高中数学排列组合
第一篇：排列组合的基础
排列组合是高中数学中非常重要的一部分，它是研究对象的排列组合方式的数学分支。在实际生活和工作中，常常需要用到排列组合的知识，因此，掌握排列组合的基本概念和问题的解法具有重要的意义。
一、排列
排列是对一组不同的对象进行有序安排的方式。设有n 个不同的对象，从中取出m个不同的对象进行排列。根据排列定义可知，首先有n种选择，选定第一个对象后再从剩下的
n-1个对象中选定第二个对象，接着从剩下的n-2个对象中选定第三个对象，以此类推，直到选定第m个对象，于是，选取m个对象的所有排列数为Pm^n，即Pm^n=n×(n-1)×(n-
2)×…×(n-m+1)。
如果从n个不同的对象中选取n个进行排列，那么所有的排列就是n个对象的全排列，其个数为n!，即n!=n×(n-
1)×(n-2)×…×3×2×1。
二、组合
组合是对一组不同的对象进行无序选择的方式。设有n 个不同的对象，从中取出m个对象进行组合。从 n 个对象中选取 m 个对象进行组合的所有方案数为：Cm^n。
可以用排列数来计算组合数，根据排列数的定义，设
A=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)，在这些对象中，每个由m个元素组成的排列，可以对应到一个由m个等同元素组成的无序组合，
既有m!个排列与同一组合对应，因此有：
Cm^n=1/m!×n(n-1)(n-2)…(n-m+1),
Cm^n也常用记号表示为nCm，即nCm=1/m!×n(n-1)(n-
2)…(n-m+1)。
三、问题的应用
1．求解排列组合问题可以利用以上公式进行计算，但最重要的是要掌握排列组合的概念及其本质区别，了解问题的实际背景，并进行相应的数学模型构建。在实际生活和工作中，有很多涉及排列组合的问题，如：从一个班级里面选出一些人组成A、B、C三个小组，有多少种选法？从26个字母中取出4个字母，有多少种不同的排列方式？等等。
2. 解决排列组合问题，需要注意以下几点：
(1) 首先要明确题目所求的是排列还是组合，按照相应的排列或组合公式计算.
(2) 仔细分析题目中给出的条件，判断问题的特点，选择适当的方法解题.
(3) 当题目较为复杂时，可以运用等价思想、唯一分解定理、组合意义等思想方法进行分析计算.
(4) 在实际计算中，需要注意排除误算及误差积累，特别是数据较大时的计算技巧和方法.
通过学习排列组合的基础，我们不仅能够解决实际生活和工作中的问题，而且可以激发我们的思维，提高我们的逻辑思考能力和创新能力。
第二篇：排列组合中的常见问题
在排列组合中，有一些常见问题，如全排列问题、变位问题、选位问题、圆排列问题、不定方程问题等。这些问题都
有其特殊的解法，掌握这些解法有助于我们快速解决相应的问题。
一、全排列问题
全排列问题是指由n个元素组成的全体的n!个排列。常
用方法是递归法。对于全排列问题，可以把n个元素分成两部分，第一部分是元素1，第二部分是其余的n-1个元素，我们
可以对其余的n-1个元素进行全排列，然后再依次将每个元素插入到各个位置上形成n个排列。
举例来说，对于元素 {1,2,3,4} 的全排列，我们可以把
它分成两部分，第一部分是元素1，第二部分是元素 {2,3,4}，我们可以对元素 {2,3,4} 进行全排列，得到6个排列 {234, 243, 324, 342, 423, 432}，然后把元素1插入到各个位置上，得到4个排列 {1234, 1243, 1324, 1342}，{2134, 2143, 2314, 2341}，{3214, 3241, 3124, 3142}，{4213, 4231, 4123, 4132}，即为元素 {1,2,3,4} 的所有排列。
二、变位问题
变位问题是 n 个元素的所有排列中，只有在原顺序周围
循环排列的一种排列。假设元素 {1,2,3,4} 的所有排列传统
顺序为 {1234, 1243, 1324, 1342, 1423, 1432, 2134, 2143, 2314, 2341, 2413, 2431, 3124, 3142, 3214, 3241, 3412, 3421, 4123, 4132, 4213, 4231, 4312, 4321}，其中的循环
排列为 {1234, 2341, 3412, 4123}，这四个排列的区别仅仅
是起点不同。
我们可以先用递归法求出原顺序的所有排列，然后选择
其中的一些排列，作为循环排列。对于元素 {1,2,3,4}，先求出它的所有排列 {1234, 1243, 1324, 1342, 1423, 1432, 2134, 2143, 2314, 2341, 2413, 2431, 3124, 3142, 3214,
3241, 3412, 3421, 4123, 4132, 4213, 4231, 4312, 4321}，然后选择其中充当循环排列的排列，把它们复制到所需的位置即可。例如选择 {1234} 作为循环排列，则变位排列为 {1234, 2341, 3412, 4123}。
三、选位问题
选位问题是在一些元素中选择所需元素放在原排列的固
定位置上的排列个数问题。对于元素 {1,2,3,4}，在原排列的1、2、3、4位置上选定一个元素后，再依次从剩下的元素中
选定要放在原排列2、3、4、5位置上的元素，则所有排列数
为4×3×2×1=24。
四、圆排列问题
圆排列是指n个元素按照顺序排列组成的圆形。在圆排
列问题中，除了使用递归法求解全排列和循环排列的方法外，还可以采用镜像对称原理求解。设有n个点按顺时针方向勾勒成一个环，则n个点的圆排列共有(n-1)!种。
五、不定方程问题
不定方程问题是指数值分别为正整数的一些变量之间，
存在若干个数学关系式（比如加减乘除及幂等关系），且需要求出所有符合条件的数值解的问题。对于不定方程问题，我们需要根据实际问题的特点进行分类分析，然后利用序列数和组合数的知识进行计算。
以上就是排列组合中的常见问题及其解法，当然还有很
多其他的问题，需要我们逐一掌握并加以运用。
第三篇：排列组合在实际问题中的应用
排列组合在实际问题中的应用广泛，比如统计学，经济学，计算机科学等领域都有广泛应用。
