴上，
∴OP=2，∵OP?OQ=20，∴t=OQ=5，此时S=；
∴S的取值范围
5≤S≤10．
17解答：解：（1）过点P作PH∥OA，交OC于点H，如图1所示．
∵PH∥OA，∴△CHP ∽△COA．∴==．∵点P是AC 中点，∴CP=CA．∴HP=OA，CH=CO．∵A（3，0）、C（0，4），∴OA=3，OC=4．∴HP=，CH=2．∴OH=2．∵PH∥OA，∠COA=90°，
∴∠CHP=∠COA=90°．∴点P的坐标为（，2）．