广东省汕头市2013届高三上学期期末统一质量检测数学(理)试题(WORD版)

广东省汕头市高三上学期期末教学质量监测理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合)}21ln(|{x y x A -==，}|{2x x x B <=，全集B A U =，则=)(B A C U （ ） A ．)0,(-∞ B ．]1,21[ C ． )0,(-∞]1,21[ D ．]0,21(-2.设复数i z 21231+=，i z 432+=，其中i 为虚数单位，则=||||220161z z （ ） A ．20152 B ．20161 C ．251 D ．51 3.圆0138222=+--+y x y x 的圆心到直线01=-+y ax 的距离为1，则=a （ ） A ．34-B ．43- C ．3 D ．2 4.函数)0)(6sin(>+=ωπωx y 的图象与34-轴正半轴交点的横坐标构成一个公差为34-的等差数列，若要得到函数34-的图象，只要将34-的图象（ ）个单位 A ．向左平移6π B ．向左平移6π C. 向左平移6π D ．向左平移6π 5.函数)0)(6sin(>+=ωπωx y 的图象大致是（ ）6.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的2=x ，2=n ，依次输入的a 为2，2，5，则输出的=s （ ）A ．7B ．12 C. 17 D ．347.假设你家订了一份牛奶，奶哥在早上6：00~7：00之间随机地把牛奶送到你家，而你在早上6：30~7：30之间随机第离家上学，则你在理考家前能收到牛奶的概率是（ ） A ．81 B ．85 C.21 D ．87 8.设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，则“01>a ”是“23S S >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件9.将二项式6)2(xx +展开式各项重新排列，则其中无理项互不相邻的概率是（ ） A ．72 B ．351 C. 358 D ．247 10.已知定义在R 上的函数)(x f 满足)()(x f x f -=，且当)0,(-∞∈x 时，0)(')(<+x xf x f 成立，若)2()2(1.01.0f a ⋅=，)2(ln )2(ln f b ⋅=，)81log )81(log 22f c ⋅=，则c b a ,,的大小关系是（ ）A ．c b a >>B ．a b c >> C. b a c >> D ．b c a >> 11.设)2,0(,πβα∈，且ββαcos 1tan tan =-，则（ ） A ．23πβα=+ B ．22πβα=+ C. 23πβα=- D ．22πβα=- 12.在平面内，定点D C B A ,,,满足||||||DC DB DA ==，2-=⋅=⋅=⋅，动点M P ,满足1||=，=，则2||的最大值是（ ） A ．443 B ．449 C. 43637+ D ．433237+第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.命题“若81log 2，则81log 2”的否命题为 ． 14.已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ．15.为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测，如图所示，C B A ,,三地位于同一水平面上，这种仪器在C地进行弹射实验，观测点B A ,两地相距100米，60=∠BAC ，在A 地听到弹射声音比B 地晚172秒（已知声音传播速度为340米/秒），在A 地测得该仪器至高点H 处的仰角为30，则这种仪器的垂直弹射高度=HC ．16.设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥+-≤--01022022y x y x y x ，且y a x a z )1(3)1(22+-+=的最小值是20-，则实数=a ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）数列}{n a 的前n 项和n S 满足12a a S n n -=，且321,1,a a a +成等差数列.（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设11++=n n n n S S a b ，求数列}{n b 的前n 项和n T .18. （本小题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为菱形，⊥PA 底面ABCD ，22=AC ，2=PA ，E 是PC 上的一点，EC PE 2=.（1）证明：⊥PC 平面BED ；（2）设二面角C PB A --为90，求直线PD 与平面PBC 所成角的大小.19.（本小题满分12分）为评估设备M 生产某种零件的性能，从设备M 生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：经计算，样本的平均值65=μ，标准差2.2=σ，以频率值作为概率的估计值.（Ⅰ）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X ，并根据以下不等式进行评判（P 表示相应事件的概率）；①6826.0)(≥+≤<-σμσμX P ； ②9544.0)22(≥+≤<-σμσμX P ；③9974.0)33(≥+≤<-σμσμX P .评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备M 的性能等级.（2）将直径小于等于σμ2-或直径大于σμ2+的零件认为是次品.（ⅰ）从设备M 的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y 的数学期望)(Y E ； （ⅱ）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z 的数学期望)(Z E . 20.（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆22:1214600M x y x y +--+=及其上一点(2,4)A（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程；（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且BC OA =,求直线l 的方程； （3）设点(,0)T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ,使得,TA TP TQ +=求实数t 的取值范围.21.（本小题满分12分）已知2)(ax e x f x-=，曲线)(x f y =在))1(,1(f 处的切线方程为1+=bx y .（1）求b a ,的值；（2）求)(x f 在]1,0[上的最大值；（3）证明：当0>x 时，01ln )1(≥---+x a x e e x.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）求C 的参数方程；（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知0>a ，0>b ，函数||||)(b x a x x f ++-=的最小值为2. （1）求b a +的值；（2）证明：22>+a a 与22>+b b 不可能同时成立.试卷答案一、选择题1-5 CDADD 6-10CDCAB 11、12：DB二、填空题13.若1<x ，则1242-<+-x x 14.3315.3140米 16.2±三、解答题17.（1）由题意，当2≥n 时，1112a a S n n -=--，又因为12a a S n n -=，且1--=n n n S S a ，则)2(21≥=-n a a n n ，所以1231242,2a a a a a ===，又321,1,a a a +成等差数列，则312)1(2a a a +=+，所以1114)12(2a a a +=+，解得21=a ，所以数列}{n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以nn a 2=. （2）由（1）知221-=+n n S ，∴221221)22)(22(221211---=--=+++++n n n n n n b ， ∴)221221()221221()221221(214332---++---+---=++n n n T 22121221221222--=---=++n n .18.（1）解法一：因为底面ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，又⊥PA 底面ABCD ，所以BD PC ⊥. 设F BD AC = ，连结EF ，因为EC PE PA AC 2,2,22===，故2,332,32===FC EC PC ，解法二：以A 为坐标原点，射线AC 为x 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -，设)0,,2(),0,0,22(b D C ，其中0>b ，则)0,,2(),32,0,324(),2,0,0(b B E P -，于是)32,,32(),32,,32(),2,0,22(b b -==-=，从而0,0=⋅=⋅DE PC BE PC ，故DE PC BE PC ⊥⊥,，又E DE BE = ，所以⊥PC 平面BDE .（2）)0,,2(),2,0,0(b -==，设),,(z y x =为平面PAB 的法向量，则0,0=⋅=⋅，即02=z 且02=-by x ，令b x =，则)0,2,(b =，设),,(r q p =为平面PBC 的法向量，则0,0=⋅=⋅，即0222=-r p 且03232=+-r bq p ，令1=p ，则bq r 2,2-==，所以)2,2,1(b -=，因为面⊥PAB 面PBC ，故0=⋅n m ，即02=-bb ，故2=b ，于是)2,1,1(-=，)2,2,2(--=，21||||,cos =<DP n ，所以 60,>=<，因为PD 与平面PBC 所成角和><,互余，故PD 与平面PBC 所成角的角为30.19.（1）由题意知道：6.713,4.583,4.692,6.602,2.67,8.62=+=-=+=-=+=-σμσμσμσμσμσμ，所以由图表知道：6826.080.010080)(>==+≤<-σμσμX P 9544.094.010094)22(<==+≤<-σμσμX P 9974.098.010098)33(<==+≤<-σμσμX P 所以该设备M 的性能为丙级别.（2）由图表知道：直径小于或等于σμ2-的零件有2件，大于σμ2+的零件有4件共计6件 （i ）从设备M 的生产流水线上任取一件，取到次品的概率为5031006=， 依题意)503,2(~B Y ，故2535032)(=⨯=Y E . （ii ）从100件样品中任意抽取2件，次品数Z 的可能取值为0，1，2,16505)2(,1650188)1(,16501457)0(210009426210019416210029406=========C C C Z P C C C Z P C C C Z P故253165019816505216501881165014570)(==⨯+⨯+⨯=Z E . 20.解：圆M 的标准方程为25)7()6(22=-+-y x ，所以圆心)7,6(M ，半径为5.（1）由圆心在直线6=x 上，可设),6(0y N ，因为N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以700<<y ，于是圆N 的半径为0y ，从而0057y y +=-，解得10=y .因此，圆N 的标准方程为1)1()6(22=-+-y x .（2）因为直线OA l //，所以直线l 的斜率为40220-=-. 设直线l 的方程为m x y +=2，即02=+-m y x ，则圆心M 到直线l 的距离5d ==因为BC OA === 而222,2BC MC d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以()252555m +=+，解得5=m 或15-=m .故直线l 的方程为052=+-y x 或0152=--y x . （3）设),(,),(2211y x Q y x P .因为TQ TP TA t T A =+),0,(),4,2(，所以⎩⎨⎧+=-+=421212y y tx x ……①因为点Q 在圆M 上，所以25)7()6(2222=-+-y x ，将①代入②，得25)3()4(2121=-+--y t x .于是点),(11y x P 既在圆M 上，又在圆25)3()]4([22=-++-y t x 上，从而圆25)7()6(22=-+-y x 与圆25)3()]4([22=-++-y t x 有公共点，所以55)73(]6)4[(5522+≤-+-+≤-t ，解得21222122+≤≤-t .因此，实数t 的取值范围是]2122,2122[+-.21.（1）ax e x f x2)('-=，由题设得b a e f =-=2)1('，1)1(+=-=b a e f ，解得2,1-==e b a .（2）由（1）知2)(x e x f x-=，∴x e x f x2)('-=，2)(''-=xe xf ，∴)('x f 在)2ln ,0(上单调递减，在),2(ln +∞上单调递增，所以02ln 22)2(ln ')('>-=≥f x f ，所以)(x f 在]1,0[上单调递增，所以1)1()(max -==e f x f .（3）因为)('x f ，又由（2）知，)(x f 过点)1,1(-e ，且)(x f y =在1=x 处的切线方程为1)2(+-=x e y ，故可猜测：当1,0≠>x x 时，)(x f 的图象恒在切线1)2(+-=x e y 的上方.下证：当当0>x 时，1)2()(+-≥x e x f设0,1)2()()(>+--=x x e x f x g ，则2)(''),2(2)('-=---=xxe x g e x e x g ， 由（2）知，)('x g 在)2ln ,0(上单调递减，在),2(ln +∞上单调递增， 又12ln 0,0)1(',03)('<<=>-=g e x g ，∴0)2(ln '<g ， 所以，存在)1,0(0∈x ，使得0)('=x g ，所以，当),1(),0(0+∞∈ x x 时，0)('>x g ；当)1,(0x x ∈时，0)('<x g ，故)(x g 在),0(0x 上单调递增，在)1,(0x 上单调递减，在),1(+∞上单调递增，又0)1()0(==g g ，∴01)2()(2≥----=x e x e x g x，当且仅当1=x 时取等号，故0,1)2(>≥--+x x xx e e x .由（2）知，1ln 1)2(+≥≥--+x x x x e e x ，即1ln 1)2(+≥--+x xx e e x ， 所以x x x x e e x+≥--+ln 1)2(，即0ln 1)1(≥---+x x x e e x成立，当1=x 时，等号成立. 22.解：（1）由题意知：θρcos 2=，]2,0[πθ∈，所以θρρcos 22=，]2,0[πθ∈，即0222=-+x y x ，可化为1)1(22=+-y x ，]1,0[∈y ，可得C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=t y t x sin cos 1（t 为参数，π≤≤t 0）.（2）设)si n ,cos 1(t t D +，由（1）知C 是以)0,1(G 为圆心，1为半径的上半圆，因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同， ∴31)cos 1(0sin =-+-t t ，解得3tan =t ，即3π=t ，故D 的直角坐标为)3sin ,3cos 1(ππ+，即)23,23(.23.（1）∵0,0>>b a ，∴2|||||)()(|||||)(=+=+=--=---≥++-=b a b a b a b x a x b x a x x f .（2）∵0,0>>b a 且2=+b a ，由基本不等式知道：22=+≤b a ab ，∴1≤ab 假设22>+a a 与22>+b b 同时成立，则由22>+a a 及0>a ，得1>a同理1>b ，∴1>ab ，这与1≤ab 矛盾，故22>+a a 与22>+b b 不可能同时成立.。

绝密＊启用前试尝类型：A汕头市2013年普通高中高三教学质量测评试题理科数学本试卷共4页，21小题、满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：I答春前，考生务必用葱色字迹的钢笔或签字笔将自己的性名和考生号、试室号、座位号镇写在答题卡上，并拈贴好条形码。

认真核准条形码上的牲名、考生号、试室号和座位号。

2选择赶每小题选出答案后，用2B铅笔把答月卡上汁应题目选项的答案信息点涂又．如需改动，用株皮挤干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上3非选择超必须用从色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区城内相应位I上；如雷改动，先划摔原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效4作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号叶应的信级点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的．答案无效5考生必须保持答超卡的整洁。

考试结未后，将试卷和答题卡一并交回一、选择题：（40分）1、设x，y∈R，则“x＝0”是“复数x+yi为纯虚数”的（）A充分而不必要条件B、必要而不充分条件C．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件2集合A＝{x｜2012＜x＜2013}，B＝{x｜x＞a}可满足A∩B＝φ．则实数a的取值范围（）A、{a｜a≥2012 }B、{a｜a≤2012 }C、{a｜a≥2013}D、{a｜a≤2013 }3采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查为此将他们随机编号为1，2 ...960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落人区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷C的人数为（）A. 15B. 10C. 9D. 74把函数y=cos2x＋l的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍〔纵坐标不变），然后向左平移l个单位长度．再向下平移1个单位长度．得到的图像是5.执行右面的程序框图，如果输入m=72，n=30，则输出的n 是（ ） A. 0 B. 3 C. 6 D. 126.在等差数列｛n a }中，首项a 1=0，公差d ≠0 若1210k a a a a =+++，则k ＝（ ）A ．45 B. 46 C. 47 D. 487.设O 是空间一点，a,b,c 是空间三条直线，,αβ是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是（ ）A. 当a ∩b ＝O 且a ⊂α，b ⊂α时，若c ⊥a ，c ⊥b ，则c ⊥αB. 当a ∩b ＝O 且a ⊂α，b ⊂α时，若a ∥β，b ∥β，则α∥βC. 当b ⊂α时，若b ⊥β，则α⊥βD. 当b ⊂α时，且c α⊄时，若c ∥α，则b ∥c8.给一个正方体的六个面涂上四种不同颜色（红、黄、绿、兰），要求相邻两个面涂不同的颜色，则共有涂色方法（涂色后，任意翻转正方体，能使正方体各面颜色一致，我们认为是同一种涂色方法（ ）A. 6种B. 12种C. 24种D. 48种 二、填空题：（30分） （一）必做题（9-13题）9.函数y ＝lnx 在点A(1,0)处的切线方程为_______．10.已知变量x,y 满足约束条件222441x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则目标函Rz=3x －y 的取值范围是＿＿＿＿11.若曲线y =与直线x=a ，y=0所围成封闭图形的面积为a 2．则正实数a ＝＿＿＿＿12.已知动点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么使得点P 到定点Q （2,，－1）的距离与点P 到抛物线焦点的距离之和最小的点P 的坐标为＿＿＿13.已知在三角形ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，∠BAC ＝θ，若D 为BC 的三等分点〔靠近点B 一侧）．则的取值范围为＿＿＿＿．（二）选做题14.已知直线l 方程是22x ty t =+⎧⎨=-⎩学科网（t 为参数），以坐标原点为极点．x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝2，则圆C 上的点到直线l 的距离最小值是＿＿＿15ΘO 中，AB 是直径，MN 是过点A 的圆O 的切线，AC ，BD 相交于点P ，且∠DAN ＝30°，CP ＝2, PA ＝6，又PD ＞PB ，则线段PD 的长为＿＿＿三、解答题（满分80分，解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.（本小题满分12分）△ABC 中内角A,B,C 的对边分别为a ，b ，c, 向量(2sin2Am =，2(cos ,2cos 1)4An A =-，且m n 。

汕头市2012-2013学年度第二学期高三级数学综合测练题（理一）参考答案一、选择题（５分×８＝40分）二、填空题（５分×６＝30分）9. 1，1或3；10. 25；11. 4，(]28,57；12. ①②；13. 8; 14. 8； 部分答案提示： 3.等于圆的直径. 9.列举法；12.①图象C 关于直线24π2ππ+=+k x 对称，当k=0时，图象C 关于8π=x 对称；①正确；②x∈)8π5,8π(时，4π2+x ∈)2π3,2π(，∴函数)(x f 在区间)8π5,8π(内是减函数；②正确；③由x y 2sin 3=的图象向左平移4π个单位长度可以得到x x x f 2cos 3)4π22sin(3)(=+=，得不到图象，③错误。

三、解答题： 16.(本小题12分)解：（１）由题意可设二次函数f (x )=a (x -1)(x -3)(a <0) ………2分当x =0时,y =-3,即有-3=a (-1)(-3), 解得a =-1,f (x )= -(x -1)(x -3)=342-+-x x ,)(x f 的解析式为)(x f =342-+-x x . ………………6分（２）y =f (sin x )=3sin 4sin 2-+-x x=()12sin 2+--x . ……………………8分[0,]2x π∈ , sin [0,1]x ∴∈,则当sin x =0时,y 有最小值-3;当sin x =1时,y 有最大值0. …………………12分17．(本小题12分)解：（1）依题意，有AM －BM =1.5×8=12 (km)，CM －BM =1.5×20=30 (km)∴MB =(x －12)(km )，MC =30+(x －12)=(18+x ) (km ). ……………… 2分 在△ABM 中，AB =20 kmABMA MB AB MA MAB ⋅-+=∠2cos 222x x x x x 5323202)12(20222+=⋅--+=同理，xxMAC 372cos -=∠ ……………5分∵MAC MAB ∠=∠cos cos ，∴x x x x 3725323-=+ 解得 )(7132km x = ……………8分(2)作MN ⊥AD 于N ，在△AMN 中，).(71.17532713235323cos km x x x AMN MA MN ≈+⨯=+⋅=∠= ………………11分 答：静止目标M 到海防警戒线AD 的距离约为17.71km ………………12分18．（本小题14分）解：（１）xx x e x x e x x f e x x x f )1()12()(,)1()(22++++='++=,)23(2x e x x ++= …………………………………………2分当()021,()021,f x x x f x x ''><->-<-<<-时解得或当时解得 所以函数的单调增区间为（－∞，－2），（－1，＋∞）；单调减区间为（－2，－1） …………………………6分（２）xxxe a x a x e a ax x e a x xf )2)2([)()2()(22'+++=++++=,0)2)((=++=x e x a x,2,-=-=∴x a x …………………………………9分列表如下：2,2-≥-∴≤a aAB C……………………………………12分由表可知,3)24()2()(2=+-=-=-ea a f x f 极大解得2342≤-=e a ，所以存在实数a ，使)(x f 的极大值为3。

广东省汕头市高三上学期期末教学质量监测理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合)}21ln(|{x y x A -==，}|{2x x x B <=，全集B A U =，则=)(B A C U （ ） A ．)0,(-∞ B ．]1,21[ C ． )0,(-∞]1,21[ D ．]0,21(-2.设复数i z 21231+=，i z 432+=，其中i 为虚数单位，则=||||220161z z （ ） A ．20152 B ．20161 C ．251 D ．51 3.圆0138222=+--+y x y x 的圆心到直线01=-+y ax 的距离为1，则=a （ ） A ．34-B ．43- C ．3 D ．2 4.函数)0)(6sin(>+=ωπωx y 的图象与34-轴正半轴交点的横坐标构成一个公差为34-的等差数列，若要得到函数34-的图象，只要将34-的图象（ ）个单位 A ．向左平移6π B ．向左平移6π C. 向左平移6π D ．向左平移6π 5.函数)0)(6sin(>+=ωπωx y 的图象大致是（ ）6.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的2=x ，2=n ，依次输入的a 为2，2，5，则输出的=s （ ）A ．7B ．12 C. 17 D ．347.假设你家订了一份牛奶，奶哥在早上6：00~7：00之间随机地把牛奶送到你家，而你在早上6：30~7：30之间随机第离家上学，则你在理考家前能收到牛奶的概率是（ ） A ．81 B ．85 C.21 D ．87 8.设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，则“01>a ”是“23S S >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件9.将二项式6)2(xx +展开式各项重新排列，则其中无理项互不相邻的概率是（ ） A ．72 B ．351 C. 358 D ．247 10.已知定义在R 上的函数)(x f 满足)()(x f x f -=，且当)0,(-∞∈x 时，0)(')(<+x xf x f 成立，若)2()2(1.01.0f a ⋅=，)2(ln )2(ln f b ⋅=，)81log )81(log 22f c ⋅=，则c b a ,,的大小关系是（ ）A ．c b a >>B ．a b c >> C. b a c >> D ．b c a >> 11.设)2,0(,πβα∈，且ββαcos 1tan tan =-，则（ ） A ．23πβα=+ B ．22πβα=+ C. 23πβα=- D ．22πβα=- 12.在平面内，定点D C B A ,,,满足||||||DC DB DA ==，2-=⋅=⋅=⋅，动点M P ,满足1||=，=，则2||的最大值是（ ） A ．443 B ．449 C. 43637+ D ．433237+第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.命题“若81log 2，则81log 2”的否命题为 ． 14.已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ．15.为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测，如图所示，C B A ,,三地位于同一水平面上，这种仪器在C地进行弹射实验，观测点B A ,两地相距100米，60=∠BAC ，在A 地听到弹射声音比B 地晚172秒（已知声音传播速度为340米/秒），在A 地测得该仪器至高点H 处的仰角为30，则这种仪器的垂直弹射高度=HC ．16.设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥+-≤--01022022y x y x y x ，且y a x a z )1(3)1(22+-+=的最小值是20-，则实数=a ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）数列}{n a 的前n 项和n S 满足12a a S n n -=，且321,1,a a a +成等差数列.（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设11++=n n n n S S a b ，求数列}{n b 的前n 项和n T .18. （本小题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为菱形，⊥PA 底面ABCD ，22=AC ，2=PA ，E 是PC 上的一点，EC PE 2=.（1）证明：⊥PC 平面BED ；（2）设二面角C PB A --为90，求直线PD 与平面PBC 所成角的大小.19.（本小题满分12分）为评估设备M 生产某种零件的性能，从设备M 生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：经计算，样本的平均值65=μ，标准差2.2=σ，以频率值作为概率的估计值.（Ⅰ）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X ，并根据以下不等式进行评判（P 表示相应事件的概率）；①6826.0)(≥+≤<-σμσμX P ； ②9544.0)22(≥+≤<-σμσμX P ；③9974.0)33(≥+≤<-σμσμX P .评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备M 的性能等级.（2）将直径小于等于σμ2-或直径大于σμ2+的零件认为是次品.（ⅰ）从设备M 的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y 的数学期望)(Y E ； （ⅱ）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z 的数学期望)(Z E . 20.（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆22:1214600M x y x y +--+=及其上一点(2,4)A（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程；（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且BC OA =,求直线l 的方程； （3）设点(,0)T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ,使得,TA TP TQ +=求实数t 的取值范围.21.（本小题满分12分）已知2)(ax e x f x-=，曲线)(x f y =在))1(,1(f 处的切线方程为1+=bx y .（1）求b a ,的值；（2）求)(x f 在]1,0[上的最大值；（3）证明：当0>x 时，01ln )1(≥---+x a x e e x.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）求C 的参数方程；（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知0>a ，0>b ，函数||||)(b x a x x f ++-=的最小值为2. （1）求b a +的值；（2）证明：22>+a a 与22>+b b 不可能同时成立.试卷答案一、选择题1-5 CDADD 6-10CDCAB 11、12：DB二、填空题13.若1<x ，则1242-<+-x x 14.3315.3140米 16.2±三、解答题17.（1）由题意，当2≥n 时，1112a a S n n -=--，又因为12a a S n n -=，且1--=n n n S S a ，则)2(21≥=-n a a n n ，所以1231242,2a a a a a ===，又321,1,a a a +成等差数列，则312)1(2a a a +=+，所以1114)12(2a a a +=+，解得21=a ，所以数列}{n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以nn a 2=. （2）由（1）知221-=+n n S ，∴221221)22)(22(221211---=--=+++++n n n n n n b ， ∴)221221()221221()221221(214332---++---+---=++n n n T 22121221221222--=---=++n n .18.（1）解法一：因为底面ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，又⊥PA 底面ABCD ，所以BD PC ⊥. 设F BD AC = ，连结EF ，因为EC PE PA AC 2,2,22===，故2,332,32===FC EC PC ，解法二：以A 为坐标原点，射线AC 为x 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -，设)0,,2(),0,0,22(b D C ，其中0>b ，则)0,,2(),32,0,324(),2,0,0(b B E P -，于是)32,,32(),32,,32(),2,0,22(b b -==-=，从而0,0=⋅=⋅DE PC BE PC ，故DE PC BE PC ⊥⊥,，又E DE BE = ，所以⊥PC 平面BDE .（2）)0,,2(),2,0,0(b -==，设),,(z y x =为平面PAB 的法向量，则0,0=⋅=⋅，即02=z 且02=-by x ，令b x =，则)0,2,(b =，设),,(r q p =为平面PBC 的法向量，则0,0=⋅=⋅，即0222=-r p 且03232=+-r bq p ，令1=p ，则bq r 2,2-==，所以)2,2,1(b -=，因为面⊥PAB 面PBC ，故0=⋅n m ，即02=-bb ，故2=b ，于是)2,1,1(-=，)2,2,2(--=，21||||,cos =<DP n ，所以 60,>=<，因为PD 与平面PBC 所成角和><,互余，故PD 与平面PBC 所成角的角为30.19.（1）由题意知道：6.713,4.583,4.692,6.602,2.67,8.62=+=-=+=-=+=-σμσμσμσμσμσμ，所以由图表知道：6826.080.010080)(>==+≤<-σμσμX P 9544.094.010094)22(<==+≤<-σμσμX P 9974.098.010098)33(<==+≤<-σμσμX P 所以该设备M 的性能为丙级别.（2）由图表知道：直径小于或等于σμ2-的零件有2件，大于σμ2+的零件有4件共计6件 （i ）从设备M 的生产流水线上任取一件，取到次品的概率为5031006=， 依题意)503,2(~B Y ，故2535032)(=⨯=Y E . （ii ）从100件样品中任意抽取2件，次品数Z 的可能取值为0，1，2,16505)2(,1650188)1(,16501457)0(210009426210019416210029406=========C C C Z P C C C Z P C C C Z P故253165019816505216501881165014570)(==⨯+⨯+⨯=Z E . 20.解：圆M 的标准方程为25)7()6(22=-+-y x ，所以圆心)7,6(M ，半径为5.（1）由圆心在直线6=x 上，可设),6(0y N ，因为N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以700<<y ，于是圆N 的半径为0y ，从而0057y y +=-，解得10=y .因此，圆N 的标准方程为1)1()6(22=-+-y x .（2）因为直线OA l //，所以直线l 的斜率为40220-=-. 设直线l 的方程为m x y +=2，即02=+-m y x ，则圆心M 到直线l 的距离5d ==因为BC OA === 而222,2BC MC d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以()252555m +=+，解得5=m 或15-=m .故直线l 的方程为052=+-y x 或0152=--y x . （3）设),(,),(2211y x Q y x P .因为TQ TP TA t T A =+),0,(),4,2(，所以⎩⎨⎧+=-+=421212y y tx x ……①因为点Q 在圆M 上，所以25)7()6(2222=-+-y x ，将①代入②，得25)3()4(2121=-+--y t x .于是点),(11y x P 既在圆M 上，又在圆25)3()]4([22=-++-y t x 上，从而圆25)7()6(22=-+-y x 与圆25)3()]4([22=-++-y t x 有公共点，所以55)73(]6)4[(5522+≤-+-+≤-t ，解得21222122+≤≤-t .因此，实数t 的取值范围是]2122,2122[+-.21.（1）ax e x f x2)('-=，由题设得b a e f =-=2)1('，1)1(+=-=b a e f ，解得2,1-==e b a .（2）由（1）知2)(x e x f x-=，∴x e x f x2)('-=，2)(''-=xe xf ，∴)('x f 在)2ln ,0(上单调递减，在),2(ln +∞上单调递增，所以02ln 22)2(ln ')('>-=≥f x f ，所以)(x f 在]1,0[上单调递增，所以1)1()(max -==e f x f .（3）因为)('x f ，又由（2）知，)(x f 过点)1,1(-e ，且)(x f y =在1=x 处的切线方程为1)2(+-=x e y ，故可猜测：当1,0≠>x x 时，)(x f 的图象恒在切线1)2(+-=x e y 的上方.下证：当当0>x 时，1)2()(+-≥x e x f设0,1)2()()(>+--=x x e x f x g ，则2)(''),2(2)('-=---=xxe x g e x e x g ， 由（2）知，)('x g 在)2ln ,0(上单调递减，在),2(ln +∞上单调递增， 又12ln 0,0)1(',03)('<<=>-=g e x g ，∴0)2(ln '<g ， 所以，存在)1,0(0∈x ，使得0)('=x g ，所以，当),1(),0(0+∞∈ x x 时，0)('>x g ；当)1,(0x x ∈时，0)('<x g ，故)(x g 在),0(0x 上单调递增，在)1,(0x 上单调递减，在),1(+∞上单调递增，又0)1()0(==g g ，∴01)2()(2≥----=x e x e x g x，当且仅当1=x 时取等号，故0,1)2(>≥--+x x xx e e x .由（2）知，1ln 1)2(+≥≥--+x x x x e e x ，即1ln 1)2(+≥--+x xx e e x ， 所以x x x x e e x+≥--+ln 1)2(，即0ln 1)1(≥---+x x x e e x成立，当1=x 时，等号成立. 22.解：（1）由题意知：θρcos 2=，]2,0[πθ∈，所以θρρcos 22=，]2,0[πθ∈，即0222=-+x y x ，可化为1)1(22=+-y x ，]1,0[∈y ，可得C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=t y t x sin cos 1（t 为参数，π≤≤t 0）.（2）设)si n ,cos 1(t t D +，由（1）知C 是以)0,1(G 为圆心，1为半径的上半圆，因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同， ∴31)cos 1(0sin =-+-t t ，解得3tan =t ，即3π=t ，故D 的直角坐标为)3sin ,3cos 1(ππ+，即)23,23(.23.（1）∵0,0>>b a ，∴2|||||)()(|||||)(=+=+=--=---≥++-=b a b a b a b x a x b x a x x f .（2）∵0,0>>b a 且2=+b a ，由基本不等式知道：22=+≤b a ab ，∴1≤ab 假设22>+a a 与22>+b b 同时成立，则由22>+a a 及0>a ，得1>a同理1>b ，∴1>ab ，这与1≤ab 矛盾，故22>+a a 与22>+b b 不可能同时成立.。