2020届金太阳高三4月联考数学(理)试题(word无答案)

2020届金太阳联考新高考原创冲刺模拟试卷（六）理科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一.选择题：（每题5分，共计60分）1．i 为虚数单位，则201611i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭（ ）A ．i -B ．1C ．iD ．-12．已知集合{|12}A x x =<<，关于x 的不等式22a a x --<的解集为B ，若A B A =，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B ．(－∞，－1) C ．(－1，＋∞)D ．[－1，＋∞)3．函数cos xx y e=的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．4．在ABC ∆中，60,3,2BAC AB AC ∠=︒==，若D 为BC 的中点，E 为AD 中点，则BE AC ⋅=（ ）A ．54-B ．12-C ．43D ．43-5．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆上，O 为坐标原点，若121||||2OP F F =，且212||||PF PF a =，则该椭圆的离心率为（ ）A ．34B C ．12D ．26．在ABC ∆中三条边a ，b ，c 成等差数列,且1a =，3B π=，则ABC ∆的面积为（）A B C D ．347．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若28515a a a +=-，则9S 等于( ) A ．18B ．36C ．45D ．608．《孙子算经》中曾经记载，中国古代诸侯的等级从高到低分为:公、侯、伯、子、男，共有五级.若给有巨大贡献的2人进行封爵，则两人不被封同一等级的概率为（） A ．25B ．15C ．45D ．359．正四棱锥P ABCD -底面ABCD 边长为2,E 为AD 的中点,则BD 与PE 所成角的余弦值为（ ）A B ．13C D ．410．将函数sin 2y x =的图象向右平移02πϕϕ⎛⎫<<⎪⎝⎭个单位长度得到()f x 的图象，若函数()f x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，且()f x 的最大负零点在区间5,126ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上,则ϕ的取值范围是( ) A ．(,]64ππB ．(,]124ππC ．,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭ D ．,122ππ⎛⎫⎪⎝⎭ 11．定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，且当[1,0]x ∈-时，2()f x x =，函数()g x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()lg g x x =，则函数()()()h x f x g x =-的零点的的个数是（ ） A ．9B ．10C ．11D ．1212．函数1()eaxf x x x-=-在()0,∞+上有两个零点，则实数a 的取值范围是 A ．2,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B ．20,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,eD ．12,e e ⎛⎫⎪⎝⎭ 二．填空题（每题5分，共计20分）13．曲线()ln f x x x =在x e =（其中e 为自然对数的底数）处的切线方程为______． 14．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且222sin sin cos 3cos 0αααα-⋅-=，则sin 4sin 2cos 21πααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=++______. 15．已知不等式，若对任意且任意，该不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．16．已知球O 的表面上三点A 、B 、C 满足：12AB =，16BC =，20AC =，且球心到该截面的距离为球的半径的一半，则A 、C 两点的球面距离是______. 三．解答题17．（12分）已知正项等比数列{}n a 满足12a =，2432a a a =-，数列{}n b 满足212log n n b a =+.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）令n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n S ； （3）若0λ>，且对所有的正整数n 都有222nnb k a λλ-+>成立，求k 的取值范围.18．（12分）已知在平面直角坐标系xOy 中，动点P 与两定点(2,0),(2,0)A B -连线的斜率之积为12-，记点P 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）若过点(1,0)-的直线l 与曲线C 交于,M N 两点，曲线C 上是否存在点E 使得四边形OMEN 为平行四边形？若存在，求直线l 的方程，若不存在，说明理由.19.（12分）某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示），规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败．（1）求图中a 的值；（2）根据已知条件完成下面22⨯列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？（3）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为X ，求X 的分布列与数学期望()E X ．（参考公式：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）20（12分）如图，BCD ∆与MCD ∆都是边长为2的正三角形，平面MCD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD，AB =（1）证明：直线//AB 平面MCD（2）求直线AM 与平面BCD 所成的角的大小； （3）求平面ACM 与平面BCD 所成的二面角的正弦值.21．（本小题满分12分）已知函数()()2ln 2f x x ax a x =-+-，R a ∈.（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）当12a <-，时，若对于任意()()1212,1,x x x x ∈+∞<，都存在()012,x x x ∈，使得()()()21021f x f x f x x x '-=-，证明：1202x x x +<. 二选一，从22和23选一道作答22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合，且长度单位相同；曲线的方程是，直线的参数方程为（为参数，），设，直线与曲线交于两点． （1）当时，求的长度； （2）求的取值范围．23．（本小题满分10分）已知()2,()2,(,R )f x x a g x x b a b +=+=-∈． （Ⅰ）当2,1a b ==时，求不等式()()6f x g x +>的解集； （Ⅱ）若111a b+=，求证：()2()9f x g x +≥.参考答案1．B 2．A 3．D 4．A 5．D 6．B 7．C 8．C 9．D 10．B 11．C 12．B 13．2y x e =- 14．151617．（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，由2432a a a =-可得22222a a q a q =-，20a ≠，22q q ∴=-，即220q q --=，0q >，解得2q =，112n n n a a q -∴==...................................................2分 2212log 12log 221n n n b a n =+=+=+；.........4分（2）由（1）可得()212nn n n c a b n =⋅=+⋅，()123325272212n n S n ∴=⋅+⋅+⋅+++⋅，可得()()23123252212212n n n S n n +=⋅+⋅++-⋅++⋅，上式-下式，得()123132222222212n n n S n +-=⋅+⋅+⋅++⋅-+⋅()()()()1111181262126228212221212n n n n n n n n -++++-=+-+⋅=+⋅--+⋅=---⋅-，因此，()12122n n S n +=-⋅+；....................8分（3）212n n n b n a +=，()()1111123422321122222n n n n n n n n n n b b n n na a ++++++-+++-∴-=-==， n N *∈，120n ∴-<，即1111202n n n n n b b n a a +++--=<，则有11n nn nb b a a ++<. 所以，数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是单调递减数列，...........................10分则数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最大项为1132b a =.由题意可知，关于λ的不等式23222k λλ-+>对任意的0λ>恒成立，122k λλ∴<+.由基本不等式可得1222λλ+≥=，当且仅当12λ=时，等号成立，则122λλ+在0λ>时的最小值为2，2k ∴<， 因此，实数k 的取值范围是(),2-∞...............................12分 18．解：（1）设(,)P x y ，有12PA PB k k ⋅=-， 得1222y y x x ⋅=-+-，..................................2分 整理得22142(2)x y x +=≠±，∴曲线C 的方程为22142x y +=(2)x ≠±；........................4分（2）假设存在符合条件的点()00,E x y ，由题意知直线l 的斜率不为零， 设直线l 的方程为()()11221,,,,x my M x y N x y =- 由22124x my x y =-⎧⎨+=⎩，得：()222230,0m y my +--=∆> 12222my y m ∴+=+.....................................6分则()12122422x x m y y m +=+-=-+ 由四边形OMEN 为平行四边形， 得OE OM ON =+2242,22m E m m -⎛⎫∴- ⎪++⎝⎭....................................................8分点E 坐标代入C 方程得：4220m m +=， 解得20m = (10)分∴此时(2,0)E ，但2x ≠±，所以不存在点E 使得四边形OMEN 为平行四边形...........................12分 19．解：（1）由频率分布直方图各小长方形面积总和为1， 可知(20.0200.0300.040)101a +++⨯=，解得0.005a =；.........................................................2分 （2）由频率分布直方图知，晋级成功的频率为0.200.050.25+=，所以晋级成功的人数为1000.2525⨯=（人），......................................3分 填表如下：假设“晋级成功”与性别无关， 根据上表数据代入公式可得22100(1641349) 2.613 2.0722*******K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，................6分所以有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关；...........................7分 （3）由频率分布直方图知晋级失败的频率为10.250.75-=， 将频率视为概率，则从本次考试的所有人员中，随机抽取1人进行约谈，这人晋级失败的概率为0.75， 所以X 可视为服从二项分布，即34,4X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭， 4431()44k kk P X k C -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(0,1,2,3,4)k =，故0404311(0)44256P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 13143112(1)44256P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 22243154(2)44256P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 313431108(3)44256P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 4443181(4)44256P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以X 的分布列为：.........................................................................10分数学期望为()434E X =⨯=.或（1125410881()012343256256256256256E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=）．....................12分20．（1）取CD 中点O,连接MO ，平面MCD ⊥平面BCD ，则MO ⊥平面BCDAB ⊥平面BCD ，所以MO //AB.......................................2分又⊂MO 面MCD ，⊄AB 面MCD,所以//AB 面MCD.................................4分（2）取CD 中点O ，连OB ，OM ，则OB CD ⊥，OM CD ⊥， 又平面MCD ⊥平面BCD ，则MO ⊥平面BCD .以O 为原点，直线OC 、BO 、OM 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系如图.OB OM ==则各点坐标分别为()0,0,0O ，()1,0,0C，(M，()0,B，(0,A ，（2）设直线AM 与平面BCD 所成的角为α.因(AM =，平面BCD 的法向量为()0,0,1n =，.......................6分则有3sin |cos ,|||||6AM n AM nAM n α⋅=〈〉===⋅45α=︒.............8分（2）(CM =-，(1,CA =-.设平面ACM 的法向量为()1,,n x y z=，由11n CM n CA ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩得00x x ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩.解得x =，y z =，取()13,1,1n =，....10分又平面BCD 的法向量为()0,0,1n =，则111cos ,||||5nn n n n n⋅==设所求二面角为θ，则sin 5θ==.........................................................12分 21．【详解】（1）解：由题意得()()122f x ax a x -'=+- ()()211x ax x+-=-，0x >，...........1分①当0a ≤时，()0f x '>在()0,+∞上恒成立，()f x ∴在()0,+∞上单调递增；.........2分②当0a >时，令()0f x '>则10x a <<；令()0f x '<则1x a>， ()f x ∴在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减； ......................4分 （2）证明：当12a <-时，()()2121f x f x x x -- ()()2212111ln 2x a x x a x x x =-++--， ()()000122f x ax a x =-+-' ()2210211011ln 2x a x x ax x x x x ∴-+=--， ()1202x x f f x +⎛⎫- ⎪⎝'⎭' ()210210212a x x ax x x x ⎛⎫=-+-- ⎪+⎝⎭22121121ln x x x x x x =-+- ()2122121121ln x x x x x x x x ⎡⎤-=-⎢⎥-+⎣⎦21221111211ln 1x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥=-⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦..........................6分 令21x t x =，()()21ln 1t g t t t -=-+，1t >，..............................8分 则()()()22101t g t t t '-=-<+，()()10g t g ∴<=，()12002x x f f x +⎛⎫∴-< '⎪⎝⎭'，()1202x x f f x +⎛⎫∴< ⎪⎝'⎭'，......................10分 设()()()122h x f x ax a x =-+'=-，1x >，则()212110h x a x=--'>-+=， ()()h x f x ∴='在()1,+∞上单调递增，1202x x x +∴<......................12分 22．试题解析：（1）曲线的方程为，其为圆心为，半径为的圆．.....................2分又当时，直线，所以圆心到到直线的距离为，所以．.........................5分 （2）设为相应参数值，， 由，得，，，..8分．...............................10分23．（Ⅰ）当2,1a b ==时，不等式()(6f x g x +>）可化为：361x x ->⎧⎨≤-⎩，或4612x x +>⎧⎨-<<⎩，或362x x >⎧⎨≥⎩解得：...................................3分 2x <-或2x >，故不等式()(6f x g x +>）的解集为()(),22,-∞-⋃+∞．..........5分 （Ⅱ）111a b+=，()()()()2224224f x g x x a x b x a x b ∴+=++-≥+--..7分()1144441459a b a b a b a b a b b a ⎛⎫=+=+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭.............9分（当且仅当4a b b a =即2a b =即21,33a b ==时取等号）..........................................10分。

2020届金太阳联考新高考原创冲刺模拟试卷（二十）理科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、单项选择题:本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合2{230}A x x x =--<，{22}B x x =-<<，若A B =I （ ） A ． (2,2)- B ．(2,1)-C ．(1,3)-D ． (1,2)-2. 已知命题:R,10x p x e x ∃∈--≤，则命题p ⌝（ ） A ．R,10x x e x ∀∈--> B ．R,10x x e x ∀∉--> C ．R,10x x e x ∀∈--≥ D ．R,10x x e x ∃∈-->3. 要得到函数sin(2)3y x π=+的图象，只需要把函数sin 2y x =的图象（ ）A. 向左平移3π个单位 B. 向右平移3π个单位 C. 向左平移6π个单位 D. 向右平移6π个单位4. 已知数列{}n a 满足12n n a a +=+且2469a a a ++=，则3579log ()a a a ++= ( ) A. 3- B. 3 C. 13- D.135. 函数()log (0,1)a f x x a a =>≠是增函数的一个充分不必要条件是（ ） A ．102a <<B ．01a <<C ．1a >D ． 24a <<6. 函数31()()2x f x x =-的零点所在区间为（ ）A ．(1,0)-B ．1(0,)2C ．1(,1)2D ．(1,2)7. 若()0,0,lg lg lg 2a b a b a b >>+=+，则2a b +的最小值为（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 68. 已知()21ln 2f x x a x =-在区间()0,2上有极值点，实数a 的取值范围是（ ） A. ()0,2 B. ()()2,00,2- C. ()0,4 D. ()()4,00,4-9. 泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征. 为了测量“泉标”高度，某同学在“泉标”的正西方向的点A 处测得“泉标”顶端的仰角为45o ，沿点A 向北偏东30o 前进100m 到达点B ，在点B 处测得“泉标”顶端的仰角为30o ，则“泉标”的高度为（ ）A. 50mB. 100mC. 120mD. 150m 10. 已知偶函数()f x 的定义域为(,)22ππ-，其导函数为'()f x ，当02x π<<时，有'()cos ()sin 0f x x f x x +<成立，则关于x 的不等式()()cos 4f x x π<⋅的解集为（ ）A. ,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭ B. ,,2442ππππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C. ,00,44ππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. ,0,442πππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、多项选择题:本大题共3小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得2分.11. 下列函数中，既是偶函数，又在(0,)+∞上单调递增的是（ ）A. 3y x =B. 2y x -=C. xy e = D. 2lg y x =12.在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边经过点(1,)(0)P m m <，则下列各式一定为正的是（ ）A. sin cos αα+B. cos sin αα-C. sin cos ααD.sin tan αα13. 已知函数2()ln f x x x x =+，0x 是函数()f x 的极值点，以下几个结论中正确的是（ ）A. 010x e <<B. 01x e> C. 00()20f x x +< D. 00()20f x x +>三、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在对应题号的横线上.14. 已知1tan 3α=，则2sin 2sin 1cos 2ααα-+的值为 .15. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当12x x ≠时，有1212[()()]()0f x f x x x --<恒成立，若(31)(2)0f x f ++>，则x 的取值范围是 .16. 设等差数列{}n a 前n 项和为n S .若210a =，540S =，则5a = ，n S 的最大值为 .17.已知函数(01)()2(1)x f x x x⎧<≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x x a =-+有三个不同的实根，则实数a 的取值范围是 .四、解答题：本大题共6小题，共82分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18. （本小题满分10分） 设等差数列{}n a 前n 项和为n S ，满足424S S =，917a =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n b 满足1212112n n n b b b a a a +++=-…，求数列{}n b 的通项公式 .19. （本小题满分14分）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足cos cos 2c A a C a +=.（1）求ab的值； （2）若1a =，c =ABC ∆的面积．20. （本小题满分14分）设函数5()2cos()cos 2sin()cos 122f x x x x x ππ=++++. （1）设方程01)(=-x f 在),0(π内有两个零点21x x ，，求21x x +的值； （2）若把函数)(x f y =的图象向左平移6π个单位，再向下平移2个单位，得函数)(x g 图象，求函数)(x g 在[,]33ππ-上的最值. 21. （本小题满分14分）设函数()sin xf x e a x b =++.（1）当1a =，[0,)x ∈+∞时，()0f x ≥恒成立，求实数b 的取值范围； （2）若()f x 在0x =处的切线为10x y --=，且方程2()m xf x x-=恰有两解，求实数m 的取值范围.22. （本小题满分15分） 已知某工厂每天的固定成本是4万元，每生产一件产品成本增加100元，工厂每件产品的出厂价定为a 元时，生产x 件产品的销售收入为21()5004R x x x =-+（元），()P x 为每天生产x 件产品的平均利润（平均利润=总利润/总产量）. 销售商从工厂每件a 元进货后又以每件b 元销售，()b a c a λ=+-，其中c 为最高限价（a b c <<），λ为该产品畅销系数.据市场调查，λ由当b a -是,c b c a --的比例中项时来确定.（1）每天生产量x 为多少时，平均利润()P x 取得最大值？并求出()P x 的最大值； （2）求畅销系数λ的值；（3）若600c =，当厂家平均利润最大时，求a 与b 的值.23. （本小题满分15分）已知函数()ln f x x ax =-. （1）当1a =时，判断函数()f x 的单调性； （2）若()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围； （3）已知0a b e <<<，证明b a a b <.参考答案一. 单项选择题二. 多项选择题11. CD 12. BD 13. AD 三. 填空题 14.51815. (,1)-∞- 16. 4；42 17. 四. 解答题18. 解：（1）设等差数列{}n a 首项为1a ，公差为d ．由已知得11914684817a d a d a a d +=+⎧⎨=+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩．于是12(1)21n a n n =+-=-． （2）当1n =时，1111122b a =-=． 当2n ≥时，1111(1)(1)222n n n nn b a -=---=，当1n =时上式也成立． 于是12n n n b a =． 故12122n n n nn b a -==． 19. 解：（1）由正弦定理， cos cos 2c A a C a +=可化为sin cos cos sin 2sin C A C A A +=，也就是sin()2sin A C A +=．由ABC ∆中A B C π++=可得 sin()sin()sin A C B B π+=-=．即sin 2sin B A =. 由正弦定理可得2b a =，故12a b =． （2）由1a =可知2b =．而c =2221cos 22a b c C ab +-==-．又0C π<<于是23C π=．112sin 12sin 223ABC S ab C π∆==⨯⨯⨯=20. 解：（1）由题设知2)42cos(212cos 12sin )(++=+++-=πx x x x f ，12)42cos(2,01)(=++∴=-πx x f ，22)42cos(-=+∴πx ， 或43242πππ+=+∴k x Z k k x ∈+=+,45242πππ 得4ππ+=k x 或2ππ+=k x ，43,2,4),,0(2121ππππ=+∴==∴∈x x x x x ． （2）)(x f y =图像向左平移6π个单位，得c o s [2()]2c o s (222s i n (2)2643412y x x x πππππ=++++++++再向下平移2个单位得)122sin(2)(π+-=x x g当[,]33x ππ∈-时，73(2)[,]12124x πππ+∈-，sin(2)[1,1]12x π+∈-∴)(x f 在[,]33ππ-，最小值为． 21. 解：（1）函数()sin x f x e a x b =++求导可得'()cos x f x e a x =+．当1a =时'()cos xf x e x =+. 当[0,)x ∈+∞时，1,cos [1,1]xe x ≥∈-且当cos 1x =-时，2()x k k Z ππ=+∈，此时1x e >成立，故'()cos 0x f x e x =+>在[0,)x ∈+∞恒成立．于是()f x 在[0,)+∞上单调递增，所以()(0)1f x f b ≥=+. 若()0f x ≥恒成立，只需要10b +≥，解得1b ≥-． （2）由题意得'(0)11f a =+=可知0a =．由点(0,1)b +在直线10x y --=上可知0(1)10b -+-=，解得2b =-． 于是()2xf x e =-． 若方程2()m x f x x-=恰有两解，则方程(2)2xe x m x -=-有两解，也就是x xe m =有两解．令()xg x xe =，求导得'()(1)xg x e x =+.当(,1)x ∈-∞-时，'()0g x <，()g x 在(,1)-∞-上单调递减； 当(1,)x ∈-+∞时，'()0g x >，()g x 在(1,)-+∞上单调递增； 所以1()(1)g x g e≥-=-. 当0x <时，()0g x <，且当x →-∞时，()0g x →，而(1)0g e =>，故实数m 的取值范围是10m e-<<． 22. 解：（1）由题意得，总利润为2211500100400004004000044x x x x x -+--=-+-.于是21400400001400004()4004x x P x x x x-+-==--+400200400200≤-=-+=当且仅当1400004x x=即400x =时等号成立．故每天生产量为400件时平均利润最大，最大值为200元． （2）由()b a c a λ=+-可得b ac aλ-=-， 由b a -是,c b c a --的比例中项可知2()()()b a c b c a -=--， 即2()()1(1)()c b c a c a a b c a c a c ab a b a b a b a b a---+----==⋅=-⋅-----化简得111(1)λλ=-⋅，解得λ=． （3）厂家平均利润最大，生产量为400x =件．()1150040050040044R x a x x ==-+=-⨯+=． （或者4000040000100()100200400400a P x x =++=++=）代入()b a c a λ=+-可得3)b =．于是400a =，3)b =．23. 由题意可知，函数()ln f x x ax =-的定义域为： ()0+∞，且1()f x a x'=- （1）当=1a 时，11()1=x f x x x-'=-， 若()0f x '>，则 01x <<； 若()0f x '<，则 1x >所以函数()f x 在区间()01，单调递增，()1+∞，单调递减． （2）若()0f x ≤恒成立，则ln 0x ax -≤恒成立．又因为()0+x ∈∞，所以分离变量得ln xa x≥恒成立． 设ln ()xg x x=，则max ()a g x ≥，所以21ln ()x g x x -'=．当()0g x '≤时，()+x e ∈∞，；当()0g x '≥时，(0,)x e ∈，即函数ln ()xg x x=在(0,)e 上单调递增，在()+e ∞，上单调递减． 当=x e 时，函数ln ()xg x x=取最大值，max 1()=()g x g e e =，所以1a e ≥（3）欲证b a a b <，两边取对数，可得ln ln ln ln ln ln baa ba b b a a b a b<⇔<⇔<，由（2）可知ln ()xg x x=在(0,)e 上单调递增，且0a b e <<<所以()()g a g b <，命题得证．。

2020届金太阳高三4月联考数学（文）试题一、单选题1．设集合{}20A x x x =-=，则集合A 的真子集的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】可用列举法列出所有真子集即可. 【详解】由题可解集合{}0,1A =，则集合A 的真子集有∅、{}0、{}1. 故选：C . 【点睛】本题考查集合的真子集，可用列举法或公式计算即可，易错点为列举法容易忽略空集，属于基础题.2．如图，复数1z ，2z 在复平面上分别对应点A ，B ，则12z z ⋅=（ ）A ．0B ．2i +C ．2i --D ．12i -+【答案】C【解析】由图可得点A ，B ，即可得复数1z ，2z 的代数形式，进行复数相乘即可. 【详解】由图可得：112z i =-+，2z i =， ∴()12122z z i i i ⋅=-+⋅=--. 故选：C . 【点睛】本题考查复数的几何意义及复数的运算，解题关键是根据复数的几何性质求复平面所表示的复数，运用乘法法则进行复数运算即可，属于基础题.3．若向量()4,2a x =-与向量()1,1b =-平行，则a =( ).A ．B ．2CD ．8【答案】A【解析】由a b ，可解得2x =，所以可得()2,2a =-，即可求得a . 【详解】由a b ，可得()()41210x -⨯--⨯=，解得2x =， 所以()2,2a =-，可得()22a =-=故选：A . 【点睛】本题考查向量的共线定理及向量模的运算，属于基础题.4．若函数()221x x af x -=+的图像关于y 轴对称，则常数a =( )A ．1-B ．1C ．1或1-D ．0【答案】A【解析】方法一：可知()f x 是偶函数，则()()f x f x -=，可解出a ；方法二：可知()f x 是偶函数，利用特殊值，令()()11f f -=，可解出a . 【详解】方法一：可知()f x 是偶函数，则()()f x f x -=，即222121x x x x a a ----=++， 解得1a =-.方法二：可知()f x 是偶函数，令()()11f f -=，即1111222121a a ----=++， 解得1a =-.此时()1f x =为偶函数， 故选：A .本题考查函数奇偶性的应用，由函数是偶函数求参数值，常用()()f x f x -=或代入特殊值建立方程求解，属于基础题.5．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2016年1月至2018年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，判断下列结论： （1）月接待游客量逐月增加； （2）年接待游客量逐年增加；（3）各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月；（4）各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳. 其中正确结论的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】由题图可知逐一分析即可，这三年8月到9月的月接待游客量在减少，则结论（1）错误，（2）（3）（4）正确. 【详解】由题图可知，这三年8月到9月的月接待游客量在减少，则结论（1）错误； 年接待游客数量逐年增加，故（2）正确；各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，故（3）正确；各年1月至6月的月接待游客量相对变化较小，而7月至12月则变化较大，故（4）正确； 故选：C . 【点睛】本题考查折线统计图，考查统计思想与分析数据能力，属于简单题.6．若抛物线()220y px p =>的焦点是双曲线2213-=x y p p的一个焦点，则p =( ) A ．2 B ．4 C ．8D ．16【解析】分别求出抛物线的焦点及双曲线的一个焦点，由条件得2162pp p =⇒=. 【详解】抛物线()220y px p =>的焦点是02p ⎛⎫⎪⎝⎭，， 双曲线2213-=x y p p的一个焦点是()20p ，， 由条件得22pp =，解得16p =. 故选：D . 【点睛】本题考查抛物线与双曲线的性质，属于综合题，但是难度不大，注重基础知识点考查，属于简单题.7．函数()32xy x x =-⋅的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】排除法：根据函数()32xy x x =-⋅为奇函数，故图象关于原点对称；函数有1-，0，1三个零点；当2x =时，函数值为正数，进行选项排除即可. 【详解】函数()32xy x x =-⋅为奇函数，故图象关于原点对称，故排除D ； 函数有1-，0，1三个零点，故排除A ； 当2x =时，函数值为正数，故排除B . 故选：C . 【点睛】本题考查函数的图象，根据解析式求图像通常利用排除法，依据有函数奇偶性、单调性、零点、定义域、值域、特殊值等，属于中等题.8．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的体积为（ ）A ．13B ．23C ．1D ．2【答案】D【解析】由三视图及条件可知：此直三棱柱的底面是等腰直角三角形，得出底面上的高和边长，再由直三棱柱的高为2，利用体积公式可求体积. 【详解】由三视图可知：此直三棱柱的底面是等腰直角三角形， 底面上的高为1221+12=，斜边为2.直三棱柱的高为2，故121222V Sh ==⋅⋅⋅=， 故选：D . 【点睛】本题考查几何体三视图及体积公式，考查转化和空间想象能力，属于基础题. 9．已知4log 7x =，3log 2y =，32z =，则（ ） A ．x y z << B ．y x z <<C ．z y x <<D ．y z x <<【答案】B【解析】由对数函数的性质可得4433log 7log 81,22x x ⎛⎫=<=⇒∈ ⎪⎝⎭，()3log 20,1y =∈，可得y x z <<.【详解】∵443log 7log 82x =<=，∴31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∵()3log 20,1y =∈， ∴y x z <<.故选：B . 【点睛】本题考查对数的大小比较，若同底采用对数函数的单调性比较，不同底则引入中间值进行比较，属于基础题.10．在ABC 中有，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，6A π=，2sin a b A =，则角C 为（ ） A ．12πB ．712πC ．12π或712π D ．4π 【答案】C【解析】根据题意，由正弦定理得：4B π=或34π，即可求角C . 【详解】 ∵6A π=，∴50,6B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 由正弦定理得：2sin a b A =，即sin 2sin sin A B A =， sin 0,A ≠可得()2sin 0,24πB B B π=∈∴=，或34π， ∴()712πC πA B =-+=或12π， 故选：C . 【点睛】本题考查正弦定理的应用，易错点为利用正弦求三角形内角容易忽略为钝角的情况，本题属于简单题.11．如图长方体中，过同一个顶点的三条棱的长分别为2、4、6，A 点为长方体的一个顶点，B 点为其所在棱的中点，则沿着长方体的表面从A 点到B 点的最短距离为（ ）A ．29B ．35C 41D ．13【答案】C【解析】由长方体的侧面展开图可得有3种情况如下：①当B 点所在的棱长为2；②当B 点所在的棱长为4；③当B 点所在的棱长为6，分别再求出展开图AB 的距离即可得最短距离. 【详解】由长方体的侧面展开图可得：（1）当B 点所在的棱长为2，则沿着长方体的表面从A 到B 的距离可能为===.（2）当B 点所在的棱长为4，则沿着长方体的表面从A 到B 的距离可能为===（3）当B 点所在的棱长为6，则沿着长方体的表面从A 到B 的距离可能为===综上所述，沿着长方体的表面从A 点到B . 故选：C . 【点睛】本题考查长方体的展开图，考查空间想象与推理能力，属于中等题.12．倾斜角为45︒的直线与双曲线22214x y b-=交于不同的两点P 、Q ，且点P 、Q 在x 轴上的投影恰好为双曲线的两个焦点，则该双曲线的焦距为（ ）A ．2B ．2C 1D 1【答案】B【解析】方法一；由双曲线的对称性可知直线过原点，可得2Rt QOF △为等腰三角形且245QOF ∠=︒，根据勾股定理及双曲线的定义可得：1c =.方法二：等腰2Rt QOF △中，可得22b QF a =，且2b c a=.又根据222b a c =-，联立可解得1c =. 【详解】方法一；由双曲线的对称性可知直线过原点，在等腰2Rt QOF △中，245QOF ∠=︒，则122F F c =，2QF c =，1QF =. 由双曲线的定义可得：122QF QF a-=，41c c -==，，故22c =.方法二：等腰2Rt QOF △中，22bQF a=，∴2b c a=. 又222b a c =-， ∴2240c c --=，得1c =.∴22c =. 故选：B . 【点睛】本题考查双曲线的性质，解题关键是将题目条件进行转化，建立等量关系求解，属于中等题.二、填空题13．已知数列{}n a 满足1n n a ta +=，*n N ∈，t 为常数，12a =，8256a =，则t =__________.【答案】2【解析】数列{}n a 是公比为t 的等比数列，根据条件及等比数列通项公式列方程求解即可. 【详解】数列{}n a 是公比为t 的等比数列，且12a =，8256a =，则782256a t ==，可得2t =.故答案为：2. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式，根据通项公式求公比，通常借助方程求解，属于基础题. 14．曲线()cos x xf x e=在点()()0,0f 处的切线方程为__________. 【答案】10x y +-=【解析】由题意可得切点()0,1，对()cos x xf x e=求导可得()01f '=-，即为切线斜率，由此可求其切线方程. 【详解】 由()0cos00=1f e =，可得切点()0,1， ()sin cos xx xf x e--'=，()01f '=-， 其切线方程为1y x -=-，即10x y +-=. 故答案为：10x y +-=. 【点睛】本题考查应用导数求切线方程，求出函数的导数即可得到切线斜率，再根据点斜式即可求出切线方程，属于简单题. 15．函数()3cos 4cos 2πf x x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭在0x x =处取得极大值，则0tan x =__________.【答案】43【解析】根据诱导公式及辅助角公式化简()()5cos f x x α=-，由题意可得()f x 取得极大值时02x k πα=+，代入0tan x 结合同角三角函数商数关系可得结果. 【详解】()343cos 4cos 3cos 4sin 5cos sin 255f x x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=-+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；令3cos 5α=，4sin 5α，则()()5cos f x x α=-. 由题意得：()0cos 1x α-=，∴02x k πα=+.∴04sin 45tan tan 3cos 35x ααα====. 故答案为：43.【点睛】本题考查三角函数恒等变换及同角三角函数关系，解题的关键是利用诱导公式及辅助角公式化简，再根据三角函数性质及同角三角函数关系可得结论，属于中等题.16．若函数()2121x x f x -=+则不等式()719f x +<的解集为__________.【答案】{}42x x -<<【解析】方法一：可判断()2121x x f x -=+为奇函数，且为R 上的增函数，又()739f =，()739f -=-，结合函数图象及性质可得不等式求解；方法二：直接带入建立不等式1172179219x x ++--<<+，求解即可. 【详解】方法一：()()21122112x xx xf x f x -----===-++， ()2121x x f x -=+为奇函数，()21212121x x xf x -==-++为R 上的增函数. 又()739f =，()739f -=-， 结合函数图象及性质可得：313x -<+<，即42x -<<.方法二：()1121121x x f x ++-+=+，()719f x +<，即1172179219x x ++--<<+，解得11288x +<<，即42x -<<. 故答案为：{}42x x -<<. 【点睛】本题为函数与不等式的综合题，可依据函数的单调性建立不等式求解，考查计算求解能力及函数的基本性质，属于中等题.三、解答题17．某地自2014年至2019年每年年初统计所得的人口数量如表所示：（1）根据表中的数据判断从2014年到2019年哪个跨年度的人口增长数量最大？并描述该地人口数量的变化趋势； （2）研究人员用函数()0.65444502000 4.48781tP t e -=++拟合该地的人口数量，其中t 的单位是年，2014年年初对应时刻0t =，()P t 的单位是千人，经计算可得()6.52450P ≈，请解释()6.52450P ≈的实际意义.【答案】（1）2016年到2017年的人口的增长数量最大，2014年到2019年该地每年人口的增长数量呈先递增后递减的趋势（或2014年到2019年该地每年人口总数呈逐渐递增的趋势）；（2）到2020年中，该地的总人数大约可增长到2450千人（或到2020年6月末或7月初，该地的总人数大约可增长到2450千人）【解析】（1）根据表中的数据，逐年作差，可得从2014年到2019年每年增加的数量，逐年增多，从2017后，增加的人数逐年减少；（2）根据函数的表达式及题意，可得()P t 表示2014+t 年的人口数量，不难得到()6.52450P ≈的实际意义．【详解】（1）从2014年到2015年该地的人口增长数量：2135208253-=； 从2015年到2016年该地的人口增长数量：2203213568-=； 从2016年到2017年该地的人口增长数量：2276220373-=； 从2017年到2018年该地的人口增长数量：2339227663-=； 从2018年到2019年该地的人口增长数量：2385233946-=； 故2016年到2017年的人口的增长数量最大.2014年到2019年该地每年人口的增长数量呈先递增后递减的趋势. （或2014年到2019年该地每年人口总数呈逐渐递增的趋势）.（2）由题意，2014年年初对应时刻0t =，()P t 表示2014+t 年的人口数量，6.5t =，()P t 表示2014+6.5=2020.5年的人口数量，故()6.52450P ≈其实际意义为：到2020年中，该地的总人数大约可增长到2450千人. 或到2020年6月末或7月初，该地的总人数大约可增长到2450千人.本题考查统计表及函数模型的应用，考查运算求解及数学分析能力，属于简单题. 18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，n S 满足36S =，33a =，数列{}n b 满足210n n b b +-=，且0n b >，数列{}n b 的前n 项和为n T .（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求99T .【答案】（1）n a n =；（2）9【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由36S =，33a =列方程解得首项与公差，由此可得通项；（2）将{}n a 通项代入210n n b b +-=，由一元二次方程的求根公式可得n b ，再利用裂项相消求出99T . 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d .由36S =，33a =得：1336a d +=，123a d +=. 解得：11a =，1d =. ∴n a n =.（2）由（1）得：210n n b +-=.由一元二次方程的求根公式得：n b ==∵0n b >，∴n b =∴)991299119T b b b =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+==.【点睛】本题考查等差数列通项及裂项相消求和，等差数列通项一般根据条件列方程解出首项与公差即可，本题求解99T 的关键是求n b ，考查一元二次方程与数列的综合应用，属于中等题.19．已知椭圆C 的中心为O ，左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为A ，右顶点为B ，（1）求椭圆C 的离心率；（2）判断1F AB 的形状，并说明理由.【答案】（1）12e -+=；（2）直角三角形，理由见解析 【解析】（1）设椭圆的长轴、短轴、焦距分别为2a 、2b 、2c ，由题设可得2b ac =及222b a c =-，消b 得a 、c 齐次式，解得离心率；（2）设椭圆C 的方程为()222210x y a b a b +=>>，则()0,A b ，(),0B a ，()1,0F c -，2b ac =.方法一：利用向量10AF AB ⋅=，方法二：利用斜率11AF AB k k ⋅=-，方法三：利用勾股定理22211F A AB F B +=，可得到1F AB 是直角三角形. 【详解】（1）设椭圆的长轴、短轴、焦距分别为2a 、2b 、2c ， 则OB a =、OA b =、2OF c =.由题设2b ac =及222b a c =-，消b 得：22ac a c =-即210e e +-=.解得：e =或e =又01e <<，则e =. （2）方法一：设椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>，则()0,A b ，(),0B a ，()1,0F c -，2b ac =. ∴()1,AF c b =--，(),AB a b =-，∴210AF AB ac b ⋅=-+=，∴1AF AB ⊥， 故190F AB ∠=︒，∴1F AB 是直角三角形.方法二：设椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>，则()0,A b ，(),0B a ，()1,0F c -，2b ac =.∴1AF b k c =，AB b k a=-， ∴121AF AB b k k ac⋅=-=-，∴1AF AB ⊥，故190F AB ∠=︒，∴1F AB 是直角三角形.方法三：由条件得：在1F AB 中，221F A b c a =+=，1F B c a =+，22AB a b =+.222212F A AB a b +=+，()22222222221222F B c a c ac a a b b a a b =+=++=-++=+，∴22211F A AB F B +=，故190F AB ∠=︒，∴1F AB 是直角三角形. 【点睛】本题考查椭圆离心率及三角形形状判断，离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解，本题属于简单题． 20．如图，在四棱锥C ABEF -中，底而ABEF 为菱形，且菱形ABEF 所在的平面与ABC 所在的平面相互垂直，4AB =，2BC =，BC BE ⊥，60ABE ∠=︒.（1）求证：//AB 平面CEF ；（2）求四棱锥C ABEF -的最长侧棱的长. 【答案】（1）证明见解析；（2）13【解析】（1）在菱形ABEF 中，AB EF ，AB ⊄平面CEF ，EF ⊂平面CEF ，由此可证.（2）取AB 中点O ，连结OE ，BF ，由已知易得：ABE △是正三角形，OE AB ⊥，进一步可证BC ⊥平面ABEF ，由勾股定理可求出侧棱CB ，CE ，CF ，CA 的长度，得到最长的是CF ，或可先判断CF 最长，求解出长度即可. 【详解】（1）在菱形ABEF 中，ABEF ，AB ⊄平面CEF ，平面CEF .∴AB ∥平面CEF .（2）方法一：取AB 中点O ，连结OE ，BF ， 由已知易得：ABE △是正三角形，∴OE AB ⊥.又∴平面ABEF ⊥平面ABC 且交线为AB ，∴OE ⊥平面ABC ， 又BC ⊂平面ABC ，∴OE BC ⊥， 又∵BC BE ⊥，OE BE E =，∴BC ⊥平面ABEF ，又AB ，BF ⊂平面ABEF ，∴BC AB ⊥，BC BF ⊥，在菱形ABEF 中，4AB BE EF FA ====，60ABE ∠=︒，120BEF ∠=︒，BC BE ⊥，2BC =.在Rt ABC △中，2225AC AB BC =+=. 在Rt EBC 中，2225EC EB BC =+=.在Rt FBC △中，2222cos 48BF BE EF BE EF BEF =+-⋅∠=， ∴22213CF CB BF =+=.显然在侧棱CB ，CE ，CF ，CA 中最长的是CF . ∴四棱锥C ABEF -的最长侧棱的长为213.方法二：取AB 中点O ，连结OE ，BF ， 由已知易得：ABE △是正三角形，∴OE AB ⊥，又∵平面ABEF ⊥平面ABC 且交线为AB ，∴OE ⊥平面ABC ， 又BC ⊂平面ABC ，∴OE BC ⊥， 又∵BC BE ⊥，OEBE E =，∴BC ⊥平面ABEF .又AB ，BF ⊂平面ABEF ∴BC AB ⊥，BC BF ⊥. 在菱形ABEF 中，BF AB >，BF BE >，∴CF 最长. 在Rt BCF 中，22213CF CB BF =+=∴四棱锥C ABEF -的最长侧棱的长为213本题考查线面平行的证明及棱长求解，考查棱长的关键是垂直判定定理及性质定理的应用，在借助勾股定理求解即可，考查空间思维及推理能力，属于中等题. 21．已知函数()ln f x x x =-+，()f x 的最大值为a . （1）求a 的值；（2）试推断方程()2ln 2ln x x a x x x +=+是否有实数解？若有实数解，请求出它的解集.【答案】（1）1-；（2）无实数解【解析】（1）由题意，对函数f （x ）=-x +lnx 求导数，研究出函数在定义域上的单调性，判断出最大值，即可求出；（2）由于函数的定义域是正实数集，故方程|2x （x -lnx ）|=2lnx +x 可变为12lnx x lnx x -=+，再分别研究方程两边对应函数的值域，即可作出判断． 【详解】(1)已知函数()ln f x x x =-+，则0x >， 可得()111f x x x x-=-+='， 令()0f x '=，x =1，当0<x <1时,f ′(x )>0;当x >1时,f ′(x )<0.∴f (x )在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数， ∴()()11max x a f f ==-=； (2)|2x (x −lnx )|=2lnx +x 可得12lnx x lnx x -=+， 由(1)知f (x )max =f (1)=−1，即−x +lnx ≤−1， ∴|x −lnx |≥1， 又令()12lnx g x x =+,()21lnx g x x-'=， 令g ′(x )>0,得0<x <e ;令g ′(x )<0，得x >e ， ∴g (x )的增区间为(0,e ),减区间为(e ,+∞)，∴()()1112max g x g e e ==+<,∴g (x )<1， ∴|x −lnx |>g (x ),即12lnx x lnx x ->+恒成立， ∴方程12lnx x lnx x -=+即方程|2x (x −lnx )|=2lnx +x 没有实数解.本题考查利用导数求函数的最值，根的存在性及根的个数判断，根的存在性及根的个数判断稍难，此类问题通常是利用转化思想和方程思想将问题进行转化为求新函数值域问题，属于中等题.22．曲线1C 的极坐标方程为r ρ=（常数0r >），曲线2C 的参数方程为()22131t x t y t -⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数）.（1）求曲线1C 的直角坐标方程和2C 的普通方程；（2）若曲线1C ，2C 有两个不同的公共点，求实数r 的取值范围. 【答案】（1）1C ：222x y r +=，2C ：()2100x y y +-=≠；（2）11,22⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【解析】（1）根据直角坐标与极坐标关系及题目条件cos sin x y r ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=⎩得曲线1C 的直角坐标方程，利用消元法消去t 可得2C 的普通方程；（2）若曲线1C ，2C 有两个不同的公共点，法一：方程联立利用根与系数关系，利用判别式解出即可求实数r 的取值范围；法二：数形结合可得圆心到直线距离小于半径，解出即可求实数r 的取值范围. 【详解】（1）方法一：由cos sin x y r ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=⎩得：222x y r +=.由()22131t x t y t -⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩得：21x y +=，即()2100x y y +-=≠. ∴曲线1C 的直角坐标方程为：222x y r +=，2C 的普通方程为：()2100x y y +-=≠.方法二：由cos sin x y r ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=⎩得：222x y r +=.2t -3y -∴22312x yx y+-=-.整理得2C 的普通方程为：()2100x y y +-=≠.∴曲线1C 的直角坐标方程为：222x y r +=，2C 的普通方程为：()2100x y y +-=≠. （2）方法一：由22221x y x y r+=⎧⎨+=⎩消y 得：225410x x r -+-=.由曲线1C ，2C 有两个不同的公共点得：22040r ∆=->，0r >解得：5r >. 又当圆1C ：222x y r +=过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭时，有12r =，且曲线2C 表示不过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线. ∴12r ≠.∴实数r 的取值范围为11,22⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.方法二：圆心()0,0到直线210x y +-=的距离为：d =由曲线1C ，2C 有两个不同的公共点得：d r <，即5r >. 又当圆1C ：222x y r +=过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭时，有12r =，且曲线2C 表示不过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线. ∴12r ≠.∴实数r 的取值范围为11,22⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查直角坐标与极坐标的互化、参数方程与普通方程的互化、直线与圆的位置关系，解题的关键是熟记直角坐标与极坐标的互化关系，直线与圆的位置关系可借助二次方程判别式或距离关系求解，属于中等题. 23．选修4-5：不等式选讲已知函数()|1,(0)f x m x m =--，且(1)0f x +≥的解集为[3,3]-．（Ⅰ）求m 的值； （Ⅱ）若正实数,,a b c 满足11123m a b c++=，求证：233a b c ++≥． 【答案】（1）3m =（2）见解析 【解析】试题分析：(1)求解绝对值不等式可得3m = ；(2)由题意结合柯西不等式即可证得结论，注意等号成立的条件. 试题解析：解：（Ⅰ）因为()1f x m x -=-， 所以()10f x -≥等价于x m ≤， 由x m ≤，得解集为[],,(0)m m m -> 又由()10f x -≥的解集为[]3,3-，故3m =． （Ⅱ）由（Ⅰ）知111323a b c++=， 又∵,,a b c 是正实数，∴23a b c ++=()111123323a b c a b c ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭2133≥=． 当且仅当111,,23a b c ===时等号成立，所以233a b c ++≥．点睛：根据柯西不等式的结构特征，利用柯西不等式对有关不等式进行证明，证明时，需要对不等式变形，使之与柯西不等式有相似的结构，从而应用柯西不等式．。

5.甲 ,乙,丙三名学生随机站成一排 ,则甲站在中间的概率为 (
)
1
A.
6
1
B.
3
1
C.
2
2
D.
3
6.如果 a b 0,那么下列不等式一定成立的是
()
A. c a c b
11
B.
ab
C. ( 1) a ( 1)b 22
D. ln a ln b
7.某校数学教研组为了解学生学习数学的情况 ,采用分层抽样的方法从高一 600 人、高二 780
.
xy
三、解答题：本大题共 5 小题，共 52 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. (本小题满分 10 分)
已知向量 a ( x ,2), b (2, 4).
（Ⅰ）若 a // b ，求实数 x 的值；
（Ⅱ）若 a b 6 ，求实数 x 的值 .
-2-
18. (本小题满分 10 分)
∴ EO∥平面 PDC .………………………… 5 分
（Ⅱ）证明：∵四边形
是正方形，
∴
，
又∵
底面
，
底面
，
∴
，
∵
，，
平面
，
∴
平面
，
∵ DE 平面 ，
-6-
∴ AC DE .………………………… 10 分
20.解：（Ⅰ）由直方图可得到 20 x + 0.025×20+ 0.0065×20+ 0.003×2×20= 1. 所以 x = 0.012 5.………………………… 5 分
2020 届金太阳联考新高考原创冲刺模拟试卷（十） 理科数学
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