§1.2 排列与组合
1．2.1 排 列
第1课时 排列与排列数公式
学习目标 1.理解并掌握排列的概念.2.理解并掌握排列数公式，能应用排列知识解决简单的实际问题．
知识点一 排列的定义
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
知识点二 排列数的定义及公式
1．排列数的定义
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Amn表示．
2．排列数公式
Amn＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(n，m∈N*，m≤n)＝n！n－m！.
Ann＝n(n－1)(n－2)…2·1＝n！(叫做n的阶乘)．另外，我们规定0！＝1.
1．123与321是相同的排列．( × )
2．同一个排列中，同一个元素不能重复出现．( √ )
3．在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化．( × )
4．从4个不同元素中任取3个元素，只要元素相同得到的就是相同的排列．( × )
一、排列的概念
例1 判断下列问题是否为排列问题：
(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；
(2)选2个小组分别去植树和种菜；
(3)选2个小组去种菜；
(4)选10人组成一个学习小组；
(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；
(6)某班40名学生在假期相互通信．
解 (1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．
(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．
(3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题．
(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．
(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．
所以在上述各题中(2)(5)(6)是排列问题，(1)(3)(4)不是排列问题．
人教版高数选修2-3第一章1.2排列组合〔教师版〕
第 2 页 排列组合
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1.理解排列组合的概念.
2.能利用计数原理推导排列公式、组合公式.
3.熟练掌握排列、组合的性质.
4.能解决简单的实际问题.
1.排列与组合的概念:
(1)排列:一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
注意：○1如无特别说明，取出的m个元素都是不重复的.
○2排列的定义中包括两个根本内容，一是“取出元素〞，二是“按照一定的顺序排列〞.
○3从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列.
○4在定义中规定m≤n，如果m=n，称作全排列.
○5在定义中“一定顺序〞就是说与位置有关.
第 3 页 ○6如何判断一个具体问题是不是排列问题，就要看从n个不同元素中取出m个元素后，再安排这m个元素时是有顺序还是无顺序，有顺序就是排列，无顺序就不是排列.
(2)组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的一个组合.
注意：○1如果两个组合中的元素完全相同，不管它们的顺序如何，都是相同的组合，组合的定义中包含两个根本内容：一是“取出元素〞；二是“并成一组〞，“并成一组〞即表示与顺序无关.
○2当两个组合中的元素不完全相同(即使只有一个元素不同)，就是不同的组合.
○3组合与排列问题的共同点，都要“从n个不同元素中，任取m(m≤n)个不同元素〞；不同点：前者是“不管顺序并成一组〞，而后者要“按照一定顺序排成一列〞.
选修2-3 第一章 1.2 1.2.2 第2课时
一、选择题
1．(2013·福州文博中学高二期末)盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则抽出1个白球和2个红球的概率是( )
A．1063 B．1121
C．514 D．1021
[答案] D
[解析] 从9个球中任取3个球有C39种取法，其中含有1白球2红球的取法有C14C25种，∴所求概率P＝C14C25C39＝1021.
2．(2013·景德镇市高二质检、河南安阳中学期中)12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是( )
A．C28A23 B．C28A66
C．C28A26 D．C28A25
[答案] C
[解析] 第一步从后排8人中抽2人有C28种抽取方法，第二步前排共有6个位置，先从中选取2个位置排上抽取的2人，有A26种排法，最后把前排原4人按原顺序排在其他4个位置上，只有1种安排方法，∴共有C28A26种排法．
3．从编号为1、2、3、4的四种不同的种子中选出3种，在3块不同的土地上试种，每块土地上试种一种，其中1号种子必须试种，则不同的试种方法有( )
A．24种 B．18种
C．12种 D．96种
[答案] B
[解析] 先选后排C23A33＝18，故选B.
4．把0、1、2、3、4、5这六个数，每次取三个不同的数字，把其中最大的数放在百位上排成三位数，这样的三位数有( )
A．40个 B．120个
C．360个 D．720个
[答案] A [解析] 先选取3个不同的数有C36种方法，然后把其中最大的数放在百位上，另两个不同的数放在十位和个位上，有A22种排法，故共有C36A22＝40个三位数．
5．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为( )
高中数学打印版
精心校对版本 1.2.2 组合
问题导学
一、组合概念的理解与应用
活动与探究1
判断下列问题是排列问题还是组合问题，并分别求出对应的方法数．
(1)把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分一张，而且票必须分完，有多少种分配方法？
(2)从2,3,5,7,11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数，共能构成多少个不同的分数？
(3)从9名学生中选出4名参加一个联欢会，有多少种不同选法？
迁移与应用
1．若已知集合P＝{1,2,3,4,5,6}，则集合P的子集中含有3个元素的子集数为__________．
2．中国、日本、韩国、朝鲜四国举行女足邀请赛，赛制采取单循环赛方式，请列举出所有各场比赛的双方．
区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．
二、与组合数有关的计算与证明
活动与探究2
1．计算：(1)3C38－2C25＋C88；(2)C98100＋C199200；
(3)C16＋C26＋C37．
2．证明：mCmn＝nCm－1n－1．
迁移与应用
1．计算：C22＋C23＋C24＋…＋C210＝__________．
2．若Cx15＝C2x－615，则x＝__________．
3．证明下列各等式：
(1)Cmn＝nmCm－1n－1；
(2)Cmn＝m＋1n＋1Cm＋1n＋1；
(3)C0n＋C1n＋1＋C2n＋2＋…＋Cm－1n＋m－1＝Cm－1n＋m．
(1)组合数公式的选取：涉及具体数字的可以用展开式计算，涉及字母的可以用阶乘式计算．
(2)性质1：Cmn＝Cn－mn主要应用于简化运算．性质2：Cmn＋1＝Cmn＋Cm－1n从右到左两个组合数合为一个，实现了由繁到简的化简过程，主要应用于组合数的化简．
