高等数学A(上) 主要内容

高等数学A （上）的主要内容合肥工业大学数学学院 宁荣健一、极限⒈求极限的类型和方法⑴利用极限四则运算法则和复合函数极限运算法则求极限； ⑵利用无穷小与无穷大的关系求极限；⑶利用无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小求极限； ⑷利用等价无穷小代换求极限； ⑸利用两个重要极限求极限； ⑹利用极限与单侧极限的关系求极限； ⑺利用夹逼准则求极限；⑻利用单调有界准则证明数列极限存在； ⑼利用初等函数的连续性求极限； ⑽利用洛必达法则求极限；⑾利用导数定义和定积分定义求极限；⑿利用微分中值定理（包括泰勒公式）和积分中值定理求极限。

⒉变相求极限的类型⑴无穷小的比较。

高阶无穷小，低价无穷小，同阶无穷小，等价无穷小等。

⑵求渐近线。

水平渐近线，垂直渐近线，斜渐近线；并注意单侧渐近线。

⑶判断间断点的类型。

第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点），第二类间断点。

⑷判断函数在点0x 处的可导性。

特别是分段函数在分点处的可导性。

⑸判断反常积分的敛散性。

包括无穷区间上的反常积分和无界函数的反常积分。

⒊极限与连续性，可导性，可积性，反常积分敛散性的关系 ① 连续性：)()(lim 00x f x f x x =→。

② 可导性：0000()()()lim x x f x f x f x x x →-'=-。

③ 可积性：1()lim ()nbi i ai f x dx f x λξ→==∆∑⎰。

④ 反常积分敛散性：定积分+极限，如()lim ()baab f x dx f x dx +∞→+∞=⎰⎰。

二、连续性⒈连续函数的基本性质⑴连续函数的四则运算法则。

⑵连续函数的复合运算法则。

⑶连续函数的反函数运算法则。

⑷初等函数在其定义区间内均连续。

⒉有限闭区间上的连续函数的性质⑴最值定理。

结合导数的应用，会求最值。

⑵有界定理。

⑶介值定理。

经常在证明题中运用，注意和最值定理及积分中值定理结合使用。

⑷零点定理。

经常用于判断方程的根问题。

⒊判断方程的根⑴惟一根的判断：存在性（零点定理和罗尔定理）和唯一性（单调性与反证法）。

⑵含参数的方程根讨论：与函数作图相结合。

⒋连续性与极限、可导、可积的关系 ⑴()f x 在点0x 处可导⇒⇐()f x 在点0x x =处连续⇒⇐lim ()x xf x →存在。

⑵()f x 在],[b a 上连续⇒⇐()f x 在],[b a 上可积。

⑶若)(x f 在],[b a 上可积⇒()()x a x f t dt Φ=⎰在],[b a 上连续；若)(x f 在],[b a 上连续⇒()()x ax f t dt Φ=⎰在],[b a 上可导，且()()F x f x '=。

⒌分段函数在分点处的连续性：左连续且右连续。

⒍间断点及其分类⑴第一类间断点和第二类间断点。

⑵初等函数的间断点往往产生于定义域之外的点处。

三、导数与微分⒈求导运算 ⑴导数的定义。

⑵求导基本公式。

⑶运用求导四则运算法则：2(),(),()u u v uv u v u v uv u v uv v v''-'''''''±=±=+=。

特别地，21(),()v Cu Cu v v ''''==-。

⑷复合函数求导法则：[(())](())()f x f x x ϕϕϕ'''=。

⑸反函数求导法则：1dx dy dy dx =，22223()d yd xdx dy dy dx=-。

⑹隐函数求导两种方法（一阶导数、二阶导数）。

对数求导法或换底求导法：)ln ()()(ln uv u u v u e dx d u dx d vu v v '+'==（适用于幂指函数）。

⑺参变量函数求导法则：⎩⎨⎧==)()(t y y t x x ：()()dy y t dx x t '='，22()1()()()d y y t dx x t x t ''=''。

⑻不定积分的导数：(())()f x dx f x '=⎰。

⑼变限函数求导：()()(())(())()(())()b x a x f t dt f b x b x f a x a x '''=-⎰。

特别地，当被积函数中含有变量x 时，通常运用拆分或换元方法，先将被积函数变换为不再含有变量x 后，方可求导。

⑽高阶导数。

掌握高阶导数运算法则和常见函数的高阶导数公式，并会将函数变形。

⑾分段函数在分点0x x =处的求导方法： ①00(),,(),x x x f x a x x ϕ≠⎧=⎨=⎩：利用导数定义。

②00(),(),()(),()x x x f x x x x ϕψ<≤⎧=⎨≥>⎩：利用单侧导数。

注意：分点0x x =处的可导性一定要单独讨论。

不可简单地认为00(),,()0,x x x f x x x ϕ'≠⎧'=⎨=⎩ 或00(),(),()(),().x x x f x x x x ϕψ'<≤⎧'=⎨'≥>⎩ ⑿微分①微分的概念。

如果()y A x o x ∆=∆+∆（0→∆x ），微分dy A x =∆， 其中(),A f x x dx '=∆=，⇒dx x f dy )('=。

②对于一元函数而言，可导⇔可微。

③微分法则：dv du v u d ±=±)(；vdu udv uv d +=)(；2)(vudvvdu v ud -=。

④微分形式不变性：)(u f y =：du u f dy )('=（不论u 是自变量还是函数均成立）。

⒉导函数的奇偶性和周期性 ⑴如果()f x 为奇函数（偶函数），则()f x '为偶函数（奇函数）。

⑵如果()f x 是以T 为周期的函数，则()f x '仍是以T 为周期的函数。

⒊单调性与极值⑴利用导数的符号判断单调性。

⑵了解极值的必要条件。

进而知驻点和不可导点为可能的极值点，需进一步判断。

⑶会利用极值的两个充分条件求极值。

⒋凹凸性与拐点⑴利用二阶导数的符号判断凹凸性。

⑵了解凹凸曲线与其弦、切线的位置关系；以及导函数的单调性。

⑶二阶导数为零的点和不可导点处为可能产生拐点。

会用两侧二阶导数的符号判断该点是否为拐点。

⑷如果0()0f x ''=，0()0f x '''≠，则))(,(00x f x 为)(x f y =的拐点． ⒌微分中值定理及中值等式证明⑴罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理和泰勒公式。

⑵掌握()()()0f f g ξξξ''+=中()f ξ和()g ξ的变化，令()()()g x F x f x e =，并对其运用罗尔中值定理。

⑶一般情况下，由()()f b f a -联想到拉格朗日中值定理。

⑷出现高阶导数时，联想到泰勒公式。

⒍不等式证明⑴单调性。

关注有等号与不含等号的区别。

⑵凹凸性。

关注凹凸性的几种几何特征，如弦、切线等的位置关系。

⑶中值定理。

常用拉格朗日中值定理和泰勒公式。

⑷最值方法。

当不等式右端为常数时，较为常用。

⒎函数恒等式证明 ⑴令()f x =左-右；⑵验证()0f x '=，从而()f x C =；⑶取某点0x ，计算得0()0f x =，故0C =，所以()0f x =，即得证。

⒏会求最大值和最小值⑴有限闭区间上的连续函数的最大值和最小值。

⑵无穷区间上的连续函数的最大值和最小值。

四、不定积分与定积分⒈不定积分与原函数的关系 ⑴如果()f x 连续，则()()x ax f t dt Φ=⎰为()f x 的一个原函数。

⑵如果()F x 为()f x 的一个原函数，即()()F x f x '=，则有()d ()f x x F x C =+⎰。

⒉不定积分与导数或微分的关系(())()f x dx f x '=⎰，或 ()()d f x dx f x dx =⎰；()()F x dx F x C '=+⎰，或()()dF x F x C =+⎰。

⒊不定积分的求法⑴利用不定积分的性质求不定积分。

⑵利用不定积分的基本公式求不定积分。

⑶利用不定积分的换元法求不定积分。

注意两部分变化。

⑷利用不定积分的分部积分法求不定积分。

⑸熟练掌握三个特殊类型积分：① 有理函数积分。

方法：将被积函数分解或拆分后，再逐项积分。

② 三角有理式积分。

方法：利用三角函数变形直接计算，或通过变换（含万能公式）化为有理函数积分计算。

③ 简单的无理根式积分。

方法：直接计算，或通过变换去根号后计算。

⑹“积不出来”的不定积分：2x edx ±⎰，x e dx x ⎰，sin x dx x ⎰，cos x dx x ⎰，2sin x dx ⎰，2cos x dx ⎰，ln(1)x dx x+⎰ 等均存在，但“积不出来”。

如果计算时出现，应该回避直接计算。

⒋定积分的概念和性质⑴定积分的几何意义（曲边梯形的面积，含上正下负）与物理意义。

⑵定积分的性质（线性性、依区间可加性、几何度量性、保序性或保号性、积分正则性、积分绝对值不等式、估值定理和积分中值定理）。

⑶定积分与其积分变量的记号无关。

如()()b baaf x dx f t dt =⎰⎰。

并规定0,,()(),.b aaba b f x dx f x dx a b =⎧⎪=⎨-≠⎪⎩⎰⎰ ⑷可积性：如果函数()f x 在[,]a b 上连续，或者在[,]a b 上仅有有限个第一类间断点，则()f x 在[,]a b 上可积．⒌积分上限函数⑴掌握积分上限函数()()x ax f t dt Φ=⎰的连续和可导条件。

⑵会求变限函数的导数，特别是与洛必达法则（求极限）相结合。

⑶会构造积分上限函数()()x ax f t dt Φ=⎰证明积分等式或积分不等式。

⑷积分上限函数的奇偶性：设)(x f 为连续函数，①如果)(x f 为奇函数，则0()d xf t t⎰为偶函数；②如果)(x f 为偶函数，则0()d xf t t ⎰为奇函数。

⒍定积分的计算⑴利用定积分定义计算定积分。

⑵利用定积分的几何意义计算定积分。

⑶利用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分。

注意：并非所有定积分都能通过牛顿-莱布尼兹公式计算。

⑷利用定积分的换元法计算定积分。

注意三部分变化，特别是上下限的变化。

⑸利用定积分的分部积分法计算定积分。

⑹利用定积分的奇偶对称性计算定积分。

⑺利用定积分的周期函数性质计算定积分。